Девятизначное число в записи которого есть все цифры кроме нуля
ЕГЭ 2011. Математика. Задача С6. Арифметика и алгебра
Думаю, что содержание § 7 не заинтересует настоящих физиков.
Одной из целей математического образования, нашедшей отражение в федеральном компоненте государственного стандарта по математике, является интеллектуальное развитие учащихся. Эта цель выходит на одно из ведущих мест при изучении математики на повышенном уровне.
Поскольку одним из основных отличий задачи С6 от остальных задач ЕГЭ является ее явно выраженный нестандартный характер, а сведения, необходимые для решения этой задачи, могут относится к самым различным разделам школьного курса, построение решения может потребовать нетривиальных идей и методов, постольку смыслом включения задачи С6 в состав контрольно-измерительных материалов ЕГЭ является именно диагностика уровня интеллектуального развития учащихся.
Целью данной книги является не только подготовить учащихся к решению задачи С6, но и помочь учителю систематически заниматься интеллектуальным развитием учащихся на материале содержания задачи С6.
Авторы сборника старались дать обзор тех тем, которым традиционно в школе уделяется меньше внимания, и показать некоторые специфические методы решения задач. В сборник включены и более трудные задачи, примыкающие к так называемой «олимпиадной тематике». Эти задачи отмечены звездочкой.
Материалы книги могут служить подспорьем в проведении элективных курсов, кружков и факультативов.
В книге также приведены задачи, аналогичные задачам С6 Единого государственного экзамена 2010 года, вместе с критериями их оценивания. В диагностическую работу, предложенную в начале книги, включены задачи, предлагавшиеся в тренировочных вариантах в 2009/10 учебном году.
В заключение отметим, что, безусловно, перечень возможных сюжетов и тем задачи С6 не исчерпывается приведенными в данной книге.
Авторы будут благодарны за конструктивную критику и замечания по содержанию этой книги, которые можно присылать по адресу [email protected]
- ← Предыдущая запись
- Следующая запись →
- U-mail
- Дневник
- Профиль
§ 6. Задачи, аналогичные предложенным на ЕГЭ-2010
Задача 6.1. Каждое из чисел 2, 3,7 умножают на каждое из чисел 13, 14, 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Задача 6.2. Перед каждым из чисел 22, 23, 26 и 50, 51, . 60 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 55 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Задача 6.3. Найдите все тройки натуральных чисел k, m и n, удовлетворяющие уравнению 2 • k! = m! — 2 • n! (1! = 1; 2! = 1 • 2 = 2; n! = 1•2•. •n).
Задача 6.4. Найдите все пары натуральных чисел a и b, удовлетворяющие равенству `bar
PS. Надеюсь, что истинные ценители творчества Учителя оценят очередную порцию этих бессмертных творений с подобающим пиететом.
- U-mail
- Дневник
- Профиль
§ 1. Делимость, признаки делимости
Пример 1.1. Может ли число, сумма цифр которого равна 2010, быть квадратом целого числа?
Пример 1.2. Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится на 30.
Пример 1.3. Докажите, что дробь `(2n+1)/(3n+2)` несократима (n — натуральное число).
Пример 1.4. Докажите, что квадраты натуральных чисел не дают остатка 2 при делении на 3.
Пример 1.5. Докажите, что натуральное число является точным квадратом тогда и только тогда, когда у него нечетное число натуральных делителей.
Пример 1.6. Ваня задумал простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?
Пример 1.7. Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?
Пример 1.8*. Докажите, что при любом натуральном n сумма цифр числа `1981^n` не меньше 19.
Пример 1.9. Решите в натуральных числах уравнение `1/x+1/y=1/p`, где p — заданное простое число.
1.1. Поставьте вместо знака * цифру в числе 566*239 так, чтобы оно делилось на 9.
1.2. Докажите, что произведение любых трех последовательных целых чисел делится на 6.
1.3. Сколько натуральных делителей имеет число 3072?
1.4. Найдите наибольшее целое число, которое при делении на 11 дает неполное частное 10.
1.5. На какую цифру оканчивается число `53^2007`? Указание
1.6. Какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 5?
1.7. Какое наименьшее натуральное число не является делителем 50! (n! обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно) ?
1.8. Докажите, что дробь `(6n+7)/(10n+12)` несократима при натуральных n.
1.9. Каково наименьшее натуральное число n, такое, что n! делится на 990?
1.10. Десятизначное число на 1 больше квадрата натурального числа. Доказать, что в нем есть одинаковые цифры.
1.11. Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9 и 11.
1.12. Числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел в первой группе нацело делится на произведение чисел во второй. Какое наименьшее значение может быть у частного от деления первого произведения на второе? Указание
1.13. Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число. Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором число 1? Указание
1.14. Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1? Найдите все возможные значения этого произведения.
1.15. Найдите 10 натуральных чисел, обладающих тем свойством, что их сумма делится на каждое из них. problems.ru http://dxdy.ru
1.16. Числа m и n взаимно просты. Какие значения может принимать наибольший общий делитель чисел 4m + 3n и 6m + 5n?
1.17. Число умножили на сумму его цифр и получили 2008. Найдите это число.
1.18. Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 10, равно 1000. Найдите их сумму.
1.19. Натуральные числа m и n таковы, что m > n, m не делится на n и имеет от деления на n тот же остаток, что и m+n от деления на m-n. Найдите отношение m:n. Указание
1.20. Существует ли такое натуральное n, что n^2 + n +1 делится на 1955?
1.21*. Вычислите сумму всех делителей числа `p_1^
1.22. Докажите, что для любого натурального n > 2 наименьшее натуральное число, большее 1 и взаимно простое с каждым из чисел 2, 3, . n, является простым.
- U-mail
- Дневник
- Профиль
§ 2. Десятичная запись числа
Пример 2.1. В трехзначном числе `bar
Пример 2.2. В примере на умножение двузначных чисел одинаковые цифры заменили одинаковыми буквами, а разные цифры — разными. Докажите, что при вычислении была допущена ошибка: `bar
Пример 2.3. Докажите, что квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5, оканчивается на 25.
Пример 2.4. Найдите все двузначные числа, которые равны сумме цифры десятков и квадрата цифры, стоящей в разряде единиц.
Пример 2.5. Сложили шесть трехзначных чисел, полученных перестановками трех различных цифр в разном порядке. Докажите, что полученная сумма делится на 37.
Пример 2.6. При каком наименьшем натуральном n в десятичной записи правильной дроби `m/n` после запятой могут подряд встретиться цифры 0. 501.
Пример 2.7. Может ли произведение всех цифр десятичной записи натурального числа равняться 2010?
Пример 2.8. Докажите, что десятичная запись числа `2^300` содержит более 90, но не более 100 цифр.
2.1. Цифры двузначного числа `bar
2.2. Двузначное число умножили на произведение его цифр. В ответе получилось трехзначное число из одинаковых цифр, совпадающих с цифрой в разряде единиц исходного числа: `bar
2.3. Докажите, что десятичная запись числа `3^20` содержит не более 10 цифр.
2.4. Натуральные числа от 1 до 20 выписали в строчку подряд: 123456789101112. 181920. В полученном натуральном числе нужно вычеркнуть 10 цифр так, чтобы натуральное число, образованное оставшимися цифрами, было как можно больше. Как это сделать?
2.5. Натуральные числа от 1 до 20 выписали подряд после запятой и получили десятичную дробь: 0,123456789101112. 181920. Как вычеркнуть 10 цифр, чтобы десятичная дробь, образованная оставшимися цифрами, была как можно меньше?
2.6. Число `bar
2.7. Найдите все трехзначные числа, для которых любое число, полученное из них произвольной перестановкой цифр, делится на 7.
2.8. Найдите все двузначные числа, квадрат которых оканчивается теми же двумя цифрами, что и само число. Указание
2.9. Найдите все трехзначные числа, квадрат которых оканчивается теми же тремя цифрами, что и само число.
2.10. Сколько существует двузначных чисел, которые ровно в 9 раз больше суммы своих цифр? А сколько существует таких трехзначных чисел?
2.11. В натуральном числе поменяли местами две соседние цифры и из полученного числа вычли исходное. Докажите, что полученная разность всегда делится на 9.
2.12. В натуральном числе поменяли местами две цифры, стоящих через одну, и из полученного числа вычли исходное. Докажите, что разность всегда делится на 99.
2.13. В примере на умножение двузначных чисел одинаковые цифры заменили одинаковыми буквами, а разные — разными. Докажите, что при вычислении была допущена ошибка: `bar
2.14. Пусть a, b, c, d — различные цифры. Докажите, что `bar
2.15. На чем основан следующий способ возведения в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой пять: отбросьте цифру 5 и умножьте полученное число на следующее за ним натуральное число, а к результату справа припишите число 25 (например, для получения квадрата числа 115 нужно 11 умножить на 11 + 1 = 12 и к произведению 11 х 12 = 132 приписать 25, получив в ответе 13225)?
2.16. Какое наибольшее значение может принимать частное от деления трехзначного числа на сумму всех его цифр?
2.17. Найдите все четырехзначные числа `bar
2.18. Из трех различных цифр составили всевозможные двузначные числа без повторений цифр в одном числе. Сумма шести полученных чисел оказалась равной 528. Найдите эти цифры.
2.19. Друг за другом подряд выписали десятичную запись чисел `2^100` и `5^100`. Сколько всего цифр выписали?
2.20. При некотором натуральном n десятичная запись чисел `2^n` и `5^n` начинается с одной и той же цифры. Какая это может быть цифра?
2.21. Существует ли натуральное число, которое при зачеркивании первой слева цифры уменьшается ровно в 2011 раз?
2.22. Девятизначное число, в записи которого есть все цифры, кроме нуля, после некоторой перестановки цифр уменьшилось в 8 раз. Найдите все такие числа.
2.23. При каком наименьшем натуральном n в десятичной записи дроби `1/n` после запятой могут подряд встретиться цифры 0. 142. А в десятичной записи правильной дроби `m/n` ?
2.24. а) Сколько существует натуральных чисел n, меньших 100, таких, что каждое из чисел `1/n` и `1/(n+1)` выражается конечной десятичной дробью? б) Найдите все такие натуральные n.
- U-mail
- Дневник
- Профиль
§ 3. Уравнения в целых числах (диофантовы уравнения)
Пример 3.1. Решите уравнение xy + 2x + Зy = 7 в целых числах.
Пример 3.1. Решите в натуральных числах уравнение `3^x + 4^y = 5^z`.
Пример 3.2. Решите в целых числах уравнение `x^2 + 4xy + 13y^2 = 58`.
Пример 3.3. Решите в целых числах уравнение: Зх + 2у = 7.
Пример 3.4. Решите в целых числах уравнение х(х+1) = 4у(у + 1).
3.1. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 5.
3.2. Найдите три подряд идущих целых числа, сумма кубов которых равна кубу следующего за ними числа.
3.3. Найдите все прямоугольники с целыми сторонами, площадь которых равна их периметру.
3.4. Решите уравнения в целых числах: а) `3x^2 + 1 = 5y`; б) `2^x + 65 = y^2`. Указание
3.5. Докажите, что прямая 4x + 6y — 7 = 0 не проходит через точки, обе координаты которых — целые числа.
3.6. Решите в натуральных числах уравнение: `1/x + 1/y = 1/239`. Указание
3.7. Решите уравнение в натуральных числах: `2^x +3^x + 4^x = y^2`. Указание
3.8. Решите уравнение в натуральных числах: `3^x + 55 = y^2`. Указание
3.9. Решите уравнение в натуральных числах: а)`x!-1=y^2`; б)`x! + 12 = y^2`. Указание
3.10. Решите в натуральных числах систему: a) `<(x+y=180),((x; y)=30):>`; б) `<(7x=11y),((x; y)=45):>`; в) `<(xy=720),((x; y)=4):>`; Указание
3.11. Решите в натуральных числах уравнение: ху(х + у) = 120.
3.12. Решите в целых числах уравнение: `a^2b^2 + a^2 + b^2 = 1969`.
3.13. Решите в натуральных числах уравнение: `x+1/(y+1/z)=10/7`.
3.14. Решите в целых числах уравнение: `3^x = 1 + y^2`.
3.15. Найдите все пары различных натуральных чисел х и у такие, что `x^y = y^x`.
3.16. Решите в целых числах уравнение: `x + y = x^2 — xy + y^2`.
3.17. Решите в целых числах уравнение: `1 + x + x^2 + x^3 = 2^y`.
3.18. Решите уравнение в целых числах: `x^2 + 2xy = 4x + 7`.
3.19. Решите уравнение в целых числах: `2x^2 — 12xy + 19y^2 = 132`.
3.20. Решите уравнение в целых числах: `x^2 + 3x + 5 = y^2`.
3.21. Решите уравнение в натуральных числах: `x + y = x^2 — xy + y^2`.
3.22. Решите в целых числах уравнение: `2x^2 + 3xy + 3y^2 = 2x + 6y`.
3.23. Решите в натуральных числах уравнение: `1/x+1/y+1/z = 1` при `x le y le z`.
3.24. Решите в целых числах уравнение: `3^x + 7 = 2^y`.
- U-mail
- Профиль
- U-mail
- Профиль
- U-mail
- Дневник
- Профиль
- U-mail
- Профиль
Пример 4.1. Найдите сумму первых 20 членов арифметической прогрессии, если `a_10 + a_11` =4.
Пример 4.2. Том Сойер красил забор длиной 105 метров, причем день за днем количество выкрашенного за один день уменьшалось на одну и ту же величину. За сколько дней был покрашен забор, если за первые три дня Том выкрасил 36 метров забора, а за последние три — только 27 метров?
Пример 4.3. Два положительных неравных числа являются первым и третьим членами некоторой арифметической прогрессии и первым и третьим членом некоторой геометрической прогрессии. У какой из этих прогрессий сумма трех первых членов больше?
Пример 4.4. В арифметической прогрессии четвертый член равен 1. При каком значении разности произведение второго и седьмого членов будет наибольшим?
Пример 4.5. Могут ли числа 2, 3 и 17 быть членами (не обязательно последовательными) одной геометрической прогрессии?
Пример 4.6. Дана арифметическая прогрессия с первым членом 1 и разностью 2. Докажите, что число `1/(sqrt(a_1)+sqrt(a_2))+1/(sqrt(a_2)+sqrt(a_3))+ . +1/(sqrt(a_40)+sqrt(a_41))` является целым.
Пример 4.7. Шесть простых чисел являются последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. Докажите, что разность этой прогрессии не менее 30.
Пример 4.8. Различные числа a, b и c (в указанном порядке) образуют геометрическую прогрессию, а числа `1/(a+1)`, `1/(b+1)`, `1/(c+1)` (в том же порядке) — арифметическую. Найдите сумму арифметической прогрессии.
Пример 4.9. Найдите наибольшую разность арифметической прогрессии, среди членов которой есть числа `1/17`, `1/15` и `1/13`.
4.1. Дана арифметическая прогрессия с первым членом 2 и разностью -3. Найдите десятый член арифметической прогрессии и сумму первых десяти ее членов.
4.2. Второй член арифметической прогрессии равен 5. Найдите сумму первых трех членов прогрессии.
4.3. Сумма первых десяти членов геометрической прогрессии равна 1023, а первый член равен 1. Найти знаменатель прогрессии.
4.4. Третий член геометрической прогрессии равен 4. Найдите произведение первых пяти членов прогрессии.
4.5. Найдите наибольшую из сумм первых n членов арифметической прогрессии, если `a_1` = 78, `a_2` = 70.
4.6. В арифметической прогрессии `a_1` = -85, `a_19` — ее первый положительный член. Какие значения может принимать разность прогрессии?
4.7. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 12. Найдите наибольшее значение произведения этих чисел.
4.8. Докажите, что последовательность, сумма n первых членов которой задается формулой `S_n = 3^n — 1`, является геометрической прогрессией.
4.9. Три положительных числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Если среднее из них уменьшить на 40%, то получится геометрическая прогрессия, сумма которой равна 39. Найдите эти числа.
4.10. Сумма пятого и девятого членов геометрической прогрессии равна 7. Найдите сумму их квадратов, если произведение шестого и восьмого членов этой прогрессии равно 12.
4.11. В арифметической прогрессии пятый член равен 2. При каком значении разности прогрессии сумма всевозможных попарных произведений четвертого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наименьшей?
4.12. Найдите шестой и десятый члены возрастающей геометрической прогрессии, если их сумма равна 16, а произведение четырнадцатого и второго членов этой прогрессии равно 60.
4.13. Отношение суммы первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии к сумме ее последующих семи членов равно 7:3. Найдите разность прогрессии, если известно, что у нее имеются два соседних члена, произведение которых равно числу `-7/4`.
4.14. Геометрическая прогрессия с отрицательной суммой состоит из четырех членов. Выбросив из нее второй член, мы получим возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель исходной геометрической прогрессии.
4.15. Найдите всевозможные значения а, при которых числа `2sqrt(2a)`, -8, `3sqrt(8a)` являются, в некотором порядке, последовательными членами арифметической прогрессии.
4.16. Три числа, сумма которых равна 12, образуют арифметическую прогрессию. Если второе оставить без изменения, а первое и третье увеличить на 1, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.
4.17. Могут ли числа 1, `sqrt(2)` и `sqrt(3)` быть членами (не обязательно последовательными) одной арифметической прогрессии?
4.18. Могут ли цифры простого трехзначного числа образовывать арифметическую прогрессию?
4.19. Найдите все состоящие из простых чисел арифметические прогрессии (состоящие из не менее чем трех чисел) с разностью 10.
4.20. Известно, что первый, десятый и сотый члены геометрической прогрессии являются натуральными числами. Верно ли, что 99-й член этой прогрессии также является натуральным числом?
4.21. Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 100. Если все ее члены увеличить на 1, то сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 100. Какие значения при этих условиях может принимать величина `n^2d`, где d — разность прогрессии, a n — число ее членов?
4.22. В арифметической прогрессии `a_20` = 30 и `a_30` = 20. Найдите `a_50`.
4.23. Обозначим через `S_n` сумму первых n членов непостоянной арифметической прогрессии. Найдите все прогрессии, для которых при всех `n, k in NN` выполняется равенство `S_n-S_k = S_
4.24. Найдите все возрастающие конечные арифметические прогрессии, которые состоят из простых чисел и у которых количество членов больше, чем разность прогрессии.
десятичная_запись_числа — 9-значное число, которое не может быть квадратом
Докажите, что девятизначное число, в записи которого участвуют все цифры, кроме нуля, и которое оканчивается цифрой 5, не может быть квадратом целого числа.
задан 1 Мар ’22 2:04
2 ответа
$%(10n+5)^2=100n(n+1)+25$%
Значит квадрат оканчивается на 25.
Третья с конца цифра квадрата — последняя цифра $%n(n+1)$%, т.е. 0, 2 или 6. Нуля нет по условию, 2 занято. Остается 6. Но тогда последняя цифра $%n$% или 2 или 7.
$%(100k\pm 25)^2=1000(10k^2\pm 5k)+625$%
Откуда 4-я с конца цифра квадрата либо 0, либо 5. Оба варианта не подходят.
отвечен 1 Мар ’22 13:56
На компьютере решение занимает меньше секунды (код в Maple). Достаточно проверить числа с 5 на конце в диапазоне от 10005 до 31615, т.к. 31623^2 > 10^9 . Мы видим, что существуют 3 девятизначных числа с различными цифрами и являющиеся квадратами, но все они содержат цифру 0.
отвечен 1 Мар ’22 17:08
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Найти все девятизначные числа, в записи которых присутствуют все цифры кроме 0, которые увеличиваются в 8 раз при некоторой перестановке цифр.
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Буксирный теплоход тянет равноускоренно две баржи водоизмещением 500 т и 300 т. Сила сопротивления воды для первой баржи равна 15 кН, для второй 12 кН. Найти натяжение троса между баржами, если сила тяги буксира 50 кН. (20,6 кН)
Редкая гостья.
Таня и Витя жили в деревне около леса. Зимой Витя поставил на лесной опушке домик для птиц. Густые ветви ели защищали кормушку от вьюги. Пищу для птиц дети готовили с осени.
Сегодня ребята шли узкой тропинкой навестить друзей. На скатерти снега видны следы зверей и птиц. Из чащи показалась стайка щеглов.
Вдруг на верхушке ели появилась белка. Зверёк пробежал по ветке, огляделся и прыгнул на птичий домик. Редкая гостья ловко стала объедать ягодки с кисти рябинки.
- В тексте найти имена существительные, выделить окончание, указать склонение и падеж.
- Распределите по типам склонения слова, выделите окончания.
1 вариант Деревня, ночь, плащ, ворона, тетрадь, сирень, озеро, огонь
2 вариант Кастрюля, мышь, луч, сорока, площадь, мозоль, солнце, пень.
- Выполните морфологический разбор слов:
1 вариант у кормушки, на скатерти
Решение задач открытой олимпиады 14 марта 2015 года ФМЛ 30. — презентация
Презентация на тему: » Решение задач открытой олимпиады 14 марта 2015 года ФМЛ 30.» — Транскрипт:
1 Решение задач открытой олимпиады 14 марта 2015 года ФМЛ 30
2 Задача 1 Вася и Петя в 1981 году купили одинаковые лыжи. Сколько стоит одна пара лыж, если Вася уплатил стоимость лыж трехрублевыми купюрами, Петя — пятирублевыми, а всего они дали в кассу меньше 10 купюр? Стоимость лыж – число, кратное 15 (кратное 5 и 3). Наименьшие натуральные числа, кратные 15 – 15 и 30. Поскольку купюр отдано меньше 10, то стоимость лыж равна 15 рублям.
3 Задача 2 Алексей и Олег выписывают 42-хзначное число, используя только цифры 1, 2, 3, 4 и 5. Первую цифру пишет Алексей, вторую Олег и далее по очереди. Олег хочет получить число, делящееся на 9. Сможет ли Алексей ему в этом помешать? Если Олег каждый раз будет ставить цифру, которая в сумме с предыдущей цифрой, поставленной Алексеем, даёт 6, то возникнет 21 пара цифр, сумма которых равна 6, а значит, сумма цифр всего числа будет 126. Таким образом, Алексей не сможет помешать Олегу составить число, делящееся на 9.
4 Задача 3 Треугольник АВС прямоугольный, АВ – гипотенуза. СМ – медиана. Через точку М проведена прямая перпендикулярная СМ, которая пересекает сторону ВС в точке К, а продолжение стороны СА в точке Р. Точка Е – середина отрезка КР. Докажите, что прямые СЕ и АВ взаимно перпендикулярны. СМ = МВ = МА СЕ = ЕК = ЕР
5 Задача 4 Из картона вырезано много равносторонних треугольников одинакового размера. В вершинах каждого треугольника написаны числа 1, 5 и 7. Треугольники сложили в стопку, совместив их вершины, после чего сосчитали сумму цифр у каждого угла стопки. Могут ли все три полученных числа быть равны 2015? Сумма цифр = 13. Каким бы ни было количество треугольников в стопке, сумма всех вершин делится на 13. Число 2015=5X13X31. Сумма всех вершин равна 2015X3=6045=3Х13Х105. Возьмём треугольники с вершинами 1-5-7, и Если мы сложим три этих треугольника в указанном порядке, то мы получим стопку, сумма цифр у каждого угла которой равна 13. Взяв 155 таких троек, мы получим требуемый результат.
6 Задача 5 Девятизначное число, в записи которого есть все цифры, кроме нуля, после некоторой перестановки цифр уменьшилось в 8 раз. Найдите все такие числа. Самое большое девятизначное число, которое состоит из всех цифр, кроме нуля – это Найдём 1/8 от него :8= ,125. Таким образом, 1/8 от нашего числа не может быть больше, чем , но при этом оно должно состоять из всех цифр, кроме нуля. Единственное число, которое нам подходит, это Проверим, что при умножении на 8 оно даёт Таким образом, это единственное подходящее число.
7 Задача 6 На столе у пиратов Жулькинса и Бумкинса лежат монеты. Одна сторона монеты – орёл, вторая – решка. Бумкинс расставляет 8 монет по кругу, орлами или решками вверх, на своё усмотрение. После этого он называет ту комбинацию орлов и решек, которую нужно получить. Жулькинс может переворачивать только три лежащих рядом монеты одновременно. Если Жулькинс за какое-то число таких ходов получит требуемую комбинацию, он забирает монеты себе. Докажите, что игра нечестная, то есть, из любой комбинации можно получить любую другую. Комбинации, которые получаются при повороте круга можно считать за одну.
8 Задача 6 Для того, чтобы показать, что из любой комбинации можно получить любую другую, достаточно показать, что существует способ перевернуть ровно одну монету, а все остальные оставить в исходном положении. Такое преобразование возможно, а значит, от любой комбинации можно перейти к любой другой.
9 Задача 7 Имеется 8 различных натуральных чисел, каждое из которых меньше 16. Из них составлены всевозможные положительные разности. Доказать, что среди этих разностей найдутся по крайней мере 3 одинаковых. Пронумеруем эти числа в порядке возрастания: 16>n 8 > n 7 >… n 2 >n 1. Рассмотрим следующее выражение: (n 8 -n 7 )+(n 7 -n 6 )+(n 6 -n 5 )+(n 5 -n 4 )+(n 4 -n 3 )+(n 3 -n 2 )+(n 2 — n 1 )=n 8 – n 1 Заметим, что значение этого выражения меньше 16 (очевидно, при рассмотрении правой части). Предположим, что среди указанных семи разностей не более двух одинаковых. Рассмотрим минимальную возможную сумму таких разностей: = 16. Правая часть равенства очевидно меньше 16, а левая – очевидно не меньше. Мы пришли к противоречию, значит наше предположение о том, что одинаковых разностей не более двух хотя бы в этом наборе – ошибочно. Значит их не меньше трёх уже в этом наборе, а тем более в наборе всевозможных разностей.