Как найти сумму всех пятизначных чисел

Найдите сумму всех пятизначных чисел, состоящих только из цифр 0 и 1

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

1. Дано действительное число – цена 1 кг конфет. Вывести стоимость 0,5; 1; 1,5 … 10 кг конфет. (Подсказка – используем цикл WHILE).

Программа должна иметь следующий вид:

Компьютер запрашивает стоимость одного килограмма конфет.

Пользователь вводит стоимость одного килограмма конфет, и компьютер выводит на экран:

Как найти сумму всех пятизначных чисел

11 Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр: а) 1,2, 5, 6, 7, 8; б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?
Решение.

а) Дано 6 цифр: 1, 2, 5, 6, 7, 8, из них можно составлять разные шестизначные числа, только переставляя эти цифры местами. Количество различных шестизначных чисел при этом равно $Р_6 = 6! = 720$.

б) Дано 6 цифр: 0, 2, 5, 6, 7, 8, из них нужно составлять различные шестизначные числа. Отличие от предыдущей задачи состоит в том, что ноль не может стоять на первом месте.

Можно напрямую применить правило произведения: на первое место можно выбрать любую из 5 цифр (кроме нуля); на второе место — любую из 5 оставшихся цифр (4 «ненулевые» и теперь считаем ноль); на третье место — любую из 4 оставшихся после первых двух выборов цифр, и т. д. Общее количество вариантов равно: $5*5*4*3*2*1= 600$.

Можно применить метод исключения лишних вариантов. 6 цифр можно переставить $Р_6 = 6! = 720$ различными способами. Среди этих способов будут такие, в которых на первом месте стоит ноль, что недопустимо. Подсчитаем количество этих недопустимых вариантов. Если на первом месте стоит ноль (он фиксирован), то на последующих пяти местах могут стоять в произвольном порядке «ненулевые» цифры 2, 5, 6, 7, 8. Количество различных способов, которыми можно разместить 5 цифр на 5 местах, равно $Р_5 = 5! = 120$, т. е. количество перестановок чисел, начинающихся с нуля, равно 120. Искомое количество различных шестизначных чисел в этом случае равно: $Р_6 — Р_5 = 720 — 120 = 600$.

Ответ: а) 720; б) 600 чисел.

11. Т. Сколько среди четырехзначных чисел (без повторения цифр), составленных из цифр 3, 5, 7, 9, таких, которые: а) начинаются с цифры 3;

а) Из цифр 3, 5, 7, 9 составляем четырехзначные числа, начинающиеся с цифры 3.

Фиксируем цифру 3 на первом месте; тогда на трех оставшихся местах в произвольном порядке могут располагаться цифры 5, 7 9 Общее количество вариантов их расположения равно Р3= 3!=6. Столько и будет разных четырехзначных чисел, составленных из данных цифр и начинающихся с цифры 3.

б) Заметим, что сумма данных цифр 3 + 5 + 7 + 9 = 24 делится на 3, следовательно, любое четырехзначное число, составленное из этих цифр, делится на 3. Для того, чтобы некоторые из этих чисел делились на 15, необходимо, чтобы они заканчивались цифрой 5.

Фиксируем цифру 5 на последнем месте; остальные 3 цифры можно разместить на трех местах перед 5 Рз = 3! = 6 различными способами. Столько и будет разных четырехзначных чисел, составленных из данных цифр, которые делятся на 15.

Ответ: а) 6 чисел; б) 6 чисел.

12. Т. Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без их повторения).

Каждое четырехзначное число, составленное из цифр 1, 3, 5, 7 (без повторения), имеет сумму цифр, равную 1+3 + 5 + 7=16.

Из этих цифр можно составить Р4 = 4! = 24 различных числа, отличающихся только порядком цифр. Сумма цифр всех этих чисел будет равна

16 hello_html_m4d36610e.gif = 384.

13. Т. Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:

а) Олег должен находиться в конце ряда;

б) Олег должен находиться в начале ряда, а Игорь — в конце ряда;

в) Олег и Игорь должны стоять рядом.
Решение.

а) Всего 7 мальчиков на 7 местах, но один элемент фиксирован, не переставляется (Олег находится в конце ряда). Число возможных комбинаций при этом равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом: Р6=6!=720.

пару как единый элемент, переставляемый с другими пятью элементами. Число возможных комбинаций тогда будет Р6 = 6! = 720.

Пусть теперь Олег и Игорь стоят рядом в порядке ИО. Тогда получим еще Р6 = 6! = 720 других комбинаций.

Общее число комбинаций, в которых Олег и Игорь стоят рядом (в любом порядке) равно 720 + 720 = 1 440.

Ответ: а) 720; б) 120; в) 1 440 комбинаций.

14. М. Одиннадцать футболистов строятся перед началом матча. Первым становится капитан, вторым — вратарь, а остальные — случайным образом. Сколько существует способов построения?

После капитана и вратаря третий игрок может выбрать любое из 9 оставшихся мест, следующий — из 8, и т. д. Общее число способов построения по правилу произведения равно:

1hello_html_m3c563423.gif =362 880, или hello_html_m12882a1c.gifР9= 9! = 362 880.

15. М. Сколькими способами можно обозначить вершины куба буквами А, В, С, D, E, F, G, K?

Для первой вершины можно выбрать любую из 8 букв, для второй — любую из 7 оставшихся, и т. д. Общее число способов по правилу произведения равноhello_html_1e202969.gif=40 320, или Р8 = 8!

16. Т. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?

Всего 6 уроков, из них два урока математики должны стоять рядом.

«Склеиваем» два элемента (алгебра и геометрия) сначала в порядке АГ, затем в порядке ГА. При каждом варианте «склеивания» получаем Р5 = 5! = 120 вариантов расписания. Общее число способов составить расписание равно120 (AГ) +120 (ГА) = 240.

Ответ: 240 способов.

17. Т. Сколько существует перестановок букв слова «конус», в которых буквы К, О, Н стоят рядом?

Дано 5 букв, из которых три буквы должны стоять рядом. Три буквы К, О, Н могут стоять рядом одним из Р3 = 3! = 6 способов. Для каждого способа «склеивания» букв К, О, Н получаем Р3 = 3! = 6 способов перестановки букв, «склейка», У, С. Общее число различных перестановок букв слова «конус», в которых буквы К, О, Н стоят рядом, равно 6 • 6 = 36 перестановок- анаграмм.

Ответ: 36 анаграмм.

18. Т. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10? Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных?

Каждый вариант расположения мальчиков может сочетаться с каждым из вариантов расположения девочек, поэтому по правилу произведения общее число способов рассадить детей в этом случае равно 120hello_html_m491b39d8.gif20= 14400.

Ответ: 3 628 800 способов; 14 400 способов.

19. Т. Пять мальчиков и четыре девочки хотят сесть на девятиместную скамейку так, чтобы каждая девочка сидела между двумя мальчиками. Сколькими способами они могут это сделать?

По условию задачи мальчики и девочки должны чередоваться, т. е. девочки могут сидеть только на четных местах, а мальчики -только на нечетных. Поэтому меняться местами девочки могут только с девочками, а мальчики — только с мальчиками. Четырех девочек можно рассадить на четырех четных местах Р4 = 4! = 24 способами, а пятерых мальчиков на пяти нечетных местах Р5 = 5! = 120 способами.

Каждый способ размещения девочек может сочетаться с каждым способом размещения мальчиков, поэтому по правилу произведения общее число способов равно: Р4hello_html_552d120f.gif20 = 2 880 способов.

Ответ: 2 880 способов.

20. Ф. Разложить на простые множители числа 30 и 210. Сколькими способами можно записать в виде произведения продых множителей число: 1) 30; 2) 210?

Разложим данные числа на простые множители:

30 = 2hello_html_12f685af.gif; 210 = 2hello_html_m2e795925.gif.

Число 30 можно записать в виде произведения простых множителей

Р3 = 3! = 6 разными способами (переставляя множители).

Число 210 можно записать в виде произведения простых
множителей Р4 = 4! = 24 разными способами.

Ответ: 1) 6 способов; 2) 24 способа.

21. Ф. Сколько различных четных четырехзначных чисел с неповторяющимися цифрами можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 5?

Чтобы число было четным, оно должно заканчиваться четной цифрой, т. е. 2. Зафиксируем двойку на последнем месте, остальные три цифры должны стоять перед ней в произвольном порядке. Количество различных перестановок из 3 цифр равно P3 = 3! = 6; следовательно, различных четных четырехзначных чисел будет также 6 (к каждой перестановке из трех цифр добавляется цифра 2).

22. Ф. Сколько различных нечетных пятизначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно записать с помощью Цифр 1,2, 4, 6, 8?

Чтобы составленное число было нечетным, необходимо, чтобы оно оканчивалось нечетной цифрой, т. е. единицей. Остальные 4 Цифры можно переставлять местами, располагая каждую перестановку перед единицей.

Общее число нечетных пятизначных чисел равно числу перестановок: Р4 = 4! =24.

23. Ф. Сколько различных шестизначных чисел с неповторяющимися цифрами можно записать с помощью цифр 1; 2 3, 4, 5, 6, если: 1) число должно начинаться с 56; 2) цифры 5 и 6 в числе должны стоять рядом?

Две цифры 5 и 6 фиксируем в начале числа и дописываем к ним различные перестановки из 4 оставшихся цифр; количество различных шестизначных чисел равно: Р4 = 4! = 24.

Условно будем считать пару 56 одной цифрой и переставлять ее с четырьмя остальными цифрами; получим Р5 = 5! = 120 различных чисел из 5 цифр, среди которых одна условная, двойная.

Если считать условной цифрой пару 65, то получим еще Р5 = 5! = = 120 различных чисел.

Общее количество различных шестизначных чисел, в которых цифры 5 и 6 стоят рядом (в любом порядке), равно 120 + 120 = 240 чисел. (Варианты 56 и 65 несовместны, не могут реализоваться одновременно; применяем комбинаторное правило суммы.)

Ответ: 1) 24 числа; 2) 240 чисел.

24. Ф. Сколько различных четных четырехзначных чисел, в записи которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 1,2,3,4?

Четное число должно оканчиваться четной цифрой. Фиксируем на последнем месте цифру 2, тогда 3 предшествующие цифры можно переставить Р3 = 3! = 6 различными способами; получим 6 чисел с двойкой на конце. Фиксируем на последнем месте цифру 4, получим Р3 = 3! = 6 различных перестановок трех предшествующих цифр и 6 чисел, оканчивающихся цифрой 4.

Общее количество четных четырехзначных чисел будет 6 + 6 = 12 различных чисел.

Замечание. Общее количество вариантов мы находим, пользуясь комбинаторным правилом суммы (6 вариантов чисел, оканчивающихся двойкой, 6 вариантов чисел, оканчивающихся четверкой; способы построения чисел с двойкой и с четверкой на конце являются взаимоисключающими, несовместными, поэтому общее количество вариантов равно сумме числа вариантов с двойкой на конце и числа вариантов с 4 на конце). Запись 6 + 6 = 12 лучше отражает основания наших действий, чем запись Рhello_html_61b3018f.gif.

25. Ф. Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей число 1) 12; 2) 24; 3) 120?

Особенностью этой задачи является то, что в разложении каждого из данных чисел есть одинаковые, повторяющиеся множители. При образовании различных перестановок из множителей мы не получим новую перестановку, если поменяем местами какие-нибудь два одинаковых множителя.

1) Число 12 разлагается на три простых множителя, два из которых одинаковы: 12 = hello_html_4ceccab8.gifhello_html_2acfdf34.gif.

Если бы все множители были различны, то их можно было бы переставить в произведении Р3 = 3! = 6 различными способами. Чтобы перечислить эти способы, условно «различим» две двойки, подчеркнем одну из них: 12 = 2hello_html_4c79c33a.gif.

Тогда возможны следующие 6 вариантов разложения на жители: hello_html_5df3b42f.gifhello_html_5df3b42f.gif

Но на самом деле подчеркивание цифр не имеет в математике никакого значения, поэтому полученные 6 перестановок в обычной записи имеют вид:

т. е. фактически мы получили не 6, а 3 различные перестановки Количество перестановок уменьшилось в два раза за счет того, что мы не должны учитывать перестановки двух двоек между собой.

Обозначим Рх искомое число перестановок из трех элементов среди которых два одинаковых; тогда полученный нами результат можно записать так: Рз = Рхhello_html_555d1597.gifНо 2 — это количество разных перестановок из двух элементов, т. е. 2 = hello_html_6352f4e9.gif = 2! = Р2, поэтому Р3, = Рх hello_html_m36b86dac.gif Р2 , отсюда Рх =hello_html_1c22da73.gif. (это формула для числа перестановок с повторениями).

Можно рассуждать иначе, основываясь только на комбинаторном правиле произведения.

Чтобы составить произведение из трех множителей, сначала выберем место для множителя 3; это можно сделать одним из трех способов. После этого оба оставшихся места заполняем двойками; это можно сделать 1 способом. По правилу произведения общее число способов равно: 3-1 =3.

2)Число 24 разлагается на четыре простых множителя, из которых три — одинаковые: 24=hello_html_m35d69112.gif

Чтобы составить произведение из четырех множителей, сначала выберем место для множителя 3; это можно сделать одним из четырех способов. После этого все три оставшихся места заполним двойками; это можно сделать 1 способом (двойки неразличимы между собой, поэтому просто пишем на каждое свободное место по двойке). По правилу произведения получим 4hello_html_m36b86dac.gif1=4 различных записи произведения.

3) Число 120 разлагается на 5 простых множителей (2,2,2,3,5), из которых три- одинаковые. В этом случае hello_html_m7b9e2f32.gif, Рх=20.

Второй способ. Составляя произведение из пяти множителей, сначала выберем место для пятерки (5 способов), затем для тройки (4 способа), а оставшиеся 3 места заполним двойками (1 способ); по правилу произведения 5 • 4 • 1 = 20.

Ответ: 1) 3; 2) 4; 3) 20.

26. Ф. Сколькими способами можно закрасить 6 клеток таким образом, чтобы 3 клетки были красными, а 3 оставшиеся были закрашены (каждая своим цветом) белым, черным или зеленым?

Перестановки из 6 элементов, среди которых три — одинаковые:

Иначе: для закраски белым цветом можно выбрать одну из 6 клеток, черным — из 5, зеленым — из 4; три оставшиеся клетки закрашиваем красным цветом. Общее число способов: 6 • 5 • 4 • 1 = 120.

Ответ: 120 способов.

27.Т. Пешеход должен пройти один квартал на север и три квартала на запад. Выпишите все возможные маршруты пешехода.

Будем обозначать каждый маршрут последовательностью из 4 букв: трех букв з и одной с. Каждая буква показывает, в каком направлении пешеход проходит очередной квартал. Выбрать маршрут — это значит выбрать для буквы с одно место из четырех возможных. Поэтому возможны следующие маршруты:

Количество различных маршрутов равно Р4 = hello_html_11e512a4.gif hello_html_m6dcc6463.gif

Иначе: выбираем одно место из 4 для буквы с; количество вариантов равно hello_html_m57310d7c.gif= 4.

Ответ: 4 маршрута.

28. М. а) На дверях четырех одинаковых кабинетов надо повесить таблички с фамилиями четырех заместителей директора. Сколькими способами это можно сделать?

б) В 9 «А» классе в среду 5 уроков: алгебра, геометрия, физкультура, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на этот день?

в) Сколькими способами четыре вора могут разбежаться по одному на все четыре стороны?

г) Адъютант должен развезти пять копий приказа генерала пяти полкам. Сколькими способами он может выбрать маршрут доставки копий приказа?

а) Для первой таблички можно выбрать любой из 4 кабинетов,
Для второй — любой из трех оставшихся, для третьей — любой из двух оставшихся, для четвертой — один оставшийся; по правилу
произведения общее число способов равно: 4 • 3 • 2 • 1 = 24, или Р4 = 4! = 24.

б) На первый урок ставим любой из пяти предметов, на второй — из четырех, и т. д. Общее число вариантов расписания по правилу произведения равно: hello_html_m5a4dcb42.gif= 120, или Р5 = 5! = 120.

в) Обозначим 4 стороны как С, Ю, В, 3. Первый вор выбирает любую из четырех сторон, второй — из трех, третий — из двух, общее число способов равно: hello_html_m1bda85a2.gif= 24, или Р4 = 4! = 24.

г) Под маршрутом будем понимать последовательность, посещения полков. Первым можно

посетить любой из 5 полков, после этого — любой из 4 оставшихся, и т. д. Общее число возможных маршрутов равно: hello_html_m5a4dcb42.gif= 120, или Р5 = 5! = 120.

Задачи по комбинаторике. Часть 1

В этой статье использован материал из лекций Шарича Владимира Златковича и Максимова Дмитрия Васильевича на КПК foxford.

Очень рекомендую абитуриентам курсы foxford для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам.

1. Сколько четырехзначных чисел содержит ровно одну семерку?

Четырехзначное число имеет вид . Если четырехзначное число содержит ровно одну семерку, то она может стоять

1) на первом месте, и тогда на остальных трех местах могут стоять любые цифры от 0 до 9, кроме цифры 7, и по правилу произведения мы получаем четырехзначных чисел, у которых семерка стоит на первом месте.

2) на любом месте, кроме первого, и тогда по правилу произведения мы получаем . У нас три возможности расположения цифры 7, на первом месте может стоять 8 цифр (все цифры, кроме нуля и 7), на тех местах, где не стоит цифра 7 — 9 цифр.

Сложим полученные варианты, и получим четырехзначных чисел, содержащих ровно одну семерку.

2. Сколько пятизначных чисел содержит ровно две семерки?

Так же как в предыдущей задаче у нас две возможности:

1) Одна из семерок стоит на первом месте, а вторая на любом из оставшихся четырех мест. На трех местах, не занятых цифрой 7 может стоять любая из 9 цифр (все, кроме цифры 7). В этом случае мы получаем чисел.

2) Ни одна из семерок не стоит на первом месте. В этом случае мы имеем возможностей расставить 2 семерки на оставшихся 4-х местах. У нас осталось 3 места, не занятых цифрой 7, одно из которых первое, и таким образом мы получаем чисел.

Сложим полученные варианты, и получим пятизначных чисел, содержащих ровно две семерки.

3. Сколько существует пятизначных чисел, цифры которых различны и расположены в порядке возрастания?

Так как первой цифрой не может быть 0, рассмотрим последовательность цифр 1-9, расположенных в порядке возрастания.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Если мы выберем из этой последовательности 5 произвольных цифр, например так:

1, 2 , 3, 4 , 5, 6, 7 , 8 , 9

то получим пятизначное число, цифры которого различны и расположены в порядке возрастания.

Осталось посчитать, сколькими способами мы можем выбрать из 9 цифр 5:

Итак существует 126 пятизначных чисел, цифры которых различны и расположены в порядке возрастания.

Треугольник Паскаля и число сочетаний.

4. Задача о хромом короле. Пусть есть доска размером . Король находится в левом верхнем углу доски и может перемещаться по доске, двигаясь только вправо и вниз. Сколькими способами король может добраться до левого нижнего угла доски?

Посчитаем, для каждой клетки, сколькими способами король может до нее добраться.

Так как король может двигаться только вправо и вниз, до любой клетки первого столбца и первой строки он может добраться единственным способом:

Рассмотрим произвольную клетку доски. Если в клетку, стоящую над ней можно добраться способами, а в клетку, стоящую слева от нее способами, то в саму клетку можно добраться способами (это следует из того, что король может двигаться только вправо и вниз, то есть не может дважды зайти на одну клетку):

Заполним начальные клетки, пользуясь этим правилом:

Мы видим, что при заполнении клеток у нас получается треугольник Паскаля, только повернутый на бок.

Число в каждой клетке показывает, сколькими способами король может попасть в эту клетку из левой верхней.

Например, чтобы попасть в клетку (4;3) — четвертая строка, третий столбец, король должен сделать 4-1=3 шага вправо, и 3-1=2 шага вниз. То есть всего 3+2=5 шагов. Нам нужно найти число возможных последовательностей этих шагов:

То есть найти, скольким способами мы можем расположить 2 вертикальные (или 3 горизонтальные) стрелки на 5-ти местах. Число способов равно:

— то есть ровно то число, которое стоит в этой клетке.

Для того, чтобы попасть в последнюю клетку, король должен сделать всего шага, из которых по вертикали. Таким образом, он может попасть в последнюю клетку

Можно получить рекуррентное соотношение для числа сочетаний:

Смысл этого соотношения следующий. Путь у нас есть множество, состоящее из n элементов. И нам нужно выбрать из этого множества l элементов. Все способы, которыми мы можем это сделать делятся на две группы, которые не пересекаются. Мы можем:

а) зафиксировать один элемент, и из оставшихся n-1-го элемента выбрать l-1 элемент. Это можно сделать способами.

б) выбрать из оставшихся n-1-го элемента все l элементов. Это можно сделать способами.

Также можно получить соотношение:

Действительно, левая часть этого равенства показывает число способов выбрать какое-то подмножество из множества, содержащего n элементов. (Подмножество, содержащее 0 элементов, 1 элемент и так далее.) Если мы пронумеруем n элементов, то получим цепочку из n нулей и единиц, в которой 0 означает, что данные элемент не выбран, а 1 — что выбран. Всего таких комбинаций, состоящих из нулей и единиц .

Кроме того, число подмножеств с четным числом элементов равно числу подмножеств с нечетным числом элементов:

Докажем это соотношение. Для этого докажем, что между подмножествами с четным числом элементов и подмножествами с нечетным числом элементов существует взаимно однозначное соответствие.

Зафиксируем один элемент множества:

Теперь возьмем произвольное подмножество, и если оно не содержит этот элемент, то поставим ему в соответствие подмножество, состоящее из тех же элементов, что и выбранное, плюс этот элемент. А если выбранное подмножество уже содержит это элемент, то поставим ему в соответствие подмножество, состоящее из тех же элементов, что и выбранное, минус этот элемент. Очевидно, что из этих пар подмножеств одно содержит четное число элементов, а другое — нечетное.

5. Рассмотрим выражение

1. Сколько слагаемых имеет этот многочлен?

а) до приведения подобных членов

б) после приведения подобных членов.

2. Найти коэффициент при произведении

При возведении суммы слагаемых в степень , мы должны эту сумму умножить на себя раз. Мы получаем сумму одночленов, степень каждого из которых равна m. Число всевозможных произведений, состоящих из переменных из множества с учетом порядка и возможностью повторения равно числу размещений с повторениями из k по m:

Когда мы приводим подобные члены, мы считаем одинаковыми произведения, содержащие равное число множителей каждого вида. В этом случае, чтобы найти число слагаемых многочлена после приведения подобных членов, мы должны найти число сочетаний с повторениями из k по m:

Найдем коэффициент при произведении .

Выражение представляет собой произведение m элементов из множества , причем элемент взят раз, элемент взят раз, и так далее, и, наконец, элемент взят раз. Коэффициент при произведении равен числу возможных произведений:

Рассмотрим частный случай: — Бином Ньютона. И получим формулу для биномиальных коэффициентов.

Произвольный член многочлена, полученного возведением двучлена в степень имеет вид , где А — биномиальный коэффициент, . Как мы уже получили,

Тогда если мы положим х=1 и y=1, то получим, что

6. Задача про кузнечика.

Есть n клеточек, расположенных последовательно. Кузнечик должен попасть из крайней левой клеточки в крайнюю правую, прыгая вправо на произвольное число клеток.

а) Сколькими способами он может это сделать?

Изобразим условие задачи:

Кузнечик может попасть в крайнюю правую клетку, побывав, или не побывав в любой внутренней клетке. Присвоим клетке значение 1, если кузнечик в ней побывал, и 0, если нет, например, так:

Тогда у нас есть n-2 клеточек, каждая из которых может принимать значение 0 или 1. Задача сводится к нахождению числа последовательностей, состоящих из n-2 нулей и единиц. Таких последовательностей .

б) сколькими способами кузнечик может добраться в n-ю клетку, сделав k шагов?

Чтобы попасть в n-ю клетку, сделав k шагов, кузнечик должен попасть ровно в k—1 клетку между первой и последней. Так как последний шаг он делает всегда в последнюю клетку. То есть стоит вопрос, сколькими способами можно выбрать k—1 клетку из n-2 клеток?

Ответ: .

в) сколькими способами кузнечик может добраться в n-ю клетку, двигаясь на одну или на две клетки вправо?

Распишем, сколькими способами можно попасть в каждую клетку.

В первую и вторую клетки можно попасть единственным способом: в первую — никуда из нее не уходя, и во вторую из первой:

В третью можно попасть из первой или второй, то есть двумя способами:

В четвертую — из второй или третьей, то есть 1+2=3 способами:

В пятую — из третьей или четвертой, то есть 2+3=5 способами: Можно заметить закономерность: чтобы найти число способов, которыми кузнечик может попасть в клетку с номером k нужно сложить число способов, которыми кузнечик может попасть в две предыдущие клетки:

Мы получили интересную последовательность чисел — числа Фибоначчи — это линейная рекуррентная последовательность натуральных чисел, где первое и второе равно единице, а каждое последующее — сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377.

Найдите все пятизначные числа, в которых каждая цифра больше суммы цифр

Найдите все пятизначные числа, в которых каждая цифра больше суммы цифр из более низких разрядов. Прочтите эти числа.

Решение:

В задаче используются понятия число, цифра, разряд. Рассуждения, проводимые при решении этой задачи, используют подбор и перебор.

В разряде единиц не может стоять большая цифра. Если, например, последняя цифра числа — 1, то наименьшая цифра в разряде десятков — цифра 2, в разряде сотен — цифра больше, чем 1 + 2, значит, цифра не меньше 4, в разряде тысяч — цифра больше, чем 1 + 2 + 4, значит, цифра не меньше 8, а в разряде десятков тысяч должна стоять цифра больше, чем 1 + 2 + 4 + 8, однако такой цифры не существует. Понятно, что если вместо цифры 1 в разряде единиц взять большую цифру, то мы еще раньше зайдем в тупик. Поэтому остается единственная возможность: в разряде единиц поставить цифру 0.

Цифра в разряде десятков также не может быть большой. Если в разряде десятков поставить цифру 2, то в разряде сотен должна стоять цифра не меньше 3, в разряде тысяч — цифра больше, чем 0 + 2 + 3, т. е. цифра не меньше б, а в разряде десятков тысяч должна стоять цифра больше, чем 0 + 2 + 3 + 6, однако такой цифры не существует. Поэтому вместо цифры 2 в разряде десятков нужно взять меньшую цифру, а поскольку есть только одно число, которое больше нуля и меньше, чем 2, то остается единственная возможность: в разряде десятков поставить цифру 1.

Не может быть большой и цифра в разряде сотен числа ***10: если это цифра 3, то наименьшей цифрой в разряде тысяч будет цифра больше, чем 0 + 1 + 3, т. е. цифра 5, а в разряде десятков тысяч — цифра больше, чем 0 + 1 + 3 + 5, однако такой цифры не существует. Поскольку в разряде сотен должна быть цифра больше, чем 1, и меньше, чем 3, то остается снова единственная возможность: в разряде сотен поставить цифру 2.

В разряде тысяч числа **210 наименьшая из возможных цифр — цифра 4. Тогда в разряде десятков тысяч числа *4210 может стоять цифра больше, чем 0 + 1 + 2 + 4, т. е. цифра 8 или цифра 9.

Если в разряде тысяч числа **210 поставить цифру 5, то в разряде десятков тысяч числа *5210 может стоять цифра больше, чем 0 + 1 + 2 + 5, т. е. только цифра 9.

Если же в разряде тысяч числа **210 поставить цифру 6, то в разряде десятков тысяч нужно записать цифру больше, чем 0 + 1 + 2 + 6, а такой цифры не существует.

Из приведенных рассуждений следует, что существует только три числа, которые имеют указанное в условии задачи свойство.