Когда совокупность а когда система

Разница между системой и совокупностью в математике

Решению уравнений, системы уравнений или системы неравенств, всегда уделялось много внимания при изучении математики, физики в школьной программе. Метод решения системы уравнений широко применяется в науке, в статистике, при изучении физических проблем. Поэтому интересно знать сущность понятий системы и совокупности.

Определение

Система — выбор результатов решений, которые подойдут всем уравнениям системы. Этот поиск является как бы пересечением результатов решений.

Совокупность — выбор результатов решений, которые подойдут хотя бы для одного уравнения. Решение совокупности — это объединение решений каждого уравнения.

Сравнение

Рассмотрим решение системы двух уравнений с одной переменной. Находим значения переменной, с которыми каждое уравнение системы будет обращаться в верное равенство.

Решением системы уравнений называются те значения переменной, при которых оба уравнения системы будут обращаться в верные числовые равенства.

Систему уравнений будем решать так. Ищем решение для каждого уравнения и затем выбираем из полученных значений те, которые являются решением для каждого уравнения системы. Система предполагает выбор, пересечение решений. То есть при решении системы уравнений или неравенств из множества решений выбирается конкретные решения, при которых выполняются все равенства и/или неравенства системы.

Рассмотрим совокупность двух уравнений с одной переменной. Находим все значения переменной, с которыми каждое уравнение совокупности обращалось бы в верное числовое равенство.

Решением совокупности уравнений считают любое значение переменной, при котором хотя бы одно уравнение совокупности обращалось бы в верное числовое равенство.

Совокупность предполагает объединение решений. То есть выбор множества или конкретного решения, при котором могло бы выполниться хотя бы одно из равенств и/или неравенств системы

Вот пример:

Есть совокупность из 2 уравнений. Решая первое уравнение, получили ответ 0. Решая второе уравнение, получили 3 ответа -11,0,4.5. Решением совокупности будут все ответы -11,0,4.5.

А если бы эта была система уравнений, то только ответ 0 будет правильным ответом для того и другого уравнения.

Так образом в совокупности идёт объединение результатов. Они дополняют друг друга.

Совокупности уравнений, неравенств, систем: определение, как решить

Тема совокупностей уравнений и др. систем, как правило, в рамках школьного курса представлена скупо. В 10-11 классе она изучается совсем недолго. Мы считаем, что это неверный подход, поскольку совокупности — прекрасный способ оформления привычных решений при работе с неравенствами и уравнениями, поэтому в рамках статьи мы раскроем этот вопрос.

В данной статье мы сформулируем общее понятие совокупностей неравенств, уравнений и их систем, а также их комбинации. Кроме определений здесь, как обычно, есть решения задач, наглядно поясняющие тот или иной фрагмент текста.

Понятие совокупности

Для того, чтобы хорошо понимать, что такое совокупность уравнений, нужно вспомнить еще одно понятие из школьного курса алгебры — система уравнений (аналогично неравенствам). Тогда определения совокупности покажутся вам знакомыми и легко усвоятся.

Проанализировав несколько учебников, выберем наиболее удачное определение:

Совокупность уравнений представляет собой несколько уравнений, записанных друг под другом и объединенных квадратной скобкой. Значение этой записи таково: совокупность объединяет такие значения переменных, при которых хотя бы одно из входящих в нее уравнений превращается в верное равенство.

Сравним между собой понятие совокупности и понятие системы:

1. Запись совокупности, как мы уже говорили выше, осуществляется с помощью квадратной скобки, а системы записываются с фигурной.
2. Совокупность включает в себя множество решений, которые относятся хотя бы одному из уравнений, входящих в ее состав. Система объединяет решения, которые подходят для каждого уравнения.

Вот примеры совокупности уравнений:

x + 1 = 0 , x 2 — 1 = — 8 x + y 2 + z 4 = 0 , x · y · z = 0 , z = 5

Иногда при записи совокупности можно обойтись и без квадратной скобки: так часто делают в школе. В таком случае уравнения можно просто указать через запятую. Для примера выше это может быть запись вида x + y 2 + z 4 = 0 , x · y · z = 0 , z = 5 .

Понятие совокупности неравенств формулируется схожим образом.

Совокупность неравенств представляет собой несколько неравенств, записанных друг под другом и объединенных квадратной скобкой. Она включает в себя решения, которые подходят хотя бы для одного из неравенств, входящих в состав совокупности.

Приведем пример такой записи:

x + 3 > 0 , 2 · x + 3 ≤ 0 , 5

Схожее определение для этого понятия упоминается в учебнике Мордковича.

Если необходимо, то можно указать, сколько уравнений (неравенств) входят в состав совокупности, а также сколько в ней участвует переменных. Вид уравнения (неравенства) также может быть внесен в запись при необходимости. Сформулируем название совокупности из примера: это совокупность 2-х неравенств с одной переменной, а ее составные части — это целые рациональные первой степени.

Сочетать в рамках одной совокупности можно не только записи одного вида. Так, имеет право на существование совокупность, состоящая из двух неравенств и одного уравнения, сочетание одного неравенства с системой уравнений, двух систем неравенств и др. Главная задача — сохранить неизменным основной смысл совокупности: в нее входят такие решения, которые подходят хотя бы для одной составляющей совокупности.

В качестве примера смешанных совокупностей приведем две:

x > 3 x < 8 x < — 5 x ≤ — 2 x 2 = 9 x 2 > 5 ( x — 6 ) · ( x — 8 ) = 0 x ≤ 3 x 2 + 2 · x — 8 > 0

Что такое решение совокупности

Решение — главная составляющая совокупности. Сформулируем, что же такое решения совокупности с разным количеством переменных.

Решение совокупности с одной переменной представляет собой значение этой переменной, которое является решением хотя бы одной составляющей совокупности (уравнения, неравенства).

Если мы возьмем совокупность уравнений, значит, его решение — это значение x , при котором хотя бы одно из уравнений, входящих в состав совокупности, обращается в верное равенство.

Возьмем неравенство x > 1 , x 2 ≥ 4 · x + 2 . Для него решением, например, будет тройка, т.к. она больше единицы, и, следовательно, она — верное решение для первого неравенства. А если мы возьмем ноль, то увидим, что ни к одному из неравенств он не подходит; значит, 0 в качестве решения совокупности мы рассматривать не можем , ведь запись вида 0 > 1 и x 2 ≥ 4 · x + 2 неверна.

Решение совокупности, в которую входит две, три и более переменных, — это две, три и более переменных, которые подходят в качестве решения хотя бы одному компоненту совокупности.

Возьмем еще один пример, посложнее. У нас есть совокупность:

x 2 + y 2 = 4 , x + y > 0 , x ≥ 3

Значения 3 и 0 будут верными решениями совокупности: они подходят в качестве верных значений в уравнения 2 и 3 ( 3 + 0 > 0 и 3 ≥ 3 — верно). А вот значения 2 и 1 не есть решение совокупности: ни к 1 , ни ко 2 , ни к 3 они не подойдут.

В некоторых учебниках можно встретить также понятия общего и частного решения совокупности; под частным при этом понимается одно решение, а под общим — их некое множество. Но более употребительно понятие просто решения совокупности, а о том, общее оно или частное, можно понять из контекста.

Также нужно отметить следующее: объединение решений всех компонентов совокупности также есть решение совокупности. Напомним, что решение системы представляет собой пересечение решений ее компонентов.

В чем разница между совокупностью и системой

Встречаются понятия, которые можно спутать между собой, не разобравшись. Например, система и совокупность. А между тем, эти явления регулярно встречаются в повседневной жизни. Вот почему важно понять, чем же они отличаются и чем между собой схожи.

Что такое совокупность

Совокупностью является любое скопление каких-либо более-менее однородных объектов в пространстве. Но в более узком смысле – это неупорядоченное скопление. Необязательно речь может идти о вещах. Например, это может быть совокупность слов на странице и даже совокупность смыслов в произведении. Но для примера лучше что-то более наглядное.

Если в одном цехе разместить все детали, из которых можно собрать автомобиль, это и будет совокупностью в самом точном смысле. Ведь эти детали не взаимодействуют между собой технически, в данный момент. Их объединяет лишь то, что из них можно собрать конкретную машину.

В математике: используется в уравнениях. Совокупность в этом случае – выбор результатов решений, подходящих хотя бы для одного уравнения. Чтоб решить совокупность, требуется объединить решения каждого уравнения.

Система

В широком смысле система тоже может быть совокупностью. Ведь в ней зачастую также присутствует скопление в пространстве иногда более-менее однородных объектов. Однако в самом точном смысле, система принципиально отличается от совокупности. Они даже противоположны.

Если совокупность – это неупорядоченное скопление, то система всегда упорядочена. То есть, система – это упорядоченное скопление нескольких элементов. Между последними существует взаимосвязь, иерархическая или параллельная (равноценная). Кто-то бы называл систему – упорядоченной совокупностью, но это может несколько путать.

В математике: как и совокупность, применяется в уравнениях. Система в этом случае – выбор результатов решений, подходящих всем уравнениям. Цель в этом случае – пересечение результатов решений.

Что объединяет совокупность и систему

Оба явления подразумевают, что есть какое-то число объектов, которые так или иначе возможно объединить по смыслу. Система или совокупность невозможны из одного объекта или элемента. Если только такой объект нельзя подразделить на более мелкие. В таком случае, конечно, один большой объект может рассматриваться как совокупность или система из более мелких, составляющих его. Например, кусок льда – совокупность молекул воды в твердом агрегатном состоянии.

Систему возможно назвать совокупностью, если элементы в ней более-менее однородны. Хотя бы в каком-то смысле. Тогда в этом смысле и будет возможно назвать систему совокупностью. Что так же объединяет эти два понятия и явления.

• И совокупность, и система всегда состоят из нескольких объектов.
• Систему иногда возможно назвать совокупностью в широком смысле.
• Система и совокупность часто трансформируются друг в друга.

В математике: И при совокупности, и при системе, требуется несколько уравнений, для исходных данных. Оба метода позволяют добиться конечной цели – решения уравнения. На этом их сходства заканчиваются.

В чем разница

Несмотря на сходства, присутствуют и различия. И главное в том, что совокупность в узком, точном смысле никогда не имеет упорядоченности, а система – имеет всегда. Например, песчинки в пустыне, если рассматривать их сами по себе, представляют собой совокупность. Но сама пустыня – это система, в которой песок – один из элементов и находится во взаимосвязи со всеми остальными элементами.

Система может состоять из разнородных объектов. И единственным, что иногда объединяет по смыслу ее элименты, может быть факт того, что это все части одной системы. Примером этого служит системный блок персонального компьютера.

Если не брать в расчет, что все это комплектующие ПК, результат наукоемких отраслей электроники, выполнены часто из схожих материалов, а сравнить их исключительно по функционалу, получится: Каждый элемент выполняет свою специфическую задачу и принцип его работы (в большинстве случаев) принципиально отличается от других. Пример, конечно, не идеален. Ведь все компоненты компьютера работают за счет потока электронов. Но в природе почти нет идеальных примеров, только относительные. По крайней мере, ясна суть.

Есть еще одно различие между совокупностью и системой. Если совокупность существует в узком смысле и широком, соответственно как неупорядоченное скопление и любое скопление, то с термином «система» такого нет. Это всегда в первую очередь упорядоченное скопление, иными словами – модель.

Если подытожить, разница между совокупностью и системой такова:

1. Система всегда упорядочена, совокупность – не всегда.
2. Система может состоять из ничем не схожих объектов.
3. Понятие «система» более конкретное и узкое.

В математике: чтобы решить совокупность, требуется объединить результаты каждого решения. Чтобы решить систему, требуется произвести пересечение результатов решений. Иногда удобнее одно, иногда другое. Но при работе с большими данными, пожалуй, лучше подойдет система. Быстрее и эффективнее.

В заключение, стоит отметить, что совокупность и система во многом схожи. Но и отличия принципиальные. Вот почему это два качественно разных понятия и явления. И если их путать, это приведет к неверным выводам и в математике, и в философии, и в бытовых вопросах.

Совокупность уравнений и неравенств

Совокупности похожи на системы – в них так же присутствуют два или более неравенства (уравнения), но в отличие от системы мы ищем решение, которое подходит хотя бы одному из них (а не всем сразу).

Давайте сравним решение системы и совокупности:

Сначала в обоих случаях нужно решить каждое неравенство и нанести решения на числовую ось.

То есть решение неравенств внутри системы и совокупности одинаково. Но разница появляется, когда мы начинаем искать окончательный ответ. В случае с системой мы «пересекаем» решения: т.е. ищем иксы, которые подходят и первому, и второму неравенству. А в случае с совокупностью мы «объединяем» решения, то есть находим иксы, которые подходят хотя бы одному неравенству (или обоим сразу).

Наглядно эту идею можно представить так:

решение системы решение совокупности

Пример. Решить совокупность: \( \left[ \begin\frac<3>-5>1\\ x^2-7x<0 \end\right.\)

В первом перенесем \(-5\) в правую часть, а во втором – вынесем за скобку икс.

Теперь в первом умножим обе части на \(3\).

Отметим решения на числовых осях.

«Соединим» решения первого и второго неравенства.

Пример. Решить совокупность уравнений: \( \left[ \begin x^2+2x-3=0\\ x^2-4x-21=0 \end\right.\)

Оба уравнения – обычные квадратные с одной переменной. Решая их по отдельности (через дискриминант или по теореме Виета – неважно), находим корни:
— у первого уравнения корни: \(-3\) и \(1\);
— у второго уравнения корни: \(-3\) и \(7\).
А окончательным ответом будут они все, то есть:

Замечание: если бы мы в последнем примере решали не совокупность, а систему, то в ответ пошло бы только одно значение: \(-3\) (потому что только оно подходит обоим уравнениям сразу).