Пусть r коммутативное кольцо докажите что факторкольцо

3.3.4 Фактор-кольцо

Понятие идеала кольца аналогично понятию нормального делителя H для группы G . Это позволяет подойти к построению фактор-кольца таким же образом как и при построении фактор-группы G/H. Пусть – идеал кольца . Так как. основу кольца составляет аддитивная абелева группа , поэтому в качестве элементов фактор-кольца можно выбрать смежные классы , где , которые называются классами вычетов по модулю идеала кольца.

Теорема. Множество аддитивных смежных классов образуют фактор-кольцо с операциями:

1. (3.70)

Кроме того, естественное отображение вида , является эпиморфизмом ( – сюрьективно).

Доказательство. В абелевой группе любая подгруппа нормальна т.к. поэтому выражение (3.69) определяет абелеву группу фактор-кольца , а отображение является эпиморфизмом аддитивных абелевых групп G и . Остается проверить, что выражение (3.70) однозначно определяет операцию умножения на множестве аддитивных смежных классов т.е. не зависит от выбора представителей соответствующих классов.

Пусть , представители двух смежных классов , и т.е. , тогда где .

Остается показать, что . Действительно, т.к. и – идеал в K, то т.к. .

Поэтому находятся в одном смежном классе с элементами , а это означает что произведение (3.51) определено правильно.

Пример. Рассмотрим кольцо целых чисел . Идеалом этого кольца является т.е. множество целых чисел, делящихся на m без остатка.

Аддитивный смежный класс кольца K по идеалу имеет вид , где .

Множество аддитивных смежных классов содержит ровно классов вычетов по модулю , и они имеют вид:

Таким образом, элементами фактор-кольца являются классы вычетов по модулю . Операции , на фактор-кольце задаются на классах вычетов как и ранее:

При фиксированном m будем, как и ранее, использовать сокращенные записи :

Понятие фактор-кольца по идеалу кольца позволяет сформировать основную теорему о гомоморфизме колец.

Теорема (о гомоморфизме колец). Пусть – гомоморфизм кольца на кольцо , . Тогда кольцо изоморфно фактор-кольцу , причем изоморфизм может быть выбран так, что т.е. для всех имеем , где – естественный гомоморфизм кольца на фактор-кольцо . Другими словами, теорема утверждает, что диаграмма

Доказательство. Пусть – произвольный элемент кольца , и – некоторый элемент кольца , такой, что . Тогда , поскольку , следовательно, . С другой стороны, если элемент при гомоморфизме отображается в элемент , т.е. , то , и поэтому , т.е. . Следовательно, множество всех элементов кольца , которые при гомоморфизме отображаются в элемент , является классом вычетов кольца по модулю , к которому принадлежит элемент , т.е. классом .

Обозначим символом отображение фактор-множества (множества классов вычетов по модулю ) в , которое каждому классу вычетов ставит в соответствие элемент , в который при гомоморфизие отображаются все элементы класса , т.е. , где – любой элемент из класса вычетов . Очевидно, что является сюрьективным отображением фактор-кольца на кольцо . Отображение является гомоморфизмом. Действительно, пусть – два произвольно выбранных элемента кольца . Тогда , и поэтому , , т.е. .

Докажем теперь, что отображение инъективно т.е. образы различных элементов различны. Действительно, если , то . Это действительно так. Если , то по определению т.е. . Поэтому и . Отсюда и . Следовательно, является изоморфизмом (биективным гомоморфизмом) фактор-кольца на кольцо . Это означает, что существует обратное отображение : ,которое также является изоморфизмом кольца на фактор-кольцо . Рассмотрим теперь отображение . Поскольку – гомоморфизм колльца на , а – изоморфизм кольца на фактор-кольцо , то композиция отображений определяет отображение кольца на фактор-кольцо . Докажем теперь, что . Пусть – произвольный элемент кольца . По определению естественного отображения , . С другой стороны по определению гомоморфизма . Учитывая, что – изоморфизм на имеем . Следовательно . Таким образом , а это означает, что , что и требовалось доказать.

Замечание. Теорема о гомоморфизмах колец доказывает, что естественными гомоморфизмами кольца на его фактор-кольцо по двухстороннему идеалу по существу исчерпываются все его гомоморфизмы.

Алгебра, кольца, доказательство

Пусть R коммутативное кольцо и I⊲R. Нужно доказать, что фактор кольцо R/I является полем <=> когда I!=R и не существует собственного идеала J⊲R с условием I⊊J.

задан 9 Май ’22 19:52

Если ненулевой класс $%[a]\in R/I$% обратим, то найдутся $%b\in R,\ m\in I$%, такие что $%ab+m=1$% в $%R$%. А это равносильно тому, что идеал $%(a,m)$% содержит единицу, а значит совпадает с $%R$%.

Это стандартный факт из учебника, очень просто доказываемый. И на форуме он тоже звучал.

Пусть r коммутативное кольцо докажите что факторкольцо

Определение 1. Кольцом 1) $(R,+,\cdot)$ называется множество $R$ с двумя бинарными алгебраическими операциями сложением и умножением $\cdot$ , связанными законами дистрибутивности. При этом $(R,+)$ — абелева группа, $(R,\cdot)$ — группоид. Иными словами, операции кольца удовлетворяют следующим аксиомам:

операция сложения ассоциативна: $(a+b)+c=a+(b+c)$ для любых $a,b,c\in R$ ;
существует нулевой элемент $\in R$$ такой, что $a+0=0+a=a$ для любого $a\in R$ ;
существует противоположный элемент: для любого $a\in R$ существует $-a\in R$ такой, что $-a+a=a+(-a)=0$ ;
операция сложения коммутативна: $a+b=b+a$ для любых $a,b\in R$ ;
$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ для любых $a,b,c\in R$ ,
$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ для любых $a,b,c\in R$ .

Пример 1. Множество целых чисел $$\mathbb<Z> raquo; /> с операциями сложения <img decoding async$ является кольцом.

Определение 2. Если кольцо $(R,+,\cdot)$ удовлетворяет дополнительному условию

$a\cdot b=b\cdot a$ для любых $a,b\in R$ (коммутативность операции умножения),

Определение 3. Если кольцо $(R,+,\cdot)$ удовлетворяет дополнительному условию

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ для любых $a,b,c\in R$ (ассоциативность операции умножения),

Определение 4. Если ассоциативное кольцо $(R,+,\cdot)$ удовлетворяет дополнительному условию

существует единичный элемент такой, что $a\cdot 1=1\cdot a=a$ для любого $a\in R$ ,

Пример 3. Множество $$\textrm<Mat>_n(\mathbb<Z>) raquo; /> всех матриц порядка <img decoding async$ — произвольное множество и $R$ — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Тогда на множестве $$\mathrm<Hom>(S,R) raquo; /> отображений из <img decoding async$ возникает структура ассоциативного коммутативного кольца с единицей, если положить

$(f\cdot g)(x)=f(x)g(x)$ и
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ для всех $$f,g\in\mathrm<Hom>(S,R) raquo; /> и <img decoding yandex_rtb_R-A-2174240-5$

Мультипликативной единицей служит постоянное отображение , значение которого есть мультипликативная единица кольца $R$ , которое обычно обозначается как . Нулевым элементом служит постоянное отображение $_S:x\mapsto 0$$ , значение которого есть нулевой элемент $$$ кольца $R$ .

Пример 5. Рассмотрим множество групповых гомоморфизмов $$\textrm<End>(G) raquo; /> аддитивной абелевой группы <img decoding async$ от одной переменной над кольцом $R$ также является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей.

Определение 5. Подмножество $S$ кольца $R$ называется подкольцом 5) , если $S$ замкнуто относительно всех операций кольца:

$x+(-y)\in S$ и $x\cdot y\in S$ для всех $x,y\in S$ ,

то есть $(S,+)$ является подгруппой в $(R,+)$ , а $(S,\cdot)$ является подгруппоидом $(R,\cdot)$ . Если кольцо $R$ с единицей 6) , то $S$ также должно обладать этим свойством.

Определение 6. Пусть $\rho$ — двусторонний идеал кольца $R$ . Факторгруппа $(R,+)/(\rho,+)$ с индуцированным умножением $(a+\rho)\cdot(b+\rho)=a\cdot b+\rho$ является кольцом, которое называется факторкольцом 7) $R/\rho$ .

Предложение 1. Операция умножения $(a+\rho)\cdot(b+\rho)=a\cdot b+\rho$ в факторгруппе $(R,+)/(\rho,+)$ определена корректно, то есть не зависит от выбора представителя в смежном классе.

Пример 7. Рассмотрим кольцо целых чисел $$\mathbb<Z> raquo; />. Множество всех целых чисел, кратных фиксированному целому числу <img decoding async$ . Часто $$\mathbb<Z>/m\mathbb<Z> raquo; /> обозначают через <img decoding yandex_rtb_R-A-2174240-9$

Пусть r коммутативное кольцо докажите что факторкольцо

3.3.4 Фактор-кольцо

Алгебра, кольца, доказательство

Пусть r коммутативное кольцо докажите что факторкольцо

Добавить комментарий Отменить ответ