Как доказать изоморфизм групп

2

Лекция 7 Морфизмы групп

Для исследования общих свойств групп необходимо научиться сравнивать группы независимо от их элементов и групповых операций.

Это необходимо для ответа на вопрос: различны ли эти группы или одинаковы?

Такое исследование мы начнем со сравнения двух групп, не раскрывая смысл групповой операции и природы элементов группы.

Пусть G и – две группы с операциями и * соответственно. Как их сравнить? Наиболее простой прием, если группы конечны, построить для них таблицы Кэли.

Пусть , а элементы группы имеют вид:

, .

Таблица Кэли для группы G Таблица Кэли для группы

Таблица Кэли содержит полную информацию о группе. Анализ таблицы Кэли позволит установить многие свойства группы, например:

в каждой строке и в каждом столбце элемент группы G встречается только один раз;

группа G абелева тогда и только тогда, когда таблица Кэли симметрична, т.е. .

Однако сравнивать две таблицы Кэли для групп G и одинакового порядка довольно затруднительно, т.к. вид таблицы Кэли зависит от нумерации элементов группы. Для бесконечных групп ситуация еще более осложняется.

Наиболее эффективный подход к сравнению (отождествлению или различию) групп идает понятиеизоморфизма (isos – греч. –равный, одинаковый, подобный; morphe – греч. – форма) (сходный по форме).

Определение. Две группы G и с операциями и  называются изоморфными, если существует отображение

(отображение  сохраняет групповую операцию);

.

, ,,,(рис. 1).

Рис. 1 – Изоморфизм групп и.

Изоморфизм групп иобозначается.

1. Простейшие свойства изоморфизмов

1. Единица группы G переходит в единицу группы .

Доказательство. Если , то

:

и, следовательно, если : – изоморфизм, то

.

2. – отображение обратного элемента совпадает с элементом, обратным(рис. 2).

Рис. 2 – Отображение обратного элемента

Доказательство. Пусть , тогда

,

где – единицы группы.

С другой стороны, , тога

.

3. Отображение обратное к изоморфизму также является изоморфизмом.

Доказательство. Пусть

,

тогда ввиду биективности существуют

и .

Так как – изоморфизм, то

,

отсюда, переходя к обратному отображению, имеем:

,

, .

Замечание.

1. С точки зрения алгебры, изоморфные группы неразличимы: отображение, порождающее изоморфизм, подобно зеркалу, переводит элементы и групповую операцию одной группы в элементы и групповую операцию другой группы.

2. Множество групп, изоморфных данной, принято понимать как абстрактную группу. Эта абстрактная группа называется представителем любой из изоморфных групп.

Пример. Пусть G – мультипликативная группа положительных вещественных чисел, т.е.

,

а – аддитивная группа всех вещественных чисел, т.е.

.

Изоморфное отображение имеет вид:

.

Известное свойство логарифма

моделирует свойство сохранения групповой операции в определении изоморфизма групп

.

Обратным к  служит отображение

.

Докажем две общие теоремы, иллюстрирующие роль изоморфизма в теории групп.

Теорема. Все циклические группы одного и того же порядка (в том числе и бесконечного) изоморфны.

Доказательство. Пусть G – бесконечная циклическая группа, это означает, что

причем все степени различны.

В качестве группы рассмотрим бесконечную аддитивную группу целых чисел, т.е.

.

Это позволяет построить изоморфизм вида:

или ,

. (1)

Биективность (1) очевидна, а свойство

следует из теоремы о степенях элементов группы. Тогда

.

2. Пусть теперь G и – конечные циклические группы порядка q, т.е.

, .

Операции в G и не различаем. Определим биективное отображение

, .

, ,

.

Теорема Кэли. Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы .

Доказательство. Пусть G – некоторая конечная группа порядка n, т.е.

.

-элементы группы G.

Так как все элементы группы G различны, то на множестве этих элементов можно построить группу всех биективных отображений множества G на себя (природа элементов группы G для нас несущественна).

Для любого элемента рассмотрим отображение

,

, .

Если – все элементы группы G, то если

будут те же элементы группы G, но расположенные в некотором другом порядке.

.

Следовательно, – биективное отображение (перестановка), для которого выполняются два условия:

–сюрьективное отображение (каждый из элементов имеет прообраз);

–инъективно, т.к. образы различных элементов различны.

Следовательно, – биективное отображение, обратным к которому будет

.

Единичным отображением будет, естественно, отображение где

.

Используя ассоциативность умножения в G, получаем

,

т.е. .

Таким образом, множество биективных отображений

,

содержит единичное отображение, обратное, замкнуто относительно композиции отображений и, следовательно, образует подгруппу H в группе всех биективных отображений множества G на себя, т.е. в .

Таким образом, мы имеем включение и отображение, обладающее по вышесказанному всеми свойствами изоморфизма.

Замечание. 1. Теорема Кэли, несмотря на свою простоту, имеет важное значение в теории групп.

Она выделяет некоторый универсальный объект

(семейство симметрических групп

, ),

являющийся вместилищем всех конечных групп, рассматриваемых с точностью до изоморфизма.

Фраза «с точностью до изоморфизма» отражает сущность не только теории групп, стремящейся объединить в один класс все изоморфные группы, но и математики в целом, которая без таких обобщений была бы лишена смысла.

Определение. Положив в определении изоморфизма, мы получим изоморфное отображениегруппы G на себя. Такое отображение называетсяавтоморфизмом группы G.

Пример. Единичное отображение

– автоморфизм, но G обладает и нетривиальными автоморфизмами.

Пусть аддитивная группа целых чисел.

Рассмотрим отображение , такое, что

,

т.е. отображение  изменяет знак целого числа на противоположный.

Отображение  – изоморфизм аддитивной группы целых чисел самой себе, т.е. автоморфизм.

Тем не менее, элементы этой группы не совпадают со своими образами при отображении .

Если бы они совпадали, то выполнялось бы равенство

, ,

что, очевидно, невозможно при .

Изоморфизм групп

Изоморфизм групп — взаимно-однозначное соответствие между элементами двух групп, сохраняющее групповые операции. Если существует изоморфизм между двумя группами, группы называются изоморфными. С точки зрения теории групп изоморфные группы имеют одни и те же свойства и их можно не различать.

Содержание

Определение

Если заданы две группы ( G , ∗) и ( H , [math]\displaystyle< \circ >[/math] ). Изоморфизм групп из ( G , ∗) в ( H , [math]\displaystyle< \circ >[/math] ) — это биективный гомоморфизм групп из G в H .

Другими словами, изоморфизм групп — это биекция [math]\displaystyle< f : G \rightarrow H >[/math] , такая, что для любых u и v из G выполняется

Замечания

• Две группы ( G , ∗) и ( H , [math]\displaystyle< \circ >[/math] ) изоморфны, если существует изоморфизм из одной в другую. Это записывается следующим образом: [math]\displaystyle< (G, *) \cong (H, \circ) >[/math]

• Если H = G и [math]\displaystyle< \circ >[/math] = ∗, биекция является автоморфизмом[⇨] .

• Изоморфизм групп можно определить как двусторонний обратимыйморфизм в категории групп.

Примеры

• Группа всех вещественных чисел по сложению, [math]\displaystyle< (\mathbb, +) >[/math] , изоморфна группе всех положительных вещественных чисел по умножению [math]\displaystyle< (\mathbb^+, \cdot) >[/math] :

• Группа [math]\displaystyle < \mathbb>[/math] целых чисел (по сложению) является подгруппой [math]\displaystyle < \mathbb>[/math] , а факторгруппа [math]\displaystyle< \mathbb/\mathbb >[/math] изоморфна группе [math]\displaystyle< S^1 >[/math] комплексных чисел с абсолютной величиной 1 (по умножению):

изоморфна прямому произведению двух копий [math]\displaystyle< \mathbb_2 = \mathbb/2\mathbb >[/math] (см. сравнение по модулю), а следовательно, может быть записана как [math]\displaystyle< \mathbb_2 \times \mathbb_2 >[/math] . Другая запись — Dih₂, поскольку она является диэдрической группой.

• Обобщая, для всех нечётных n, группа Dih_2n изоморфна прямому произведению Dih_n и Z₂.

Для некоторых групп можно доказать изоморфизм, исходя из аксиомы выбора, но такое доказательство не показывает, каким образом сконструировать конкретный изоморфизм. Примеры:

• Группа ( [math]\displaystyle < \mathbb>[/math] , +) изоморфна группе ( [math]\displaystyle < \mathbb>[/math] , +) всех комплексных чисел по сложению. [1]
• Группа [math]\displaystyle< (\mathbb^*,\cdot) >[/math] ненулевых комплексных чисел по умножению изоморфна группе S 1 , упомянутой выше.

Циклические группы

Если (G, ∗) является бесконечной циклической группой, то (G, ∗) изоморфна целым числам (по сложению). С алгебраической точки зрения это означает, что множество всех целых чисел (по сложению) является единственной бесконечной циклической группой.

Все конечные циклические группы заданного порядка изоморфны [math]\displaystyle< (\mathbb_n, +) >[/math] .

Пусть G — циклическая группа и n — порядок группы G. G является группой, порождённой элементом [math]\displaystyle< \langle x\rangle =\\> >[/math] . Мы покажем, что

[math]\displaystyle< \varphi : G \rightarrow \mathbb_n=\ <0,1. n-1 \>>[/math] , так что [math]\displaystyle< \varphi(x^a)=a >[/math] . Ясно, что [math]\displaystyle< \varphi >[/math] биективно.

[math]\displaystyle< \varphi(x^a \cdot x^b) = \varphi(x^) = a+b = \varphi(x^a)+ \varphi(x^b) >[/math] , что доказывает, что [math]\displaystyle< G \cong (\mathbb_n, +) >[/math] .

Свойства

изоморфизма из (G, ∗) в (H, [math]\displaystyle< \circ >[/math] ) всегда равно G>, где e_G — нейтральный элемент группы (G, ∗)

• Если (G, ∗) изоморфна (H, [math]\displaystyle< \circ >[/math] ) и если Gабелева, то H тоже абелева.

• Если f — изоморфизм между (G, *) и (H, [math]\displaystyle< \circ >[/math] ), тогда, если a принадлежит G и имеет порядокn, то такой же порядок имеет f(a).

• Если (G, ∗) является локально конечной группой, изоморфной (H, [math]\displaystyle< \circ >[/math] ), то (H, [math]\displaystyle< \circ >[/math] ) также локально конечна.

Следствия

Из определения следует, что любой изоморфизм [math]\displaystyle< f : G \rightarrow H >[/math] отображает нейтральный элемент G в нейтральный элемент H ,

откуда следует, что обратные отображаются в обратные,

[math]\displaystyle< f(u^<-1>) = \left[ f(u) \right]^ <-1>>[/math]

и n-е степени в n-е степени,

для всех u из G , а также что обратное отображение [math]\displaystyle< f^<-1> : H \rightarrow G >[/math] тоже является изоморфизмом.

Отношение «изоморфно» удовлетворяет всем аксиомам отношения эквивалентности. Если f является изоморфизмом двух групп G и H , то все утверждения, верные для G , связанные со структурой группы, можно перенести посредством f на такие же утверждения в H , и наоборот.

Автоморфизмы

Изоморфизм из группы ( G , ∗) в себя называется автоморфизмом этой группы. Так как изомофизм [math]\displaystyle< f : G \rightarrow G >[/math] биективен,

Автоморфизм всегда отображает нейтральный элемент в себя. Образ класса сопряжённости всегда является классом сопряжённости (тем же самым или другим). Образ элемента имеет тот же порядок, что и сам элемент.

Композиция двух автоморфизмов снова является автоморфизмом, и эта операция с множеством всех автоморфизмов группы G , обозначаемая Aut( G ), образует группу, группу автоморфизмов G .

Для всех абелевых групп имеется, по меньшей мере, автоморфизм, переводящий элементы группы в их обратные. Однако в группах, где все элементы равны своим обратным, этот автоморфизм является тривиальным, например, в четверной группе Клейна (для этой группы все перестановки трёх, не являющихся нейтральными, элементов группы являются автоморфизмами, так что группа изоморфизмов изоморфна S ₃ и Dih₃).

В Z _p для простого числа p , один, не являющийся нейтральным, элемент может быть заменён другим, с соответствующими изменениями в других элементах. Группа автоморфизмов изоморфна Z _{p − 1} . Например, для n = 7, умножение всех элементов Z₇ на 3 (по модулю 7), является автоморфизмом порядка 6 в группе автоморфизмов, поскольку 3 6 ≡ 1 (по модулю 7), а меньшие степени 1 не дают. Таким образом, этот автоморфизм порождает Z₆. Имеется ещё один автоморфизм с этим свойством — умножение всех элементов Z₇ на 5 (по модулю 7). Таким образом, эти два автоморфизма соответствуют элементам 1 и 5 Z₆, в этом порядке или обратном.

Группа автоморфизмов Z₆ изоморфна Z₂, поскольку только эти два элемента 1 и 5 порождают Z₆.

Группа автоморфизмов Z₂ × Z₂ × Z₂ = Dih₂ × Z₂ имеет порядок 168, что можно показать следующим образом. Все 7 элементов, не являющихся нейтральными, играют одну и ту же роль, так что мы можем выбрать, который играет роль (1,0,0). Любой из оставшихся шести может быть выбран для роли (0,1,0). Эти два определяют, что соответствует (1,1,0). (0,0,1) мы можем выбрать из четырёх, и этот выбор определяет оставшиеся элементы. Таким образом, получим 7 × 6 × 4 = 168 автоморфизмов. Они соответствуют автоморфизмам плоскости Фано, 7 точек которой соответствуют 7 элементам, не являющихся нейтральными. Прямые, соединяющие три точки, соответствуют операции группы: a, b, и c на прямой означают a + b = c, a + c = b, и b + c = a. См. также Полная линейная группа над конечным полем.

Для абелевых групп все автоморфизмы, за исключением тривиального, называются внешними автоморфизмами [en] .

Неабелевы группы имеют нетривиальные внутренние автоморфизмы, и, возможно, внешние автоморфизмы.

Примечания

1. ↑Ash. A Consequence of the Axiom of Choice // Journal of the Australian Mathematical Society. — 1973. — Т. 19 . — С. 306—308 .

Ссылки

Herstein, I. N. Topics in Algebra. — 2 edition. — Wiley, 1975. — ISBN 0-471-01090-1..

Групповой изоморфизм — Group isomorphism

В абстрактная алгебра, а групповой изоморфизм это функция между двумя группы который устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами групп таким образом, чтобы уважать заданные групповые операции. Если существует изоморфизм между двумя группами, то группы называются изоморфный. С точки зрения теории групп изоморфные группы обладают одинаковыми свойствами и не нуждаются в различении.

Содержание

Определение и обозначения

Часто можно использовать более короткие и простые обозначения. Когда соответствующие групповые операции недвусмысленны, они опускаются и пишется:

Иногда можно даже просто написать грамм = ЧАС . Возможна ли такая запись без путаницы или двусмысленности, зависит от контекста. Например, знак равенства не очень подходит, если обе группы являются подгруппами одной и той же группы. См. Также примеры.

Интуитивно теоретики групп рассматривают две изоморфные группы следующим образом: для каждого элемента грамм группы грамм, существует элемент час из ЧАС такой, что час «ведет себя так же» как грамм (работает с другими элементами группы так же, как грамм). Например, если грамм генерирует грамм, то так же час. Это, в частности, означает, что грамм и ЧАС находятся в биективном соответствии. Таким образом, определение изоморфизма вполне естественно.

Изоморфизм групп эквивалентно определяется как обратимый морфизм в категория групп, где обратимый здесь означает двусторонний обратный.

Примеры

В этом разделе перечислены некоторые известные примеры изоморфных групп.

• Группа всех действительные числа с добавлением ( р > , +), изоморфна группе положительные действительные числа с умножением ( р > + ,×):

• Группа Z > из целые числа (с добавлением) является подгруппа из р > , а факторная группа р / Z / mathbb > изоморфна группе S 1 > из сложные числа из абсолютная величина 1 (с умножением):

• В Кляйн четыре группы изоморфен прямой продукт двух экземпляров Z 2 = Z / 2 Z _ <2>= mathbb / 2mathbb > (видеть модульная арифметика ), и поэтому можно записать Z 2 × Z 2 _ <2>imes mathbb _ <2>> . Другое обозначение — Dih₂, потому что это группа диэдра.
• Обобщая это, для всех странностей п, Ди_2п изоморфен прямой продукт Дих_п и Z₂.
• Если (грамм, ∗) является бесконечная циклическая группа, тогда (грамм, ∗) изоморфна целым числам (с операцией сложения). С алгебраической точки зрения это означает, что набор всех целых чисел (с операцией сложения) является «единственной» бесконечной циклической группой.

Некоторые группы можно доказать изоморфностью, полагаясь на аксиома выбора, но в доказательстве не указывается, как построить конкретный изоморфизм. Примеры:

• Группа ( р > , +) изоморфна группе ( C > , +) всех сложные числа с добавлением. [1]
• Группа ( C > * , ·) Ненулевых комплексных чисел с умножением в качестве операции изоморфна группе S 1 упомянутый выше.

Характеристики

Если ж является изоморфизмом из (грамм, ∗) на (ЧАС, ⊙ ), то для любого а в грамм, то порядок из а равен порядку ж(а).

Количество различных групп (с точностью до изоморфизма) порядка п дается последовательностью A000001 в OEIS. Первые несколько чисел — 0, 1, 1, 1 и 2, означающие, что 4 — это самый низкий порядок с более чем одной группой.

Циклические группы

Все циклические группы данного порядка изоморфны ( Z п , + п ) _ , + _ )> .

Позволять грамм циклическая группа и п быть порядком грамм. грамм тогда группа, порожденная ⟨ Икс ⟩ = < е , Икс , . . . , Икс п − 1 >>> . Мы покажем, что

Последствия

что он будет отображать обратное на обратное,

и в более общем плане пth полномочия пth полномочия,

Отношение «быть изоморфным» удовлетворяет всем аксиомам отношение эквивалентности. Если ж является изоморфизмом двух групп грамм и ЧАС , то все, что правда о грамм это относится только к структуре группы, может быть переведено через ж в истинное то же самое утверждение о ЧАС , наоборот.

Автоморфизмы

Изоморфизм группы ( грамм , ∗) к себе называется автоморфизм этой группы. Таким образом, это биекция ж : грамм → грамм такой, что

Автоморфизм всегда отображает тождество на себя. Образ при автоморфизме класс сопряженности всегда является классом сопряженности (тем же или другим). Изображение элемента имеет тот же порядок, что и этот элемент.

Композиция двух автоморфизмов снова является автоморфизмом, и с помощью этой операции множество всех автоморфизмов группы грамм , обозначаемый Aut ( грамм ), образует группу, группа автоморфизмов из грамм .

Для всех абелевых групп существует по крайней мере автоморфизм, заменяющий элементы группы их обратными. Однако в группах, где все элементы равны своим обратным, это тривиальный автоморфизм, например в Кляйн четыре группы. Для этой группы все перестановки трех неединичных элементов являются автоморфизмами, поэтому группа автоморфизмов изоморфна S ₃ и Ди₃.

В Z _п для простого числа п , один неидентификационный элемент может быть заменен любым другим с соответствующими изменениями в других элементах. Группа автоморфизмов изоморфна Z _{п − 1} . Например, для п = 7 , умножая все элементы Z₇ по 3 по модулю 7 является автоморфизмом порядка 6 в группе автоморфизмов, поскольку 3 6 ≡ 1 (по модулю 7) , а младшие степени не дают 1. Таким образом, этот автоморфизм порождает Z₆. Есть еще один автоморфизм с этим свойством: умножение всех элементов Z₇ на 5 по модулю 7. Значит, эти два соответствуют элементам 1 и 5 Z₆, в том же порядке или наоборот.

Группа автоморфизмов Z₆ изоморфна Z₂, потому что только каждый из двух элементов 1 и 5 порождает Z₆, поэтому помимо идентичности мы можем только поменять их местами.

Группа автоморфизмов Z₂ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂ = Dih₂ ⊕ Z₂ имеет порядок 168, что можно найти следующим образом. Все 7 неединичных элементов играют одну и ту же роль, поэтому мы можем выбрать, какой из них играет роль (1,0,0). Любой из оставшихся 6 может быть выбран, чтобы играть роль (0,1,0). Это определяет, что соответствует (1,1,0). Для (0,0,1) мы можем выбрать из 4, что определяет остальные. Таким образом, мы имеем 7 × 6 × 4 = 168 автоморфизмы. Они соответствуют таковым из Самолет Фано, из которых 7 точек соответствуют 7 неединичным элементам. Линии, соединяющие три точки, соответствуют групповой операции: а, б, и c на одной строке означает а + б = c , а + c = б , и б + c = а . Смотрите также общая линейная группа над конечными полями.

Для абелевых групп все автоморфизмы, кроме тривиального, называются внешние автоморфизмы.

Неабелевы группы обладают нетривиальным внутренний автоморфизм группа, а также, возможно, внешние автоморфизмы.

Как доказать изоморфизм групп

Примеры, рассмотренные в предыдущем пункте (см примеры 4 и 5, примеры 6 и 7) показывают, что существуют группы, отличающиеся природой своих элементов, но обладающие одинаковыми групповыми свойствами. Такие группы естественно назвать изоморфными.

Сформулируем точное определение этого понятия.

Определение 1. Две группы называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение группы на группу такое, что для любых элементов а и из выполняется условие

Заметим, что если — единица группы — единица группы то Действительно, и умножение на элемент, обратный к показывает, что

Отметим также, что обратное отображение группы на группу для любых элементов х и у из удовлетворяет условию

Кроме того, для любого а из из равенства следует, что обратным к элементу является элемент

Таким образом, изоморфные группы, рассматриваемые абстрактно, без указания природы их элементов, с точки зрения групповых свойств неразличимы.

Замечание 1. Обычно соответствие между изоморфными группами называется изоморфизмом или изоморфным отображением одной группы на другую (конечно, при этом обе группы равноправны).

Замечание 2. Изоморфное отображение группы на себя называется автоморфизмом.

Автоморфизмы группы определенным образом характеризуют ее симметрию.

Если отдельные автоморфизмы группы рассматривать как некоторые элементы, а последовательное проведение автоморфизмов — как произведение соответствующих элементов, то автоморфизмы сами образуют группу (единичным элементом будет тождественный автоморфизм).

Эта группа называется группой автоморфизмов данной группы.

Легко убедиться, что группа автоморфизмов группы (см. пример 6 предыдущего пункта) изоморфна этой же группе.

Важную роль в теории групп играет понятие подгруппы.

Определение 2. Подмножество элементов группы называется подгруппой этой группы, если выполнены условия. 1) если элементы а и принадлежат то и принадлежит если элемент а принадлежит то и обратный элемент также принадлежит

Подгруппа группы рассматриваемая как самостоятельное множество, в котором определена операция умножения по закону композиции из объемлющей группы представляет собой группу.

Проверка этого утверждения не представляет затруднений.

Простейшей подгруппой любой группы является ее единичный элемент. Другим примером может служить подгруппа всех четных чисел в группе относительно сложения всех целых чисел.