Свойства арифметического квадратного корня
Перед любыми манипуляциями с корнями полезно вспомнить свойства степеней с натуральным показателем. Я группирую эти свойства в три блока.
1. Умножаем и делим степени с одинаковым основанием — меняется только показатель:
2. Умножаем и делим степени с одинаковым показателем — меняется основание:
3. Чётные степени «сжигают» минусы, нечётные — нет:
Мы будем использовать эти свойства на всю катушку в третьей части урока. А пока начнём с более простых вещей.
1. Корни из точных степеней
При работе с корнями многие ученики допускают одну и ту же ошибку. Они пытаются подменить чёткие правила алгебры интуитивными размышлениями. И на первый взгляд всё выглядит хорошо. Взгляните на примеры:
Во всех трёх случаях мы видим, что под корнем стоят точные квадраты. Их можно переписать так:
Может показаться, что для упрощения выражения достаточно убрать степень и знак корня. На практике это не так:
Из третьей строки видно, что просто убрать степень и корень с отрицательного основания нельзя, ведь корень не может быть отрицательным! Вторая строка объясняет нам, что именно происходит: квадрат делает число под корнем положительным, а дальше мы извлекаем этот самый корень и вновь получаем положительное число. В итоге строки 1 и 2 ведут к извлечению корня из одного и того же числа — 64.
1.1. Корень из точного квадрата
А вывод такой: корень из квадрата не меняет положительные числа, а отрицательные меняет на противоположные. Это в точности совпадает с определением модуля:
Для удобства дальнейших размышлений предлагаю взять на вооружение вот такое определение модуля:
Это определение чрезвычайно полезно для решения сложных задач с параметрами. Об этом как-нибудь в следующий раз. А пока давайте потренируемся:
Опыт моих учеников: поначалу довольно непривычно выписывать эти множители (1, 0 и −1), но затем человек привыкает и пишет всё на автомате. А затем и вовсе перестаёт писать — всё происходит в его голове, но навык добавления множителей остаётся (и очень пригодится, когда мы считаем коэффициенты многочленов).
Задание. Найдите значение выражения:
Отдельное внимания заслуживают двойные корни, вложенные друг в друга:
Для них замена корня модулем тоже работает, но возникает вопрос: как корректно раскрыть модуль? Придётся сравнивать корни:
Откуда такое смелое утверждение во второй строке? Существует два способа доказать неравенство в красных скобках:
- 1.Использовать свойства корней;
- 2.Составить цепочку неравенств.
Сравнение корней — отдельная серьёзная тема. Ей посвящён целый урок. Поэтому давайте просто решим второе задание:
Задание. Вычислите значение выражения:
1.2. Корень из чётной степени
Идём дальше. Вновь запишем нашу волшебную формулу:
Капитан очевидность как бы намекает: эта формула верна не только для квадратов, но и для всех чётных степеней:
Другими словами, корень из любой чётной степени понижает эту степень ровно в два раза, но взамен навешивает на неё модуль! Рассмотрим примеры:
Обратите внимание на последнюю строку: изначально под корнем стоит довольно громоздкое число. Вычислять его напролом — возводить в квадрат, а затем извлекать корень — безумие. Но формула понижения степени редуцирует задачу до устной — отличная экономия времени на экзамене.:)
Задание 2. Найдите значение выражения:
Вывод: если видите корень из степени, то смело понижайте степень вдвое, убирайте корень, но взамен ставьте модуль. Всегда. Обязательно. Ок? Переходим ко второй части урока.
2. Корни из произведения и частного
Перед тем как давать какие-либо новый формулы, напомню важный факт. Корень из суммы не равен сумме корней:
Иначе мы бы получили вот такие бредовые выкладки:
Вроде бы, капитаноочевидно, но многие даже в старших классах допускают такие ошибки.
А теперь разберём ещё два свойства корней.
2.1. Умножение и деление корней
Корни можно умножать и делить. Правила просты:
Задание 3. Найдите значение выражения:
Как видите, с помощью формул мы разбиваем сложный корень на несколько простых.
Мы знаем, то все формулы работают как слева-направо, так и справа-налево, поэтому корни можно «склеивать». При этом новый корень может легко вычисляться, хотя исходные части — не вычисляются вообще. Например:
Попробуйте повторить этот трюк:
Задание 4. Найдите значение выражения:
2.2. Проблемы с областью определения
Но есть одна тонкость. Взгляните, например, на формулу произведения корней:
Напомню: знак радикала обозначает арифметический квадратный корень, который извлекается только из неотрицательных чисел и сам является числом неотрицательным.
С левой стороны от знака равенства стоит один корень, а справа — целых два. Поэтому области определения левой и правой части этого равенства различны:
В чём конкретно состоит различие?
В первой строке мы видим произведение, поэтому неравенство (1) верно всякий раз, когда знаки множителей совпадают. В частности, оба множителя могут быть отрицательными, но их произведение всё равно будет положительным.
Вторая строка — система из двух неравенств, и здесь отрицательные числа нас уже не устроят. Вывод:
Красным я выделил ситуацию, которая допустима для корня из произведения, но становится недопустимой для произведения корней.
Поскольку любое равенство определено лишь тогда, когда определена и левая, и правая его части, дополним исходные правила специальными требованиями:
И вот в таком виде их уже можно использовать — везде и всегда!
Может показаться, что эти ограничения несущественны. Или искусственны. Чуть выше мы никак их не учитывали и всё прекрасно посчитали. Поэтому вопрос: когда ограничения области определения становятся существенным?
Ответ: когда под корнями стоят не конкретные числа, а переменные. К примеру, пусть даны числа:
Очевидно, что произведение двух отрицательных чисел будет положительным. И хотя корень из произведения будет определён, извлекать корни из отдельных множителей нельзя:
Значит, нужно сделать так, чтобы множители под корнем стали положительными. И тут нам на помощь приходит старое доброе число −1:
Добавление минусов к каждому из двух множителей нисколько не повлияло на произведение, но привело к возникновению двух новых множителей, каждый из которых уже точно положителен:
Помните об этом преобразовании, когда сталкиваетесь с произведением отрицательных выражений под знаком корня. Источником такой отрицательности могут быть условия задачи, либо следствия из области определения (такое часто встречается в логарифмических уравнениях и неравенствах, которые изучаются в 10—11 классах).
Ну а мы немного потренируемся и пойдём к третьей части урока — работе с переменными.
Задание 5. Найдите значение выражения:
Переходим к самому весёлому.:)
3. Работа с переменными
Если не считать определения, то мы знаем о корнях две вещи. Во-первых, корни понижают степени, но добавляют модули:
Во-вторых, корни можно умножать и делить. Но не всегда:
До сих пор мы тренировались лишь на конкретных числах. И многие могут удивляться: зачем все эти рассуждения про модули и ограничения?
Сейчас мы заменим числа буквами — и задача резко усложнится. Или не усложнится — если вы внимательно изучите то, что написано дальше.:)
3.1. Раскрытие модуля через свойства степеней
Начнём с простого. Мы уже знаем, как избавляться от точной степени:
Попробуем применить эту формулу к двум различным выражениям:
В первой строке мы без труда раскрыли модуль, поскольку знаем, что число под модулем отрицательно. Затем посчитали — получили ответ.
Но как раскрыть модуль во второй строке? Ведь правила раскрытия будут меняться в зависимости от того, какое значение принимает переменная. И если никаких дополнительных ограничений на переменную нет, то модуль так и останется нераскрытым. Взгляните:
Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:
Из приведённых примеров видно:
- В строках (2) и (4) мы можем раскрыть модуль, ничего не зная о переменной;
- В строках (1) и (3) раскрыть модуль не удалось.
Почему? Чётные степени в строках (2) и (4) при любом значении переменной будут положительным числом или нулём. Поэтому модуль однозначно раскрывается со знаком «плюс».
Нечётная степень в строках (1) и (3) таким свойством не обладает: она может оказаться как положительным числом, так и отрицательным. Поэтому модуль раскрыть нельзя.
Задание. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:
Чётные степени всегда неотрицательны, нечётные степени могут принимать любой знак:
Тем не менее, модуль нечётной степени тоже можно раскрыть. Если в задаче есть дополнительные условия.
3.2. Учёт дополнительных ограничений
Зачастую в самом условии задачи содержатся ограничения на переменную, которые помогают однозначно раскрыть модуль. Пример:
Работаем по тем правилам, которые изучали выше:
Обратите внимание: в строке (2) чётные степени под корнем дают три неотрицательных числа, поэтому корень можно разбить на три изолированных множителя — область определения при этом не поменяется; затем в строке (3) мы видим чётную степень под модулем и раскрываем его.
Ещё раз запишем результат и дополним его исходными условиями:
В первом случае выражение под модулем положительно или ноль, поэтому модуль однозначно раскрывается со знаком «плюс». Во втором — отрицательно или ноль, поэтому модуль раскрывается со знаком «минус»:
Возможно, у вас возникает вопрос: почему мы пишем множитель 1 или −1, но не рассматриваем отдельно множитель 0? В этом фишка модуля:
Таким образом, в нуле модуль можно раскрывать любым удобным способом.
Задание. Упростите выражение:
Это были весьма примитивные выражения, сводящиеся к раскрытию модуля. На них мы отработали важный новый навык. Теперь воспользуемся этим навыком для решения более интересных задач.
3.3. Упрощение выражений
Последний и самый интересный раздел этого урока.
Откуда берутся дополнительные ограничения на переменные? Существует ровно два источника таких ограничений:
- 1.Условие задачи. Например, если переменная — это длина отрезка на чертеже, то можно без ущерба для здоровья полагать, что она неотрицательна (а если всё-таки отрицательна, то у вас неправильный чертёж).
- 2.Неявные следствия из исходного выражения / уравнения / неравенства. Тут всё намного интереснее: анализ следствий из исходного условия — увлекательный процесс, доступный лишь хорошо подготовленным ученикам.
Начнём с первого пункта — ограничений, явно указанных в условии задачи. Примеры:
С первым выражением всё просто:
Со вторым уже интереснее. Заметим, что в первом числителе стоит формула сокращённого умножения, а дробь под корнем гарантированно имеет неотрицательный числитель и знаменатель:
Вспомним исходные ограничения:
И раскроем модули:
Как видите, нам удалось избавиться не только от модулей, но и от дробей.:)
Материал, представленный дальше, относится скорее к следующему уроку — «Внесение и вынесение множителей из-под знака корня». Его изучение прямо сейчас не является обязательным, но может оказаться весьма полезным для сильных учеников.
Наконец, разберёмся с неявными ограничениями. Ещё раз запишем самую первую формулу:
Пусть известно, что подмодульное выражение неотрицательно. Тогда модуль можно убрать:
С отрицательными величинами тоже можно провернуть такой трюк:
Но любое равенство работает как слева-направо, так и справа-налево. Следовательно, если нам известен знак переменной, мы можем внести её под знак корня:
Это замечание позволит упрощать выражения, которые неподготовленному ученику покажутся неприступными.
Остаётся лишь один вопрос: где взять знак переменной? Ответ: ограничения на переменную часто скрыты в области определения. Например:
В первой строке мы видим корень, поэтому выпишем область определения. Это даст нам ограничения на переменную и поможет внести её под знак корня:
То же самое со вторым выражением:
В итоге мы получили выражение, тождественно равное нулю. Однако помните: это равенство сохраняется только для отрицательных значений переменной! Для положительных значений исходное выражение вообще не определено.
Операция, которую мы только что провернули, как раз и называется внесением переменной под знак радикала.
В заключение хотел бы рассмотреть типичную ситуацию для сложных алгебраических задач, когда под корнем стоят, на первый взгляд, противоположные числа.
Заметим, что самый первый корень накладывает жёсткие ограничения на переменную:
Под остальными корнями стоят неотрицательные выражения, поэтому дальше всё просто:
Наличие неявного ограничения позволило нам раскрыть модуль даже у нечётной степени. Обратите внимание на этот переход:
Как мы помним из краткой вводной, минусы можно выносить (и вносить) из основания нечётной степени. Это можно сделать как после раскрытия модуля, так и в самом начале — прямо под корнем:
Красным я отметил одинаковые выражения, стоящие под корнем и в основании степени. Именно такая форма записи (а не игра с минусами) является предпочтительной, например, в логарифмических уравнениях и неравенствах.
Что такое свойства четных и нечетных корней и как они используются?
Аналогично, как узнать, четный корень или нечетный? Функция четная, если f(−x)=f(x) f (– x) = f (x) . Проверить, если f(−x)=f(x) f ( – x ) = f ( x ) . Поскольку √−x – x ≠ ≠ √xx , функция нечетная. Функция нечетно, если f(−x)=−f(x) f ( – x ) = – f ( x ) .
Что такое свойство нечетного корня? Свойство нечетного корня: Свойство нечетного корня утверждает, что для положительного нечетного числа n если an=ban = b, то a=n√ba = bn . В отличие от извлечения четного корня из обеих частей уравнения, при извлечении нечетного корня из обеих частей уравнения существует только одно решение.
Похожие страницы:Блог
Сколько секунд в месяце? В некоторых месяцах разное количество секунд?
Какие есть 3 вида налогов?
Как найти среднюю точку между двумя точками?
Как вы делаете кадровые прогнозы?
В чем разница между радикалом и квадратным корнем? Чай квадратный корень может быть положительным или отрицательным потому что умножение двух отрицательных чисел дает положительное число. … Главный квадратный корень из a записывается как √a. Символ называется подкоренным, член под ним называется подкоренным, а все выражение называется подкоренным выражением.
Во-вторых, как найти все возможные корни радикала?
Что такое четная функция?
Определение четной функции
: функция такая, что f(x)=f(−x) где значение остается неизменным, если знак независимой переменной меняется на противоположный.
то Какая из следующих функций является четной? f(x)=xex−1ex+1 является четной функцией.
Что такое радикал и пример? В химии радикалом является атом, молекула или ион, у которых есть неспаренный валентный электрон. Ярким примером радикала является гидроксильная (НО) группа, молекула, которая имеет один неспаренный электрон на атоме кислорода.
Что такое радикальное число?
Корень или корень — это математическая противоположность экспоненты, в том же смысле, что сложение противоположно вычитанию. Наименьший радикал — это квадратный корень, обозначенный символом √. … Маленькая цифра перед радикалом — это его порядковый номер.
Какой индекс у радикала? Показатель: небольшое число, спрятанное внутри отмеченной галочкой части радикального знака; в выражении a б, а — индекс. Подкоренное число: количество, записанное внутри подкоренного символа под его горизонтальной крышей; b — подкоренное выражение радикального выражения a b.
Как найти четную кратность?
Если график пересекает ось x и выглядит почти линейным в точке пересечения, это единственный ноль. Если график касается оси x и отскакивает от оси, это ноль. с четной кратностью. Если график пересекает ось x в нуле, это ноль с нечетной кратностью.
Как работают радикалы в математике? В математике радикальное выражение определяется как любое выражение, содержащее радикал (√) символ. … Например, 3√(8) означает найти кубический корень из 8. Если число в верхнем индексе отсутствует, подкоренное выражение требует квадратного корня. Термин под корневым символом называется подкоренным.
Что означает простая радикальная форма?
Выражение в простейшей радикальной форме просто означает упрощение радикала, чтобы больше не было квадратных корней, кубические корни, 4-е корни и т. д. осталось найти. … Это также означает удаление любых радикалов в знаменателе дроби.
Является ли функция квадратного корня четной или нечетной?
| Имя и фамилия | Четное/ Странный |
|---|---|
| Квадратный корень | ни |
| Кубический корень | Странный |
| Абсолютная величина | Даже |
| обоюдный | Странный |
Что является примером четной функции? Даже функция
Другие примеры у=х4, у=х4, у=х6, у=х6, у=х8, у=х8 , так далее Обратите внимание, что показатель степени каждой из этих функций является четным числом.
Как решить четную функцию? Если вы закончите с той же самой функцией, с которой вы начали (то есть, если f (–x) = f (x), значит все знаки одинаковые), то функция четная. Если вы получите полную противоположность тому, с чего начали (то есть, если f (–x) = –f (x), то есть все знаки поменялись местами), то функция нечетная.
Какой график является четной функцией?
Если функция четная, то график симметричный относительно оси Y. Если функция нечетная, то график симметричен относительно начала координат. Четная функция: математическое определение четной функции таково: f(–x) = f(x) для любого значения x.
Что из следующего является четной функцией ответа? Что из следующего является «четной» функцией t? Правильный ответ (А). Правильный ответ (B). Поскольку значение функции остается прежним по истечении периода (или нескольких периодов)!
Какая из следующих функций является функцией sin2x?
Объяснение: Функция f(x) четная, если f(−x)=f(x), и функция нечетная, если f(−x)=−x . Следовательно грех2(х) является четной функцией.
Что такое радикальная форма? Если n — целое положительное число, большее 1, а a — действительное число, то п√а=а1н. где n называется индексом, a называется подкоренным числом, а символ √ называется радикалом. Левую часть этого уравнения часто называют радикальной формой, а правую часть часто называют экспоненциальной формой.
Что такое основной радикал?
Основной радикал ион исходит из основания. Это положительно заряженный химический вид; поэтому мы называем его катионом. … Этот ион образуется в результате удаления гидроксид-иона из основания. Некоторые примеры основных радикалов приведены в табл.
Как решить радикальные числа?
Что такое рациональная математика?
Рациональное число: Любое число, которое можно записать как отношение (или дробь) двух целых чисел. является рациональным числом. … Целое число можно записать в виде дроби, присвоив ему знаменатель, равный единице, поэтому любое целое число является рациональным числом.
Корень n-ой степени
Что такое корень n-й степени из действительного числа
Чтобы научиться работать с корнями степени \(n\), необходимо знать, что такое арифметический квадратный корень и его свойства.
Корнем n-й степени (\(n=2, 3, 4, 5, 6… \)) некоторого числа \(a\) называют такое неотрицательное число \(b\), которое при возведении в степень \(n \in N\) дает \(a\). Корень n-ой степени обозначается при помощи знака радикала \(\sqrt[n]\):
Число \(n \in N\) при этом называют показателем корня, а число \(a\) покоренным выражением.
Если \(n=2\), то перед вами корень 2-й степени или обычный арифметический квадратный корень, который все проходили в 8-м классе.
Если \(n=4\), то корень 4-й степени, \(\sqrt[4]\)и т.д.
Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень. Для того, чтобы вычислить корень n-й степени от \(a\), нужно сообразить какое число в степени \(n\) будет давать \(a\).
Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.
Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.
Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.
Если извлечь корень n-й степени из 1, всегда будет 1.
Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим \(2,668…\) – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.
Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так как есть \(\sqrt[3]<19>\).
Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:
$$ \sqrt[3] <8>\le \sqrt[3] <19>\le \sqrt[3] <27>$$ $$ 2 \le \sqrt[3] <19>\le 3 $$
Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.
Пример 6
Оценить значение \(\sqrt[4]<15>= ?\) $$ \sqrt[4] <1>\le \sqrt[4] <15>\le \sqrt[4]<16>; $$ $$ 1 \le \sqrt[4] <15>\le 2; $$
Корень четной и нечетной степеней
Надо четко различать правила работы c четными и нечетными степенями. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из неотрицательного числа. Из отрицательных чисел корень четной степени не существует.
Корень нечетной степени можно посчитать из любых действительных чисел. Иногда в школьной программе встречаются задания, в которых требуется определить имеет ли смысл выражение:
Данное выражение имеет смысл, так как корень нечетной степени можно посчитать из любого числа, даже отрицательного. Напоминаю, что извлечь корень 3-й степени, значит найти такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст покоренное выражение. Если \((-3)\) умножить на само себя три раза, то мы получим покоренное выражение \(-27=(-3)*(-3)*(-3)\).
Так как корень четной степени, а под корнем стоит отрицательное число, то выражение не имеет смысла. Невозможно найти число, которое при умножении на само себя четыре раза, даст отрицательное значение.
Из-под знака нечетного показателя корня можно выносить минус. Это упрощает процесс подсчета.
Свойства корня n-й степени
Пусть есть два числа a и b, для них будут выполняться следующие свойства:
При использовании вышеперечисленных свойств важно помнить: корень четной степени не существует из отрицательных чисел, и сам корень четной степени всегда положителен. Надо быть внимательным и следить, чтобы в ходе преобразований эти ограничения не нарушались.
Рассмотрим примеры на свойства корня степени \(n\).
Пример 9 $$(\sqrt[5]<7>)^5=7;$$ При возведении корня с показателем \(n\) в степень \(n\) остается просто подкоренное выражение, так как возведение в степень и извлечение корня это взаимно обратные операции.
Обратите внимание, что неважно, где стоит степень — над корнем или под корнем, результат будет одинаковым. $$\sqrt[5]<7^5>=7$$
Пример 10 $$\sqrt[3]<8^2>=(\sqrt[3]<8>)^2=2^<2>=4;$$ $$\sqrt[3]<8^2>=\sqrt[3]<64>=4;$$ Получается одно и тоже.
Более того, показатель корня и степень подкоренного выражения можно домножить на одно и тоже число \(p\), результат от этого не изменится. Может пригодиться в различных преобразованиях и при сравнении корней между собой.
Эту же формулу можно использовать наоборот: $$ \sqrt[n*p]
Рассмотрим применение формул корня от произведения и частного, без которых невозможно решить ни один приличный пример.
Корень степени \(n\) от произведения равен произведению корней степени \(n\) от этих множителей. $$ \sqrt[n]
Формулы справедливы не только для двух множителей:
Обратите внимание! Формулы произведения и частного корней справедливы только для корней с одинаковыми показателями. Нельзя перемножить корни с разными показателями.
Ничего здесь сделать мы не можем!
И следите за отрицательными числами при использовании корней четной степени. Произведение двух отрицательных чисел может существовать под одним корнем, так как они при умножении дают знак плюс. Но разбивать такое произведение на два корня четной степени ни в коем случае нельзя: выражение теряет всякий смысл.
Внесение и вынесения множителя из под знака корня степени n
Формулы произведения и частного используются при вынесении множителей из под корня. Рассмотрим на примерах:
Подобным образом можно делать обратное действие — вносить множители под знак корня.
Внимание! При внесении и вынесении множителей под знак ЧЕТНОГО корня частая ошибка связанна со отрицательными числами: если перед четным корнем стоит отрицательное число, то при внесении его под корень, знак минус оставляем перед корнем. Нельзя заносить минус под корень.
Аналогичные рассуждения при вынесении из под четного корня. Если под корнем есть отрицательный множитель, то его можно вынести, оставив знак минуса под корнем.
Как сравнивать корни степени n?
Что больше \(\sqrt<7>\) или \(\sqrt[3]<12>\)? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно помнить, что корень это возрастающая функция: чем больше подкоренное значение, тем больше сам корень. И необходимо привести корни к одинаковому показателю, здесь нам поможет формула \(\sqrt[n]
Пример 20
Сравните значения \(3\sqrt[3]<2>\) и \(2\sqrt<3>\):
Так как перед корнем есть множители, их нужно внести под знак корня. $$3\sqrt[3]<2>=\sqrt[3]<3^3>*\sqrt[3]<2>=\sqrt[3]<27>*\sqrt[3]<2>=\sqrt[3]<27*2>=\sqrt[3]<54>;$$ $$2\sqrt<3>=\sqrt[2]<2^2>*\sqrt[2]<3>=\sqrt[2]<4>*\sqrt[2]<3>=\sqrt[2]<12>;$$ У корней разные показатели, легче всего привести к одинаковому показателю \(6\), логика такая же, как при поиске общего знаменателя. $$3\sqrt[3]<2>=\sqrt[3]<54>=\sqrt[3*2]<54^<1*2>>=\sqrt[6]<54^2>=\sqrt[6]<2916>;$$ $$2\sqrt<3>=\sqrt[2]<12>=\sqrt[2*3]<12^<1*3>>=\sqrt[6]<12^3>=\sqrt[6]<1728>;$$ $$\sqrt[6]<2916>>\sqrt[6]<1728>;$$ $$3\sqrt[3]<2>>2\sqrt<3>.$$
Извлечение корня из корня
Что делать если корень вложен в корень? Подобных примеров много и выглядят они страшнее, чем есть на самом деле. Если корень с показателем \(n\) находится под корнем с показателем \(m\), то получается корень с показателем \(m*n\):
Метод интервалов для целых рациональных неравенств. Часть 1
Поэтому предстоит решить совокупность двух систем неравенств:
Решение первой системы:
Решение второй системы:
Итак, нам осталось объединить решения первой и второй систем:
Ответ:
А теперь представьте, если бы у нас было не два множителя, как выше, а три-четыре, а если бы при этом множители представляли из себя многочлены второй степени, например.
Представляете, сколько было бы перебора различных ситуаций?
Метод интервалов для рациональных неравенств
Метод интервалов выручит! Избавит нас от рутины! + показать
Мы ведь понимаем, что любое число – либо отрицательное (-), либо положительное (+), либо ноль. Где «переход» из одной зоны (+или – ) в другую (- или +)? В нуле!
На рисунке 1 функция обращается в нуль в точках -2; 1; 5 и 7. Именно при переходе через них она и меняет свой знак с одного на другой.
Функция может также коснуться оси (ох), и «не перескочить» в другую зону (как на рисунке 2). В данном случае точка – корень четной кратности (мы еще поговорим об этом).
В любом случае, если функция попала из одной «зоны» («+,-») в другую («-,+»), – значит она в какой-то точке должна была обратиться в ноль.
Поэтому-то нули функции и помогут нам!
Итак, давайте выработаем алгоритм, которого будем придерживаться при решении рациональных неравенств.
Алгоритм решения рациональных неравенств
Пусть нам дано неравенство вида , где – один из знаков .
1. Раскладываем на множители (если это возможно * ).
2. Находим нули .
3. Отмечаем корни (нули) функции на оси в порядке возрастания. Эти числа разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов выражение сохраняет знак, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный (или не меняет, если корень – четной кратности, например, в неравенстве – корень четной кратности, корень – обычный).
4. Расставляем знаки на интервалах, начиная от крайнего правого. Советую брать «миллиончик» – не промахнетесь (шучу). Нам не важно само значение функции в выбранной точке, но только ЗНАК в ней, поэтому не утруждайте себя подсчетами – только грубая прикидка.
5. Выбираем подходящие нам промежутки, записываем ответ. Например, если неравенство со знаком «>», то берем интервалы со знаком «+», если неравенство со знаком «<», то берем интервалы со знаком «-», если неравенство со знаком (), то берем промежутки со знаком «+» («-») c закрытыми концами.
Практика
Пример 1.
1) Разложим вторую скобку неравенства на множители по формуле «разность квадратов»:
2) Нули:
3)
4) Взяв «миллиончик» и «подставив» в , конечно же будем иметь знак «-». Далее знаки чередуются.
5) Выбираем подходящие нам промежутки, записываем ответ:
Пример 2.
1) Попадаем в ситуацию ( * ) – на множители-то не раскладывается, так как .
3) А отмечать-то нечего на оси 🙁
4) Так значит, меняться знаку негде! Он – либо «+» либо «-» всюду! Берем любое число, например, 0 и смотрим, какой знак в нем принимает выражение . Очевидно, это «+». Поэтому 
5) Ответ: .
Пример 3.
1) Раскладываем первую скобку на множители по формуле разность кубов:
. Заметим, дальше на множители не раскладывается, так как для этого квадратного трехчлена. А значит, эта скобка несет в себе только один знак (не трудно понять, что «+»). То есть, вообще говоря, мы можем поделить обе части исходного неравенства на . Полученное тогда неравенство равносильно исходному.
Будем дальше решать именно это неравенство:
2) Нули: .
3)-4) Обратите внимание: корень – четной кратности, при переходе через него не будет происходить смена знаков! Ну действительно, знак неравенства определяется только выражением , ведь принимает только «+» (то есть не влияет на знак произведения) или обращается в ноль.
Обратите внимание – в ответ пойдет и точка <-5>! Так как знак неравенства нестрогий, мы должны взять и все точки, лежащие на оси.
5) Ответ: <>.
Пример 4.
1) Первая скобка:
Вторая скобка: , так как , . Мы воспользовались этим (п. 7) правилом при разложении на множители квадратного трехчлена.
Третья скобка: способ разложения аналогичен способу разложению второй скобки.
2) Нули: , при этом – корни четной кратности.
Пример 5.
Надеюсь, у вас не возникает желания разложить на множители каждую из скобок? Ни в коем случае! Должен быть «0» справа!
Поэтому, первое, что нужно сделать, – перенести «-5» в левую сторону. Но раскрывать скобки и выходить на 4-ю степень не хотелось бы.
Замечаем, что есть одинаковые компоненты () в скобках, поэтому, можно сделать замену переменной. Обозначим за . Тогда получаем следующее неравенство: .
1) Раскладываем на множители:
2) Нули: 1; 5
3)-5) Ось у нас будет называться :
Теперь нам предстоит сделать обратную замену: .
Перепишем двойное неравенство в виде системы:
Нам предстоит решить два неравенства, а потом пересечь их решения.
Решаем первое неравенство:
Раскладываем на множители: .
Решение первого неравенства:
Решаем второе неравенство:
Раскладываем на множители:
Решение второго неравества: .
Пересекаем решения неравенств:
Пример 6.
Введем переменную: , заметим, при этом .
Или, что тоже самое:
! Возможно, вам будет интересно ВИДЕО по данной теме.
Здесь предлагаю ознакомиться с решением дробно-рациональных неравенств методом интервалов.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
- Тест по теме “Метод интервалов в дробно-рациональных неравенствах”
- С3 из тренировочной работы от 14 ноября 2013 (11 класс)
- С3 из ЕГЭ 2013 от 3 июня
- Обобщеннный метод интервалов. Часть 3
- Метод интервалов для дробно-рациональных неравенств. Часть 2.
- С3 диагностической работы от 12 декабря 2013 года
в самом последнем примере не могу понять логику решения, почему мы выбрали именно такой интервал? Как модуль влияет на решение? объясните пожалуйста…
Вопрос закрывается, я разобрался 🙂
Добавьте, пожалуйста, на сайт алгоритм решения систем уравнений с параметром.
Ээээ… Тут как бы нет единого алгоритма… Слишком много разных путей решения… Их тоже, конечно, можно в определенную систему уложить… но это долгий разговор… Может быть, когда-нибудь… 🙂
