Как разложить факториал n 2

Шпоры / Факториал

Факториал – так называют часто встречающуюся в практике функцию, определённую для целых неотрицательных чисел. Название функции происходит от английского математического термина factor – «сомножитель». Обозначается она n!. Знак факториала «!» был введён в1808 году во французском учебнике Хр. Крампа.

Для каждого целого положительного числа n функция n! равна произведению всех целых чисел от 1 до n.

Для удобства полагают по определению 0! = 1. О том, что нуль – факториал должен быть по определению равен единице, писал в 1656 году Дж. Валлис в «Арифметике бесконечных».

Функция n! растёт с увеличением n очень быстро. Так,

При преобразовании выражений, содержащих факториал, по лезно использовать равенство

(n + 1)! = (n + 1) • n! = (n + 1) • n • (n – 1)! (1)

Английский математик Дж. Стирлинг в 1970г. предложил очень удобную формулу для приближённого вычисления функции n!:

где е = 2,7182. — основание натуральных логарифмов.

Относительная ошибка при пользовании этой формулой очень невелика и быстро падает при увеличении числа n.

Способы решения выражений, содержащих факториал, рассмотрим на примерах.

Пример 1. (n! + 1)! = (n! + 1) • n!.

Пример 2. Вычислить 10! 8!

Решение. Воспользуемся формулой (1):

Пример 3. Решить уравнение (n + 3)! ₌ 90 (n + 1)!

Решение. Согласно формуле (1) имеем

Раскрыв скобки в произведении, получаем квадратное уравнение

n 2 + 5n — 84 = 0, корнями которого являются числа n = 7 и n = -12. Од нако факториал определен только для неотрицательных целых чисел, т. е. для всех целых чисел n ≥ 0. Поэтому число n = -12 не удовлетворя ет условию задачи. Итак, n = 7.

Пример 4. Найти хотя бы одну тройку натуральных чисел х, у и z, для которой верно равенство х! = y! • z!.

Решение. Из определения факториала натурального числа n сле дует, что

Положим в этом равенстве n + 1 = у! = х, где у — произвольное нату ральное число, получим

Теперь видим, что искомые тройки чисел можно задать в виде

где y- натуральное число, больше 1.

Например, справедливы равенства

Пример 5. Определить, сколькими нулями оканчивается деся тичная запись числа 32!.

Решение. Если десятичная запись числа Р = 32! оканчивается k нулями, то число Р можно представить в виде

Р = q • 10 k ,

где число q не делится на 10. Это означает, что разложение числа q на простые множители не содержит одновременно 2 и 5.

Поэтому, чтобы ответить на поставленный вопрос, попробуем опреде лить, с какими показателями в произведение 1 • 2 • 3 • 4 • . • 30 • 31 • 32 входят числа 2 и 5. Если число k — наименьший из найденных показателей, то число Р будет оканчиваться k нулями.

Итак, определим, сколько чисел среди натуральных чисел от 1 до 32 делятся на 2. Очевидно, что их количество равно 32/2 = 16. Затем определим, какое количество среди найденных 16 чисел делится на 4; затем — какое количество из них делится на 8 и т. д. В результате получим, что среди тридцати двух первых натуральных чисел на 2 делится 16 чисел,

из них на 4 делятся 32/4 = 8 чисел, из них на 8 делятся 32/8 = 4 числа, из них на 16 делятся 32/16 = 2 числа и, наконец, из них на 32 делятся 32/32=1, т.е. одно число. Понятно, что сумма полученных количеств:

16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31

равна показателю степени, с которым число 2 входит в 32!.

Аналогично определим, сколько чисел среди натуральных чисел от 1 до 32 делятся на 5, а из найденного количества на 10. Разделим 32 на 5.

Получим 32/5 = 6,4. Следовательно, среди натуральных чисел от 1 до 32

существует 6 чисел, которые делятся на 5. Из них на 25 делится одно

число, так как 32/25 = 1,28. В результате число 5 входит в число 32! с пока зателем, равным сумме 6+1 = 7.

Из полученных результатов следует, что 32!= 2 31 • 5 7 • т, где число т не делится ни на 2, ни на 5. Поэтому число 32! содержит множитель

10 7 и, значит, оканчивается на 7 нулей.

Итак, в данном реферате определено понятие факториала.

Приведена формула английского математика Дж Стирлинга для приближённого вычисления функции n!

При преобразовании выражений, содержащих факториал, по лезно использовать равенство

(n + 1)! = (n + 1) • n! = (n + 1) • n • (n – 1)!

На примерах подробно рассмотрены способы решения задач с факториалом.

Факториал используется в различных формулах в комбинаторике, в рядах и др.

Например, количество способов выстроить n школьников в одну шеренгу равняется n!.

Число n! равно, например, количеству способов, которыми можно n различных книг расставить на книжной полке, или, например, число 5! равно количеству способов, которыми пять человек можно рассадить на одной скамейке. Или, например, число 27! равно количеству способов, которыми наш класс из 27 учеников можно выстроить в ряд на уроке физкультуры.

Факториал

Факториа́л числа n (лат.  factorialis — действующий, производящий умножающий; обозначается n !, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при

Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

Формула Стирлинга

• Для натурального числа n

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1, n ], имеющих ту же чётность что и n . Таким образом,

где