Y kx b за что отвечает k и b

11

Линейная функция

Функция не всегда сразу задана в виде \(y=kx+b\), иногда такой вид получится только после преобразований. Например, \(y=6(x-1)+10x\) — это линейная функция, потому что если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые мы получим \(y=16x-6\).

График линейной функции всегда представляет собой прямую линию – отсюда и название: «линейная функция».

Чтобы в этом убедиться построим графики функций \(y=2x\), \(y=\frac<1><3>x-5\), \(y=8\).

Если вы вдруг забыли, как строить графики, можете прочитать об этом здесь.

Как меняется график при разных \(k\)?

Чтобы определить, как влияет на график коэффициент \(k\), построим несколько функций разными \(k\): \(\frac<1><3>\),\(-\frac<1><3>\),\(2\),\(-2\) и \(0\). При этом во всех функциях сделаем \(b\) одинаковым (равным нулю), чтобы убрать его влияние.
То есть, построим графики для функций: \(y=\frac<1><3>x\), \(y=-\frac<1><3>x\), \(y=2x\), \(y=-2x\), \(y=0\).

Заметьте, что при \(k=2\) и \(\frac<1><3>\) — функция возрастает, а при \(k=-2\) и \(-\frac<1><3>\) — убывает. На самом деле:

При любом \(k>0\) функция возрастает и при любом \(k<0\) — убывает. Когда же \(k=0\) — она не возрастает и не убывает, а идет параллельна оси \(x\) (или совпадает с ней).

Так же можно заметить, чем больше модуль \(k\), тем «круче» график.

Как по графику определить коэффициент k?

1. Сначала определим, возрастает или убывает функция. Если возрастает – знак коэффициента \(k\) плюс, если убывает – минус.
2. Дальше надо построить на прямой прямоугольный треугольник, так чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Примерно вот так:

Чтобы определить значение \(k\) по модулю (то есть, без учета знака), надо вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную. Можно использовать правило для запоминания: «стоячий бьет лежачего». В данных случаях \(|k|=\frac\). То есть на первом графике \(k=2\),а на втором \(k=-\frac<1><4>\).

Как меняется график при разных значениях \(b\)?

Чтобы определить, как \(b\) влияет на график, построим несколько функций с разными \(b\): \(6\), \(2\), \(0\), \(-3\) и \(-8\). При этом \(k\) пусть во всех функциях будет равен \(2\).

Не сложно заметить, что прямая либо поднимается на \(b\) (если \(b>0\)) либо опускается на \(|b|\) если
(\(b<0\)).

Как по графику функции определить значение \(b\)?

Очень просто — прямая пересекает ось \(y\) всегда в точке \(b\). Вы можете это увидеть на предыдущем графике.

Пример (ОГЭ): На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида \(y=kx+b\). Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов \(k\) и \(b\).

A. B.C.

Коэффициенты

Решение:
А. – функция убывает, поэтому \(k<0\). Точка пересечения оси \(y\) и прямой находится выше нуля, значит \(b>0\). Подходит вариант под цифрой 2).

B. — функция возрастает — \(k>0\). Точка пересечения оси \(y\) и прямой находится выше нуля, значит \(b>0\). Подходит вариант под цифрой 1).

C. – функция убывает — \(k<0\). Точка пересечения оси \(y\) и прямой находится ниже нуля, значит \(b<0\). Подходит вариант под цифрой 3).
Ответ: 213.

«Читерский» способ строить график линейной функции

Отмечаем точку \(b\) на оси игреков.

От неё идем вправо на количество клеточек равное знаменателю \(k\), и вверх на количество клеточек равное числителю \(k\) (если \(k>0\)) или вниз на тоже количество (если \(k<0\)).

Проводим через эти две точки прямую.

Пример: Построить график функции \(y=3x+1\).

\(b=1\), поэтому отмечаем точку с этим значением на оси \(y\)

\(k=3\), а тройка это тоже самое, что \(\frac<3><1>\). При этом \(k>0\). Поэтому идем вправо на единицу и вверх на \(3\). Ставим точку.

Проводим через эти две точки прямую.

Пример: Построить график функции \(y=-\frac<1> <4>x-3\).

\(b=-3\) отмечаем точку с этим значением на оси \(y\).

\(k=-\frac<1><4>\), \(k<0\), числитель \(1\), знаменатель \(4\). Значит, идем вправо на \(4\) и вниз на единицу.

Проводим через эти две точки прямую.

Немного потренируйтесь и вы сами поймете, какой это классный способ строить линейную функцию.

Линейная функция « y = kx + b » и её график

Прежде чем перейти к изучению функции « y = kx » внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Важно!

Функцию вида « y = kx + b » называют линейной функцией.

Буквенные множители « k » и « b » называют числовыми коэффициентами .

Вместо « k » и « b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).

Другими словами, можно сказать, что « y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо « k » и « b » стоят числа.

Примеры функций типа « y = kx + b ».

• y = 5x + 3
• y = −x + 1
• y =
  

  2

  3

  x − 2

• y = 0,5x

Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты « k » и « b » .

Обратите особое внимание на функцию « y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента « b ».

Рассматривая функцию « y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента « b » в функции нет.

Числовый коэффициент « b » присутствет в функции типа « y = kx + b » всегда. В функции « y = 0,5x » числовый коэффициент « b » равен нулю .

Как построить график линейной функции
« y = kx + b »

Запомните!

Графиком линейной функции « y = kx + b » является прямая .

Так как графиком функции « y = kx + b » является прямая линия , функцию называют линейной функцией.

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
« у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.

Для примера построим график функции « y = −2x + 1 ».

Найдем значение функции « y » для двух произвольных значений « x ». Подставим, например, вместо « x » числа « 0 » и « 1 ».

Важно!

Выбирая произвольные числовые значения вместо « x », лучше брать числа « 0 » и « 1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.

Полученные значения « x » и « y » — это координаты точек графика функции.

Запишем полученные координаты точек « y = −2x + 1 » в таблицу.

Отметим полученные точки на системе координат.

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции « y = −2x + 1 ».

Как решать задачи на
линейную функцию « y = kx + b »

Построить график функции « y = 2x + 3 ». Найти по графику:

1. значение « y » соответствующее значению « x » равному −1; 2; 3; 5 ;
2. значение « x », если значение « y » равно 1; 4; 0; −1 .

Вначале построим график функции « y = 2x + 3 ».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции « y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для « x ». Для удобства расчетов выберем числа « 0 » и « 1 ».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции « y = 2x + 3 ».

Теперь работаем с построенным графиком функции « y = 2x + 3 ».

Требуется найти значение « y », соответствующее значению « x »,
которое равно −1; 2; 3; 5 .

Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Запомните!

Чтобы найти значение « y » по известному значению « x » на графике функции необходимо:

1. провести перпендикуляр от оси « Ox » (ось абсцисс) из заданного числового значения « x » до пересечения с графиком функции;
2. из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси « Oy » (ось ординат);
3. полученное числовое значение на оси « Oy » и будет искомым значением.

По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции « y = 2x + 3 » необходимые значения функции « y » для « x » равным −1; 2; 3; 5 .

Запишем полученные результаты в таблицу.

Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение « x », если значение « y » равно 1; 4; 0; −1 .

Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания. Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси « Oy » .

Запишем полученные результаты в таблицу.

Как проверить, проходит ли график через точку

Рассмотрим другое задание.

Не выполняя построения графика функции « y = 2x −

», выяснить, проходит ли график через точки с координатами (0; −

) и (1; −2) .

Запомните!

Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.

• Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
• Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.

Подставим в функцию « y = 2x −

» координаты точки (0; −

) .
−

= 2 · 0 −

−

= −

(верно)
Это означает, что график функции « y = 2x −

» проходит через точку с координатами (0; −

) .
Проверим точку с координатами (1; −2) . Также подставим координаты
в функцию « y = 2x −

».
−2 = 2 · 1 −

−2 = 2 −

−2 = 1

−

−2 = 1

(неверно)
Это означает, что график функции « y = 2x −

» не проходит через точку с координатами (1; −2) .

Как найти точки пересечения графика с осями

Найти координаты точек пересечения графика функции « y = −1,5x + 3 » с осями координат.

Для начала построим график функции « y = −1,5x + 3 » и на графике отметим точки пересечения с осями.

Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции « y = −1,5x + 3 ».

Выберем два произвольных числовых значения для « x » и рассчитаем значение « y » по формуле функции. Например, для x = 0 и x = 1 .

Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую. Тем самым мы построим график функции « y = −1,5x + 3 ».

Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.

Запомните!

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью « Oy » (осью ординат) нужно:

• приравнять координату точки по оси « Ox » к нулю (x = 0) ;
• подставить вместо « x » в формулу функции ноль и найти значение « y »;
• записать полученные координаты точки пересечения с осью « Oy » .

Подставим вместо « x » в формулу функции « y = −1,5x + 3 » число ноль.

Запомните!

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью « Ox » (осью абсцисс) нужно:

• приравнять координату точки по оси « Oy » к нулю (y = 0) ;
• подставить вместо « y » в формулу функции ноль и найти значение « x »;
• записать полученные координаты точки пересечения с осью « Oy » .

Подставим вместо « y » в формулу функции « y = −1,5x + 3 » число ноль.

Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните «правило противоположности».

Важно!

Если нужно найти координаты точки пересечения графика с осью « Ox » , то приравниваем « y » к нулю.

И наооборот. Если нужно найти координаты точки пересечениа графика с осью « Oy » , то приравниваем « x » к нулю.

Основные элементарные функции

Любую функцию можно изобразить на графике (рисунке) и наглядно определить многие её свойства. Этим пользуются люди, составляя графики движения транспорта, посещения соцсетей или просмотра видеороликов на канале.

Вспомним, что функция – это зависимость одной переменной от другой, а график функции – это представление данной зависимости на координатной плоскости.

С помощью графика функции можно изучать поведение функции: возрастает или убывает, имеет ли нули, на каких промежутках значения положительные, а на каких отрицательные, наибольшее и наименьшее значение, является ли симметричной относительно OY.

Теперь давайте рассмотрим основные элементарные функции.

Что же такое линейная функция?

Линейная функция – это функция вида y=kx+b, где k и b – известные числа, графиком которой является прямая.

С линейной функцией мы встречаемся, когда оплачиваем проезд в общественном транспорте.

Коэффициент и переменная определяют стоимость билета в зависимости от дальности поездки. Свободным членом может выступать доплата за комфортное место или за поезд-экспресс.

Рассмотрим пример такой функции и ее график:
y = 2x + 3

Составим таблицу значений.

Теперь отметим найденные точки на координатной плоскости и проведём через них прямую.

Полученный нами график является графиком данной линейной функции.

Также можно составить уравнение линейной функции самостоятельно при наличии графика.

Коэффициент b – это длина отрезка по оси OY, на который происходит сдвиг от начала координат (может быть отрицательным, если пересечение графика с осью Y в точке с отрицательным значением).

На графике найдем сначала коэффициент b , после определим координаты двух произвольных точек прямой и вычислим коэффициент k.

Подставим найденные коэффициенты в формулу линейной функции и получим
\(y = \frac<1><2>x + 2\)

Свойства линейной функции:

1. Область определения: D(y) = (-∞; +∞)
2. Область значений функции: E(y) = (-∞; +∞)
3. Наименьшего и наибольшего значения не существует.
4. Непериодическая.
5. Возрастает при k > 0, убывает при k < 0.

Квадратичная функция

Квадратичная функция – это функция вида y = ax 2 , где a – известное число и a ≠ 0, графиком которой является парабола.

Для примера построим график функции y = 2x 2

Параболой можно описать полет мяча в баскетбольную корзину.

Какой вид имеет парабола в зависимости от коэффициента a ?

При a > 0 – ветви параболы вверх

При a < 0 – ветви параболы вниз

Сдвиг параболы по оси Y

При c > 0 – сдвиг параболы вверх

При c < 0 – сдвиг параболы вниз

Сдвиг параболы по оси X

При n > 0 – сдвиг параболы вправо

При n < 0 – сдвиг параболы влево

Свойства квадратичной функции:

1. Область определения: D(y) = (-∞; +∞)
2. Область значений функции: E(y) = [0; +∞)
3. При a > 0 – наименьшее значение y = 0.
   При a < 0 – наибольшее значение y=0.
4. Непериодическая.
5. На (-∞; 0] – убывает при a > 0 и возрастает при a < 0.
   На [0; +∞) — убывает при a < 0 и возрастает при a > 0.
6. Нуль функции x=0.
7. Четная (симметричная относительно OY).

Функция обратной пропорциональности

Функция обратной пропорциональности – это функция вида y = \(\frac\), где k – известное число и k ≠ 0, графиком которой является гипербола.

Рассмотрим пример такой функции \(y = \frac<2>\)

Как коэффициент k влияет на расположение гиперболы?

Гипербола при k > 0 – в первой и третьей плоскостях

Гипербола при k< 0 – во второй и четвертой плоскостях

Гипербола может также двигаться по оси X или по оси Y

Движение графика по оси Y

\(y = \frac + n\) при k> 0

При n < 0, сдвиг вниз
При n > 0, сдвиг вверх

По графику выше можно сделать вывод, что n = 3.

Движение графика по оси X

При c < 0, сдвиг вправо
При c > 0, сдвиг влево

По графику выше можно сделать вывод, что c = 3.

Свойства функции обратной пропорциональности:

1. Область определения: D(y) = (-∞; 0) U (0; +∞)
2. Область значений функции: E(y) = (-∞; 0) U (0; +∞)
3. Наименьшего и наибольшего значений не существует.
4. Непериодическая.
5. При k > 0 убывает на (-∞;0) и (0; +∞).
   При k < 0 возрастает на (-∞; 0) и (0; +∞).
6. Нулей нет.
7. Нечетная.

Где же в реальной жизни мы можем встретить эту функцию?

Самый простой пример – движение автомобиля: чем выше его скорость, тем меньше времени потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние.

Функция квадратного корня

Функция квадратного корня – это функция вида \(y = \sqrt\), где x ≥ 0 .

В жизни такая функция часто используется для определения стороны квадрата при известной площади. Например: при проектировании дома или разбиения участка земли на квадраты.

Рассмотрим график такой функции.

Какие бывают сдвиги функции квадратного корня?

Сдвиг по оси Y

При n < 0, сдвиг вниз
При n > 0, сдвиг вверх

По графику выше можно утверждать, что n = -2.

Сдвиг по оси X

При c < 0, сдвиг вправо
При c > 0, сдвиг влево

Сделаем вывод, что для рисунка выше c = -2.

Свойства функции квадратного корня:

1. Область определения: D(y) = [0; +∞)
2. Область значений функции: E(y) = [0; +∞)
3. Наименьшее значение при y = 0.
4. Непериодическая.
5. Возрастает на всей области определения.
6. Нуль функции x = 0.

Фактчек

• Линейная функции y = kx + b.
• Квадратичная функции y = ax 2 .
• Функция обратной пропорциональности \(y = \frac\).
• Функция квадратного корня \(y = \sqrt\).

Термины

Элементарная функция – это функция вида y = f(x) , где f(x) – это формула, содержащая конечное число арифметических операций.

Парабола – это незамкнутая линия, точки на которой равноудалены от оси ординат.

Проверь себя

Задание 1.
Определите какая из функций является линейной

1. \(y = 2x^2 + \frac<1><2>\)
2. \(y = \sqrt\)
3. \(y = \frac<1><2>x + 3\)
4. \(y = \frac<1>\)

Задание 2.
Определите какая из функций является квадратичной

1. y = 4(x — 1) 2
2. y = 2x + 11
3. \(y = \frac<2>+ 1\)
4. \(y = \sqrt + 3\)

Задание 3.
Определите какая функция является обратной пропорциональностью

1. \(y = \frac<2>+ 5\)
2. \(y = \frac<1>\)
3. \(y = \sqrt\)
4. y = x 2

Задание 4.
Определите какая функция является функцией квадратного корня

1. y = x 2
2. \(y = \sqrt — 4\)
3. \(y = 6x + \frac<1><3>\)
4. y = 2x 2 + 3

Задание 5.
В какую сторону будет сдвиг у параболы y = (x + 4) 2 ?

Y kx b за что отвечает k и b

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.

В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).

Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.

Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

Свойства линейной функции:

1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;

3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.

a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

Замечание.Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.

6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),

y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).

b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),

y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.

k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b. Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует.