18. Изолированные особые точки
Напомним определение. Точка называется особой точкой аналитической функции , если в ней аналитичность ее нарушается.
Определение 2. Точка называется изолированной особой точкой функции , если существует окрестность этой точки с исключенной точкой , в которой аналитична, кроме самой точки .
Существует три типа изолированных особых точек. Приведем их определения.
Определение 3. Точка называется устранимой особой точкой , если разложение ее в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит главной части.
Определение 4. Точка называется полюсом кратности N функции, если в разложении ее в ряд Лорана в окрестности точки главная часть содержит конечное число членов, причем младшим отличным от нуля коэффициентом является .
Определение 5. Точка называется существенно особой точкой функции , если главная часть ее разложения в ряд Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число членов.
Приведем критерии типа изолированных особых точек.
1) для того, чтобы точка была устранимой особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы .
2) для того, чтобы точка была полюсом кратности N функции, необходимо и достаточно, чтобы , .
3) для того, чтобы точка была существенно особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы .
Полезна следующая теорема. Для того, чтобы точка была полюсом порядка N функции, нужно, чтобы она была нулем N — го порядка функции (связь между нулями и полюсами).
Пример 1. Для функции особой точкой является . Имеем — есть устранимая особая точка.
Пример 2. Для функции является особой точкой. Так как — это полюс. Так как для функции т. является нулем пятого порядка, то — полюс пятого порядка функции .
Пример 3. Для функции является особой точкой. Разложение в ряд Лорана: в главной части содержит бесконечное число членов: это существенно особая точка.
Пример 4. Найти все особые точки функции и определить их характер.
Решение. Особыми точками являются точка и точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Имеем , откуда , причем эти точки являются нулями первого порядка. Следовательно, в точках , функция имеет простые полюса. Точка не является изолированной особой точкой, так как она является пределом полюсов: : это означает, что любая окрестность точки содержит бесконечное число особых точек .
Задачи для самостоятельного решения
У нижеследующих функций найти нули и определить их порядки:
132. . 133. . 134. . 135. . 136. .
Найти порядок нуля для следующих функций:
138. . 139. . 140. .
Определить характер особой точки для следующих функций:
142. . 143. . 144. .
Найти особые точки и определить их характер у следующих функций:
145. . 146. . 147. . 148. . 149. .
Особые точки функций комплексного переменного
Опр. Особой точкой функции 
называется точка в которой 
не определена или не дифференцируема.
Опр. Особая точка называется изолированной, если 
такая ее окрестность, в которой нет других особых точек.
Утв. Если 
— изолированная особая точка 
, то в окрестности 
, 
раскладывается в ряд Лорана.
Классификация особых точек
Опр1. Особая точка называется устранимой, если в ряде Лорана в окрестности этой точки отсутствует главная часть.
Опр2. Изолированная особая точка называется полюсом, если главная часть ряда Лорана в окрестности этой точки имеет конечное число членов:
Число N называется кратностью (порядком полюса).
Утв. Если 
— полюс 
, то 
.
Док-во: 
Опр3. Изолированная особая точка называется существенно особой, если главная часть разложения в ряд Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число членов.
Связь между нулем и полюсом
Утв1. 
имеет в точке 
нуль порядка n 
имеет в точке 
полюс порядка n.
Док-во: <
>
Утв2. 
имеет существенно особую точку в точке 
имеет в 
неизолированную особую точку ИЛИ существенно особую точку.
;
;
; 
;
Таким образом, получаем не изолированную особую точку.
Утв3. Если 
,
,
,
то 
имеет при:
1)m
n устранимую особую точку,
2)m>n полюс порядка n-m.
;
Если 
-существенно особая точка функции 
, то 
.
1)
а) 
-сходится при 
сходится при 
б) Предположим противное:
ограничена в окрестности точки 
.
в) 
при 
(т.е. 
ограничена в окрестности 
).
г)В круге 
ограничена, как непрерывная функция в замкнутой области.
д) Из б), в), г) следует 
ограничена на всей комплексной плоскости.
е) 
ограничена на С, 
аналитическая, по теореме Ляувилля 
противоречие.
2) 
а) 
имеет не изолированную особую точку.
б) 
-изолированная особая точка 
имеет изолированную особую точку в 
имеет существенно особую точку 
по Утв2 
имеет существенно особую точку в 
по 1) 
Особые точки в бесконечности
Утв. Если 
-изолированная особая точка 
, то 
Пусть 
. Раскладываем 
в окрестности нуля:
.
Опр. 
-изолированная особая точка. 
называется вычетом, где 
— коэффициент при -1 степени в разложении ряда Лорана: 
Основная теорема о вычетах.
Если G – односвязная область, Г – замкнутый контур, Г ограничевает G, G содержит конечное число изолированных особых точек 
функции 
, то
.
Г
G
. 
. 
.
Окружит каждую особую точку 
окружностью 
так, чтобы внутри 
не было других особых точек, и чтобы 
и 
не пересекались(i
j).
.
Утв. Если 
— устранимая особая точка 
, то 
(Т.к. главная часть ряда Лорана не содержит ни одного члена 
)
а) Утв. Если 
-простой полюс 
(полюс кратности 1), то 
.
, 
имеет простой полюс.
б) Утв. Если 
,
,
,
, то 
.
-полюс I порядка 
Утв. Если 
-полюс порядка n 
, то 
.
Переходим к 
и делим на 
:
;
Опр. 
— изолированная особая точка 
,
, где Г- замкнутый контур.
Утв. Если 
, то 
.
1) 
.
, 
при 
3)
4) 
Теорема. Если 
-изолированная особая точка, кроме 
имеется конечное число особых точек, то 
Возьмем замкнутый контур С, охватывающий все особые точки, кроме 
;
;
;
Опр. Логарифмическим вычетом называется:
, если С – замкнутый контур, 
— аналитическая внутри С и на нем за исключением конечного числа особых точек, все особые точки лежат внутри С, все особые точки – полюсы.
Утв1. Если 
, 
— нуль кратности 
фунции 
, то 
.
Для функции 
— полюс I порядка.
.
Утв2. Если 
-полюс кратности n функции 
, то 
.
.
Теорема. Логарифмический вычет функции 
относительно контура С равен приращению 
аргумента 
при обходе контура С, деленному на 
, равно разности между числом нулей М и числом полюсов N функции 
в облости D, ограниченной контуром С:
Д
ок-во:
1) 
2) Внутри С 
будет иметь конечное число нулей, т.к. она аналитическая в замкнутой области. В силу Утв1 и Утв2 : 
3) 
ЕСЛИ G – односвязная область, С – замкнутый контур, ограничивающий G, 
и 
аналитические в G и на С, 
на С, 
на С, 
— сумма кратностей всех лежащих в G нулей функции 
, 
— сумма кратностей всех лежащих в G нулей функции 
+
, ТО 
.
1) 
2
) 
3) 
Вектор из начала координат в точку, при такой конфигурации образа С, ни одного оборота не совершит. 
.
4) 
Пример. Найти количество нулей, которые имеет функция 
в круге 
.
,
при 
: 
имеет нуль кратности 5 
w имеет 5 нулей.
Утв. Если 
, то 
имеет n корней.
С: 
имеет нуль кратности n, т.о. 
имеет n нулей.
Теорема. Если 
, 
аналитическая в G 
, то 
— аналитическая.
1) 
аналогично доказываем 
Из пунктов 1) и 2) следует, что для F выполнены условия Коши-Римана, следовательно F аналитическая.
Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
Теорема. Если 
при x=z, 
-изолированная особая точка f(z), 
имеет в 
нуль не ниже II порядка, 
не имеет особых точек на действительной оси, 
имеет конечное число особых точек, то 
, где 
распространяется на особые точки, лежащие выше действительной оси.
Возьмем круг такого радиуса, чтобы на нем и вне его не было особых точек, кроме бесконечности.
.
Пример. Найти интеграл:
.
, 
;
Опр. Функция 
называется оригиналом, если:
1) 
определена при 
, 
и 
являются кусочно-непрерывными на любом конечном интервале,
2) при 
3)
.
Утв. Если 
-многочлен степени n, 
то 
.
, 
по правилу Лопиталя 
;
.
Опр. 
называется изображением, соответствующим оригиналу f(t), если F(p) – интеграл Лапласа:
; 
.
Теорема. Если f(t) оригинал, то 
— изображение 
,
1) 
сходится в полуплоскости 
,
2) 
является в полуплоскости 
аналитической функцией от p.
1)
, таким образом F(p) сходится.
2) Аналитичность следует из теоремы, доказанной в предыдущей лекции.
След. Если F(p) – изображение некоторого оригинала, то 
Зам. Если 
, то F(p) сходится равномерно.
Свойства преобразования Лапласа:
.
Теорема о дифференцировании оригинала.
Если f(t) – оригинал, 
-оригинал, F(p)-изображение f(t), 
,
то 
.
.
Следствие. Если 
-оригиналы, то 
.
далее по индукции.
Теорема о дифференцировании изображения.
Если 
, то 
.
Теорема об интегрировании оригинала.
Если 
, то 
.
1) Докажем, что 
-оригинал. а) кусочная гладкость – по свойству интеграла.
б) 
, t>0 –очевидно.
в) 
2) 
.
.
Теорема об интегрировании изображения
Если f(t) – оригинал, 
– оригинал, то 
.
.
, 
.
Теорема о запаздывание
Если 
-оригинал, 
, 
то 
.
.
Если 
, то 
.
1. 
.
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
.
7. 
.
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
Опр. Сверткой функций f и g называется
Утв. Если 
, g(t) – оригиналы, то f*g(t) – оригинал.
Пункты 1) и 2) в определении оригинала очевидно выполнены. Докажем выполнение пункта 3).
,
, где 
Теорема о свертках.
Если f(t), g(t) – оригиналы, 
, 
, то 
.
Док-во: 
.
Лемма1. Если f(z) – аналитическая в верхней полуплоскости, за исключением, быть может, конечного числа точек, 
— полуокружность в верхней полуплоскости 
.
Док-во: 
;
.
Лемма2. Если f(z) – аналитическая в левой полуплоскости, 
, 
то 
.
.
Если f(z) аналитическая, 
, 
то
.
y
x
Докажем, что 
.
.
2)Если 
аналогично.
3) 
по Лемме 2.
4) Из пунктов 1), 2), 3) следует 
.
Лемма4. Если f(z) аналитическая 
, 
,
то 
Докозательство следует из Леммы3.
Теорема об интеграле Фурье.
Если f(t) кусочно непрерывна и кусочно дифференцируема на R, то 
(сходится абсолютно).
Теорема обращения преобразования Лапласа.
Если f(t) – оригинал, 
, то 
. 
;
;
;
Теорема разложения. 
, для 
выполнены условия леммы Жордана, то 
.
.
;
;
.
Изолированные особые точки функций и полюсы
Важное место в изучении и применении теории функций комплексного переменного занимает исследование их поведения в особых точках, где нарушается аналитичность функции. В частности, это точки, где функция не определена.
Исследование функции в особой точке определяется поведением ее в окрестности этой точки, т.е. исследованием . Очевидно, имеют место три возможности:
Исследование пределов функции в комплексной области — задача более сложная, чем в действительной области, так как, согласно определению, переменная стремится к по любому направлению. Вычисление пределов в точках аналитичности не представляет интереса, так как в этих случаях .
Будем рассматривать , где — особая точка.
Пример 4.1. Исследовать существование в случаях a) .
a) В действительной области не существует, так как не равны односторонние пределы , но существует предел второй функции: .
б) В комплексной области, очевидно, не существует, так как он не существует в частном случае .
Но для второй функции полученного выше результата не достаточно, так как рассмотрены только два направления на плоскости — по действительной положительной и действительной отрицательной полуосям.
Рассмотрим еще какое-нибудь направление, например по мнимой оси, т.е.
Сравнивая этот результат с полученным выше , заключаем, что в комплексной области не существует.
Аналогично можно показать, что не существует , хотя для случаев и (по действительной и мнимой осям).
Эти простые примеры показывают, что исследование функции в особой точке с помощью может представлять большие сложности. Но, с другой стороны, в примере 3.36 при вычислении пределов функции в особых точках было использовано разложение функции в ряд.
Представление функции в виде ряда как один из способов ее аналитического задания, может быть использовано для исследования функции, в частности, в особых точках.
Будем рассматривать изолированные особые точки функций, т.е. особые точки, для каждой из которых существует такая ее окрестность, в которой нет других особых точек функции.
В частности, конечная особая точка является изолированной особой точкой функции , если существует число эта точка- единственная особая точка , а в проколотой окрестности, т.е. в функция аналитическая.
Бесконечно удаленная особая точка является изолированной особой точкой функции , если существует число , такое, что в области эта точка — единственная особая точка , а в кольце функция — аналитическая.
Согласно теореме Лорана, функция, аналитическая в кольце, в частности, в проколотой окрестности особой точки, может быть представлена рядом Лорана. Это позволяет свести исследование функции в изолированной особой точке к исследованию соответствующего ряда. Особенности рядов как представления аналитических функций можно заметить, проанализировав некоторые примеры предыдущих лекций.
Пример 4.2. Исследовать поведение и вид ряда Лорана в окрестности особой точки ; б) ; в) .
Так как особая точка является отсутствие главной части в разложении ее в окрестности точки .
б) Для функции в соответствующем разложении главная часть содержит одно слагаемое, а предел функции равен бесконечности, . Этот результат можно обобщить: главная часть разложения функции по степеням содержит конечное число слагаемых:
и функция может быть записана в виде , а поэтому .
Типы особых точек функции
В зависимости от трех случаев поведения функции в особой точке (исследования ) особые точки функций делят на три типа — производится классификация особых точек. В качестве определения типа особых точек можно выбрать либо поведение функции в особой точке, либо вид ряда Лорана. Выберем первый подход.
Изолированная особая точка функции называется:
Замечание 4.1. Если в случае устранимой особой точки положить , то будет аналитической в и точку можно считать правильной, т.е. не особой. В этом случае говорят, что в точке устранена особенность.
Пример 4.3. Определить тип особой точки для функций .
На основании результатов решения примеров 4.1, 4.2 заключаем, что ; полюсом для при любом и .
Пример 4.4. Определить тип особой точки и .
Рассмотрим . Для удобства введем обозначение . Для функции получим (см. пример 4.2), поэтому . Для функции точка не существует (см. пример 4.1).
Пример 4.5. Найти все конечные особые точки функций: а) б) и определить их тип.
Особыми точками дробей являются особые точки числителя, особые точки знаменателя и нули знаменателя.
а) Так как числитель и знаменатель функции — функции аналитические, то ее особыми точками являются только нули знаменателя, т.е. корни уравнения . Это четыре точки , или в алгебраической форме: . Заметим, что точки расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса .
Очевидно, все точки изолированные и являются полюсами, так как для любой точки .
б) Особыми точками функции являются нули знаменателя, т.е. точки, для которых или , а также являются полюсами, так как . Точка (. Точку , так как .
Теоремы Сохоцкого и Пикара
Для исследования поведения функции в существенно особой точке имеют место следующие две теоремы.
Теорема 4.1 (Сохоцкого). Если — существенно особая точка функции , то для любого существует последовательность , сходящаяся к точке , такая, что .
Теорема 4.2 (Пикара). В любой окрестности существенно особой точки функция принимает любое значение (причем бесконечное число раз) кроме, быть может, одного.
Пример 4.6. Исследовать поведение следующих функций в существенно особых точках, проиллюстрировать теоремы Сохоцкого и Пикара:
В примерах 4.3 и 4.4 показано, что точки и являются существенно особыми точками соответствующих функций. Исследуем пределы функций.
а) Для иллюстрации теоремы Сохоцкого выбираем , если , если , то есть для последовательности , такой, что и , и для последовательности , такой, что и .
Аналогично исследуем функцию . Для числа , где и тогда , а для , где и тогда .
Справедливость теоремы Пикара для этих функций следует из рассмотрения уравнений , которые, как известно, имеют бесконечное множество решений для любого .
Например, для функции имеем . Отсюда получаем
В частности, функция в любой окрестности точки принимает значение бесконечное множество раз: в точках (рис. 4.1).
б) Точка , можно повторить рассуждения предыдущего пункта для функции и точки .
Ряд Лорана в окрестности особой точки
В предыдущем разделе на примере простых функций (см. пример 4.2) было высказано предположение, что вид ряда Лорана в окрестности особой точки зависит от типа особой точки и потому задача исследования функции в особой точке может быть сведена к исследованию соответствующего ряда Лорана . Подтверждением этого предположения в общем случае является доказательство соответствующих утверждений.
1. Для того чтобы особая точка функции была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если — устранимая особая точка, то ряд Лорана функции имеет вид
для — конечной точки , и (для )
2. Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов. Ряд Лорана функции в случае полюса имеет вид
3. Для того чтобы особая точка функции была ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов. Ряд Лорана функции в случае — существенно особой точки имеет вид
1. Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса.
Так, точка является полюсом порядка функции , если в разложении (4.6) при является полюсом порядка функции , если в разложении (4.7) при .
2. Главная часть ряда Лорана в случае полюса порядка и записывается следующим образом:
а) в случае в виде , или , или, подробнее:
б) в случае в виде , или (см. (4.7)), или, подробнее:
3. Главная часть ряда Лорана в случае существенно особой точки записывается так:
а) в случае в виде , или (см.(4.8)), или, подробнее:
б) в случае в виде или (см.(4.9)), или, подробнее:
Пример 4.7. Определить тип особых точек функций: а) ; б) .
Особыми точками функций являются . Чтобы определить тип особой точки, используем разложения функций в окрестности каждой точки, полученные в примерах 3.31 , 3.33 , 3.34.
a) . В главной части разложения — один член ряда: , здесь , все для — полюс первого порядка, т.е. простой полюс функции .
Аналогично из разложения получим такой же результат: точка .
Разложение . Функции в окрестности .
б) Из разложения следует, что .
Из разложения , где и все для .
Разложение в окрестности .
Пример 4.8. Определить тип конечных особых точек для функций:
а) Используем разложения функций по степеням
Убеждаемся, что для всех указанных функций точка
Для первой функции при в разложении отсутствует главная часть — совокупность членов с отрицательными степенями. Следовательно, согласно п.1 утверждения 4.1, точка является устранимой особой точкой.
При является полюсом (см. п.2 утверждения 4.1). Кроме того, так как при , то, согласно п. 1 замечаний 4.2, заключаем, что при . Рассуждая аналогично, получаем, что .
Сравнивая разложения функций по степеням в окрестности (формулы (4.4),(4.6),(4.8) при ) и Утверждение 4.2
1. Чтобы , необходимо и достаточно, чтобы точка была устранимой (или не особой) для .
2. Чтобы функции , необходимо и достаточно, чтобы точка была полюсом порядка функции .
3. Чтобы , необходимо и достаточно, чтобы точка была существенно особой точкой функции .
Замечание 4.3. Как и в случае конечной особой точки , в которой функция не определена, но (см. утверждение 3.5) , так и для , устранимую особую точку . Порядок нуля можно определить как порядок нуля функции в точке .
Пример 4.9. Исследовать точку ; б) ; в) .
Для определения типа особой точки рассмотрим пределы .
а) Так как , то точка , получим, что и рассмотрим функцию , то есть . Так как является нулем третьего порядка функции , то .
б) Точка . Заметим, что для функции точка не является особой.
в) Точка — устранимая для .
Правила определения порядка полюса
Используя формулу (4.6) разложения функции в ряд в окрестности полюса, можно получить практически удобные правила определения порядка полюса, не требующие записи разложений в ряд в каждом конкретном случае.
Пусть — полюс порядка функции . Разложение (4.6), где главная часть имеет вид (4.10) , преобразуем следующим образом:
где — функция, аналитическая в точке , как сумма степенного ряда, записанного в скобках, и .
Далее рассмотрим функцию , то есть или , где — аналитическая в точке и . Из этого, согласно утверждению 3.5, следует, что является нулем порядка функции . Можно доказать и обратное утверждение.
А именно, если функция представлена в виде , где — функция, аналитическая в точке , и , то — полюс порядка функции , а также, если — нуль порядка функции , то для функции эта точка является полюсом порядка .
Кроме того, рассмотрим частное , где точка является нулем порядка и нулем порядка , то есть . При , из чего, с учетом приведенных выше рассуждений, находим, что — полюс порядка . Заметим, что при точка — устранимая особая точка; случай Утверждение 4.3
1. Для того чтобы точка была полюсом порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы ее можно было записать в виде
2. Для того чтобы точка была полюсом порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы она была нулем порядка функции (связь нулей с полюсами).
3. Если точка является нулем порядка и нулем порядка , то она — полюс порядка для .
Пример 4.10. Определить порядок полюсов функций из примеров: а) 4.7 ; б) 4.8.
а) Функцию запишем в виде и , т.е. в виде (4.14), из чего заключаем, что обе особые точки из находим, что следует: , и формула (4.14) не применима, так как . Воспользуемся п.3 утверждения 4.3. В случае функции , точка для знаменателя. Поэтому она — полюс порядка для дроби . Для функции точка
1. Так как конечными особыми точками рациональной дроби являются только нули знаменателя, то это либо полюсы, либо устранимые особые точки функции.
2. Такое же заключение можно сделать и для функции вида , где — аналитическая функция. При этом, используя определение устранимой особой точки (4.1) и правила определения порядка нуля и полюса (утверждения 3.5 и 4.3), можно сделать следующие выводы относительно особой точки — нуля порядка знаменателя:
г) — нуль порядка функции , если — нуль порядка функции и .
Пример 4.11. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:
Конечными особыми точками этих рациональных дробей являются нули знаменателя. Чтобы для каждой их этих точек определить, является ли она полюсом или устранимой особой точкой, нужно, согласно определению, найти предел функции в этой точке. В случае полюса, т.е. когда , далее следует определить его порядок. Для этого используется утверждение 4.3.
Можно поступить иначе — согласно замечанию 4.4. Для этого нужно найти и нули числителя.
а) Особые точки функции . Для точки можно применить формулу (4.14) и из , где и , получить, что эта точка — полюс второго порядка. Для точки формула (4.14) не применима, так как из имеем . Поступаем далее согласно замечанию 4.4. Раскладываем на множители числитель и записываем функцию
б) Особые точки функции — корни уравнения . Все эти точки: — простые нули знаменателя, и так как числитель в этих точках не обращается в нуль, то они — простые полюсы функции .
Пример 4.12. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:
Рассуждаем и производим действия, как в предыдущем примере. Заметим при этом, что в случае "б" в отличие от предыдущего примера особая точка является нулем числителя.
а) Раскладываем числитель и знаменатель на множители, записываем функцию . Получаем: — простой полюс функции ; — полюс второго порядка.
б) Конечные особые точки функции: ; функцию записываем в виде . Получаем: — устранимая особая точка, так как , а точки и — простые полюсы.
Пример 4.13. Найти конечные особые точки функций и определить их тип:
Конечными особыми точками этих функций вида , где — аналитическая функция, являются только нули знаменателя.
а) Особые точки функции: . Точки и — простые полюсы, так как числитель в этих точках не обращается в нуль и функцию можно представить в виде — точка или . В точках числитель обращается в нуль. Очевидно, это простые нули числителя, и поэтому его можно записать в виде — точка или . Тогда для функции получаем
Так как для или , то эти точки — устранимые особые точки функции .
б) Особые точки функции: . Точки и — простые полюсы.
Для точек и проводим рассуждения, как в предыдущем пункте, и находим, что они — устранимые особые точки .
Пример 4.14. Определить тип особой точки ; б) .
Решение. В точке функций
находим, что и нуль пятого порядка для знаменателя . Следовательно, .
б) Используя правила определения порядка нуля, в частности, как и в предыдущем пункте, раскладывая функции в ряды по степеням , находим, что для числителя и для знаменателя. Следовательно, .
Пример 4.15. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:
Конечными особыми точками функций, как и в предыдущих примерах, являются нули знаменателя.
а) Особые точки функции — корни уравнения , или , то есть . Эти точки — простые нули знаменателя, а поскольку числитель не обращается в нуль , то все они — простые полюсы функции.
б) Особые точки функции: и . Точка является нулем третьего порядка знаменателя, a — нули второго порядка. Так как в точках числитель в нуль не обращается, то эти точки — полюсы второго порядка для . Точки и для функции .
Пример 4.16. Определить тип особой точки ; б) ; в) ; г) .
а) Из разложений
находим, что для числителя и — для знаменателя, поэтому она — устранимая особая точка. Так как
то, полагая , можно считать, что , причем (см. замечания 4.4).
б) Из разложений
находим, что для числителя и — для знаменателя. Поэтому .
в) Как и в предыдущих пунктах, находим, что для числителя и — для знаменателя. Поэтому .
Определение порядка полюса в бесконечно удаленной точке
Рассмотрим бесконечно удаленную точку. Тип особой точки можно определить, вычисляя или раскладывая функцию в ряд Лорана (см. примеры 4.4, 4.7). Можно свести задачу к исследованию конечной точки (см. утверждение 4.2 и пример 4.9). В двух последних случаях определяется и порядок полюса.
Практически удобное правило определения порядка полюса для функции , тогда для и можно записать (см. (4.14)). Поэтому, обозначив , для получим
Представление функции в виде (4.15) является необходимым и достаточным условием полюса порядка функции в точке Замечание 4.5. Используя формулу (4.15), нетрудно убедиться, что если для и для , то для функции .
Пример 4.17. Определить тип особой точки для функций: а) ; б) .
Так как в обоих случаях, то Первый способ. Разложение функции по степеням имеет вид , все , и по определению (см. формулы (4.7), (4.11)) заключаем, что .
Второй способ. Обозначим , получим функцию , для которой . Поэтому, согласно п. 2 утверждения 4.2, точка для .
Третий способ. Запишем функцию в виде и, так как функция — удовлетворяет условиям формулы (4.15), получим, что для .
б) Разложение функции в ряд по степеням представляет некоторые трудности. Используем другие способы.
Первый способ. Обозначим , получим , или .
Поэтому является для и, следовательно, для .
Второй способ. Представим функцию в виде или , где , и, согласно формуле (4.15), для .
Третий способ. Используем замечание 4.5. Можно определить порядок полюса для дроби , зная соответствующие порядки полюсов числителя и знаменателя. Здесь, очевидно, для числителя и — для знаменателя (см. формулы (4.7), (4.11)). Поэтому для .
Пример 4.18. Определить порядок полюса в точке для следующих функций: а) ; б) .
Первый способ. Запишем разложения в ряд по степеням ;
Из разложений следует, что для каждой из заданных функций.
Второй способ. Обозначим и определим порядок полюса функции в точке
В каждом случае получаем представление функции в виде , следовательно, для . Поэтому для .
Третий способ. Представим функции в виде (4.15):
Так как удовлетворяет условиям формулы (4.15), то заключаем, что для .
Четвертый способ. Используем замечание 4.5, сравним порядки полюсов в точке и . Для первой функции для числителя и для знаменателя; для второй для числителя и для знаменателя. Следовательно, для каждой из функций .
Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций
Пусть — особая точка функций и и тип особой точки для каждой из функций известен. Требуется определить тип особой точки для функций . Рассмотрим следующие случаи.
Первый случай. Пусть точка го является полюсом порядка для функции и полюсом порядка для функции .
а) При исследовании суммы воспользуемся формулой (4.14) (п.1 утверждения 4.3) и запишем слагаемые в виде
При для суммы получаем или , где . Если , то для функции . Однако для функций может выполняться условие и' следовательно, . В этом случае формула (4.14) не применима и точка не будет полюсом порядка . В соответствии с п.3 утверждения 4.3 порядок полюса будет меньше, чем в случае , где — порядок нуля функции . Если , то — устранимая особая точка для .
Таким образом, при сложении функций порядок полюса в точке может оказаться равным или меньше, чем наибольший из порядков слагаемых.
б) Для исследования произведения воспользуемся формулой связи нулей с полюсами (п.2 утверждения 4.3) и рассмотрим вспомогательные функции . Для первой из этих функций , для второй соответственно . а поэтому для она будет . Согласно п.2 утверждения 4.3, является для .
в) Аналогичные рассуждения для частного приводят к результату: при является для .
Второй случай. Пусть точка является полюсом, устранимой особой точкой или не особой для и существенно особой для . Так как не существует, то по свойству пределов он не существует для каждой из рассматриваемых комбинаций . Следовательно, для каждой из них — существенно особая точка. Заметим, что для функции эта точка является либо существенно особой точкой, либо не является изолированной особой точкой. Последнее проиллюстрировано в примере 4.5 для функции .
Третий случай. Пусть — полюс порядка для и устранимая особая точка для . Разложения этих функций в ряд в окрестности имеют вид (4.6) и (4.4) соответственно.
а) При сложении рядов в общей области сходимости получится ряд, главную часть которого будет составлять главная часть ряда функции . Следовательно, для точка — полюс порядка .
б) Аналогичные рассуждения приводят к заключению, что такой же результат получится и для , если .
Если и для функции , то из равенства
в) Для частного при условии из равенства заключаем, что для .
Если и для , то, используя условие кратного нуля, из равенства
заключаем, что является для , где — порядок полюса функции — порядок нуля функции в точке .
1. Пусть точка является для функции и для функции . Тогда:
а) для она будет , а при — устранимой особой точкой;
б) для она является ;
в) для она будет .
2. Пусть — существенно особая точка для функции и устранимая особая точка или полюс для функции . Тогда — существенно особая точка для .
3. Пусть точка является для функции и устранимой особой точкой для функции . Тогда:
а) для она будет ;
б) для она является , если , и , если и — порядок нуля в точке ;
в) для она будет , если , и , если и — порядок нуля в точке ;
4. Если точка для , то она существенно особая точка для сложной функции . В этом можно убедиться, рассматривая ряды для и в окрестности .
Пример 4.19. Определить тип особой точки , если , где , а функция определяется следующим образом:
Очевидно, точка для и для в первых двух случаях; в последнем случае для .
Для каждого из указанных случаев задания записываем разложение функции по степеням , из которого определяем тип точки
Пример иллюстрирует п.1 утверждения 4.4.
Пример 4.20. Найти особые точки функции . Определить их тип.
Особыми точками функции являются особые точки первого слагаемого , особая точка второго слагаемого являются простыми нулями знаменателя и поэтому простыми полюсами первой функции; для второго слагаемого эти точки не являются особыми. Поэтому точки -простые полюсы (см. п. 3 "а" утверждения 4.4).
Точка — это или простой полюс, или устранимая особая точка (см. п.1 "а" утверждения 4.4). Преобразуем разность в дробь: . Точка . Действительно,
Точка содержится бесконечное множество особых точек вида . Эта точка- предельная точка полюсов. Заметим, что для знаменателя первого слагаемого функции она — существенно особая точка.
Пример 4.21. Найти особые точки следующих функций, определить их тип:
Обозначим — первое слагаемое, — второе слагаемое функции , т.е. имеем .
а) Для точка является существенно особой точкой, так как это существенно особая точка для множителя этой функции. Поэтому она — существенно особая точка для (п. 2 утверждения 4.4).
Точки — полюсы второго порядка функции , так как ее можно записать в виде , где , а для знаменателя эти точки — нули второго порядка . Так как для эти точки не особые, то — полюсы второго порядка для (п. 3 утверждения 4.4).
С помощью аналогичных рассуждений получаем, что .
Особыми точками являются корни уравнения . Все они — простые нули знаменателя- функции , а потому — простые полюсы для . Так как эти точки не являются особыми для , то для — это простые полюсы.
Точка — неизолированная особая точка .
б) Точка — полюс дроби является существенно особой точкой для (п.4 утверждения 4.4), поэтому она — существенно особая точка для и, следовательно, для .
Точка , так как можно записать . Поскольку , то она — простой полюс для .
Точка , так как она — простой нуль и для числителя, и для знаменателя дроби . Так как , то она — устранимая особая точка для .
Особыми точками являются простые нули знаменателя — корни уравнения . Все точки
Изолированные особые точки и их классификация. Примеры
Пусть функция f(z) аналитична в некоторой окрестности точки z = a и не аналитична в самой точке a . Тогда точка z = a называется изолированной особой точкой функции f(z) .
Особые точки могут быть и не изолированными: например, функция f(z) = 
имеет в сколь угодно малой окрестности точки
z = 0 точки zn = 
, в которых знаменатель 
функции f(z) обращается в нуль, и, следовательно, нарушается аналитичность функции f(z) . Кроме того, к неизолированным особым точкам относятся точки ветвления (например, z = 0 у функций 
и Ln z ), в окрестности которых функция не имеет ни одной аналитической ветви (т. к. обход вокруг точки ветвления приводит к переходу с одной ветви на другую).
