Сумма кубических корней как решать

Упростить сумму(разность) двух кубических корней.

Простенькая, казалось бы, задачка, для школьника седьмого класса, но не получается почему-то.

Разность двух кубических корней от суммы и разности двух чисел. Если числитель и знаменатель умножить на сопряженное выражение, чтобы получить в числителе разность кубов, которая равна 164, делает выражение в знаменателе ещё сложнее, нисколько не упрощает выражение. Как упростить это выражение, чтобы получить 2?

Доказать, что эта разность кубических корней равна 2, получается, только возведя обе части в куб, и выяснив, что это выражение является корнем кубического уравнения
x*x*x + 78*x — 164 = 0, как и число 2.
Но вот упростить выражение какими-то иным способом не получается.

Хотелось бы усовершенствовать алгоритм решения кубического уравнения в
программе решения кубического уравнения по формулам Кардано
чтобы программа упрощала данное выражение от суммы или разности двух кубических корней, когда это возможно.

Посоветовали разложить подкоренные выражения так, чтобы получился куб двухчлена. В данном случае это вроде бы тоже не получается.

p.S
MathType 6.9 установил, AmsLatex поставил в Preferens, но формула почему-то не отображается на форуме.
\[\sqrt[3]<<90\sqrt 3 + 82>> — \sqrt[3]<<90\sqrt 3 - 82>>\]
[math]\[\sqrt[3]<<90\sqrt 3 + 82>> — \sqrt[3]<<90\sqrt 3 - 82>>\][/math]

Последняя инстанция

Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Последняя инстанция

Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1307
Cпасибо сказано: 106
Спасибо получено:
527 раз в 418 сообщениях
Очков репутации: 153

Начинающий

Зарегистрирован:
16 ноя 2014, 09:27
Сообщений: 9
Откуда: Кинешма
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Спасибо. Именно до такого метода я и додумался, но мне он не нравится. Надо будет потом искать рациональные корни кубического уравнения, числитель которых делит свободный член, а знаменатель делит старший член, то есть перебором. Я поищу другой общий метод упрощения таких выражений и попробую реализовать его программным путём.

Начинающий

Зарегистрирован:
16 ноя 2014, 09:27
Сообщений: 9
Откуда: Кинешма
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Да, очень печально, что я так не сообразителен, так туп, что не догадался самостоятельно.

Вот один человек догадался, но это не я.

Последняя инстанция

Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Начинающий

Зарегистрирован:
16 ноя 2014, 09:27
Сообщений: 9
Откуда: Кинешма
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Просто я хочу реализовать упрощение таких выражений в своей программе, решающей кубические уравнения.
Пока что она выдаёт такую вот сумму кубических корней, а рациональные корни кубического уравнения ищет отдельно, до того, как решать уравнение по формулам Кардано, причём, чтобы браузер надолго не зависал, стоит ограничение на поиск рациональных корней для уравнений, коэффициенты которых или сумма модулей коэффициентов превышают число 9007199254740992
Я работаю сейчас также над программой решения алгебраического уравнения четвёртой степени, и там в решение требуется подстановка положительного корня кубического уравнения.
Метод решения уравнения четвёртой степени.
Не хочется искать ещё этот рациональный корень кубического уравнения, когда он есть, а хочется найти общий метод упрощения всех таких выражений и реализовать его в программе. К тому же нередко коэффициенты получающегося кубического уравнения выходят за допустимую границу возможного поиска рациональных корней.

Например, для уравнения четвёртой степени
4797901 x^4 — 22773959 x^3 + 39478601 x^2 — 29617729 x + 8098290 = 0
которое имеет четыре рациональные корня
x1 = 34 / 31
x2 = 45 / 37
x3 = 67 / 89
x4 = 79 / 47
при решении его путём разложения на два квадратных уравнения получается кубическое уравнение
6245650182942191406887632473013235167949312 x^3 — 1378429159294518501203567013621636484802240 x^2 + 72498251865275096114238859915074768868952 x — 127428378457131557539071340308106955625 = 0
Боюсь, что браузер зависнет надолго, если искать рациональные корни уравнения с такими большими коэффициентами по правилу: числитель корня делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент, разность между числителем и знаменателем делит значение многочлена в точек 1, а сумма числителя и знаменателя — значение многочлена в точке -1.
Поэтому хотелось бы найти общий метод упрощения таких выражений.
Но в данном частном случае — это несколько другая задача.
Надо будет упростить, если можно, выражение
2 / 14393703 * sqrt(319655857837) * cos(1/3 * arccos(-55518593415902765 / 102179867449508354318569 * sqrt(319655857837))) + 40644271869035 / 552476496139224
Но часто приходится упрощать и сумму (разность) двух кубических корней.

Как решать кубические уравнения

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

Количество просмотров этой статьи: 398 051.

• Если в уравнении есть свободный член d <\displaystyle d>, воспользуйтесь другим методом.
• Если в уравнении a = 0 <\displaystyle a=0>, оно не является кубическим. [2] X Источник информации

• Например, дано кубическое уравнение 3 x 3 − 2 x 2 + 14 x = 0 <\displaystyle 3x^<3>-2x^<2>+14x=0>
• Вынесите x <\displaystyle x>за скобки и получите x ( 3 x 2 − 2 x + 14 ) = 0 <\displaystyle x(3x^<2>-2x+14)=0>

• Вынесите за скобки x <\displaystyle x>: x ( x 2 + 5 x − 14 ) = 0 <\displaystyle x(x^<2>+5x-14)=0>
• Разложите на множители квадратное уравнение: x ( x + 7 ) ( x − 2 ) = 0
• Каждый бином приравняйте к 0 <\displaystyle 0>. Корнями данного уравнения являются x = 0 , x = − 7 , x = 2 <\displaystyle x=0,x=-7,x=2>.

• В нашем примере подставьте значения коэффициентов a <\displaystyle a>, b <\displaystyle b>, c <\displaystyle c>( 3 <\displaystyle 3>, − 2 <\displaystyle -2>, 14 <\displaystyle 14>) в формулу: − b ± b 2 − 4 a c 2 a <\displaystyle <\frac <-b\pm <\sqrt -4ac>>><2a>>> − ( − 2 ) ± ( ( − 2 ) 2 − 4 ( 3 ) ( 14 ) 2 ( 3 ) <\displaystyle <\frac <-(-2)\pm <\sqrt <((-2)^<2>-4(3)(14)>>><2(3)>>> 2 ± 4 − ( 12 ) ( 14 ) 6 <\displaystyle <\frac <2\pm <\sqrt <4-(12)(14)>>><6>>> 2 ± ( 4 − 168 6 <\displaystyle <\frac <2\pm <\sqrt <(4-168>>><6>>> 2 ± − 164 6 <\displaystyle <\frac <2\pm <\sqrt <-164>>><6>>>
• Первый корень: 2 + − 164 6 <\displaystyle <\frac <2+<\sqrt <-164>>><6>>> 2 + 12 , 8 i 6 <\displaystyle <\frac <2+12,8i><6>>>
• Второй корень: 2 − 12 , 8 i 6 <\displaystyle <\frac <2-12,8i><6>>>

• Если вынести «х» за скобки, получится x ( a x 2 + b x + c ) = 0 <\displaystyle x(ax^<2>+bx+c)=0> , то есть два множителя: x <\displaystyle x>и квадратное уравнение в скобках. Если любой из этих множителей равен 0 <\displaystyle 0>, все уравнение также равно 0 <\displaystyle 0>.
• Таким образом, два корня квадратного уравнения, являются решениями кубического уравнения. Третьим решением является x = 0 <\displaystyle x=0>.

• Например, дано кубическое уравнение 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 <\displaystyle 2x^<3>+9x^<2>+13x=-6> . Чтобы на правой стороне уравнения получить ноль, прибавьте 6 <\displaystyle 6>к обеим сторонам уравнения.
• Получится уравнение 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 <\displaystyle 2x^<3>+9x^<2>+13x+6=0> . Так как d = 6 <\displaystyle d=6>, методом, который изложен в первом разделе, воспользоваться не получится.

• К примеру, чтобы получить число 6, нужно перемножить 6 × 1 <\displaystyle 6\times 1>и 2 × 3 <\displaystyle 2\times 3>. Таким образом, числа 1, 2, 3, 6 являются множителями числа 6.
• В нашем уравнении a = 2 <\displaystyle a=2>и d = 6 <\displaystyle d=6>. Множителями 2 являются 1 и 2. Множителями 6 являются числа 1, 2, 3 и 6.

• В нашем примере разделите множители a <\displaystyle a>(1 и 2) на множители d <\displaystyle d>(1, 2, 3 и 6). Вы получите: 1 <\displaystyle 1>, 1 2 <\displaystyle <\frac <1><2>>> , 1 3 <\displaystyle <\frac <1><3>>> , 1 6 <\displaystyle <\frac <1><6>>> , 2 <\displaystyle 2>и 2 3 <\displaystyle <\frac <2><3>>> . Теперь в этот список добавьте отрицательные значения полученных дробей и чисел: 1 <\displaystyle 1>, − 1 <\displaystyle -1>, 1 2 <\displaystyle <\frac <1><2>>> , − 1 2 <\displaystyle -<\frac <1><2>>> , 1 3 <\displaystyle <\frac <1><3>>> , − 1 3 <\displaystyle -<\frac <1><3>>> , 1 6 <\displaystyle <\frac <1><6>>> , − 1 6 <\displaystyle -<\frac <1><6>>> , 2 <\displaystyle 2>, − 2 <\displaystyle -2>, 2 3 <\displaystyle <\frac <2><3>>> и − 2 3 <\displaystyle -<\frac <2><3>>> . Целыми корнями кубического уравнения являются какие-то числа из этого списка.

• 2 ( 1 ) 3 + 9 ( 1 ) 2 + 13 ( 1 ) + 6 <\displaystyle 2(1)^<3>+9(1)^<2>+13(1)+6> = 2 + 9 + 13 + 6 <\displaystyle 2+9+13+6>≠ 0, то есть равенство не соблюдается. В данном случае подставьте следующее число.
• Подставьте − 1 <\displaystyle -1>: ( − 2 ) + 9 + ( − 13 ) + 6 <\displaystyle (-2)+9+(-13)+6>= 0. Таким образом, − 1 <\displaystyle -1>является целым корнем уравнения.

• Схема Горнера заслуживает отдельной статьи, но далее приведен пример вычисления одного из корней нашего кубического уравнения с помощью этой схемы: -1 | 2 9 13 6__| -2-7-6__| 2 7 6 0
• Таким образом, остаток равен 0 <\displaystyle 0>, а − 1 <\displaystyle -1>является одним из корней уравнения.

• Например, дано уравнение x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 <\displaystyle x^<3>-3x^<2>+3x-1> . Запишите a = 1 <\displaystyle a=1>, b = − 3 <\displaystyle b=-3>, c = 3 <\displaystyle c=3>и d = − 1 <\displaystyle d=-1>. Напомним, что если перед x <\displaystyle x>нет числа, соответствующий коэффициент все-таки существует и равен 1 <\displaystyle 1>.

• Дискриминант — это число, которое характеризует корни полинома (например, дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле b 2 − 4 a c <\displaystyle b^<2>-4ac> ).
• В нашем уравнении: b 2 − 3 a c <\displaystyle b^<2>-3ac> ( − 3 ) 2 − 3 ( 1 ) ( 3 ) <\displaystyle (-3)^<2>-3(1)(3)> 9 − 3 ( 1 ) ( 3 ) <\displaystyle 9-3(1)(3)>9 − 9 = 0 = Δ 0 <\displaystyle 9-9=0=\Delta _<0>>

• В нашем уравнении: 2 ( − 3 ) 3 − 9 ( 1 ) ( − 3 ) ( 3 ) + 27 ( 1 ) 2 ( − 1 ) <\displaystyle 2(-3)^<3>-9(1)(-3)(3)+27(1)^<2>(-1)> 2 ( − 27 ) − 9 ( − 9 ) + 27 ( − 1 ) <\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)>− 54 + 81 − 27 <\displaystyle -54+81-27>81 − 81 = 0 = Δ 1 <\displaystyle 81-81=0=\Delta _<1>>

• У кубического уравнения всегда есть хотя бы один корень, так как график этого уравнения пересекается с осью X как минимум в одной точке.
• В нашем уравнении Δ 0 <\displaystyle \Delta _<0>> и Δ 1 <\displaystyle \Delta _<1>> равны 0 <\displaystyle 0>, поэтому вы запросто вычислите Δ <\displaystyle \Delta >: ( Δ 1 2 − 4 Δ 0 3 ) ÷ ( − 27 a 2 ) <\displaystyle (\Delta _<1>^<2>-4\Delta _<0>^<3>)\div (-27a^<2>)> ( ( 0 ) 2 − 4 ( 0 ) 3 ) ÷ ( − 27 ( 1 ) 2 ) <\displaystyle ((0)^<2>-4(0)^<3>)\div (-27(1)^<2>)> 0 − 0 ÷ 27 <\displaystyle 0-0\div 27>0 = Δ <\displaystyle 0=\Delta >. Таким образом у нашего уравнения один или два корня.

В нашем уравнении: 3 ( Δ 1 2 − 4 Δ 0 3 ) + Δ 1 ÷ 2 <\displaystyle ^<3><\sqrt <<\sqrt <(\Delta _<1>^<2>-4\Delta _<0>^<3>)+\Delta _<1>>>\div 2>>> 3 ( 0 2 − 4 ( 0 ) 3 ) + ( 0 ) ÷ 2 <\displaystyle ^<3><\sqrt <<\sqrt <(0^<2>-4(0)^<3>)+(0)>>\div 2>>> 3 ( 0 − 0 ) + 0 ÷ 2 <\displaystyle ^<3><\sqrt <<\sqrt <(0-0)+0>>\div 2>>> 0 = C

• Вычислите значение по формуле при n = 1, 2 или 3, а затем проверьте ответ. Если при проверке ответа вы получили 0, данное значение является корнем уравнения.
• В нашем примере подставьте 1 в x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 <\displaystyle x^<3>-3x^<2>+3x-1> и получите 0, то есть 1 — это один из корней уравнения.

Дополнительные статьи

1. ↑http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/mc-ty-cubicequations-2009-1.pdf
2. ↑https://sciencing.com/solve-cubic-equations-8136094.html
3. ↑https://sciencing.com/solve-cubic-equations-8136094.html
4. ↑http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/mc-ty-cubicequations-2009-1.pdf
5. ↑https://www.purplemath.com/modules/quadform.htm
6. ↑https://math.vanderbilt.edu/schectex/courses/cubic/
7. ↑http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
8. ↑http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
9. ↑http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm

1. ↑http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
2. ↑http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
3. ↑http://www2.trinity.unimelb.edu.au/

Об этой статье

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества. Количество просмотров этой статьи: 398 051.

Как найти сумму кубов корней уравнения

Нам уже известны формулы для решения квадратных уравнений. А что делать, если встретится уравнение более высокой степени ? Оказы вается, что для уравнений третьей и четвёртой степени есть формулы, позволяющие найти корни (но они редко используются на практике ввиду их громоздкости), а для уравнений пятой степени и выше доказано, что таких формул не существует. Таким образом, у нас не выйдет в общем случае решить уравнение третьей или более высокой степени. Но существует ряд приёмов, позволяющих решить некоторые специальные виды уравнений. К их рассмотрению мы сейчас и перейдём.

Решите уравнение: `x^3 +4x^2 — 2x-3=0`.

Заметим, что `x=1` является корнем уравнения (значение многочлена при `x=1` равно сумме коэффициентов многочлена). Тогда по теореме Безу многочлен `x^3 +4x^2 -2x -3` делится на многочлен `x-1`. Выполнив деление, получаем:

`x^3 +4x^2 -2x -3=0 hArr (x-1)(x^2 + 5x +3) =0 hArr`

Обычно кубические уравнения решают именно так: подбирают один корень, выполняют деление уголком, после чего остаётся решить только квадратное уравнение. А что делать, если у нас уравнение четвёртой степени? Тогда придётся подбирать корень два раза. После подбора первого корня и деления останется кубическое уравнение, у которого надо будет подобрать ещё один корень. Возникает вопрос. Что делать, если такие «простые» числа как `+-1`, `+-2` не являются корнями уравне ния? Неужели тогда надо перебирать всевозможные числа? Ответ на этот вопрос даёт следующее утверждение.

Если несократимая дробь `p//q` (`p` — целое, `q` — натуральное) является корнем многочлена с целыми коэффициентами , то сво бодный член делится на `p` , а старший коэффициент делится на `q`.

Пусть несократимая дробь `p//q` — корень многочлена (8). Это означает, что

Умножим обе части на `q^n`, получаем:

`a_n p^n + a_(n-1) p^(n-1) q+a_(n-2) p^(n-2) q^2 + . + a_2 p^2 q^(n-2) +a_1 pq^(n-1)+a_0q^n=0`.

Перенесём в правую часть, а из оставшихся слагаемых вынесем `p` за скобки:

Справа и слева в (14) записаны целые числа. Левая часть делится на `p=>` правая часть также делится на `p`. Числа `p` и `q` взаимно просты (т. к. дробь `p//q` несократимая), откуда следует, что `a_0 vdotsp`.

Аналогично доказывается, что `a_n vdotsq`. Теорема доказана.

Как правило, предлагаемые вам уравнения имеют целые корни, поэтому в большинстве задач используется следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена.

а) `x^4+4x^3-102x^2-644x-539=0`; (15)

б) `6x^4-35x^3+28x^2+51x+10=0`. (16)

а) Попробуем найти целые корни уравнения. Пусть `p` — корень. Тогда `539vdotsp`; чтобы найти возможные значения `p`, разложим число `539` на простые множители:

Поэтому `p` может принимать значения:

Подстановкой убеждаемся, что `x=-1` является корнем уравнения. Разделим многочлен в левой части (15) уголком на `x+1` и получим:

Далее подбираем корни у получившегося многочлена третьей степени. Получаем `x=-7`, а после деления на `(x+7)` остаётся `(x+1)(x+7)(x^2-4x-77)=0`. Решая квадратное уравнение, находим окончательное разложение левой части на множители:

1) После того, как найден первый корень, лучше сначала выполнить деление уголком, и только потом приступать к поиску последующих корней. Тогда вычислений будет меньше.

2) В разложении многочлена на множители множитель `(x+7)` встретился дважды. Тогда говорят, что `(–7)` является корнем кратности два. Аналогично говорят о корнях кратности три, четыре и т. д.

б) Если уравнение имеет рациональный корень `x_0=p/q`, то `10vdotsp`, `6vdotsq`, т. е. `p in `; `qin `.Возможные варианты для `x_0`:

Начинаем перебирать числа из этого списка. Первым подходит число `x=5/2`. Делим многочлен в левой части (16) на `(2x-5)` и получаем

Заметим, что для получившегося кубического уравнения выбор рациональных корней заметно сузился, а именно, следующие числа могут быть корнями: `x_0=+-1,+-2,+-1/3,+-2/3`, причём мы уже знаем, что числа `+-1` и `+-2` корнями не являются (так как мы их подставляли раньше, и они не подошли). Находим, что `x=-2/3` — корень; делим `3x^3-10x^2-11x-2` на `3x+2` и получаем:

Решаем квадратное уравнение: `x^2-4x-1=0 iff x=2+-sqrt5`.

К сожалению, уравнения не всегда имеют рациональные корни. Тогда приходится прибегать к другим методам.

Разложите на множители:

а) `x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=`

Таким образом, сумму четвёртых степеней, в отличие от суммы квадратов, можно разложить на множители:

в) Вынесем `x^2` за скобки и сгруппируем:

Обозначим `x+2/x=t`. Тогда `x^2+4+4/x^2=t^2`, `x^2+4/x^2=t^2-4`, выражение в скобках принимает вид:

В итоге получаем:

Этот приём иногда используется для решения уравнений четвёртой степени; в частности, с его помощью решают возвратные уравнения (см. пример 12 е).

г)* Можно убедиться, что никакой из рассмотренных выше методов не помогает решить задачу, а именно: рациональных корней уравнение не имеет (числа `+-1` и `+-2` – не корни); вынесение числа `x^2` за скобки и группировка слагаемых приводит к выражению

Если здесь обозначить `4x-13/x=t`, то `x^2-2/x^2` через `t` рационально не выражается.

Прибегнем к методу неопределённых коэффициентов. Пусть

Попробуем подобрать коэффициенты `a`, `b`, `c`, `d` так, чтобы (17) обратилось в верное равенство. Для этого раскроем скобки в правой части и приведём подобные слагаемые:

Приравняем в (18) коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях уравнения. Получим систему уравнений:

Мы будем пытаться найти целочисленные решения системы (19). Найти все решения системы (19) не проще, чем решить исходную задачу, однако нахождение целочисленных решений – разумеется, если они есть – нам по силам.

Рассмотрим четвёртое уравнение. Возможны только два принципиально различных случая:

2) `b=2` и `d=-1`. Рассмотрим каждый из них. Подставляем значения `b` и `d` в первые три уравнения:

Из первого и третьего уравнений системы получаем `c=5/3`; `a=-17/3`, что не удовлетворяет второму уравнению, поэтому система решений не имеет; пара чисел `b=1` и `d=-2` не подходит.

Эта система имеет одно решение `a=-7`, `c=3`. Значит, числа `a=-7`, `b=2`, `c=3`, `d=-1` являются решением системы (19), поэтому

Далее каждый из квадратных трёхчленов можно разложить на множители.

Во многих ситуациях степень уравнения можно понизить с помощью замены переменных.

8.2.4. Применение теоремы Виета

Часто требуется найти сумму квадратов (x₁ 2 +x₂ 2 ) или сумму кубов (x₁ 3 +x₂ 3 ) корней квадратного уравнения, реже — сумму обратных значений квадратов корней или сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения:

Помочь в этом может теорема Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Выразим через p и q:

1) сумму квадратов корней уравнения x 2 +px+q=0;

2) сумму кубов корней уравнения x 2 +px+q=0.

Решение.

1) Выражение x₁ 2 +x₂ 2 получится, если взвести в квадрат обе части равенства x₁+x₂=-p;

(x₁+x₂) 2 =(-p) 2 ; раскрываем скобки: x₁ 2 +2x₁x₂+ x₂ 2 =p 2 ; выражаем искомую сумму: x₁ 2 +x₂ 2 =p 2 -2x₁x₂=p 2 -2q. Мы получили полезное равенство: x₁ 2 +x₂ 2 =p 2 -2q.

2) Выражение x₁ 3 +x₂ 3 представим по формуле суммы кубов в виде:

Еще одно полезное равенство: x₁ 3 +x₂ 3 =-p·(p 2 -3q).

Примеры.

3) x 2 -3x-4=0. Не решая уравнение, вычислите значение выражения x₁ 2 +x₂ 2 .

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения

x₁+x₂=-p=3, а произведение x₁∙x₂=q=-4. Применим полученное нами (в примере 1) равенство:

x₁ 2 +x₂ 2 =p 2 -2q. У нас -p=x₁+x₂=3 → p 2 =3 2 =9; q=x₁x₂=-4. Тогда x₁ 2 +x₂ 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

4) x 2 -2x-4=0. Вычислить: x₁ 3 +x₂ 3 .

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения x₁+x₂=-p=2, а произведение x₁∙x₂=q=-4. Применим полученное нами (в примере 2) равенство: x₁ 3 +x₂ 3 =-p·(p 2 -3q)=2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Ответ: x₁ 3 +x₂ 3 =32.

Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Ответ: его всегда можно «привести», разделив почленно на первый коэффициент.

5) 2x 2 -5x-7=0. Не решая, вычислить: x₁ 2 +x₂ 2 .

Решение. Нам дано полное квадратное уравнение. Разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим приведенное квадратное уравнение: x 2 -2,5x-3,5=0.

По теореме Виета сумма корней равна 2,5; произведение корней равно -3,5.

Решаем так же, как пример 3), используя равенство: x₁ 2 +x₂ 2 =p 2 -2q.

x₁ 2 +x₂ 2 =p 2 -2q=2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Ответ: x₁ 2 +x₂ 2 =13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Найти:

Преобразуем это равенство и, заменив по теореме Виета сумму корней через -p, а произведение корней через q, получим еще одну полезную формулу. При выводе формулы использовали равенство 1): x₁ 2 +x₂ 2 =p 2 -2q.

В нашем примере x₁+x₂=-p=5; x₁∙x₂=q=-2. Подставляем эти значения в полученную формулу:

7) x 2 -13x+36=0. Найти:

Преобразуем эту сумму и получим формулу, по которой можно будет находить сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения.

У нас x₁+x₂=-p=13; x₁∙x₂=q=36. Подставляем эти значения в выведенную формулу:

Совет: всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь 4 рассмотренные полезные формулы позволяют быстро выполнить задание, прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант — «неудобное» число. Во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. Например, в последнем примере подберем корни по теореме Виета: сумма корней должна быть равна 13, а произведение корней 36. Что это за числа? Конечно, 4 и 9. А теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел: 2+3=5. Вот так то!

Решение кубических уравнений

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 — 3 = 0 x 3 — 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A

Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0

Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :

5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .

Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

x i	Коэффициенты многочлена
2	— 11	12	9
— 0 . 5	2	— 11 + 2 · ( — 0 . 5 ) = — 12	12 — 12 · ( — 0 . 5 ) = 18	9 + 18 · ( — 0 . 5 ) = 0

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3

— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

— 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6

Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Сумма кубических корней как решать

Есть ли способы посчитать сумму двух кубических корней без калькулятора, заранее ответ равен 8. Если нет, то зачем вообще нужна формула Кардано, если на выходе получаются такие монстры)

Если я правильно понял, то x³ + y³ = α + β = 8, но у меня получилось, что x³ + y³ порядка триллиона, но это не равно 8)