Как найти направляющий вектор прямой

2) Найти направляющий вектор прямой .

§42. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки

Каноническое уравнение этой прямой имеет вид:

а её параметрическое уравнение:

Читателю предлагается самостоятельно проверить, что координаты точек и удовлетворяют как уравнению(42.1), так и уравнению (42.2), при этом точек в (42.2) соответствует значение t=0 , а точке — t=1. Эта прямая единственна как прямая, проходящая через две заданные точки.

§43. Условия параллельности, перпендикулярности, компланарности прямых

4 3.1 Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Возможные случаи взаимного расположения двух прямых:

r(А)=r(В)=1 (43.1)

r(А)=1, r(В)=2 (43.2) (см. рис 43.1)

r(А)=r(В)=2 (43.3) , т.е. вектора , и компланарны и не выполняются случаи 1)и 2) пересекает в единственной точке, ибо случаи 1) и 2) исключают условие (43.3). В частности detB=0 и лежат в одной плоскости.

detB≠0 или r(А)=2, r(В)=3 и находятся в разных плоскостях или скрещиваются. (43.4)

43.2 Угол между прямыми

Угол между двумя прямыми и можно найти как угол между их направляющими векторами и , которые, согласно равенству (24.11) (см.§24), можно найти по формуле:

43.3 Условие ортогональности и перпендикулярности прямых

. Для перпендикулярности прямых и ( и ) к последнему условию надо добавить также равенство (43.3).

§44. Прямая и плоскость

44.1 Взаимное расположение прямой и плоскости

, , ( -направляющий вектор прямой , а — одна из её точек)

: , ( — нормаль к плоскости )

Возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости

(есть одна точка) (44.3)

44.2 Угол между прямой и плоскостью. Условие их перпендикулярности

Заметим, что (см. рис. 44.2) Поэтому (см. формулу (24.11))

44.3 Точка пересечения прямой и плоскости

Если задано общее уравнение прямой

то для того, чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью

надо уравнение плоскости приписать к системе уравнений (37.3) задающих прямую линию , и решить полученную систему из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Решение этой системы и будет координатами точки пересечения прямой и плоскости .

Если прямая задана каноническим уравнением (40.2),

то для нахождения точки пересечения этой прямой с плоскостью , заданной уравнением (36.4), уравнение (40.2) целесообразно перевести в параметрическое уравнение той же прямой (см. §40).

Далее в линейное уравнение (36.4) вместо x, y ,z подставляем их выражения через параметр t по формуле (40.4). Получим некоторое линейное уравнение относительно t. Решим данное уравнение (относительно t), и найденное t подставим в формулу (40.4)Полученные после подстановки в (40.4) величины x, y, z и будут координатами точки пересечения прямой , заданной уравнением (40.2) или (40.4) и плоскостью (36.4)

В качестве примера рассмотрим задачу о том, как из точек на плоскость , заданную уравнением 36.4, опустить перпендикуляр (т.е. как найти проекцию точки на плоскость ), а также докажем формулу (39.1) расстояния от точки до плоскости.

Уравнение прямой на плоскости.
Направляющий вектор прямой. Вектор нормали

Прямая линия на плоскости – это одна из простейших геометрических фигур, знакомая вам ещё с младших классов, и сегодня мы узнаем, как с ней справляться методами аналитической геометрии. Для освоения материала необходимо уметь строить прямую; знать, каким уравнением задаётся прямая, в частности, прямая, проходящая через начало координат и прямые, параллельные координатным осям. Данную информацию можно найти в методичке Графики и свойства элементарных функций, я её создавал для матана, но раздел про линейную функцию получился очень удачным и подробным. Поэтому, уважаемые чайники, сначала разогрейтесь там. Кроме того, нужно обладать базовыми знаниями о векторах, иначе понимание материала будет неполным.

На данном уроке мы рассмотрим способы, с помощью которых можно составить уравнение прямой на плоскости. Рекомендую не пренебрегать практическими примерами (даже если кажется очень просто), так как я буду снабжать их элементарными и важными фактами, техническими приёмами, которые потребуются в дальнейшем, в том числе и в других разделах высшей математики.

Для подготовленных читателей быстрые ссылки:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Всем известный «школьный» вид уравнения прямой называется уравнением прямой с угловым коэффициентом . Например, если прямая задана уравнением , то её угловой коэффициент: . Рассмотрим геометрический смысл данного коэффициента и то, как его значение влияет на расположение прямой:

В курсе геометрии доказывается, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между положительным направлением оси и данной прямой: , причём угол «откручивается» против часовой стрелки.

Чтобы не загромождать чертёж, я нарисовал углы только для двух прямых. Рассмотрим «красную» прямую и её угловой коэффициент . Согласно вышесказанному: (угол «альфа» обозначен зелёной дугой). Для «синей» прямой с угловым коэффициентом справедливо равенство (угол «бета» обозначен коричневой дугой). А если известен тангенс угла, то при необходимости легко найти и сам угол с помощью обратной функции – арктангенса. Как говорится, тригонометрическая таблица или микрокалькулятор в руки. Таким образом, угловой коэффициент характеризует степень наклона прямой к оси абсцисс.

При этом возможны следующие случаи:

1) Если угловой коэффициент отрицателен: , то линия, грубо говоря, идёт сверху вниз. Примеры – «синяя» и «малиновая» прямые на чертеже.

2) Если угловой коэффициент положителен: , то линия идёт снизу вверх. Примеры – «чёрная» и «красная» прямые на чертеже.

3) Если угловой коэффициент равен нулю: , то уравнение принимает вид , и соответствующая прямая параллельна оси . Пример – «жёлтая» прямая.

4) Для семейства прямых , параллельных оси (на чертеже нет примера, кроме самой оси ), углового коэффициента не существует (тангенс 90 градусов не определён).

Чем больше угловой коэффициент по модулю, тем круче идёт график прямой.

Например, рассмотрим две прямые . Здесь , поэтому прямая имеет более крутой наклон. Напоминаю, что модуль позволяет не учитывать знак, нас интересуют только абсолютные значения угловых коэффициентов.

В свою очередь, прямая более крутА, чем прямые .

Обратно: чем меньше угловой коэффициент по модулю, тем прямая является более пологой.

Для прямых справедливо неравенство , таким образом, прямая более полога. Детская горка, чтобы не насадить себе синяков и шишек.

Зачем это нужно?

Продлить ваши мучения Знания вышеперечисленных фактов позволяет немедленно увидеть свои ошибки, в частности, ошибки при построении графиков – если на чертеже получилось «явно что-то не то». Желательно, чтобы вам сразу было понятно, что, например, прямая весьма крутА и идёт снизу вверх, а прямая – очень полога, близко прижата к оси и идёт сверху вниз.

В геометрических задачах часто фигурируют несколько прямых, поэтому их удобно как-нибудь обозначать.

Обозначения: прямые обозначаются маленькими латинскими буквами: . Популярный вариант – обозначение одной и той же буквой с натуральными подстрочными индексами. Например, те пять прямых, которые мы только что рассмотрели, можно обозначить через .

Поскольку любая прямая однозначно определяется двумя точками, то её можно обозначать данными точками: и т.д. Обозначение совершенно очевидно подразумевает, что точки принадлежат прямой .

Пора немного размяться:

Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?

Если известна точка , принадлежащая некоторой прямой, и угловой коэффициент этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой:

Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом , если известно, что точка принадлежит данной прямой.

Решение: Уравнение прямой составим по формуле . В данном случае:

Ответ:

Проверка выполняется элементарно. Во-первых, смотрим на полученное уравнение и убеждаемся, что наш угловой коэффициент на своём месте. Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять данному уравнению. Подставим их в уравнение:

Получено верное равенство, значит, точка удовлетворяет полученному уравнению.

Вывод: уравнение найдено правильно.

Более хитрый пример для самостоятельного решения:

Составить уравнение прямой, если известно, что её угол наклона к положительному направлению оси составляет , и точка принадлежит данной прямой.

Если возникли затруднения, перечитайте теоретический материал. Точнее больше практический, многие доказательства я пропускаю.

Прозвенел последний звонок, отгремел выпускной бал, и за воротами родной школы нас поджидает, собственно, аналитическая геометрия. Шутки закончились…. А может быть только начинаются =)

Общее уравнение прямой

Ностальгически машем ручкой привычному и знакомимся с общим уравнением прямой. Поскольку в аналитической геометрии в ходу именно оно:

Общее уравнение прямой имеет вид: , где – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

Оденем в костюм и галстук уравнение с угловым коэффициентом . Сначала перенесём все слагаемые в левую часть:

Слагаемое с «иксом» нужно поставить на первое место:

В принципе, уравнение уже имеет вид , но по правилам математического этикета коэффициент первого слагаемого (в данном случае ) должен быть положительным. Меняем знаки:

Запомните эту техническую особенность! Первый коэффициент (чаще всего ) делаем положительным!

В аналитической геометрии уравнение прямой почти всегда будет задано в общей форме. Ну, а при необходимости его легко привести к «школьному» виду с угловым коэффициентом (за исключением прямых, параллельных оси ординат).

Направляющий вектор прямой

Зададимся вопросом, что достаточно знать, чтобы построить прямую? Две точки. Но об этом детском случае позже, сейчас властвуют палочки со стрелочками. У каждой прямой есть вполне определённый наклон, к которому легко «приспособить» вектор.

Вектор, который параллелен прямой, называется направляющим вектором данной прямой. Очевидно, что у любой прямой бесконечно много направляющих векторов, причём все они будут коллинеарны (сонаправлены или нет – не важно).

Направляющий вектор я буду обозначать следующим образом: .

Сразу небольшая ремарка: при появлении трудностей в понимании терминов, пожалуйста, прочитайте (или перечитайте) статью Векторы для чайников.

Но одного вектора недостаточно для построения прямой, вектор является свободным и не привязан к какой-либо точке плоскости. Поэтому дополнительно необходимо знать некоторую точку , которая принадлежит прямой.

Как составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору?

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой , то уравнение данной прямой можно составить по формуле:

Иногда его называют каноническим уравнением прямой.

Что делать, когда одна из координат равна нулю, мы разберёмся в практических примерах ниже. Кстати, заметьте – сразу обе координаты не могут равняться нулю, так как нулевой вектор не задаёт конкретного направления.

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Решение: Уравнение прямой составим по формуле . В данном случае:

С помощью свойств пропорции избавляемся от дробей:

И приводим уравнение к общему виду:

Ответ:

Чертежа в таких примерах, как правило, делать не нужно, но понимания ради:

На чертеже мы видим исходную точку , исходный направляющий вектор (его можно отложить от любой точки плоскости) и построенную прямую . Кстати, во многих случаях построение прямой удобнее всего осуществлять как раз с помощью уравнения с угловым коэффициентом. Наше уравнение легко преобразовать к виду и без проблем подобрать ещё одну точку для построения прямой.

Как отмечалось в начале параграфа, у прямой бесконечно много направляющих векторов, и все они коллинеарны. Для примера я нарисовал три таких вектора: . Какой бы направляющий вектор мы не выбрали, в результате всегда получится одно и то же уравнение прямой .

Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :

Делим обе части на –2 и получаем знакомое уравнение:

Желающие могут аналогичным образом протестировать векторы или любой другой коллинеарный вектор.

Теперь решим обратную задачу:

Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой?

Если прямая задана общим уравнением , то вектор является направляющим вектором данной прямой.

Примеры нахождения направляющих векторов прямых:

Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить:

Так, уравнение задаёт прямую, которая параллельна оси и координаты полученного направляющего вектора удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор в качестве направляющего вектора. Логично.

Аналогично, уравнение задаёт прямую, параллельную оси , и, разделив координаты вектора на 5, получаем в качестве направляющего вектора орт .

Читателям с низким уровнем подготовки рекомендую постоянно выполнять чертежи, чтобы лучше понимать мои объяснения.

Теперь выполним проверку Примера 3. Пример уехал вверх, поэтому напоминаю, что в нём мы составили уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Во-первых, по уравнению прямой восстанавливаем её направляющий вектор: – всё нормально, получили исходный вектор (в ряде случаев может получиться коллинеарный исходному вектор, и это обычно несложно заметить по пропорциональности соответствующих координат).

Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять уравнению . Подставляем их в уравнение:

Получено верное равенство, чему мы очень рады.

Вывод: задание выполнено правильно.

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока. Крайне желательно сделать проверку по только что рассмотренному алгоритму. Старайтесь всегда (если это возможно) выполнять проверку на черновике. Глупо допускать ошибки там, где их 100%-но можно избежать.

В том случае, если одна из координат направляющего вектора нулевая, поступают очень просто:

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору .

Решение: Формула не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Выход есть! Используя свойства пропорции, перепишем формулу в виде , и дальнейшее покатилось по глубокой колее:

Ответ:

Проверка:

1) Восстановим направляющий вектор прямой :
– полученный вектор коллинеарен исходному направляющему вектору.

2) Подставим координаты точки в уравнение :

Получено верное равенство

Вывод: задание выполнено правильно

Возникает вопрос, зачем маяться с формулой , если существует универсальная версия , которая сработает в любом случае? Причин две. Во-первых, формула в виде дроби гораздо лучше запоминается. А во-вторых, недостаток универсальной формулы состоит в том, что заметно повышается риск запутаться при подстановке координат.

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору .

Это пример для самостоятельного решения.

Вернёмся к вездесущим двум точкам:

Как составить уравнение прямой по двум точкам?

Если известны две точки , то уравнение прямой, проходящей через данные точки, можно составить по формуле:

На самом деле это разновидность формулы и вот почему: если известны две точки , то вектор будет направляющим вектором данной прямой. На уроке Векторы для чайников мы рассматривали простейшую задачу – как найти координаты вектора по двум точкам. Согласно данной задаче, координаты направляющего вектора:

Примечание: точки можно «поменять ролями» и использовать формулу . Такое решение будет равноценным.

Составить уравнение прямой по двум точкам .

Решение: Используем формулу:

И перетасовываем колоду:

Именно сейчас удобно избавиться от дробных чисел. В данном случае нужно умножить обе части на 6:

Раскрываем скобки и доводим уравнение до ума:

Ответ:

Проверка очевидна – координаты исходных точек должны удовлетворять полученному уравнению:

1) Подставим координаты точки :

2) Подставим координаты точки :

Вывод: уравнение прямой составлено правильно.

Если хотя бы одна из точек не удовлетворяет уравнению, ищите ошибку.

Стоит отметить, что графическая проверка в данном случае затруднительна, поскольку построить прямую и посмотреть, принадлежат ли ей точки , не так-то просто.

Отмечу ещё пару технических моментов решения. Возможно, в данной задаче выгоднее воспользоваться зеркальной формулой и, по тем же точкам составить уравнение:

Таки дробей поменьше. Если хотите, можете довести решение до конца, в результате должно получиться то же самое уравнение.

Второй момент состоит в том, чтобы посмотреть на итоговый ответ и прикинуть, нельзя ли его ещё упростить? Например, если получилось уравнение , то здесь целесообразно сократить на двойку: – уравнение будет задавать ту же самую прямую. Впрочем, это уже тема разговора о взаимном расположении прямых.

Получив ответ в Примере 7, я на всякий случай, проверил, не делятся ли ВСЕ коэффициенты уравнения на 2, 3 или 7. Хотя, чаще всего подобные сокращения осуществляются ещё по ходу решения.

Составить уравнение прямой, проходящей через точки .

Это пример для самостоятельного решения, который как раз позволит лучше понять и отработать технику вычислений.

Аналогично предыдущему параграфу: если в формуле один из знаменателей (координата направляющего вектора) обращается в ноль, то переписываем её в виде . И снова заметьте, как неуклюже и запутанно она стала выглядеть. Не вижу особого смысла приводить практические примеры, поскольку такую задачу мы уже фактически прорешали (см. № 5, 6).

Вектор нормали прямой (нормальный вектор)

Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), причём все векторы нормали прямой будут коллинеарными (сонаправленными или нет – без разницы).

Разборки с ними будут даже проще, чем с направляющими векторами:

Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является вектором нормали данной прямой.

Если координаты направляющего вектора приходится аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали достаточно просто «снять».

Вектор нормали всегда ортогонален направляющему вектору прямой. Убедимся в ортогональности данных векторов с помощью скалярного произведения:

Приведу примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора:

Можно ли составить уравнение прямой, зная одну точку и вектор нормали? Нутром чувствуется, можно. Если известен вектор нормали, то однозначно определено и направление самой прямой – это «жёсткая конструкция» с углом в 90 градусов.

Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и вектор нормали этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой:

Тут всё обошлось без дробей и прочих нежданчиков. Такой вот у нас нормальный вектор. Любите его. И уважайте =)

Составить уравнение прямой по точке и вектору нормали . Найти направляющий вектор прямой.

Решение: Используем формулу:

Общее уравнение прямой получено, выполним проверку:

1) «Снимаем» координаты вектора нормали с уравнения : – да, действительно, получен исходный вектор из условия (либо должен получиться коллинеарный исходному вектор).

2) Проверим, удовлетворяет ли точка уравнению :

После того, как мы убедились в том, что уравнение составлено правильно, выполним вторую, более лёгкую часть задания. Вытаскиваем направляющий вектор прямой:

Ответ:

На чертеже ситуация выглядит следующим образом:

В целях тренировки аналогичная задача для самостоятельного решения:

Составить уравнение прямой по точке и нормальному вектору . Найти направляющий вектор прямой.

Заключительный раздел урока будет посвящен менее распространённым, но тоже важным видам уравнений прямой на плоскости

Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой в параметрической форме

Уравнение прямой в отрезках имеет вид , где – ненулевые константы. Некоторые типы уравнений нельзя представить в таком виде, например, прямую пропорциональность (так как свободный член равен нулю и единицу в правой части никак не получить).

Это, образно говоря, «технический» тип уравнения. Обыденная задача состоит в том, чтобы общее уравнение прямой представить в виде уравнения прямой в отрезках . Чем оно удобно? Уравнение прямой в отрезках позволяет быстро найти точки пересечения прямой с координатными осями, что бывает очень важным в некоторых задачах высшей математики.

Найдём точку пересечения прямой с осью . Обнуляем «игрек», и уравнение принимает вид . Нужная точка получается автоматически: .

Аналогично с осью – точка, в которой прямая пересекает ось ординат.

Действия, которые я только что подробно разъяснил, выполняются устно.

Дана прямая . Составить уравнение прямой в отрезках и определить точки пересечения графика с координатными осями.

Решение: Приведём уравнение к виду . Сначала перенесём свободный член в правую часть:

Чтобы получить справа единицу, разделим каждый член уравнения на –11:

Делаем дроби трёхэтажными:

Точки пересечения прямой с координатными осями всплыли на поверхность:

Ответ:

Осталось приложить линеечку и провести прямую.
Но я лучше в очередной раз напрягу Эксель:

Легко усмотреть, что данная прямая однозначно определяется красным и зелёным отрезками, отсюда и название – «уравнение прямой в отрезках».

Конечно, точки не так трудно найти и из уравнения , но задача всё равно полезная. Рассмотренный алгоритм потребуется для нахождения точек пересечения плоскости с координатными осями, для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду и в некоторых других задачах. Поэтому пара прямых для самостоятельного решения:

Составить уравнение прямой в отрезках и определить точки её пересечения с координатными осями.

Решения и ответы в конце урока. Не забывайте, что при желании всё можно начертить.

Как составить параметрические уравнениЯ прямой?

Параметрические уравнения прямой больше актуальны для прямых в пространстве, но без них наш конспект осиротеет.

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то параметрические уравнения данной прямой задаются системой:

Что такое функция, заданная параметрически, я уже объяснял в статье Производная неявной и параметрически заданной функций. Но всё равно немного повторюсь в следующей демонстрационной задаче:

Составить параметрические уравнения прямой по точке и направляющему вектору

Решение закончилось, не успев начаться:

Параметр «тэ» может принимать любые значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности», и каждому значению параметра соответствует конкретная точка плоскости. Например, если , то получаем точку .

Обратная задача: как проверить, будет ли точка условия принадлежать данной прямой?

Подставим координаты точки в полученные параметрические уравнения:

Из обоих уравнений следует, что , то есть, система совместна и имеет единственное решение.

Рассмотрим более содержательные задания:

Составить параметрические уравнения прямой

Решение: По условию прямая задана в общем виде. Для того чтобы составить параметрические уравнения прямой, нужно знать её направляющий вектор и какую-нибудь точку, принадлежащую данной прямой.

Найдём направляющий вектор:

Теперь нужно найти какую-нибудь точку, принадлежащую прямой (подойдёт любая), в этих целях общее уравнение удобно переписать в виде уравнения с угловым коэффициентом:

Напрашивается, конечно, точка

Составим параметрические уравнения прямой:

Ответ:

И напоследок небольшая творческая задача для самостоятельного решения.

Составить параметрические уравнения прямой, если известна принадлежащая ей точка и вектор нормали

Задачу можно оформить не единственным способом. Одна из версий решения и ответ в конце урока.

Существуют другие, более экзотические способы задать прямую, но то, что уже рассмотрено, хватит за глаза и за уши. Следующая статья, которую я рекомендую, называется Простейшие задачи с прямой на плоскости. В ней рассматриваются вещи, которые позволят окончательно укрепить ваш геометрический фундамент.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Найдём угловой коэффициент:

Уравнение прямой составим по точке и угловому коэффициенту :

Ответ:

Пример 4: Решение: Уравнение прямой составим по формуле:

Ответ:

Пример 6: Решение: Используем формулу:

Ответ: (ось ординат)

Пример 8: Решение: Составим уравнение прямой по двум точкам:

Умножаем обе части на –4:

И делим на 5:

Ответ:

Пример 10: Решение: Используем формулу:

Сокращаем на –2:

Направляющий вектор прямой:
Ответ:

Пример 12:
а) Решение: Преобразуем уравнение:

Таким образом:

Ответ:

б) Решение: Преобразуем уравнение:

Таким образом:

Ответ:

Пример 15: Решение: Сначала составим общее уравнение прямой по точке и вектору нормали :

Умножаем на 12:

Умножаем ещё на 2, чтобы после раскрытия второй скобки избавиться от дроби:

Направляющий вектор прямой:
Параметрические уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору :
Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Направляющий вектор прямой, координаты направляющего вектора прямой

С понятием прямой линии тесно связано понятие ее направляющего вектора. Часто в задачах бывает удобнее рассматривать его вместо самой прямой. В рамках данного материала мы разберем, что же такое направляющий вектор прямой в пространстве и на плоскости, и расскажем, для чего можно его использовать.

В первом пункте мы сформулируем определение и покажем основные понятия на иллюстрациях, дополнив их конкретными примерами направляющего вектора. Далее мы посмотрим, как прямая и направляющие векторы взаимодействуют в прямоугольной системе координат и как можно вычислить координаты этого вектора, если мы знаем уравнение прямой. Все правила, как всегда, будут проиллюстрированы примерами решений задач.

Что такое направляющий вектор прямой

Для того чтобы понять эту тему, нам нужно хорошо представлять, что такое вообще прямая и как она может размещаться в пространстве и на плоскости. Кроме того, важно вспомнить ранее изученное понятие вектора. Об этом мы уже писали в отдельном материале. Если нужно, найдите и перечитайте эти статьи.

Сформулируем, что такое направляющий вектор.

Направляющим вектором прямой является любой вектор, не равный нулю, который размещается на данной прямой или же на прямой, параллельной ей.

Получается, что у каждой прямой есть бесконечное множество направляющих векторов. При этом все они будут являться коллинеарными в силу озвученного определения, ведь они лежат на одной прямой или параллельной ей другой прямой. Выходит, что если a → является направляющий вектором прямой a , то другой направляющий вектор мы можем обозначить как t · a → при любом значении t , соответствующем действительному числу.

Также из определения выше можно сделать вывод, что направляющие векторы двух параллельных прямых будут совпадать: если прямые a и a 1 являются параллельными, то вектор a → будет направляющим и для a , и для a 1 .

Третий вывод, следующий из определения: если у нас есть направляющий вектор прямой a , то он будет перпендикулярным по отношению к любому нормальному вектору той же прямой.

Приведем пример направляющего вектора: в прямоугольной системе координат для осей O x , O y и O z направляющими будут координатные векторы i → , j → и k → .

Как вычислить координаты направляющего вектора по уравнениям прямой

Допустим, что у нас есть некая прямая с направляющими векторами, лежащая в прямоугольной системе координат. Сначала мы разберем случай с плоской декартовой системой O x y , а потом с системой O x y z , расположенной в трехмерном пространстве.

1. Прямую линию в O x y можно описать с помощью уравнения прямой на плоскости. В этом случае координаты направляющих векторов будут соответствовать направляющим векторам исходной прямой. А если нам известно уравнение прямой, как вычислить координаты ее направляющего вектора? Это легко сделать, если мы имеем дело с каноническим или параметрическим уравнением.

Допустим, у нас есть канонический случай уравнения, которое имеет вид x — x 1 a x = y — y 1 a y . С его помощью на плоскости задана прямая с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) .

Чтобы вычислить координаты направляющего вектора, нам нужно взять числа из знаменателя канонического уравнения прямой.

Приведем пример задачи.

В прямоугольной системе координат задана прямая, которую можно описать уравнением x — 1 4 = y + 1 2 — 3 . Вычислите координаты одного из направляющих векторов прямой.

Решение

Из уравнения мы можем сразу взять координаты направляющего вектора. Берем числа в знаменателях и записываем: 4 , — 3 . Это и будет нужный нам ответ.

Ответ: 4 , — 3 .

Если же прямая описана уравнением параметрического типа, то нам нужно смотреть на коэффициенты при параметре. Они будут соответствовать координатам нужного нам направляющего вектора.

У нас есть прямая, которую можно описать с помощью системы параметрических уравнений x = — 1 y = 7 — 5 · λ , при этом λ ∈ R . Найдите координаты направляющих векторов.

Решение

Для начала перепишем данные параметрические уравнения в виде x = — 1 + 0 · λ y = 7 — 5 · λ . Посмотрим на коэффициенты. Они сообщат нам нужные координаты направляющего вектора – a → = ( 0 , 5 ) . Учитывая, что все направляющие векторы одной прямой будут коллинеарны, мы можем задать их в виде t · a → или 0 , — 5 · t , где t может быть любым действительным числом. О том, как проводить действия с векторами в координатах, мы писали в отдельной статье.

Ответ: 0 , — 5 · t , t ∈ R , t ≠ 0

Теперь разберем случай, как найти координаты вектора, если прямая задана общим уравнением вида A x + B y + C = 0 . Если A = 0 , то исходное уравнение можно переписать как B y + C = 0 . Оно определяет прямую, которая будет параллельна оси абсцисс. Значит, в качестве ее направляющего вектора мы можем взять координатный вектор i → = 1 , 0 .

А если B = 0 , то уравнение прямой мы можем записать как A x + C = 0 . Описываемая им прямая будет параллельна оси ординат, поэтому ее координатный вектор j → = 0 , 1 также будет направляющим. Рассмотрим конкретную задачу.

У нас есть прямая, заданная при помощи общего уравнения x — 2 = 0 . Найдите координаты любого направляющего вектора.

Решение

В прямоугольной системе координат исходное уравнение будет соответствовать прямой, параллельной оси ординат. Значит, мы можем взять координатный вектор j → = ( 0 , 1 ) . Он будет для нее направляющим.

Ответ: ( 0 , 1 )

А как быть в случае, если ни один коэффициент в A x + B y + C = 0 не будет равен 0? Тогда мы можем использовать несколько разных способов.

1. Мы можем переписать основное уравнение так, чтобы оно превратилось в каноническое. Тогда координаты вектора можно будет взять из его значений.

2. Можно вычислить отдельно начальную и конечную точку направляющего вектора. Для этого надо будет взять координаты двух любых несовпадающих точек исходной прямой.

3. Третий способ заключается в вычислении координат любого вектора, который будет перпендикулярен нормальному вектору этой прямой n → = A , B .

Самым простым является первый подход. Проиллюстрируем его на примере задачи.

Есть прямая на плоскости, заданная уравнением 3 x + 2 y — 10 = 0 . Запишите координаты любого направляющего вектора.

Решение

Перепишем исходное уравнение в каноническом виде. Сначала перенесем все слагаемые из левой части, кроме 3 x, в правую с противоположным знаком. У нас получится:

3 x + 2 y — 10 = 0 ⇔ 3 x = — 2 y + 10

Получившееся равенство преобразовываем и получаем:

3 x = — 2 y + 10 ⇔ 3 x = — 2 ( y — 5 ) ⇔ x — 2 = y — 5 3

Отсюда мы уже можем вывести координаты нужного нам направляющего вектора: -2 , 3

К общему виду легко свести и такие типы уравнений, как уравнение прямой в отрезках x a + y b = 1 и уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , так что если они встретились вам в задаче на нахождение координат направляющего вектора, то можно также использовать этот подход.

Далее мы разберем, как найти эти координаты, если прямая у нас задана не в плоскости, а в пространстве.

Вектор a → = ( a x , a y , a z ) является направляющим для прямой, выраженной с помощью:

1) канонического уравнения прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z

2) параметрического уравнения прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z

Таким образом, для вычисления координат направляющего вектора нужно взять числа из знаменателей или коэффициентов при параметре в соответствующем уравнении.

Рассмотрим конкретную задачу.

Прямая в пространстве задана уравнением вида x — 1 4 = y + 1 2 0 = z — 3 . Укажите, какие координаты будет иметь направляющий вектор данной прямой.

Решение

В каноническом уравнении необходимые числа видны сразу в знаменателях. Получается, что ответом будет вектор с координатами 4 , 0 , — 3 . Координаты всех направляющих векторов данной прямой можно записать в виде 4 · t , 0 , — 3 · t при условии, что t является действительным числом.

Ответ: 4 · t , 0 , — 3 · t , t ∈ R , t ≠ 0

Вычислите координаты любого направляющего вектора для прямой, которая задана в пространстве с помощью параметрического уравнения x = 2 y = 1 + 2 · λ z = — 4 — λ .

Решение

Перепишем данные уравнения в виде x = 2 + 0 · λ y = 1 + 2 · λ z = — 4 — 1 · λ .

Из этой записи можно вычленить координаты нужного нам вектора – ими будут коэффициенты перед параметром.

Разберем еще один случай. Как вычислить нужные координаты, если прямая задана уравнением двух пересекающихся плоскостей вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ?

Есть два способа. Можно записать это уравнение в параметрическом виде, где будут видны нужные координаты. Но можно использовать и другой способ. Объясним его.

Вспомним, что такой нормальный вектор плоскости. Он по определению будет лежать на прямой, перпендикулярной исходной плоскости. Значит, любой направляющий вектор прямой, которая в ней находится, будет перпендикулярен ее любому нормальному вектору.

Направляющий вектор прямой, образованной пересечением двух плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , будет перпендикулярен нормальным векторам n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) . То есть в качестве направляющего вектора мы может взять произведение векторов n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) .

n 1 → × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 — это и есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются исходные плоскости.

Решим задачу, в которой применяется этот подход.

Запишите координаты направляющего вектора прямой, выраженной с помощью уравнения x + 2 y + 3 z — 1 = 0 2 x + 4 y — 4 z + 5 = 0 .

Решение

Возьмем произведение двух нормальных векторов плоскостей x + 2 y + 3 z — 1 = 0 и 2 x + 4 y — 4 z + 5 = 0 . У них следующие координаты: 1 , 2 , 3 и 2 , 4 , — 4 .

У нас получится:

n 1 → × n 2 → = i → j → k → 1 2 3 2 4 — 4 = i → · 2 · ( — 4 ) + j → · 3 · 2 + k → · 1 · 4 — — k → · 2 · 2 — i → · 3 · 4 — j → · 1 · ( — 4 ) = — 20 · i → + 10 · j → + 0 · k →

Выходит, что вектор n 1 → × n 2 → = — 20 · i → + 10 · j → + 0 · k → ⇔ n 1 → × n 2 → = — 20 , 10 , 0 – это и есть нужный нам направляющий вектор прямой.

Ответ: — 20 , 10 , 0

В конце статьи отметим, что умение вычислять направляющий вектор пригодится для решения многих задач, таких, как сопоставление двух прямых, доказательство их параллельности и перпендикулярности, вычисление угла между пересекающимися или скрещивающимися прямыми и др.