Графики функций
Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 25 мая 2011 г., протокол № 10.
Рецензент д-р физ. мат. наук, профессор А. Д. Баев
Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математический анализ» подготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета
Рекомендуется для студентов первого курса очной и очно-заочной форм обучения
Для направлений 010400.62 «Прикладная математика и информатика», 010300.62 «Фундаментальная информатика и информационные технологии», 010500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», 080500.62 «Бизнес-информатика», 010800.62 «Механика и математическое моделирование».
Оглавление
Часть 1. Построение эскизов графиков функций 4
1. Графики основных элементарных функций 4
1.1. Постоянная и степенная функции 5
1.2. Показательная и логарифическая функции 8
1.3. Тригонометрические функции 9
1.4. Обратные тригонометрические функции 11
2. Элементарные преобразования графиков 12
3. Построение графиков функций, не являющихся элементарными 16
4. Действия с графиками функций 19
4.1. Сложение и вычитание графиков 19
4.2. Умножение и деление графиков 22
4.3. Построение графиков сложных функций 27
5. Графики в полярных координатах 32
5.1. Полярные координаты 32
5.2. Графики кривых в полярных координатах 33
Часть 2. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков 38
1. Признак возрастания и убывания функции 38
2. Локальные экстремумы функции 39
3. Выпуклость функции. Точки перегиба 43
4. Асимптоты 47
5. Порядок построения графика функции, заданной выражением 49
6. Построение графика функции, заданной параметрически 52
6.1. Порядок построения графика параметрически заданной функции 53
6. 2. Асимптоты параметрического графика 53
6. 3. Точки перегиба 53
6.4. Пример построения графика параметрически заданной функции 54
Список литературы 57
Введение
Методическое пособие составлено из двух частей: в первой части рассматривается построение эскизов графиков функций, во второй — построение графиков функций с использованием техники дифференцирования. Для построения эскизов графиков функций применяются следующие приемы: построение «по точкам», действия с графиками (например, сложение, вычитание, умножение графиков), преобразование графиков.
Часть 1. Построение эскизов графиков функций
В этой части мы будем изучать построение графиков функций, используя наименьшее число вычисление и избегая прямого применения дифференциального исчисления. Такие эскизы иллюстрируют общее поведение функции и полезны при решении различных задач.
В первом разделе этой части мы построим графики основных элементарных функций в прямоугольной декартовой системе координат и отметим некоторые особенности поведения этих функций.
Во втором разделе изучим элементарные преобразования графиков функций, таких как параллельный перенос, поворот, зеркальное отображение, растяжение, сжатие и др.
В третьем разделе построим графики некоторых функций, не являющихся элементарными.
В четвертом разделе разберем как производить сложение, вычитание, умножение и деление графиков, а также как строить график сложной функции.
В пятом разделе мы рассмотрим полярную систему координат и построим в ней графики некоторых функций, наиболее часто встречающихся в приложениях.
Как построить эскиз графика функции
Для наглядного описания функции очень часто используют ее графическое представление. Как правило, такое представление бывает полезно для обсуждения качественных вопросов поведения исследуемой функции.
Для точных расчетов графики используются реже. В связи с этим практически важным оказывается не столько скрупулезное воспроизведение функции в виде графика, сколько построение эскиза графика функции, правильно отражающего основные элементы ее поведения. Некоторые общие приемы, встречающиеся при построении эскизов графиков функций, мы и рассмотрим в этом пункте.
а. Графики элементарных функций.
Напомним прежде всего, как выглядят графики основных элементарных функций, свободное владение которыми необходимо для дальнейшего (рис. 24 — 30).
(кликните для просмотра скана)
b. Примеры построения эскизов графиков функций (без привлечения дифференциального исчисления).
Рассмотрим теперь некоторые примеры, в которых эскиз графика функции может быть легко построен, если нам известны графики и свойства простейших элементарных функций.
Пример 23. Построим эскиз графика функции
строим последовательно график квадратного трехчлена затем И затем (рис. 31).
«Угадать» такой вид графика можно было бы и иначе: выяснить область определения функции , найти поведение функции при приближении к граничным точкам области определения и на промежутках, концы которых являются граничными точками области определения, нарисовать «плавную кривую» с учетом найденного поведения функции у концов промежутка.
Пример 24. Построение эскиза графика функции
видно из рис. 32.
Мы построили этот график по некоторым характерным для данной функции точкам — тем точкам, где или Между двумя соседними точками такого типа функция монотонна. Вид графика в окрестности точки определяется тем, что при . Кроме того, полезно заметить, что данная функция четна.
Поскольку мы все время будем говорить только об эскизном, а не точном построении графика функции, то условимся ради краткости в дальнейшем считать, что требование «построить график функции» для нас всегда будет равносильно требованию «построить эскиз графика функции».
Пример 25. Построим график функции
(рис. 33). При график хорошо приближается прямой при — прямой
Введем следующее полезное
Определение 4. Прямая называется асимптотой графика функции при если при
Таким образом, в нашем случае при график имеет асимптоту при — асимптоту
Если при (или при ), то ясно, что график функции в этом случае будет по мере приближения к а все теснее примыкать к вертикальной прямой Эту прямую называют вертикальной асимптотой графика, в отличие от введенной в определении 4 асимптоты, которая всегда наклонна.
Так, график из примера 23 (см. рис. 31) имеет две вертикальные асимптоты и горизонтальную асимптоту (общую для
Из определения 4, очевидно, вытекает, что
И вообще, если при то
Эти соотношения, выписанные нами для случая разумеется, справедливы также в случае и могут быть использованы для описания асимптотического поведения графика функции с помощью графика соответствующего алгебраического полинома со
Пример 26. Пусть — полярные координаты на плоскости, и пусть точка движется по плоскости так, что в момент времени
Требуется нарисовать траекторию точки.
Нарисуем для этого сначала графики функций (рис. 34 а, 34 б).
Теперь, глядя одновременно на оба построенных графика, можем нарисовать общий вид траектории точки (рис. 34).
с. Использование дифференциального исчисления при построении графика функции.
Как мы видели, графики многих функций можно в общих чертах нарисовать, не выходя за пределы самых простых соображений. Однако если мы желаем уточнить эскиз, то в случае, когда производная исследуемой функции не слишком сложная, можно привлечь аппарат дифференциального исчисления. Продемонстрируем это на примерах.
Пример 27. Построить график функции в случае
Функция определена при Поскольку при то
Далее, при , очевидно, имеем при . Наконец, видно, что На основании этих наблюдений уже можно сделать первый набросок графика (рис. 35 а).
Выясним теперь основательно, действительно ли данная функция монотонна на промежутках действительно ли она имеет указанные асимптоты и правильно ли изображен характер выпуклости графика функции.
то можно составить следующую таблицу:
На участках постоянства знака производной функция, как мы знаем, имеет соответствующий характер монотонности. В нижней строке таблицы символ означает монотонное убывание от до 0, а символ монотонное возрастание значений функции от 0 до
Заметим, что при при поэтому точка должна быть угловой точкой графика (излом типа излома у графика функции не обычной точкой, как это у нас изображено на рис. 35 а. Далее, при поэтому график должен выходить из начала координат, касаясь оси абсцисс (вспомните геометрический смысл
Уточним теперь асимптотику функции при
Поскольку при то
значит, на самом деле наклонные асимптоты графика суть при при
По этим данным уже можно построить достаточно надежный эскиз графика, но мы пойдем дальше и, вычислив
найдем участки выпуклости графика.
Поскольку лишь при то имеем следующую таблицу:
Поскольку при наша функция дифференцируема, а при переходе через эту точку меняет знак, то точка является точкой перегиба графика.
Между прочим, если бы производная обращалась в нуль, то из таблицы знаков можно было бы судить о наличии или отсутствии экстремума в соответствующей точке. В нашем случае нигде не обращается в нуль, но в точке функция имеет локальный минимум: она непрерывна в этой точке и при переходе через нее меняет знак с — на Впрочем, то, что при наша функция имеет минимум, видно уже из приведенного в таблице описания изменения значений функции на соответствующих промежутках, если, конечно, учесть еще, что
Теперь можно нарисовать более точный эскиз графика данной функции (см. рис. 35).
В заключение рассмотрим еще один
Пример 28. Пусть — декартовы координаты на плоскости, и пусть движущаяся точка в каждый момент имеет координаты
Требуется изобразить траекторию движения точки.
Нарисуем сначала эскизы графиков каждой из данных координатных функций (рис. 36 а, 36 б).
Второй из этих графиков несколько интереснее, поэтому поясним его построение.
Поведение функции при и асимптотику при усматриваем непосредственно из вида аналитического выражения для
находим ее нули: в области .
находим участки монотонности и локальные экстремумы
Теперь, глядя одновременно на оба графика строим эскиз траектории движения точки по плоскости (см. рис.
Этот эскиз можно уточнять. Например, можно выяснить асимптотику траектории.
Поскольку то прямая является асимптотой для обоих концов траектории, отвечающих стремлению к 1. Ясно также, что прямая есть вертикальная асимптота для участка траектории, отвечающего
Функция , как легко выяснить, монотонно убывает от 1 до —1 при возрастании и от 0 до 1 и возрастает от — 1 до при возрастании и от 1 до
Из характера монотонности можно сделать заключение о характере выпуклости траектории на соответствующем участке. С учетом сказанного теперь можно построить следующий, более точный эскиз траектории движения точки (см. рис. 36d).
Если бы мы рассматривали траекторию также для то, как следует из нечетности функций к уже построенным на плоскости линиям добавились бы еще центрально симметричные им кривые.
Подведем некоторые итоги в виде самых общих рекомендаций относительно порядка построения графика заданной аналитически функции. Вот эти рекомендации.
1° Указать область определения функции.
2° Отметить специфические особенности функции, если они очевидны (например, четность, нечетность, периодичность, совпадение с точностью до простейших преобразований координат с графиками уже известных функций).
3° Выяснить асимптотическое поведение функции при подходе к граничным точкам области определения и, в частности, найти асимптоты, если они существуют.
4° Найти промежутки монотонности функции и указать ее локальные экстремумы.
5° Уточнить характер выпуклости графика и указать точки перегиба.
6° Отметить характерные точки графика, в частности точки пересечения с осями координат, если таковые имеются и доступны вычислению.
Исследование функции и построение графика
На этой странице мы постарались собрать для вас наиболее полную информацию об исследовании функции. Больше не надо гуглить! Просто читайте, изучайте, скачивайте, переходите по отобранным ссылкам.
Что будет дальше?
Общая схема исследования
Для чего нужно это исследование, спросите вы, если есть множество сервисов, которые построят график онлайн для самых замудренных функций? Для того, чтобы узнать свойства и особенности данной функции: как ведет себя на бесконечности, насколько быстро меняет знак, как плавно или резко возрастает или убывает, куда направлены «горбы» выпуклости, где не определены значения и т.п.
А уже на основании этих «особенностей» и строится макет графика — картинка, которая на самом-то деле вторична (хотя в учебных целях важна и подтверждает правильность вашего решения).
Начнем, конечно же, с плана. Исследование функции — объемная задача (пожалуй, самая объемная из традиционного курса высшей математики, обычно от 2 до 4 страниц с учетом чертежа), поэтому, чтобы не забыть, что в каком порядке делать, следуем пунктам, описанным ниже.
Алгоритм
- Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
- Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
- Найти точки пересечения с осями координат.
- Установить, является ли функция чётной или нечётной.
- Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).
- Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
- Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
- Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
- Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
- Построить график и асимптоты.
В разных источниках (учебниках, методичках, лекциях вашего преподавателя) список может иметь отличный от данного вид: некоторые пункты меняются местами, объединяются с другими, сокращаются или убираются. Учитывайте требования/предпочтения вашего учителя при оформлении решения.
Схема исследования в формате pdf: скачать.
Полный пример решения онлайн
Провести полное исследование и построить график функции $$ y(x)=\frac
1) Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя. $$1-x=0, \quad \Rightarrow \quad x=1.$$ Исключаем единственную точку $x=1$ из области определения функции и получаем: $$ D(y)=(-\infty; 1) \cup (1;+\infty). $$
2) Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва. Найдем односторонние пределы:
Так как пределы равны бесконечности, точка $x=1$ является разрывом второго рода, прямая $x=1$ — вертикальная асимптота.
3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.
Найдем точки пересечения с осью ординат $Oy$, для чего приравниваем $x=0$:
Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0;8)$.
Найдем точки пересечения с осью абсцисс $Ox$, для чего положим $y=0$:
Уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью $Ox$ нет.
Заметим, что $x^2+8>0$ для любых $x$. Поэтому при $x \in (-\infty; 1)$ функция $y>0$ (принимает положительные значения, график находится выше оси абсцисс), при $x \in (1; +\infty)$ функция $y\lt 0$ (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).
4) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:
5) Исследуем функцию на периодичность. Функция не является периодической, так как представляет собой дробно-рациональную функцию.
6) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции:
Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых $y’=0$):
Получили три критические точки: $x=-2, x=1, x=4$. Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:
При $x \in (-\infty; -2), (4;+\infty)$ производная $y’ \lt 0$, поэтому функция убывает на данных промежутках.
При $x \in (-2; 1), (1;4)$ производная $y’ >0$, функция возрастает на данных промежутках.
При этом $x=-2$ — точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает), $x=4$ — точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает).
Найдем значения функции в этих точках:
Таким образом, точка минимума $(-2;4)$, точка максимума $(4;-8)$.
7) Исследуем функцию на перегибы и выпуклость. Найдем вторую производную функции:
Приравняем вторую производную к нулю:
Полученное уравнение не имеет корней, поэтому точек перегиба нет. При этом, когда $x \in (-\infty; 1)$ выполняется $y» \gt 0$, то есть функция вогнутая, когда $x \in (1;+\infty)$ выполняется $y» \lt 0$, то есть функция выпуклая.
8) Исследуем поведение функции на бесконечности, то есть при .
Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Попробуем определить наклонные асимптоты вида $y=kx+b$. Вычисляем значения $k, b$ по известным формулам:
Получили, у что функции есть одна наклонная асимптота $y=-x-1$.
9) Дополнительные точки. Вычислим значение функции в некоторых других точках, чтобы точнее построить график.
10) По полученным данным построим график, дополним его асимптотами $x=1$ (синий), $y=-x-1$ (зеленый) и отметим характерные точки (фиолетовым пересечение с осью ординат, оранжевым экстремумы, черным дополнительные точки):
Примеры решений по исследованию функции
Разные функции (многочлены, логарифмы, дроби) имеют свои особенности при исследовании (разрывы, асимптоты, количество экстремумов, ограниченная область определения), поэтому здесь мы пострались собрать примеры из контрольных на исследование функций наиболее часто встречающихся типов. Удачи в изучении!
Задача 1. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.
Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график.
Задача 3. Исследовать функцию с помощью производной и построить график.
Задача 4. Провести полное исследование функции и построить график.
Задача 5. Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график.
Задача 6. Исследовать функцию на экстремумы, монотонность, выпуклость и построить график.
Задача 7. Проведите исследование функции с построением графика.
Задача 8. Построить график функции $y=y(x)$, заданной параметрически
Задача 9. Исследовать функцию и построить ее график $r=1+tg \phi$.
Задача 10. Исследовать функцию и построить ее график $(x^2+y^2)^3=4x^2y^2$.
Задача 11. Провести полное исследование периодической функции $y = \cos 3x – 2 \sin 6x$ и построить её график.
Задача 12. Провести полное исследование и построить график функции $y=f(x)$ с помощью Excel. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-3; -1]$.
Задача 13. Провести полное исследование и построить график функции.
Как построить график онлайн?
Даже если преподаватель требует вас сдавать задание, написанное от руки, с чертежом на листке в клеточку, вам будет крайне полезно во время решения построить график в специальной программе (или сервисе), чтобы проверить ход решения, сравнить его вид с тем, что получается вручную, возможно, найти ошибки в своих расчетах (когда графики явно ведут себя непохоже).
Ниже вы найдете несколько ссылок на сайты, которые позволяют построить удобно, быстро, красиво и, конечно, бесплатно графики практически любых функций. На самом деле таких сервисов гораздо больше, но стоит ли искать, если выбраны лучшие?
Графический калькулятор Desmos
Desmos.com
Невероятно гибкий и функциональный графический калькулятор. Интутивно понятно вводятся формулы (прямо на ходу преобразуются), автоматически подбираются масштаб и цвета графика для максимальной наглядности. Например, для функции $y(x)=\frac
При этом сайт сам пометил важные точки на графике (см. серым): локальный экстремум, пересечение с осями.
Вы можете менять масштаб, цвета, вид линий; добавлять на график точки, линии, кривые, табличные данные и даже анимацию!
Посмотрите, какую красоту Desmos умеет рисовать (точнее, его пользователи):
Сайт для построения графиков y(x).ru
y(x).ru
Это уже наш продукт, возможно, не такой красивый и интерактивный, но вполне подходящий для учебных целей. Можно строить онлайн несколько графиков одновременно, при этом выбирать и обычный, и параметрический вид, и даже задание в полярных координатах. Цвет и масштаб можно менять вручную. Вот так вводятся графики:
И такой график получается в итоге:
Из минусов можно заметить, что вводить, например, горизонтальные асимптоты не так просто: если в Desmos мы просто написали $x=2$, то здесь пришлось вводить параметрическую функцию $x(t)=2, y(t)=t$. Цвета и масштаб тоже пришлось подбирать вручную (иначе все графики оказались бы красными и мелкими).
Другие сайты
Еще несколько сервисов, которые обладают меньшим удобством/функциональностью, но тоже достойны внимания:
- Можно построить сразу несколько функций, цвета подбираются автоматически, график интерактивный (положение и масштаб меняются мышкой). Можно строить несколько графиков, выбирая толщину линий и цвет, скрывать/отображать сетку, менять масштаб, сохранять картинки в файл. При построении нескольких графиков на одном поле предыдущие не редактируются. В остальном функции как у прежних: выбор цвета, толщины линии, масштаба чертежа. Кроме обычных графиков можно также строить трехмерные (3d). Можно построить несколько графиков разного типа (обычный,параметрический, в полярных координатах). Цвет и толщину линии выбрать нельзя. Интерактивности нет
Больше знаний: теория и практика
Еще немного ссылок для тех, кто хочет углубиться в тему. Первая ссылка на теоретический материал, где вы найдете и подробные примеры, и отсылки к предыдущим разделам теории (а исследовать функцию не зная пределов, производных, понятия непрерывности и т.п. нельзя) с не менее подробным объяснением. Все это сдобрено порцией юмора, отчего очень «съедобно» даже для полного чайника в математике: Исследование функций от Александра Емелина.
Вторая ссылка практическая, для тех, кто хочет научиться строить красивые графики в Desmos.com (см. выше описание): Полная инструкция по работе с Desmos. Эта инструкция довольно старая, с тех пор интерфейс сайта поменялся в лучшую сторону, но основы остались неизменными и помогут быстро разобраться с важными функциями сервиса.
Официальные инструкции, примеры и видео-инструкции на английском можно найти тут: Learn Desmos.
Решебник
Срочно нужна готовая задача? Более сотни разных функций с полным исследованием уже ждут вас. Подробное решение, быстрая оплата по SMS и низкая цена — около 50 рублей. Может, и ваша задача уже готова? Проверьте!
Полезные видео-ролики
Вебинар по работе с Desmos.com. Это уже полноценный обзор функций сайта, на целых 36 минут. К сожалению, он на английском языке, но базовых знаний языка и внимательности достаточно, чтобы понять большую часть.
Классный старый научно-популярный фильм «Математика. Функции и графики». Объяснения на пальцах в прямом смысле слова самых основ.
Урок 20. Построение графиков функций
Ознакомьтесь с процессом построения графика функции на данном примере.
Необходимо запомнить
Схема (полная) построения графика функции:
1. Найти область определения функции $D(f)$.
2. Исследовать функцию на четность (найти $f(-x)$).
3. Найти асимптоты:
Если $lim_
и при $х=а$; $q(x)=0$, а $р(х)≠0$, то $x=a$ – вертикальная асимптота.
4. Найти стационарные и критические точки.
5. Найти промежутки монотонности.
6. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз
7. Найти точки перегиба
8. Составить таблицу значений функции для некоторых точек.
9. По полученным данным построить график функции.
Построение графиков функций
Рассмотрим задачу:
1) Постройте график функции $y=x+\frac<1>
1) $D(y) = (-\infty; 1)\cup(1; +\infty)$
2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к. $f(-x)\ne f(x),f(-x)\ne-f(x)$
3) $х = 1$ – вертикальная асимптота
4) $f ’(x) = 1-\frac<1><(x-1)^2>$ , $f’(x) = 0$ при $х = 2$, $х = 0$, $х = 2$, $х = 0$ – стационарные точки.
5) $f ’(x)\gt 0$ при $x\in(-\infty;0)$, $x\in (2;+\infty)$ Так как в точках $х=0$, $х=2$ функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.
$f ’(x)\lt 0$ при $x\in (0;1)$, $x\in (1;2)$ .Так как в точках $х = 0$, $х = 2$ функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки убывания.
6) Так как в точке $х = 0$ производная меняет знак с «+» на «-», то $х = 0$ – точка максимума.
Так как в точке $х = 2$ производная меняет знак с «-» на «+», то $х = 2$ – точка минимума.