Как считать двойную сумму

Простые и двойные суммы

В математике часто приходится рассматривать суммы большого количества чисел или элементов некоторого множества с операцией сложения в нем, когда слагаемые имеют одинаковый вид и различаются лишь индексами, например суммы вида

Кратко такие суммы записывают следующим образом:

где символ ? — символ суммы: г — индекс суммирования.

Индекс суммирования можно обозначать любой буквой, т.е.

Множитель, не зависящий от индекса суммирования, можно выносить за знак суммы, т.е.

Часто также приходится суммировать слагаемые по двум индексам, каждый из которых независимо пробегает определенные значения. Это приводит к двойным суммам типа

При действиях с двойными суммами можно изменять порядок суммирования, т.е.

Отмеченное правило распространяется на случай суммирования по любому конечному числу индексов.

Перестановки и подстановки

Пусть дано конечное множество М, состоящее из п элементов. Элементы этого множества можно перенумеровать натуральными числами 1, 2, п. Поскольку нас не будут интересовать свойства элементов множества, то можно принять, что элементами множества М являются сами эти числа. Всякое расположение чисел 1, 2, . п в определенном порядке называют перестановкой из п чисел (или из п символов). В общем случае перестановку из п символов записывают в виде i . in, где каждое число i_s, s = 1, 2. п, есть одно из чисел 1, 2, . п и ни одно из этих чисел не повторяется.

Теорема 1.1. Общее количество различных перестановок из п символов равно n! = 1 • 2 • 3 •. • п.

> Действительно, в перестановке ii2—i_n за i можно принять любое из чисел 1, 2, . п. Таких возможностей всего п. При выбранном значении i за г 2 можно принять одно из п — 1 не совпадающих с i чисел. Значит, различных возможностей выбора пары символов i и %2 существует п(п — 1). Продолжая подсчет вариантов, через п шагов получим общее количество перестановок, равное п-(п —1)-. -3-2-1 = п. ?

Говорят, что числа г и j, стоящие в перестановке, составляют инверсию, или беспорядок, если i > j, в то время как i в этой перестановке стоит раньше (левее) числа j. Так, в перестановке 2 15 4 3 числа 2 и 1, 5 и 4, 4 и 3, 5 и 3 составляют инверсии.

Перестановку называют четной, если число всех инверсий в ней четно, и нечетной, если число всех инверсий в ней нечетно.

Подсчет числа инверсий в перестановке удобно проводить следующим образом. Сначала подсчитывают, сколько чисел в перестановке, больших единицы, стоит левее единицы. Затем подсчитывают, сколько чисел, больших двух, стоит левее двойки и т.д. Пусть левее единицы стоит к чисел, больших единицы, левее двух — чисел, больших двух и т.д. Наконец, пусть левее числа п — 1 стоит к_п— чисел, больших п — 1. Тогда общее число инверсий в перестановке будет равно

Так, при подсчете числа инверсий в перестановке 3 2 1 5 4 получим: к = 2, к2 = 1, к’з = 0, = 1. Поэтому общее число инверсий в этой

перестановке равно 2 + 1 + 0+1 = 4, а перестановка является четной.

Перемену местами каких-либо двух символов в перестановке (не обязательно соседних) называют транспозицией этих символов. Транспозицию символов г и j в перестановке обозначают через (i,j). Транспозиция в перестановке из п символов приводит к другой перестановке из тех же символов. При помощи последовательности транспозиций можно перейти от одной перестановки из п символов к любой другой перестановке из тех же символов.

Теорема 1.2. Всякая транспозиция меняет четность перестановки.

О Рассмотрим случай транспозиции рядом стоящих символов г и j, т.е. случай транспозиции этих символов в перестановке вида Aij В, где А — группа символов, стоящих в перестановке слева от символа г, а В — группа символов, стоящих в перестановке справа от символа

j. Транспозиция (г, j) переводит данную перестановку в перестановку Aj iB. В обеих перестановках символ г составляет одни и те же инверсии с символами из групп А и В. То же самое справедливо и для символа j. Если в данной перестановке символы г и j не составляли инверсии, то в новой перестановке появится одна новая инверсия, т.е. число инверсий увеличится на единицу. Если же символы г и j в данной перестановке составляли инверсию, то в новой перестановке она пропадет, т.е. число инверсий уменьшится на единицу. В обоих случаях четность перестановки меняется.

Теперь рассмотрим общий случай, когда символы г и j в перестановке разделены группой из s символов (s > 0). Здесь перестановка имеет вид:

После транспозиции (г, j) эта перестановка примет вид:

Такое преобразование можно рассматривать как последовательность транспозиций, сперва символа г с символами ki, k,2, . k_s, j, a затем символа j с символами k_s, . ki, поэтому рассматриваемая транспозиция эквивалентна последовательности из 2 s + 1 транспозиций стоящих рядом символов. При этом четность перестановки будет меняться нечетное число 2 s + 1 раз, т.е. данная и полученная перестановки имеют разную четность. ?

Теорема 1.3. Число четных перестановок из п символов при п > 2 равно числу нечетных перестановок из п символов и составляет п!/2.

math serfer .narod.ru

где — функция целочисленного аргумента. Здесь символ (большая греческая буква «сигма») означает суммирование. Запись внизу символа суммирования показывает, что переменная, которая меняет свои значения от слагаемого к слагаемому, обозначена буквой и что начальное значение этой переменной равно . Запись вверху обозначает последнее значение, которое принимает переменная .

1) .

2) . Так как в правой части стоит сумма геометрической прогрессии с первым членом равным и знаменателем прогрессии равным , то эту сумму легко найти

3) .

4) .

5) .

В курсе линейной алгебры чаще всего будут встречаться суммы вида . Здесь переменная с индексом рассматривается как функция от своего индекса. Поэтому

С помощью знака суммы формулу (10.1) скалярного произведения векторов можно записать так:

( 14 .2)

где для трехмерного пространства , для плоскости .

Для единообразия будем считать, что

и говорить, что это сумма, содержащая одно слагаемое.

в правой части никакой буквы />нет, значит, и результат от />не зависит.

Доказательство этого предложения предоставляется читателю.

( 14 .3)

Это предложение является частным случаем следующего утверждения.

( 14 .4)

Раскроем скобки в правой части этого равенства. Получим сумму элементов при всех допустимых значениях индексов суммирования. Слагаемые сгруппируем по-другому, а именно, сначала соберем все слагаемые, у которых первый индекс равен 1, потом, у которых первый индекс равен 2 и т.д. Получим

Заменив в этом равенстве в левой части его выражением через знаки суммирования, получим формулу (14.4).

Нужно помнить, что двойная сумма означает сумму элементов для всех допустимых значений индексов суммирования. По этой же причине, если встречается запись, содержащая подряд три или более символов суммирования, то порядок расстановки этих символов можно менять произвольно.

Если границы изменения всех индексов суммирования одинаковы, то можно для суммирования по нескольким индексам использовать запись вида

Иногда под символом суммы указывают дополнительные условия, налагаемые на индексы суммирования. Так запись

означает, что в сумму не включаются величины , . , то есть с равными индексами.

Иногда в записи суммы не указываются границы изменения индексов, например,

Такая запись используется, когда значения, которые могут принимать индексы, очевидны из предыдущего текста или будут оговорены сразу после окончания формулы.

Суммы и произведения

Операции суммы и произведения относятся к основным алгебраическим операциям. Как правило, на практике приходится сталкиваться с многократными повторениями. Для удобства выполнений операций вводятся символы многократного повторения сложения – «» и умножения – «».

Пусть имеем конечное множество , тогда сумма его элементов записывается как, а произведение –, допускаются также обозначения   . Аналогичные вольности допускаются и при обозначении произведения элементов. Индексi называется скользящей переменной, которая может быть заменена любой другой буквой.

Пусть , тогда при необходимости двойной индексации можно ввести двойное суммирование, например,

.

Для двойной суммы выполняется аксиома коммутативности. В самом деле, имеем

.

Аналогично можно записать и произведение элементов с тем же свойством

.

Пример I.5. Раскрыть двойную сумму .

Решение. Имеем

.

Приближенные вычисления

Множество действительных чисел R широко применяется в математике и ее приложениях. В инженерных расчетах обычно конечный результат представляют в виде десятичной дроби. Но не каждое действительное число может быть точно записано в таком виде. К ним относятся все рациональные с периодом и все иррациональные числа. Их приходится округлять, то есть записывать приближенно. Для того, чтобы иметь n точных знаков после запятой, нужно вычислить не менее чем n+2 знака (т.е. дополнительно 2 разряда) и округлить по известным правилам.

Следует иметь в виду, что если приходится суммировать очень много слагаемых, то накапливается ошибка. Пренебрежение правилами округления, а иногда и при округлении с любой точностью, можно получить принципиально неверный результат. Особенно актуальна проблема оценки ошибок вычисления при нахождении корней уравнений и решения систем уравнений. Например, система уравнений не имеет решений (система несовместна), а при округлении правой части второго уравнениясистемаимеет множество решений.

При нахождении корней уравнения любое округление в сторону уменьшенияприводит к отсутствию действительных корней.

II. Элементы линейной алгебры § 1. Матрицы и определители 3, 7

Определение. Матрицей размера mn называется совокупность mn элементов, представленная в виде таблицы, состоящей из m строк и n столбцов

,

где – элемент матрицы A, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца, , , .

Матрица размера 1n или m1 называется матрицей-строкой или матрицей-столбцом соответственно (или вектором).

Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк называется ее порядком или размером. Матрица A порядка n имеет вид:

Элементы квадратной матрицы размера n, стоящие на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами, то есть , , …, , образуют главную диагональ, а сумма элементов главной диагонали называется следом матрицы. Соответственно элементы , , …, , лежащие на прямой, соединяющей правый верхний и левый нижний углы матрицы, образуют побочную диагональ.

Мы будем рассматривать числовые и функциональные матрицы.

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называют нулевой.

Определение. Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю, называется единичной и обозначается

Определение. Квадратная матрица, у которой элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной.

Определение. Матрица А Т называется транспонированной к матрице A, если у нее каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером.

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Двойная сумма , стоящая в (4.6.5) справа от множителя F, есть сумма того же вида, который рассматривался в лемме 4.5.4, если ввести множество K — h — 7 — ( т), пробегающее в Д — ( r) JVt все сочетания с т элементами.  [4]

Двойная сумма представляет собой функцию G ( S) ( 5), но без нулевого члена. Таким образом, функция G ( S) — трансформанта функции распределения системы точек — оказывается применимой и для рассмотрения рассеяния различно ориентированными структурными единицами.  [5]

Двойная сумма вычисляется в результате обращения S2: s ( j, 1, 10, s ( k, 2, 12, sqrt ( j f 2 k 2))); которое является рекурсивным.  [6]

Последняя двойная сумма описывает суперпозицию множества колебаний с двукратными собственными частотами.  [7]

Последняя двойная сумма , если вспомнить принятое в гл.  [8]

Двойную сумму можно вычислить, составив аналог корреляционной таблицы, в которой пишется в каждой клетке произведение пц на Т) у.  [9]

Но двойная сумма в (2.4.5) при данном т имеет k слагаемых.  [10]

Поэтому двойная сумма по тг и mz в (1.9) может быть заменена На одинарную.  [11]

В двойную сумму любой ток схемы, например ток /, входит дважды и притом с разными знаками.  [12]

В двойную сумму любой ток схемы, например ток Jmq, входит дважды и притом с разными знаками.  [13]

В двойную сумму любой ток схемы, например, ток / mq входит дважды и притом с разными знаками.  [14]

Раскройте двойную сумму ( А АЧ, подробно выписав каждый член суммы.  [15]