№ 21*. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А (4; 1), В (0; 4), С (-3; 0), D (1; -3) является квадратом.
Если диагонали параллелограмма (ромба) равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. В свою очередь ромб, являющийся прямоугольником, — это квадрат, значит, ABCD — квадрат. Что и требовалось доказать.
Решебник по геометрии за 8 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №21
к главе «§8. Декартовы координаты на плоскости».
Докажите что четырехугольник ABCD с вершинами в точках:1)А (-5;1) В (-1;1) С (-2;-3) D (-6;-1) является прямоугольником
4.21. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках: 1) A(-3; -1), B(1; -1); C(1; -3), D(-3; -3); 2) A(4; 1), B(3; 5), C(-1; 4), D(0; 0) является прямоугольником.
Войди чтобы добавить комментарий
Ответ, проверенный экспертом
8 людям это помогло
14.1 млн пользователей, получивших помощь
Ответ: 1) доказано, смотрите в объяснениях; 2) доказано, смотрите в объяснениях.
Нахождение расстояния отрезка по заданным координатам его концов:
Пусть A (x₁;y₁), B (x₂;y₂)
Если у четырёхугольника противоположные стороны равны, то данный четырёхугольник параллелограмм.
Перед нами четырёхугольник ABCD.
Найдём длины его сторон по формуле расстояния отрезка, по заданным координатам его концов:
Итак, AB = CD, BC = AD и данные равные стороны противоположны, а значит данный четырёхугольник — параллелограмм.
Если в параллелограмме диагонали равны, то данный параллелограмм — прямоугольник.
Найдём длины диагональ данного параллелограмма:
Итак, AC = BD ⇒ ABCD — прямоугольник.
Найдём длины сторон данного четырёхугольника:
Итак, AB = CD и BC = AD и данные стороны противоположны, а значит данный четырёхугольник — параллелограмм (также данный четырёхугольник является ромбом, так как всего стороны равны)
Докажите, что четырёхугольник АВСD с вершинами в точках А(2;1;3), В(1;0;7), С(-2;1;5), D(-1;2;1).
По условию поставленной задачи нам известны координаты вершин четырёхугольника АВСD: А (2; 1; 3), В (1; 0; 7), С (-2; 1; 5), D (-1; 2; 1). Докажем, что четырёхугольник АВСD является параллелограммом, следующим образом:
Находим длину вектора АВ:
|AB| = √((-1)^2 + (-1)^2 + 4^2) = √(1 + 1 + 16) = √18 = 3 * √2;
|BC| = √((-3)^2 + 1^2 + (-2)^2) = √(9 + 1 + 4) = √14;
|CD| = √(1^2 + 1^2 + (-4)^2) = √(1 + 1 + 16) = √18 = 3 * √2;
|AD| = √((-3)^2 + 1^2 + (-2)^2) = √(9 + 1 + 4) = √14;
Поскольку противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник — параллелограмм.
Докажите что четырехугольник с вершинами
Квадрат — это плоская фигура, являющаяся прямоугольником с равными сторонами.
Значит, нужно показать, что либо эти 4 точки не лежат в одной плоскости, либо различие в длине сторон, либо наличие непрямого угла.
Вместо проверки углов можно проверить длину и угол между диагоналями: в квадрате диагонали равны и перпендикулярны.
Сначала выпишем все векторы, которые можно построить на этих точках (без обратных):
AB=(1-(-3);-5-5;5-6)=(4;-10;-1)
AC=(8-(-3);-3-5;-3-6)=(11;-8;-9)
AD=(4-(-3);7-5;-2-6)=(7;2;-8)
BC=(8-1;-3-(-5);-3-5)=(7;2;-8) — параллелен и равен AD
BD=(4-1;7-(-5);-2-5)=(3;12;-7)
CD=(4-8;7-(-3);-2-(-3))=(-4;10;1) — обратный к AB, т.е. параллелен и равен по длине.
Если эти 4 точки составляют квадрат, то им может быть только ABCD.
Проверка на принадлежность одной плоскости не нужна, т.к. мы имеем две пары параллельных и равных отрезков. Расположить их вне одной плоскости невозможно.
Однако выполним проверку.
1. Проверка на то, что точки находятся в одной плоскости: смешанное произведение векторов AB, AC и AD должно быть равно 0.
Смешанное произведение AB(ACxAD):
Смешанное произведение векторов, построенных из одной точки, равно 0, а это значит, что эти 4 точки находятся в одной плоскости.
AB||CD, BC||AD — поэтому ABCD — это параллелограмм.
2. Длины всех сторон можно не проверять, т.к. из равенства векторов следует и равенство длин отрезков. Имеем 2 пары равных отрезков: AB,CD и AC,BD.
Но в квадрате все стороны равны, поэтому нужно сравнить и соседние стороны. Например, AB и AD.
AB=√(4²+(-10)²+(-1)²)=√(16+100+1)=√117
AD=√(7²+2²+(-8)²)=√(49+4+64)=√117
Все стороны равны, значит, ABCD — это ромб.
Проверим длину диагоналей AC и BD:
AC=√(11²+(-8)²+(-9)²)=√(121+64+81)=√266
BD=√(3²+12²+(-7)²)=√(9+144+49)=√202
Диагонали не равны, значит, ABCD не является прямоугольником, т.е. не является квадратом.
Сделаем проверку через углы.
Нужно проверить угол между соседними сторонами.
Если отрезки перпендикулярны, то скалярное произведение векторов, соответствующих этим отрезкам, равно 0.
Проверяем AB и AC:
AB.AD = (4;-10;-1).(7;2;-8) = 4*7+(-10)*2+(-1)(-8) = 28-20+8=16≠0
Стороны не перпендикулярны.
Угол между диагоналями проверять бессмысленно, ибо в ромбе диагонали перпендикулярны:
AC.BD = (11;-8;-9).(3;12;-7) = 11*3+(-8)*12+(-9)(-7) = 33-96+63 = 0
Итак, данные 4 точки не являются квадратом, т.к. являются ромбом с разными диагоналями и непрямым углом между соседними сторонами.