Как разложить функцию в ряд лорана

9.6. Ряды Тейлора и Лорана.

19.6.1. Ряд Тейлора. Пусть функция аналитична в области D, . Обозначим L окружность с центром в z₀, принадлежащую области D вместе с ограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащей внутри L, . Представим множитель в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии: (так как , то ) , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: , так как . Итак,

.

Ряд в правой части этого равенства — ряд Тейлора функции . Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D. Доказана

Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Если функция аналитична в области D, , то функция может быть разложена в ряд Тейлора по степеням . Этот ряд абсолютно сходится к внутри круга , где r — расстояние от до границы области D (до ближайшей к точке, в которой функция теряет аналитичность). Это разложение единственно.

Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются через производные функции.

19.6.1.1. Стандартные разложения. Для однозначных функций разложения в ряд Тейлора в принципе не могут отличиться от изучавшихся в прошлом семестре разложений:

;

;

;

;

;

Все эти ряды сходятся к своим функциям на всей плоскости (при ). Для геометрических прогрессий имеют место формулы

6. .

7. ;

8. .

То, что эти ряды сходятся при , понятно. Ближайшие к центру разложения />точки, в которых функции теряют аналитичность (граница области D) — это точки , в которых соответствующие функции неопределены.

9. .

В действительном случае вообще было непонятно, почему этот ряд перестаёт сходиться к при , ведь определена на всей действительной прямой. В комплексном случае это проясняется — на окружности расположены точки , в которых не определена.

При разложении многозначных функций необходимо выделить однозначную ветвь. Обычно задают значение функции в одной точке. Например, , k — целое. Возьмём ту ветвь логарифма, для которой , т.е. главное значение логарифма . На этой ветви , поэтому , и

10. .

Точка, в которой функция теряет аналитичность (она в этой точке вообще не определена) — это , поэтому ряд сходится при .

Теперь рассмотрим биномиальный ряд для функции . Это (при любом комплексном ) общая степенная функция, поэтому (однозначная ветвь выделена тем, что взято главное значение логарифма); дальше находим производные: ; аналогично ; и т.д.; , поэтому

11. .

19.6.1.2. Решение задач на разложение функций в ряд. Техника решения этих задач ничем не отличается от действительного случая (см. раздел 18.2.6.2). Рассмотрим, например, задачу 6 из этого раздела: разложить функцию по степеням . Так как степень знаменателя равна двум, сначала разложим в ряд функцию , затем почленно продифференцируем его: . Круг сходимости . На границе круга сходимости ряд из модулей расходится, и общий член не стремится к нулю, поэтому в каждой точке окружности ряд расходится. Далее, . Все выводы о круге сходимости и поведении ряда на его границе остаются справедливыми.

19.6.3. Ряд Лорана. Пусть функция аналитична в кольце . Тогда для любой точки этого кольца ; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева (следствие 3 раздела 19.6.2. Интегральная формула Коши). Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное: . Интеграл по внешней окружности преобразуем так, как и при выводе формулы Тейлора: (так как , то ) , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:

, где . Интеграл по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только, что на : . И здесь ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:

, где . Переобозначим , тогда форма коэффициентов ряда для совпадёт с формой коэффициентов ряда для : поэтому окончательно для интеграла по получим . Докажем, что и контур для вычисления коэффициентов может быть взят один и тот же. Действительно, пусть — кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце , и точка расположена внутри этого контура. По теореме Коши для многосвязной области ; , поэтому для любого n , и

.

Этот ряд (содержащий и положительные, и отрицательные степени), называется рядом Лорана функции . Его часть, содержащая неотрицательные степени (), называется правильной; часть, содержащая отрицательные степени (), называется главной. Правильная часть, по самому своему построению, сходится в круге , главная — во внешности круга , поэтому весь ряд сходится в пересечении этих областей, т.е. в кольце . Так же, как и для ряда Тейлора, разложение в ряд Лорана единственно.

Еще раз подчеркнем, что в ряд Лорана раскладывается функция, аналитическая в кольце, и ширина этого кольца определяется областью аналитичности функции, т.е. разложение теряет смысл, как только функция теряет аналитичность. Рассмотрим

Пример 1. Требуется получить все возможные разложения в ряд Лорана по степеням функции .

Здесь ; функция теряет аналитичность в точках . Легко видеть, что существует три области аналитичности с центром в (один круг и два кольца), на границах которых функция теряет аналитичность:

1. ; 2. ; 3. . В каждой из этих областей разложение будет таким:

1. В первой области (круге) функция аналитична, поэтому ряд Лорана будет совпадать с рядом Тейлора. — таково разложение на простые дроби, разлагаем в ряд Тейлора каждую их них. , где ; ; это разложение справедливо, если , т.е. в первой и второй областях. Окончательно в первой области . Этот ряд содержит только правильную часть.

2. В кольце знаменатель второй геометрической прогрессии (для дроби ) по модулю , поэтому разложение остаётся в силе. Для первой дроби, с учётом того, что , получим =. Это — главная часть ряда Лорана. Разложение имеет вид.

3. В кольце для первой дроби получим разложение так: или. Для второй дроби . Ответ можно записать и в форме , и в форме . В этом разложении имеется только главная часть.

Пример 2. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням.

Решение. Здесь функция теряет аналитичность только в точке , поэтому

. Главная часть здесь равна , остальные слагаемые образуют правильную часть.

Пример 3. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням.

Решение. Здесь ; функция теряет аналитичность только в точкеи в точке, отстоящей отна расстоянии 4, поэтому имеется два кольца: 1.и 2... Первый множитель уже представлен в виде суммы по степеням, работаем со вторым. Третью степень в знаменателе получим, дважды дифференцируя разложение функции.

1. В первом кольце получаем,,,

.

Это и есть искомое разложение в первом кольце. Его можно преобразовывать, например, собрать вместе члены с одинаковыми степенями , выделить главную часть:и т.д., но это уже не принципиально.

2. Во втором кольце получаем,,,.

15. Ряды Тейлора и Лорана

Где Г – окружность с центром в точке , целиком лежащая в области аналитичности . Областью сходимости ряда является круг с центром в точке разложения радиуса R, равном расстоянию от центра разложения до ближайшей осо бой точки – точки, в которой теряет аналитичность.

Теорема Тейлора. Функция , аналитическая в круге однозначно представима в нем своим рядом Тейлора (5.10), коэффициенты которого определяются по формулам (5.11).

Из этой теоремы и теоремы о возможности дифференцирования степенного ряда в круге сходимости любое число раз следует, что разложение функции в степенной ряд единственно. Это означает, что по любому методу разложения функции в степенной ряд мы получаем одно и то же разложение – ряд Тейлора. При ряд (5.10) называется рядом Маклорена.

При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями элементарных функций:

Для непосредственного разложения функции в степенной ряд (ряд Тейлора), необходимо найти закон получения производной N-го порядка (подобные примеры опустим).

Пример 1. Разложить в ряд по степеням функцию .

Решение. Рассмотрим сначала следующее преобразование данной логарифмической функции . Воспользуемся разложением 4) из (5.12) для , полагая . Так как разложение 4) имеет место при , то наше разложение будет иметь место при . Таким образом, для : .

Часто при разложении функций в ряд удобно пользоваться дифференцированием или интегрированием известных разложений, а при разложении рациональной дроби – разложением ее на простейшие.

Пример 2. Разложить в ряд по степеням Z функцию .

Решение. Разложим на простейшие дроби: . По формуле суммы геометрической прогрессии 7) из (5.12) получим:

. Замечая, что и применяя теорему о возможном почленном дифференцировании степенного ряда в круге сходимости, получим , . Складывая ряды для и , имеем , .

2°. Ряды Лорана.

Определение. Рядом Лорана называется ряд (5.6)

При этом ряд называется главной частью ряда Лорана, а ряд — правильной частью. Если , то областью сходимости ряда (5.6) является кольцо .

Теорема Лорана. Если функция аналитична в кольце , то в этом кольце она единственным образом представима в виде ряда Лорана (5.6), коэффициенты которого вычисляются по формулам:

Заметим, что из этой теоремы “кольца разложимости” определяются через расстояния от центра разложения до двух “соседних” особых точек . Вычисление контурных интегралов (5.14), как правило, достаточно затруднительно. Поэтому для разложения функций в ряды Лорана используются различные искусственные приемы.

Пример 1. Разложить в ряд Лорана в кольце функцию .

Решение. Преобразуем данную функцию:

Первые два слагаемых в правой части (1) имеют нужный вид, так как представляют собой степени разности . Последние два слагаемых запишем в виде: , . Применяя формулу 7), а затем 8) (из (5.12)), найдем

Подставляя (2) и (3) в (1), после несложных преобразований получим разложение в кольце в ряд Лорана:

Пример 2. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности .

Решение. Для любого комплексного имеем
Полагая , получим: . Это разложение справедливо для любой точки . В данном случае “кольцо” представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой : .

Пример 3. Рассмотреть различные разложения в ряд Лорана функции .

Решение. Функция имеет две особые точки: и . Следовательно, имеется три “кольца” с центром в точке , в каждом из которых является аналитической: а) круг ; б) кольцо ; в) — внешность круга . Найдем ряды Лорана для функции В каждом из этих “колец”. Представим предварительно функцию в виде суммы простейших дробей: (1). а)разложение в круге . Преобразуем (1) следующим образом: (2). Используя формулу 7) из (5.12), получим: , (3); , (4). Подставляя эти разложения в (2), получим: — это разложение есть ряд Маклорена функции . б) разложение в кольце . Ряд (4) для функции остается сходящимся в этом кольце, так как . Ряд (3) для функции расходится для . Поэтому преобразуем следующим образом:
(5). Применяя формулу 7), получим: (6). Этот ряд сходится, если , то есть при . Подставляя (4) и (6) в (5), найдем . в) разложение для . Ряд (4) для функции при расходится, а ряд (6) для функции будет сходиться, так как, если , то и подавно . Функцию представим в таком виде . Используя формулу 7), получаем . Заметим, что этот пример показывает, что для одной и той же функции ряд Лорана, вообще говоря, имеет разный вид для разных колец.

Пример 4. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности ее особых точек.

Решение. Особые точки функции: . а) разложение в окрестности точки , то есть в кольце . Представим функцию в виде суммы простейших дробей: . Правую часть преобразуем так: . Применяя разложение 7), в котором Z Заменим на , получим или . б) разложение в окрестности точки , то есть в кольце . Имеем .

Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Ранее рассматривалась задача разложения функции в степенной ряд , при этом функция предполагалась аналитической в точке , а ряд сходящимся в круге .

Другим частным случаем функциональных рядов, наряду со степенными, является ряд ряд по целым степеням разности . Такой ряд сходится в кольце и его сумма — функция аналитическая внутри этого кольца.

Можно рассматривать задачу разложения функции, аналитической в кольце . Имеет место теорема, аналогичная теореме 3.3.

Теорема Лорана о разложении функции в ряд по целым степеням

Теорема 3.5 (Лорана). Функция , аналитическая в кольце, представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле

где — произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку ; в частности, — окружность .

Имеют место следующие определения.

1. Ряд коэффициенты которого вычисляются по формуле (3.25), называется рядом Лорана функции .

Заметим, что формула (3.16) получается из формулы (3.25) при , но для коэффициентов ряда Лорана не имеет места формула вида (3.17), так как функция в точке может быть не определена.

2. Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями — называется правильной частью ряда Лорана ; члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана : или .

3. При . Это — круг с выколотым центром. Точка — особая точка функции, и разложение в этом случае называется разложением функции в окрестности особой точки.

4. При область есть внешность круга. В частном случае при — внешность круга . Разложение в этом случае называется разложением в окрестности бесконечно удаленной точки и имеет вид

Здесь совокупность неотрицательных степеней образует главную часть ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки; совокупность отрицательных — правильную часть ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Пример 3.30. Исследовать возможность разложения функции в ряды Тейлора и Лорана.

Функцию нельзя разложить в ряд по степеням ни в окрестности точки (ряд Тейлора), ни в окрестности точки (ряд Лорана), так как эти точки являются точками ветвления функции и в их окрестностях невозможно выделение однозначных ветвей.

Невозможны также разложения этой функции в ряды по степеням и , поскольку точки — также точки ветвления. Разложения по степеням , где , возможны.

Функция же раскладывается по степеням и в ряд Тейлора в круге и в ряд Лорана в области (окрестность бесконечно удаленной точки), а также в кольце . Возможны разложения и по степеням и в кольцевых областях, а также в окрестностях особых точек .

Так как ряды по целым степеням обладают свойствами степенных рядов (см. утверждение 3.2), то, учитывая теорию и практику решения задачи разложения функции в степенной ряд (см. утверждения 3.3 и 3.4), можно сформулировать следующее утверждение.

1. Функция, аналитическая в кольце , разлагается в этом кольце в ряд Лорана (3.24), коэффициенты которого вычисляются по формуле (3.25).

2. Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов — неравенство Коши:

где — радиус окружности (частный случай контура ), по которой производится интегрирование в (3.25).

3. На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции — его суммы.

4. Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки и окрестности бесконечно удаленной точки .

5. Разложение в ряд Лорана сводится к разложению в ряд Тейлора, используются основные разложения и действия над рядами.

6. При разложении рациональных дробей, как и в случае рядов Тейлора, выдерется целая часть неправильной дроби, а правильная записывается в виде суммы элементарных дробей, для разложения которых используется формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. При этом элементарные дроби преобразуются следующим образом:

– для получения правильной части, т.е. ряда, сходящегося в круге , разложение элементарной дроби записывается в виде

– для получения главной части, т.е. ряда, сходящегося вне круга , изложение элементарной дроби записывается в виде

Примеры разложения функций в ряд Лорана

Пример 3.31. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням .

Функция является аналитической всюду, кроме точек и , в частности: в круге , в кольце и в окрестности бесконечно удаленной точки (рис. 3.4).

В круге функция раскладывается в ряд Тейлора (см. пример 3.21). Получим разложения в двух других областях.

Рассмотрим разложение в кольце. Дробь правильная, ее разложение на элементарные дроби получено в примере (3.21):

Чтобы получить разложение в кольце, первое слагаемое раскладываем в области , т.е. записываем главную часть ряда, второе — в круге — правильная часть. Получаем разложения:

Записываем окончательный результат:

Здесь первое слагаемое — главная часть, а второе — правильная часть ряда Лорана в кольце .

Чтобы получить разложение в области — окрестности бесконечно удаленной точки, нужно и второе слагаемое разложить по отрицательным степеням:

В результате получаем разложение в окрестности бесконечно удаленной точки:

Заметим, что главная часть ряда отсутствует, так как в разложении присутствуют только члены с отрицательными степенями.

Пример 3.32. Разложить функцию в ряд Лорана: а) по степеням ; б) по степеням .

а) Особыми точками функции являются точки и , причем вторая — ближайшая к центру разложения, т.е. к (рис. 3.5,а); расстояние между и равно единице, поэтому в круге функция раскладывается в ряд Тейлора. Расстояние от до другой особой точки равно трем, и в кольце данная функция является аналитической и раскладывается в ряд Лорана. Аналитической она является и в области и раскладывается в ней также в ряд Лорана по степеням . Оба разложения получаем, как в предыдущем примере, причем замену

Разложение в кольце

Разложение в области

б) Задача решается так же, как и в предыдущем пункте. Различие заключается в том, что в данном случае обе особые точки расположены на одном расстоянии от центра — точки . Поэтому разложения по степеням могут быть получены в круге и в вырожденном кольце — в области (рис. 3.5,б). Разложение в круге | — ряд Тейлора — получено в примере 3.21. Запишем разложение в области

Пример 3.33. Записать разложения функции в окрестностях особых точек.

Особыми точками дроби являются . Решим задачу для каждой особой точки .

Разложение в окрестности бесконечно удаленной точки получено в примере 3.31:

Заметим, что в разложении отсутствует главная часть — совокупность членов с положительными степенями .

Запишем разложение в окрестности точки . Расстояние до другой особой точки — проколотая окрестность, которая записывается в виде (рис. 3.6).

В разложении исходной дроби на элементарные первое слагаемое записано по степеням (уже разложено). Это разложение содержит только главную часть, состоящую из одного члена: здесь все , кроме , и разложение имеет место в области . Второе слагаемое раскладываем в окрестности и, так как для него эта точка не является особой, получим ряд Тейлора в круге . Для исходной дроби это будет правильная часть ряда Лорана:

Для точки задача решается аналогично (рис. 3.6):

Получаем ответ: — разложение функции в окрестности особой точки . Заметим, что в полученных разложениях в окрестности каждой особой точки главная часть содержит только одно слагаемое.

Пример 3.34. Исследовать разложения функции по степеням . Записать разложения в окрестностях особых точек.

Функция может быть разложена в ряд Тейлора по степеням . окрестности любой конечной точки ; окрестностью будет круг , где — наименьшее из расстояний от точки до особых точек (рис. 3.7,а).

В ряд Лорана по степеням функция может быть разложена в кольце , где и , а также во внешности круга, т.е. в области (рис. 3.7,а). Если , то разложение будет иметь место только в вырожденном кольце вида , так как в этом случае точка го одинаково удалена от обеих особых точек и

Особенностью примера является наличие в знаменателе множителя , поэтому в разложении дроби на элементарные присутствует дробь , а именно имеет место равенство

Для разложения дроби по степеням используется правило дифференцирования рядов (см. пример 3.22).

Запишем разложение функции в окрестности — особой точки.

В случае в разложении дроби на элементарные две первые дроби представляют собой слагаемые требуемого вида (уже разложены): . Эти разложения справедливы во всей плоскости с выколотой точкой , т.е. в области .

От третьего слагаемого получаем правильную часть ряда Лорана:

В главной части разложения присутствуют два члена, при этом .

В случае разложения в окрестности главная часть разложения содержит одно слагаемое ; правильная получается от разложения дробей и по степеням .

Найдем эти разложения:

Пример 3.35. Разложить функцию и .

Оба разложения — разложения по степеням и получаются из основного разложения, а именно

Различие разложений заключается в записи правильной и главной частей. Так, в случае точки правильная часть содержит конечное число слагаемых — четыре и ответ записывается в виде

В случае конечное число слагаемых образует главную часть и ответ записывается в виде

Пример 3.36. Разложить по степеням функции: а) ; б) . С помощью полученных разложений найти .

Применяем основные разложения для

Таким образом, получаем результат: .

Справа записан степенной ряд, сходящийся всюду, его сумма при равна , а при .

Получаем или . Результат можно записать в виде асимптотической формулы:

Получен результат: . Отсюда . Результат, как и в случае "а", можно записать в виде асимптотической формулы: .

2.5.3. Ряд Лорана и его область сходимости

Среди множества рядов, близких к степенным по своему строению и свойствам, являются ряды, расположенные по целым отрицательным степеням z – z₀:

Сделаем замену в (2.103), получим:

Как известно радиус сходимости полученного ряда есть число R (2.90): если R = 0, то ряд (2.104) сходится в точке t = 0; если 0 < R < ¥ , то ряд сходится абсолютно в круге и расходится вне его; если R = ¥, то ряд абсолютно сходится в любой конечной точке плоскости. В виду замены следует, что если , то ряд (2.103) расходится в каждой конечной точке; если , то он абсолютно сходится при и расходится при ; если , то ряд абсолютно сходится во всех точках плоскости, за исключением z = z₀. Если считать, что ; тогда существует область сходимости ряда (2.103): , которую обозначим через G. Тогда как ряд (2.104) сходится равномерно на всяком замкнутом множестве в круге , и преобразование переводит всякое замкнутое множество точек указанного круга в некоторое замкнутое множество точек области G. В этой области ряд (2.103) определяет функцию:

аналитическую во всех точках области G. В бесконечно удаленной точке g(z) принимает значение . Будем по определению называть функцию g(z) аналитической в бесконечно удаленной точке.

Следовательно, аналитичность функции в z=¥ характеризуется наличием в разложении ряда вида (2.105).

Определение. Ряд вида

где z₀ – фиксированная точка комплексной плоскости, a_n – заданные комплексные числа, называется рядом Лорана . Этот ряд сходится в точке z, если в этой точке сходятся ряды:

(правильная часть ряда Лорана) (2.107)

(главная часть ряда Лорана), (2.108)

а сумма ряда (V.3.4) по определению равна сумме рядов (2.107) и (2.108), т.е. .

Теорема. Функцию, аналитическую в кольце , можно разложить в ряд по положительным и отрицательным степеням разности z – z₀, сходящийся во всех точках кольца (2.106) или в развернутом виде:

Для доказательства возьмем произвольную точку z внутри кольца и проведем две концентрические окружности К₁ и К₂ так, чтобы z лежала между ними (рис. 2.29). Сделаем разрез mn. Получим контур L: К₁ + mn + К₂ + nm, который ограничивает односвязную область D. Функция аналитическая в области (область D¢ обозначена штриховой линией). По интегральной формуле Коши:

По свойству аддитивности:

Так как контур mn проходится в двух противоположных направлениях и подынтегральные выражения в интегралах совпадают, то интегралы, берущиеся по этим контурам, взаимно уничтожаются. Обход в третьем интеграле заменим на противоположный, из (2.110) получим:

В первом интеграле переменная zÎК₁, а z находится внутри контура, поэтому , а дробь разлагаем в ряд, представляющий сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем :

Законность интегрирования ряда гарантируется построением мажорантного числового сходящегося ряда и признаком Вейерштрасса и сравнения. Поэтому

Аналогично, во втором интеграле переменная zÎК₂, а точка z лежит вне К₂, поэтому , а дробь разлагается в ряд:

Интегрируя почленно ряд, получим:

Равенства (2.111), (2.115), (2.118) дают разложение (2.109).

Формулы для коэффициентов ряда Лорана объединяем в одну:

где К – произвольная кривая кольца .

Методические замечания

а) Имеет место свойство единственности разложения в ряд Лорана. Это значит, что каким бы способом ни разлагали, ряд Лорана будет одним и тем же.

б) Для нахождения коэффициентов ряда Лорана редко пользуются формулой (2.119).

положительным, а вторую по отрицательным степеням разности . Результаты остается сложить или перемножить.

Пример 1

Разложить по степеням z в ряд Лорана в кольце .

Решение. Функция – аналитическая в кольце . Имеет две особые точки: z = 1 и z = 2. Разобьем функцию на сумму двух, из которых одна – аналитическая в круге . Для этого разложим данную дробь на сумму простейших, найдем:

Дробь разложим в круге по положительным степеням z:

Дробь разложим в круге :

Пример 2

Разложить по положительным и отрицательным степеням z в кольце .

Решение. Для конечного z ¹ 0 имеем:

Перемножим выражения в правой части уравнения, найдем, что коэффициенты при и при одинаковы:

Пример 3

Разложить ряд Лорана функцию по степеням z в окрестности:

а) z=0; б) .

Решение

а) Выполним тождественные преобразование, которое приводит к использованию суммы членов бесконечно убывающей прогрессии:

Разложение содержит только правильную часть. Из следует, что область сходимости ряда есть круг .

б) Выполним тождественное преобразование с той же целью как в предыдущем примере:

Видно, что в окрестности выполняется неравенство . Следовательно, функция f(z) представима в виде ряда

Разложение не содержит правильной части. Ряд сходится в области .

Пример 4

Разложить в ряд Лорана функцию по степеням z – 2.

Решение. Сделаем замену z – 2 = t. Тогда

Возвращаясь к старой переменной z, получим:

Главная часть содержит два члена; правильная часть – три. Имеем многочлен. Следовательно, разложение верно для всех z, кроме z = 2.

Пример 5

Функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки z = 0.

Решение. Используем известное разложение

Тогда ряд Лорана для данной функции в окрестности точки z = 0 будет:

Главная часть есть

а правильная часть равна

Пример 6

Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности особой точки.

Решение. Особая точка функции есть z=0. В окрестности этой точки представляется рядом:

Главная часть ряда содержит бесконечное число слагаемых, а правильная два.

Пример 7

Разложить функцию в ряд Лорана.

Решение. Из курса элементарной алгебры известно правило деления расположенных многочленов. Если многочлены нацело не делятся, то алгоритм можно применять бесконечно, и в результате получится ряд. Деля многочлены «столбиком» получим:

Это есть ряд Лорана, который сходится в кольце 0<|z|<1, так как особые точки : z=0, z=i, z=-i, и функция аналитическая в указанном кольце.

Пример 8

Разложить в ряд Лорана.

Решение. Аналогично предыдущему примеру, после деления многочленов, получим:

Ряд сходится в кольце , так как особые точки функции находятся в точках , модуль каждого из этих чисел равен единице.