Решение:
Обозначим через подмножество всех верхних треугольных матриц. Это подмножество не пусто, так как содержит, например,нулевую матрицу порядка
. Пусть
— произвольные верхние треугольные матрицы порядка
. Это значит, что их элементы
для
. Тогда все элементы матрицы
с 
равны нулю для любых 
Значит,
. Мы получили, что подмножество всех верхних треугольных матриц является подпространством линейного пространства 
. Аналогично, нетрудно показать, что подмножество всех нижних треугольных матриц является подпространством линейного пространства
.
Задача 2
Для каждого из следующих множеств геометрических векторов определить, будет ли это множество линейным подпространством пространства 
: 13
1) радиус-векторы точек данной плоскости;
2) векторы, образующие с данным ненулевым вектором 
угол
;
3) множество векторов, удовлетворяющих условию 
.
Решение:
По определению подмножество 
элементов линейного пространства
называется подпространством пространства
, если выполнены два условия:
1) 
Проверим выполнение этих условий в каждом случае:
1. Множество радиус-векторов точек плоскости (то есть векторов с началом в начале координат и концом в искомой точке) является линейным подпространством пространства 
, так как выполнены оба условия определения.
Действительно, сумма двух векторов с началом в начале координат есть вектор с началом в начале координат, то есть радиус-вектор некоторой точки (правило параллелограмма сложения векторов, см. рисунок 1). Произведение вектора на число дает вектор с началом в той же точке, но растянутый/сжатый в некоторое число раз, то есть тоже радиус-вектор некоторой точки.
2. Множество векторов, образующих с данным ненулевым вектором 
угол α не является линейным подпространством пространства
, так как невыполнено первое условие определения. Действительно, можно найти такие два вектора
и
, образующие с данным ненулевым вектором
угол α, что их сумма
не будет образовывать с вектором
угол α (см. рисунок 2).
3. Множество векторов, удовлетворяющих условию 
не является линейным подпространством пространства
, так как не выполнено второе условие определения. Действительно, если умножить любой вектор, такой что
на любое число
, то получим новый вектор, длина которого
.
Задача 3
Найдите ранг и базис набора векторов 
. 14
Решение:
Выпишем матрицу и решим её методом Жордана-Гаусса:
Видим, что 
(строчек две ).Так как дана линейная оболочка, то :
Итак, в базисе 2 вектора, так как dim(A) = 2. Мы должны выбрать 2 линейно-независимых вектора, которые входят в данное линейное подпространство. Для двух векторов линейная зависимость означает пропорциональность. Значит, выберем 2 непропорциональных вектора. Это, например, 
.
Выпишем фундаментальный набор решений:
базисные переменные
свободные переменные
Получили базис: 
)
Ответ: 
; 
)
базис.
Задача 4
Пусть 
множество многочленов степени не выше
, удовлетворяющих условию />. Доказать, что 
линейное подпространство в пространстве
. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства. 15
Как дополнить базис подпространства до базиса всего пространства
Сообщение 0201400 » 03 апр 2014, 08:16
Путь \(V_1\) и \(V_2\) подпространства. Нужно дополнить базис их пересечения до базисов каждого из подпространств \(V_1\) , \(V_2\) , \(V_1+V_2\) .
\(V_1=L(a_1, a_2); a_1=(1,1,0,3,2); a_2=(3,3,0,4,1);\)
\(V_2=L(b_1, b_2,b_3); b_1=(0,2,0,3,3); b_2=(0,1,0,0,0); b_3=(0,1,0,1,1)\)
(не разобрался как поставить значок транспонирования)
Понятно, что для начала хорошо бы найти базис суммы и пересечения. Сделал:
\(V_1+V_2\) : \((1,0,0,0,0)
(3,-5,0,0,0)
(0,3,2,0,0)\)
\(V_1\bigcap V_2: (0,0,1/2,0,0)\)
Что имеем теперь? \(dim V_1 = 2; dim V_2=3; dim(V_1+V_2)=3; dim(V_1\bigcap V_2)=1;\)
Как дополнить базис до базиса?
UPD Заметил ошибку, размерность пересечения должна быть равна 2. В процессе решения у меня получились для пересечения такие вектора, но они же л.з. \(V_1\bigcap V_2: (0,0,1/2,0,0)(0,0,3/2,0,0)\) . Впрочем вопрос в том, как дополнить базис до базиса
Re: Дополнить базис до базиса
- Жалоба
- Цитата
Сообщение Алексей » 03 апр 2014, 08:36
Вроде прикинул на скорую руку, получается что векторы \(b_1\) , \(b_2\) , \(b_3\) линейно зависимы. Если рассмотреть преобразования метода Гаусса, применённые к матрице из данных векторов, то получим примерно такое:
\(\left( \begin
Значит, в качестве базисных придётся принимать векторы \(b_1\) и \(b_2\) , как-то так.
В общем, я вечером гляну, так как всё это уже благополучно успело забыться, — надо вспоминать
Re: Дополнить базис до базиса
- Жалоба
- Цитата
Сообщение Алексей » 03 апр 2014, 11:44
Теперь можно поработать с базисом пересечения и объединения подпространств. Начнём с базиса объединения, для чего поработаем с матрицей, строки которой содержат базисные векторы заданных подпространств:
\(\left( \begin
Меняем вторую и четвертую строки:
\(\left( \begin
В базис объединения пространств вошли векторы \(a_1\) , \(b_1\) и \(b_2\) .
Т.е., \(\dim V_1=\dim V_2=2\) , \(\dim (V_1\cup V_2)=3\) . Согласно формуле Грассмана имеем:
Найти размерность и базис подпространства 4 l r заданного системой уравнений
В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач о линейных пространствах по темам: проверка линейности подпространства, базис пространства и подпространства, ортогональное подпространство, размерность.
Решения задач: линейные пространства
Задача 1. Образует ли линейное подпространство пространства $R^4$ множество $V$, заданное по правилу:
Задача 2. Даны векторы $e_1, e_2, e_3, e_4$ и $a$ в стандартном базисе пространства $R^4$.
Требуется:
а) убедиться, что векторы $e_1, e_2, e_3, e_4$ образуют базис пространства $R^4$;
б) найти разложение вектора $a$ по этому базису;
в) найти угол между векторами $e_1$ и $e_2$.
Задача 3.Найти ортогональный базис подпространства $L$, заданного системой уравнений, и базис подпространства $L^ $
Задача 4. Для каждого из следующих множеств геометрических векторов определить, будет ли это множество линейным подпространством пространства $V_3$ :
1) радиус-векторы точек данной плоскости;
2) векторы, образующие с данным ненулевым вектором $\overline$ угол $\alpha$;
3) множество векторов, удовлетворяющих условию $|\overline |=1$ .
Задача 5. Пусть $L$ — множество многочленов степени не выше 2, удовлетворяющих условию $p(1)+p'(1)+p»(1)=0$. Доказать, что $L$ — линейное подпространство в пространстве $P_2$. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.
Задача 6. Образуют ли многочлены $p_1(x)=x^3+x^2-1$, $p_2(x)=x^2-2x$, $p_3(x)=x^3+x$, $p_4(x)=x^2-3$ базис в пространстве $P_3$?
Задача 7. Доказать, что матрицы вида $$ \begin
$$ образуют линейное подпространство в пространстве матриц $M_ $. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.
Подпространство линейного пространства
Определение и размерность подпространства
Определение 6.1. Подпространством L n-мерного пространства R называется множество векторов, образующих линейное пространство по отношению к действиям, которые определены в R.
Другими словами, L называется подпространством пространства R, если из x, y∈L следует, что x+y∈L и если x∈L, то λ x∈L, где λ— любое вещественное число.
Простейшим примером подпространства является нулевое подпространство, т.е. подмножество пространства R, состоящее из единственного нулевого элемента. Подпространством может служить и все пространство R. Эти подпространства называются тривиальными или несобственными.
Подпространство n-мерного пространства конечномерно и его размерность не превосходит n: dim L≤ dim R.
Сумма и пересечение подпространств
Пусть L и M — два подпространства пространства R.
Cуммой L+M называется множество векторов x+y, где x∈L и y∈M. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M, следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R).
Пересечением L∩M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).
Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:
dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).
Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M. Пусть G g-мерное подпространство. Выберем в нем базис 
. Так как G⊂L и G⊂M, следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M. Пусть 
базис подпространства L и пусть 
базис подпространства M. Покажем, что векторы
составляют базис F=L+M. Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).
Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства F представляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:
Левая часть (6.3) является вектором подпространства L, а правая часть является вектором подпространства M. Следовательно вектор
принадлежит подпространству G=L∩M. С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G:
Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:
Но векторы являются базисом подпространства M, следовательно они линейно независимы и 
. Тогда (6.2) примет вид:
В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:
Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы
линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y, где x∈L, y∈M. В свою очередь x представляется линейной комбинацией векторов а y — линейной комбинацией векторов. Следовательно векторы (6.10) порождают подпространство F. Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M.
Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следовательно:
dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■
Прямая сумма подпространств
Определение 6.2. Пространство F представляет собой прямую сумму подпространств L и M, если каждый вектор x пространства F может быть единственным способом представлен в виде суммы x=y+z, где y∈ L и z∈M.
Прямая сумма обозначается L⊕M. Говорят, что если F=L⊕M, то F разлагается в прямую сумму своих подпространств L и M.
Теорема 6.2. Для того, чтобы n-мерное пространство R представляло собой прямую сумму подпространств L и M, достаточно, чтобы пересечение L и M содержало только нулевой элемент и чтобы размерность R была равна сумме размерностей подпространств L и M.
Доказательство. Выберем некоторый базис 
в подпространстве L и некоторый базис 
в подпространстве M. Докажем, что
является базисом пространства R. По условию теоремы размерность пространства R n равна сумме подпространств L и M (n=l+m). Достаточно доказать линейную независимость элементов (6.11). Пусть нулевой вектор пространства R представляется линейной комбинацией векторов (6.11) с некоторыми коэффициентами:
Так как левая часть (6.13) является вектором подпространства L, а правая часть — вектором подпространства M и L∩M= 0, то
Но векторы и являются базисами подпространств L и M соответственно. Следовательно они линейно независимы. Тогда
Установили, что (6.12) справедливо лишь при условии (6.15), а это доказывает линейную независимость векторов (6.11). Следовательно они образуют базис в R.
Пусть x∈R. Разложим его по базису (6.11):
Из (6.17) и (6.18) следует, что любой вектор из R можно представить суммой векторов x1∈L и x2∈M. Остается доказать что это представление является единственным. Пусть кроме представления (6.17) есть и следующее представление:
Вычитая (6.19) из (6.17), получим
Так как 
, 
и L∩M= 0, то 
и 
. Следовательно 
и 
. ■
Решебник.Ру / Кузнецов Л.А. Линейная алгебра. Задача 3
Системы линейных однородных уравнений
Постановка задачи. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы
1. Записываем матрицу системы:
и с помощью элементарных преобразований преобразуем матрицу к треугольному виду, т.е. к такому виду, когда все элементы, находящиеся ниже главной диагонали равны нулю. Ранг матрицы системы равен числу линейно независимых строк, т.е., в нашем случае, числу строк, в которых остались ненулевые элементы:
.
Размерность пространства решений равна 
. Если 
, то однородная система имеет единственное нулевое решение, если 
, то система имеет бесчисленное множество решений.
2. Выбираем 
базисных и 
свободных переменных. Свободные переменные обозначаем 
. Затем базисные переменные выражаем через свободные, получив таким образом общее решение однородной системы линейных уравнений.
3. Записываем базис пространства решений системы полагая последовательно одну из свободных переменных равной единице, а остальные нулю. Размерность линейного пространства решений системы равна количеству векторов базиса.
Примечание. К элементарным преобразованиям матрицы относят:
1. умножение (деление) строки на множитель, отличный от нуля;
2. прибавление к какой-либо строке другой строки, умноженной на любое число;
3. перестановка строк местами;
4. преобразования 1–3 для столбцов (в случае решения систем линейных уравнений элементарные преобразования столбцов не используются).
Задача 3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы.
Выписываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим ее к треугольному виду:
Полагаем 
, тогда
.
Размерность линейного пространства решений равна 3.
:: Рекомендуемая литература. Ремендуем покупать учебную литературу в интернет-магазине Озон
Пересечение и сумма подпространств линейного пространства
Пусть и — подпространства линейного пространства Пересечением подпространств и называется множество векторов, каждый из которых принадлежит и одновременно, т.е. пересечение подпространств определяется как обычное пересечение двух множеств.
Алгебраической суммой подпространств и называется множество векторов вида , где . Алгебраическая сумма (короче просто сумма) подпространств обозначается
Представление вектора в виде , где , называется разложением вектора и .
1. Пересечение подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к пересечениям.
2. Сумма подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к суммам.
Действительно, нужно показать замкнутость линейных операций в множестве . Пусть два вектора и , т.е. каждый из них раскладывается по подпространствам:
Найдем сумму: . Так как , а , то . Следовательно, множество замкнуто по отношению к операции сложения. Найдем произведение: . Так как , a , то . Следовательно, множество замкнуто по отношению к операции умножения на число. Таким образом, — линейное подпространство.
3. Операция пересечения определена на множестве всех подпространств линейного пространства — можно расставлять произвольно или вообще не ставить.
4. Минимальным линейным подпространством , содержащим подмножество конечномерного линейного пространства , содержащих , т.е. . Если , то указанное пересечение совпадает с нулевым подпространством , поскольку оно содержится в любом из подпространств . Если — линейное подпространство , то указанное пересечение совпадает с , поскольку содержится в каждом из пересекаемых подпространств (и является одним из них: Минимальное свойство линейной оболочки: линейная оболочка любого подмножества конечномерного линейного пространства , т.е. .
Действительно, обозначим . Надо доказать равенство двух множеств: . Так как (см. пункт 6 замечаний 8.7), то . Докажем включение . Произвольный элемент имеет вид , где . Пусть — любое подпространство, содержащее . Оно содержит все векторы и любую их линейную комбинацию (см. пункт 7 замечаний 8.7), в частности, вектор , содержащему . Значит, . Из двух включений и следует равенство .
5. Операция сложения подпространств определена на множестве всех подпространств линейного пространства конечного числа подпространств скобки можно расставлять произвольно или вообще не ставить.
6. Можно определить объединение подпространств и как множество векторов, каждый из которых принадлежит пространству или пространству (или обоим подпространствам). Однако, объединение подпространств в общем случае не является подпространством (оно будет подпространством только при дополнительном условии или ).
7. Сумма подпространств совпадает с линейной оболочкой их объединения . Действительно, включение следует из определения. Любой элемент множества имеет вид , т.е. представляет собой линейную комбинацию двух векторов из множества . Докажем противоположное включение . Любой элемент имеет вид , где . Разобьем эту сумму на две, относя к первой сумме все слагаемые , у которых . Остальные слагаемые составят вторую сумму:
Первая сумма — это некоторый вектор , вторая сумма — это некоторый вектор . Следовательно, . Значит, . Полученные два включения говорят о равенстве рассматриваемых множеств.
Теорема 8.4 о размерности суммы подпространств. Если и подпространства конечномерного линейного пространства формула Грассмана ):
В самом деле, пусть — базис пересечения . Дополним его упорядоченным набором векторов до базиса подпространства и упорядоченным набором векторов до базиса подпространства . Такое дополнение возможно по теореме 8.2. Из указанных трех наборов векторов составим упорядоченный набор векторов. Покажем, что эти векторы являются образующими пространства . Действительно, любой вектор
Следовательно, . Докажем, что образующие линейно независимы и поэтому они являются базисом пространства . Действительно, составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору:
Первые две суммы обозначим — это некоторый вектор из , последнюю сумму обозначим — это некоторый вектор из . Равенство (8.14): означает, что вектор принадлежит также и пространству . Значит, . Раскладывая этот вектор по базису , находим . Учитывая разложение этого вектора в (8.14), получаем
Последнее равенство можно рассматривать, как разложение нулевого вектора по базису подпространства . Все коэффициенты такого разложения нулевые: и . Подставляя в (8.14), получаем . Это возможно только в тривиальном случае и , так как система векторов линейно независима (это базис подпространства ). Таким образом, равенство (8.14) выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю одновременно. Следовательно, совокупность векторов линейно независима, т.е. является базисом пространства . Подсчитаем размерность суммы подпространств:
что и требовалось доказать.
Пример 8.6. В пространстве радиус-векторов с общим началом в точке и — три множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся в точке и соответственно; и — два множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся плоскостям и соответственно; прямая , при надлежит плоскости , прямая принадлежит плоскости , плоскости и пересекаются по прямой (рис. 8.2). Найти суммы и пересечения каждых двух из указанных пяти подпространств.
Решение. Найдем сумму . Складывая два вектора, принадлежащих и соответственно, получаем вектор, принадлежащий плоскости . На оборот, любой вектор (см. рис.8.2), принадлежащий , можно представить в виде , построив проекции и вектора на прямые и соответственно. Значит, любой радиус-вектор плоскости раскладывается по подпространствам и , т.е. . Аналогично получаем, что , а — множество радиус-векторов, принадлежащих плоскости, проходящей через прямые и .
Найдем сумму . Любой вектор можно разложить по подпространствам и . В самом деле, через конец радиус-вектора (см. рис. 8.2), т.е. строим проекцию . Затем на откладываем вектор так, чтобы . Следовательно, . Так как , то . Аналогично получаем, что . Остальные суммы находятся просто: . Заметим, что .
Используя теорему 8.4, проверим, например, равенство по размерности. Подставляя и в формулу Грассмана, получаем , что и следовало ожидать, так как .
Пересечения подпространств находим по рис. 8.2, как пересечение геометрических фигур:
Прямая сумма подпространств
Алгебраическая сумма подпространств и линейного пространства прямой суммой , если пересечение подпространств состоит из одного нулевого вектора. Прямая сумма подпространств обозначается и обладает следующим свойством: если , то для каждого вектора , где .
Действительно, если предположить противное, а именно существование двух разных разложений: , где , то получим противоречие: из равенства следует, что ненулевой вектор принадлежит обоим подпространствам и одновременно, значит, принадлежит их пересечению, а по определению их пересечение состоит из одного нулевого вектора.
Признаки прямых сумм подпространств
Сумма является прямой суммой, если:
– существует вектор , где ;
– базис пространства и ;
1. Понятие прямой суммы распространяется на любое конечное число слагаемых. Сумма называется прямой суммой подпространств , если пересечение каждого из них с суммой остальных равно одному нулевому вектору:
2. Свойства и признаки, указанные для прямой суммы двух подпространств, справедливы и для любого конечного числа слагаемых. Отметим еще одно свойство: если — базис пространства .
Пример 8.7. В примере 8.6 найдены алгебраические суммы подпространств. Какие суммы являются прямыми?
Решение. Так как , то сумма — прямая. Аналогично полу чаем, что суммы
Остальные суммы подпространств, найденные в примере 8.6, не являются прямыми:
поскольку их пересечение содержит не только нулевой вектор. Например, пересечение .
Алгебраические дополнения подпространств
Пусть — подпространство конечномерного линейного пространства алгебраическим дополнением подпространства в пространстве . Говорят, что дополняет (алгебраически) подпространство до 1. Для любого подпространства существует алгебраическое дополнение , то . В остальных случаях базис подпространства можно дополнить по теореме 8.2 до базиса пространства . В примере 8.7 получено равенство , т.е. подпространства и дополняют друг друга до всего пространства.
2. Базис любого подпространства дополняется базисом алгебраического дополнения 3. Алгебраическое дополнение подпространства , кроме случаев или в пространстве служит множество радиус-векторов, принадлежащих любой прямой, пересекающей плоскость в точке .
4. Для любого подпространства в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливо.
5. Если и — подпространства пространства
Заметим, что равенства и в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливы.
Докажем последнее свойство. Как при доказательстве теоремы 8.4 по строим базис суммы подпространств из трех наборов векторов: . Дополним теперь этот базис (по теореме 8.2) век торами до базиса пространства базис , то по свойству 2 алгебраических дополнений заключаем, что — базис . Аналогично получаем, что — базис . Следовательно, — базис пересечения . Таким образом, базис всего пространства и базиса пересечения . Используя признак 2 прямой суммы подпространств, получаем . Равенство следует аналогично из структуры базиса пространства
Линейная зависимость и линейная независимость векторов над подпространством
Говорят, что система векторов пространства линейно зависима над подпространством , если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, принадлежащая подпространству , т.е. найдутся такие числа , неравные нулю одновременно, что
Если последнее включение возможно только в тривиальном случае, т.е при , то векторы называют линейно независимы ми над подпространством .
Понятие линейной зависимости или независимости над подпространством обобщает обычное, рассмотренное ранее, понятие линейной зависимости или независимости векторов, и совпадает с ним, если в качестве подпространства взять нулевое .
Следующие свойства прямых сумм подпространств можно сформулировать при помощи понятия линейной зависимости и линейной независимости над подпространством.
1. Если пространство , то любая линейно независимая система векторов подпространства будет линейно независимой над подпространством .
2. Базисом алгебраического дополнения подпространства является максимальная совокупность векторов пространства (см. свойство 2 алгебраических дополнений подпространств).
Пусть имеется цепочка подпространств . Подпространство называется алгебраическим дополнением подпространства относительно подпространства (или относительным дополнением до подпространства ). Базисом относительного дополнения служит максимальная система векторов , линейно независимая над .