Юридическая социальная сеть
583к
583к
Радиус описанной и вписанной окружности: Формулы и примеры
Здравствуйте мои дорогие подписчики и гости сайта 9111.ru!
На самом деле эту тему проходят еще в начальных классах обычной школы. И все, кто хорошо учился, сразу смогут сказать, о чем идет речь. Ну, или хотя бы точно понять, что РАДИУС как-то связан с окружностью.
Что такое радиус
И действительно:
Радиус – это отрезок, который начинается в центре окружности и заканчивается в любой точке ее поверхности. В то же время так называется и длина этого отрезка.
Вот так это выглядит графически.
Само слово РАДИУС имеет латинские корни. Оно произошло от «radius», что можно перевести как «луч» или «спица колеса». Впервые этот математический термин ввел французский ученый П.Ромус. Было это в 1569 году.
Но потребовалось чуть более ста лет, чтобы слово РАДИУС прижилось и стало общепринятым.
Кстати, есть еще несколько значений слова РАДИУС:
- Размер охвата чего-нибудь или сфера распространения. Например, говорят «Огонь уничтожил все в радиусе 10 километров» или «ОН показал на карте радиус действия артиллерии»;
- В анатомии этим словом обозначают Лучевую кость предплечья.
Но, конечно, нас интересует РАДИУС как математический термин. А потому и продолжим говорить именно о нем.
Радиус и диаметр
Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы, большую букву писать или маленькую, нет.
А два соединенных вместе радиуса, которые к тому же находятся на одной прямой, называются диаметром. Или по-другому:
Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ее поверхности. По аналогии с радиусом под диаметром подразумевают и длину этого отрезка.
Обозначается диаметр также первой буквой своего слова – D или d.
Исходя из определения диаметра, можно сделать простой вывод, который одновременно является одной из базовых основ геометрии.
Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.
Примеры задач
Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.
Используем первую формулу (через периметр):
Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2.
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:
Формулы для радиуса описанной окружности
Найти радиус описанной окружности треугольника по сторонам
Формула радиуса описанной окружности треугольника (R ) :
Найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:
Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:
Найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам
Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.
Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника (R):
Найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.
Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):
Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали
Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)
Найти радиус описанной окружности около квадрата
Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали
Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):
Радиус описанной окружности прямоугольника по сторонам
Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали
Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):
Радиус описанной окружности правильного многоугольника
Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):
Формулы для радиуса вписанной окружности
Радиус вписанной окружности в треугольник
Формула радиуса вписанной окружности в треугольник (r):
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник (r):
Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны (r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол (r ) :
2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту (r ) :
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник (r):
Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию
Формула радиуса вписанной окружности равнобочной трапеции (r):
Радиус вписанной окружности в квадрат
Формула радиуса вписанной окружности в квадрат (r):
Радиус вписанной окружности в ромб
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали (r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол (r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол (r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону (r ) :
2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты
Формула радиуса вписанной окружности в ромб (r ) :
Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник
Формула радиуса вписанной окружности в правильный многоугольник, (r):
Радиус вписанной окружности в шестиугольник
Формула радиуса вписанной окружности в шестиугольник, (r):
Примеры задач
Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.
Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:
Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:
Всем спасибо и приятного просмотра! Если понравилась публикация подписывайтесь и ставьте палец вверх!
Как найти r в геометрии описанной окружности
![\[R = \frac<<abc>><<4S>>\]» width=»64″ height=»38″ /></p>
<p><img decoding=](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-158e64eba5db2f64bcca7f90280e8287_l3.png)
![\[R = \frac<c><2>\]» width=»48″ height=»32″ /></p>
<p><img loading=](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7de2ad3265159c38ce9027688dfdce0a_l3.png)
![\[R = \frac<<2\sin \frac<<<<180>^o>>><n>>>\]» width=»108″ height=»39″ /></p>
<p><img loading=](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3fa2698b183aad92ea430b53116cb749_l3.png)
Формула радиуса описанной окружности для правильного треугольника
![\[R = \frac<<\sqrt 3 >>\]» width=»64″ height=»36″ /></p>
<p><img decoding=](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-941c1d80d3bb076886619b1a571da48d_l3.png)
![\[R = \frac<<\sqrt 2 >>\]» width=»64″ height=»36″ /></p>
<p><img decoding=](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0c66f0b388e039abb76b10c6f7465eae_l3.png)
где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.
Равносторонний треугольник
Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:
где a – сторона треугольника.
Примеры задач
Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.
Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:
Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:
Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.
Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:
Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.
Как найти радиус окружности
Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.
Через площадь круга
- Разделите площадь круга на число пи.
- Найдите корень из результата.
- R — искомый радиус окружности.
- S — площадь круга. Напомним, кругом называют плоскость внутри окружности.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
Через длину окружности
- Умножьте число пи на два.
- Разделите длину окружности на результат.
- R — искомый радиус окружности.
- P — длина окружности (периметр круга).
- π (пи) — константа, равная 3,14.
Через диаметр окружности
Если вы вдруг забыли, радиус равняется половине диаметра. Поэтому, если диаметр известен, просто разделите его на два.
- R — искомый радиус окружности.
- D — диаметр.
Через диагональ вписанного прямоугольника
Диагональ прямоугольника является диаметром окружности, в которую он вписан. А диаметр, как мы уже вспомнили, в два раза больше радиуса. Поэтому достаточно разделить диагональ на два.
- R — искомый радиус окружности.
- d — диагональ вписанного прямоугольника. Напомним, она делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Поэтому, если диагональ неизвестна, её можно найти через соседние стороны прямоугольника с помощью теоремы Пифагора.
- a, b — стороны вписанного прямоугольника.
Через сторону описанного квадрата
Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности. А диаметр — повторимся — равен двум радиусам. Поэтому разделите сторону квадрата на два.