Как раскрывается квадрат разности

8

Квадрат разности

Для доказательства справедливости формулы квадрата разности достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:

( a — b ) 2 = ( a — b )·( a — b ) = a 2 — ab — ba + b 2 = a 2 — 2 ab + b 2

Применение формулы квадрата разности

• для раскрытия скобок
• для упрощения выражений
• для вычисления квадратов больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик

Примеры задач на применение формулы квадрата разности

( x — 3) 2 = x 2 — 2·3· x + 3 2 = x 2 — 6 x + 9

(2 x — 3 y 2 ) 2 = (2 x ) 2 — 2·(2 x )·(3 y 2 ) + (3 y 2 ) 2 = 4 x 2 — 12 x y 2 + 9 y 4

Можно заметить, что выражение в числителе — это разложенный квадрат разности

9 x 2 — 6 x + 1 (3 x — 1) = (3 x — 1) 2 (3 x — 1) = 3 x — 1

69 2 = (70 — 1) 2 = 70 2 — 2·70·1 + 1 2 = 4900 — 140 + 1 = 4761

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Квадрат разности: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения – квадрат разности. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

• Формула квадрата разности
• Доказательство формулы
• Примеры задач

Формула квадрата разности

Квадрат разности a и b равняется квадрату уменьшаемого ( a ) минус удвоенное произведение уменьшаемого и вычитаемого ( a и b ) плюс квадрат вычитаемого ( b ).

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

Данное выражение равносильно и в обратную сторону:

a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2

Доказательство формулы

Так как возведение в квадрат – это умножение числа/выражения на само себя, давайте представим нашу формулу в виде перемножения двух одинаковых скобок:
(a-b)(a-b) .

Остается согласно арифметическим правилам убрать скобки, тем самым, разложив произведение на множители:
(a-b)(a-b) = a 2 – ab – ba + b 2 = a 2 – 2ab + b 2 .

Примеры задач

Задание
Разложите на множители квадрат разности: (4x – 2y 4 ) 2 .

Решение
Применив формулу сокращенного умножения получаем:
(4x – 2y 4 ) 2 = (4x) 2 – 2 ⋅ 4x ⋅ 2y 4 + (2y 4 ) 2 = 16x 2 – 16xy 4 + 4y 8

Примечание:
Знание формулы, также, позволяет производить быстрые вычисления в уме:

Как использовать квадрат разности (a − b) 2

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.

Важно!

Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Применение квадрата разности для разложения многочлена на множители

Вспомним, как выглядит формула квадрата разности.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Важно помнить, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2

Рассмотрим многочлен. Требуется разложить его на множители, используя формулу квадрата разности.

Обратите внимание, что многочлен « d 2 − 2dc + c 2 » напоминает правую часть формулы « a 2 − 2ab + b 2 » , только вместо « a » стоит « d », а на месте « b » стоит « c ».

Используем для многочлена « d 2 − 2dc + c 2 » формулу квадрата разности.

Рассмотрим другой пример. Необходимо возвести в квадрат многочлен.

Используем формулу квадрата разности. Только вместо « a » у нас будет « 5z », а вместо « b » — « t ».

Часто возводят многочлен в квадрат следующим образом:

Это неверно! Для возведения многочлена в квадрат необходимо использовать формулу сокращенного умножения: (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 .

Рассмотрим пример сложнее. Требуется разложить многочлен на множители.

В этом многочлене не так очевидно, что будет являться в формуле « a », « 2ab », а что « b ». Представим многочлен в виде « a 2 − 2ab + b 2 ».

Применение нескольких способов для разложения многочлена на множители

Рассмотрим пример, где для разложения многочлена на множители нам потребуется использовать вынесение общего множителя и формулу квадрата разности.

Обратим внимание, что в многочлене « −2a 2 + 8ab − 8b 2 » стоят знаки противоположные правой части формулы квадрата разности « a 2 − 2ab + b 2 ».

Вынесем общий множитель «−2» за скобки.

После вынесения общего множителя многочлен « a 2 − 4ab + 4b 2 » в скобках стал напоминать правую часть формулы квадрата разности « a 2 − 2ab + b 2 ».

Уравнения с квадратом разности примеры

Для доказательства справедливости формулы квадрата разности достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:

( a — b ) 2 = ( a — b )·( a — b ) = a 2 — ab — ba + b 2 = a 2 — 2 ab + b 2

Применение формулы квадрата разности

Примеры задач на применение формулы квадрата разности

( x — 3) 2 = x 2 — 2·3· x + 3 2 = x 2 — 6 x + 9

(2 x — 3 y 2 ) 2 = (2 x ) 2 — 2·(2 x )·(3 y 2 ) + (3 y 2 ) 2 = 4 x 2 — 12 x y 2 + 9 y 4

Можно заметить, что выражение в числителе — это разложенный квадрат разности

9 x 2 — 6 x + 1 (3 x — 1) = (3 x — 1) 2 (3 x — 1) = 3 x — 1

69 2 = (70 — 1) 2 = 70 2 — 2·70·1 + 1 2 = 4900 — 140 + 1 = 4761

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Разность квадратов двух выражений

Формула квадрата суммы

Перемножим сумму и разность a и b:

Мы получили формулу разности квадратов двух выражений :

Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов.

Разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и разности.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

$$(8b^2 c+3k)(8b^2 c-3k) = (8b^2 c)^2-(3k)^2 = 64b^4 c^2-9k^2$$

$$ 64b^4 c^2-9k^2 = (8b^2 c)^2-(3k)^2 = (8b^2 c+3k)(8b^2 c-3k) $$

Рассмотрим квадрат со стороной a, в один из углов которого вписан квадрат поменьше
со стороной $b \lt a$.
Для его площади можем записать:

Откуда $$ a^2-b^2 =$$ $$ (a-b)^2+2b(a-b) = $$ $$ = (a-b)(a-b+2b) = $$ $$ = (a-b)(a+b) $$

Примеры

Пример 1. Найдите произведение:

в) $ (5b+6z)(5b-6z) = (5b)^2-(6z)^2 = 25b^2-36z^2 $

г) $ -(2mk-1)(2mk+1) = -((2mk)^2-1) = 1-4m^2 k^2 $

Пример 2. Упростите выражение:

а) $(0,7x-11)(0,7x+11)+0,51x^2 = (0,7x)^2-11^2+0,51x^2 =$

б) $ 2z^2-(z+1)(z-1) = 2z^2-(z^2-1) = z^2+1$

в) $15a^2+(-3a-b)(3a-b) = 15a^2-(3a+b)(3a-b) = 15a^2—(9a^2-b^2 ) = 6a^2+b^2 $

г) (3a+7b)(7b-3a)+(-2a+5b)(2a+5b) = (7b+3a)(7b-3a)+

$+(5b-2a)(5b+2a) = (7b)^2-(3a)^2+(5b)^2-(2a)^2 = 49b^2-9a^2+25b^2-4a^2 = $

Пример 3. Разложите на множители:

а) $25-a^2 = 5^2-a^2 = (5+a)(5-a)$

б) $x^2-0,64 = x^2- 0,8^2 = (x+0,8)(x-0,8)$

в) $ –m^2+49n^2 = 49n^2-m^2 = (7n)^2-m^2 = (7n+m)(7n-m)$

г) $c^4 d^2-4k^2 = (c^2 d)^2-(2k)^2 = (c^2 d+2k)(c^2 d-2k)$

Пример 4. Вычислите:

а) $58^2-48^2 = (58+48)(58-48) = 106\cdot10 = 1060 $

б) $ 132^2-68^2 = (132+68)(132-68) = 200\cdot64 = 12800 $

в) $0,731^2-0,269^2 = (0,731+0,269)(0,731-0,269) = 1\cdot0,462 = 0,462 $

Пример 5*. Докажите, что при любом значении переменной n выражение $(3n+5)^2-16$ делится на 3.

Формулы сокращенного умножения с примерами решения

Содержание:

Формулы сокращенного умножения

Умножение разности двух выражений на их сумму

Умножим разность

Полученное тождество позволяет умножать разность двух выражений на их сумму не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать произведение в виде Поэтому доказанное тождество называют формулой сокращенного умножения. Формулируют се так:

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Умножим по этому правилу разность на сумму

Из переместительного свойства умножения следует, что произведение суммы двух выражений и их разности равно разности квадратов этих выражений:

Примеры выполнения заданий:

Пример №135

Решение:

Пример №136

Вычислить

Решение:

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений

Возведем в квадрат сумму

Полученное тождество называют формулой квадрата суммы. Оно является формулой сокращенного умножения, поскольку позволяет возводить в квадрат сумму любых двух выражений не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать квадрат в виде трехчлена

Формулируют формулу квадрата суммы так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Возведем в квадрат сумму

При возведении суммы в квадрат промежуточные преобразования можно выполнять устно:

Квадрат разности двух выражений

Возведем в квадрат разность

Итак, получили такую формулу квадрата разности:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений еще называют квадратом двучлена.

Квадраты противоположных чисел равны: Поэтому при возведении в квадрат выражений и можно пользоваться формулами:

Для тех, кто хочет знать больше

Чтобы возвести сумму или разность двух выражений в куб, можно использовать формулы куба суммы или куба разности:

Докажем эти формулы.

Формулируют формулу куба суммы так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения.

Формулу куба разности формулируют аналогично.

Примеры выполнения заданий:

Пример №137

Возвести в квадрат выражение:

Решение:

Разложение на множители разности квадратов двух выражений

В тождестве поменяем местами левую и правую части:

Полученное тождество называют формулой разности квадратов двух выражений. Формулируют ее так:

Разность квадратов двух выражении равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Формула разности квадратов позволяет разложить на множители двучлена Ее можно использовать при разложении на множители разности квадратов любых двух выражений. Например:

Примеры выполнения заданий:

Пример №138

Разложить на множители:

Решение:

Пример №139

Вычислить

Решение:

Пример №140

Решить уравнение

Решение:

Разложение многочленов на множители с использованием формул квадрата суммы и квадрата разности

Запишем формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений (квадрата двучлена), поменяв в них левые и правые части:

Первая из этих формул дает разложение на множители трехчлена а вторая — трехчлена

Примеры выполнения заданий:

Пример №141

Разложить на множители трехчлен

Решение:

Пример №142

Найти значение выражения при

Решение:

Запишем сначала трехчлен в виде квадрата двучлена:

При получим:

При получим:

Разность и сумма кубов двух выражений

Разность квадратов двух выражений можно разложить на множители по формуле разности квадратов. При разложении на множители разности кубов двух выражений используют формулу разности кубов:

Докажем это тождество, перемножив выражения

В формуле разности кубов трехчлен называют неполным квадратом суммы выражений (он напоминает трехчлен который является «полным» квадратом суммы выражений ). Поэтому формулу разности кубов можно сформулировать так:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

При разложении на множители суммы кубов двух выражений используют формулу суммы кубов:

Докажем это тождество:

Трехчлен называют неполным квадратом разности выражений . Следовательно,

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Примеры выполнения заданий:

Пример №143

Разложить на множители:

Решение:

Применение нескольких способов для разложения многочленов на множители

Часто при разложении многочлена на множители нужно использовать несколько способов. Если это возможно, то разложение уместно начинать с вынесения общего множителя за скобки.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Разложим на множители многочлен

Сначала вынесли общий множитель за скобки, а потом применили формулу разности квадратов.

2. Разложим на множители многочлен

Все члены многочлена имеют общий множитель Вынесем eго за скобки:

Многочлен разложим на множители способом группировки:

Примеры выполнения заданий:

Пример №144

Разложить на множители трехчлен:

Решение:

а) Если к выражению прибавить то есть 9, то получим выражение, которое является квадратом двучлена

Поэтому, выделив квадрат этого двучлена, получим:

Пример №145

Разложить на множители многочлен

Решение:

Пример №146

Решить уравнение

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители:

откуда:

Ответ:

Применение преобразований выражений

Нам уже встречались задачи, при решении которых нужно было преобразовывать то или иное выражение. Чаще всего мы использовали преобразования выражений при решении уравнений, доказательстве тождеств, нахождении значений выражении. Рассмотрим еще некоторые задачи, решение которых связано с преобразованием выражений.

Сравнение значений многочлена с нулем

Пример №147

Доказать, что многочлен принимает только положительные значения.

Решение:

Выделив из трехчлена квадрат двучлена, получим:

Мы представили многочлен в виде суммы двух слагаемых Слагаемое : при любых принимает только неотрицательные значения, слагаемое 2 — положительно. Поэтому выражение принимает только положительные значения. Поскольку то и выражение принимает только положительные значения.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений выражений

Исходя из равенства полученного в примере 1, можно

указать наименьшее значение многочлена Оно равно причем это наименьшее значение многочлен принимает при

Пример №148

Найти наибольшее значение многочлена

Решение:

Преобразуем данный многочлен так:

Наибольшее значение многочлена равно 5.

Решение задач на делимость

Пример №149

Доказать, что значение выражения делится на 8 при любом целом значении

Решение:

Упростим данное выражение:

При любом целом значении произведение делится на 8, поэтому и значение выражения делится на 8.

Нахождение значений многочлена с помощью микрокалькулятора

Пример №150

С помощью микрокалькулятора найти значение многочлена

Решение:

Значение данного многочлена искать удобнее, если его предварительно преобразовать так:

При схема вычислений имеет вид:

Выполнив вычисления, найдем значение многочлена. Оно равно 109,264.

Интересно знать

Античные математики использовали формулы сокращенного умножения задолго до нашей эры. В те времена формулы представлялись не в привычном нам символическом виде, а формулировались словами.

Ученые Древней Греции алгебраические утверждения, формулы, выражающие определенные зависимости между величинами, трактовали геометрически. Так, произведение они рассматривали как площадь прямоугольника со сторонами

Приведем пример алгебраического утверждения, которое было известно древнегреческим ученым и в геометрической терминологии формулировалось так: площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площади квадратов, построенных на каждом из этих отрезков, плюс удвоенная площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках.

Нетрудно догадаться, что речь идет о формуле квадрата суммы, которую мы символически записываем так:

1. Математика
2. Алгебра
3. Линейная алгебра
4. Векторная алгебра
5. Высшая математика
6. Дискретная математика
7. Математический анализ
8. Математическая логика

• Разложение многочленов на множители
• Системы линейных уравнений с двумя переменными
• Рациональные выражения
• Квадратные корни
• Линейное уравнение с одной переменной
• Целые выражения
• Одночлены
• Многочлены

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.