Как посчитать погрешность периода колебаний

Результаты измерений периода колебаний математического маятника

Результаты записать для случаев, когда измерения выполнены секундомером, имеющим погрешности: а)с; б)с.

Определение погрешности косвенных измерений

Часто встречается ситуация, когда интересующая нас величина в эксперименте непосредственно не измеряется, но может быть рассчитана с помощью функциональной зависимости от измеряемых величин. В этом случае говорят о косвенных измерениях. Точность определения этой величины зависит как от точности эксперимента, так и от конкретного вида ее зависимости от измеряемых величин.

Пусть величину можно рассчитать, измерив непосредственно некоторые физические величиныи т.д., и пусть погрешности этих величин соответственно равныи т.д. Погрешность величиныможно рассчитать, воспользовавшись формулой

(1)

Здесь — так называемые частные производные, которые вычисляются по обычным правилам в предположении, что остальные переменные (кроме той, по которой выполняется дифференцирование) зафиксированы.

Рассмотрим два примера.

Пример 1.Пусть известны и их погрешности.

Необходимо найти погрешность величины.

Решение.

Таким образом, при сложении или вычитании нескольких величин складываются их абсолютные погрешности:

Пример 2. Известны положительные величиныи их погрешности.Необходимо найти погрешность величины.

Решение.

В скобках стоит сумма относительных погрешностей величин и, а сомножитель перед скобкой равен величине. Отсюда следует

Таким образом, при умножении или делении нескольких величин складываются их относительные погрешности:

Это правило легко обобщается на произвольное число сомножителей.

Теперь рассмотрим конкретный случай. Измеряя время падения тела с некоторой высоты, можно рассчитать ускорение свободного падения по формуле

(2)

(здесь g рассматривается как функция двух переменныхHиt, определяемых экспериментально).

Пусть м,с, тогда

.

Относительная погрешность ускорения свободного падения (см. пример 2) равна

Обратите внимание на то, что перед относительной погрешностью стоит множитель 2, так как времяв формуле (2) стоит во второй степени.

Рассчитаем :

Из этого выражения следует, что абсолютная погрешность равна

.

Таким образом, окончательно получаем:

.

Эта запись означает, что истинное значение ускорения свободного падения лежит в пределах от до.

Приведем более сложный пример. Модуль сдвига материала проволоки , из которого изготовлена пружина жесткостью , можно определить по формуле

,

где — радиус пружины;— радиус проволоки;— число витков пружины. Пусть погрешности измерения величинсоответственно равны />. Если использовать формулу (1) для расчета погрешности, то получим следующее выражение:

,

которым неудобно пользоваться из-за его громоздкости. Выражение же для расчета относительной погрешности более компактно:

Рассчитав и, легко определить:

.

Очевидно, что последний способ расчета абсолютной погрешности менее трудоемкий, чем первый.

В заключение приведем таблицу формул для вычисления погрешностей в некоторых частных случаях (табл.3).

Еще раз напомним: при сложении (вычитании) некоторых величин складываются абсолютные погрешности; при умножении (делении) величин складываются относительные погрешности.

Погрешности

В задании 22 ЕГЭ по физике (2017) нужно уметь определять погрешности вычислений различных величин. Теория вычисления различных погрешностей — сложная самостоятельная наука, которую преподают обычно в вузах. Для школы и для успешной сдачи экзамена нам потребуются базовые знания, которые я и собрала в этой статье.

В практической деятельности человеку приходится измерять различные величины, производить различные вычисления. Результатами измерений, подсчетов и вычислений являются числа. Однако точные измерения невозможны ввиду несовершенства наших органов зрения, неточности измерительных приборов и некоторых свойств самих измеряемых объектов.

При различных измерениях одной и той же величины получают различные приближенные значения. Каждое из этих приближений отличается от истинного значения на некоторую величину, называемую погрешностью.

Абсолютной погрешностью называется модуль разности истинного и приближенного значения некоторой величины, обозначается она буквой и измеряется в тех же единицах, что и вычисляемая величина:

Где — истинное значение, — приближенное.

Из этого определения следует, что истинное значение величины равно приближенному значению плюс-минус абсолютная погрешность :

Абсолютная погрешность приближения не характеризует качества измерений, т.к., например, точность 1 см для определения ширины стадиона является высокой, а для определения длины листа бумаги — низкой. Поэтому для характеристики точности измерения вводится понятие относительной погрешности.

Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности приближения к модулю числа приближенного значения. Обозначается относительная погрешность буквой (эпсилон) и выражается в процентах:

Далее я приведу таблицу правил определения погрешностей сумм, разностей, произведений и т.п.

Ну и теперь порешаем задачи, чтобы окончательно разобраться.

Задача 1.

Чтобы оце­нить, каков будет пе­ри­од малых ко­ле­ба­ний ма­те­ма­ти­че­ско­го ма­ят­ни­ка, ис­поль­зу­ем для вы­чис­ле­ний на каль­ку­ля­то­ре фор­му­лу . По оцен­ке «на гла­зок» длина нити равна м. Каль­ку­ля­тор по­ка­зы­ва­ет на экра­не число 2,4322335. Чему равен, с учётом по­греш­но­сти оцен­ки длины нити, пе­ри­од ко­ле­ба­ний ма­ят­ни­ка? (Ответ дайте в се­кун­дах, зна­че­ние и по­греш­но­сть за­пи­ши­те через точку с за­пя­той без про­бе­лов.)

Относительная погрешность определения периода равна

С другой стороны, по таблице находим, что

Так как по правилам вычисления погрешностей мы должны оставить одну значащую цифру, то получим c, так как погрешность определена с точностью до сотых, то период тоже округляем до сотых: . Имеем:

Задача 2.

При опре­де­ле­нии массы масла плот­но­стью 0,9 г/см уче­ник из­ме­рил объём масла с ис­поль­зо­ва­ни­ем мер­но­го ци­лин­дра: см. За­пи­ши­те в ответ массу масла в грам­мах с учётом по­греш­но­сти из­ме­ре­ний через точку с за­пя­той без про­бе­лов.

Определяем массу масла:

Определим погрешность вычисления:

Оставляя одну значащую цифру, имеем: г — тогда с такой же точностью и саму величину запишем:

Оценка погрешностей прямых и косвенных измерений при изучении колебаний математического маятника

Методика вычисления средних значений измеряемых величин и доверительного интервала прямых и косвенных измерений при заданной доверительной вероятности. Ускорение свободного падения. Измерение длины и определение периода колебаний математического маятника.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Ижевский государственный технический университет

имени М.Т. Калашникова

Кафедра «Физика и оптотехника»

Лабораторная работа №1

Тема: «Оценка погрешностей прямых и косвенных измерений при изучении колебаний математического маятника»

Выполнил: студент гр. Б02-761-1

Проверил: старший преподаватель

Цель работы: вычисление средних значений измеряемых величин и доверительного интервала прямых и косвенных измерений при заданной доверительной вероятности.

Приборы и принадлежности: штатив с лапкой и муфтой, математический маятник, секундомер, линейка.

1) Что понимается под измерением физической величины? Что такое прямые и косвенные измерения?

Измерение физической величины заключается в сравнении её с другой однотипной величиной, принятой за единицу (эталон — образцовая мера (или измерительный прибор), служащая для воспроизведения, хранения и передачи единиц измерения с наивысшей достижимой при данном состоянии науки и техники точностью). Целью и результатом измерения является установление численного соотношения между измеряемой величиной и единицей измерения.

Прямые измерения — это измерения, при которых искомое значение физической величины находят непосредственно из опытных данных, с помощью измерительных приборов.

Косвенные измерения — это измерения, при которых искомую величину y вычисляют по результатам прямых измерений, связанных с искомой функциональной зависимостью y=f(x), т.е. измеряют не собственно определяемую величину, а другие, функционально с ней связанные. (Косвенные измерения производятся, когда искомую величину невозможно или сложно измерить или когда прямое измерение даёт менее точный результат).

2) Дать определение основным видам погрешностей. Привести примеры.

Систематические погрешности — это ошибки, являющиеся следствием неправильной калибровки прибора (сбитый ноль, их тепловое расширение), ошибочности метода измерений и т.п. При наличии таких погрешностей измеренное значение отклоняется от истинного значения в одну и ту же сторону, на одну и ту же величину. Повторными измерениями эти ошибки не уменьшаются, но их можно оценить сравнением результатов измерений с измерениями, полученными исправным прибором (с большей степенью точности).

Случайные погрешности вносятся изменчивыми условиями эксперимента, несовершенством органов чувств, ограниченной точностью измерений и т.п. Случайные ошибки подчиняются законам теории вероятности и математической статистики. Чаще всего они проявляются в виде разброса показаний прибора. В результате этого разброса измеряемая величина случайным образом отклоняется от истинного значения в произвольную сторону на произвольную величину.

Промахи — ошибки (погрешности), чаще всего возникающие вследствие невнимательности человека или недостаточной его квалификации и опыта. Их можно наблюдать, например, при неправильном отсчёте измеряемого значения (неправильное определение цены деления прибора). Также к ним могут привести внезапные внешние влияния на измерительное устройство.

Приборные погрешности — этот тип погрешностей обусловлен тем, что практически любое измерительное устройство обладает ограниченной степенью точности. Для примера, измерительной линейкой нельзя измерить длину с точностью до одного миллиметра, с ценой деления 1 см.

3) Как определяются абсолютная и относительная ошибки отдельного результата измерения и совокупности измерений?

Абсолютная ошибка — это разность

где х_ист — это истинное значение измеряемой величины, а х_i — результат измерения.

Относительная ошибка вычисляется по формуле:

4) Описать Гауссову функцию распределения плотности случайной величины. Связать её параметры со средним значением и дисперсией выборки.

Распределение Гаусса (Нормальное распределение) — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

где параметр м — математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения, а параметр у — среднеквадратическое отклонение (у?І — дисперсия) распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в статье «Многомерное нормальное распределение».

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием м = 0 и стандартным отклонением у = 1.

5) Что такое дисперсии среднего значения и среднеквадратичного отклонения и как они находятся при прямых измерениях величины?

Рассмотрим основы теории случайных погрешностей, позволяющей оценить величину погрешности для серии опытов. Закономерности, связанные со случайными величинами, изучаются теорией вероятности и математической статистикой.

Допустим, что было произведено N независимых наблюдений некоторой физической величины х. Обозначим через x_i (i=1,N) результаты этих наблюдений. Наилучшей оценкой истинного значения x_is по этим результатам является их среднее арифметическое значение:

«Разброс» величины около ее среднего значения при одинаковых для разных измерений может быть разным и характеризуется дисперсией. Она определяется средним квадратом отклонения этой величины от ее среднего значения и задается формулой

Корень квадратный из дисперсии называется стандартным или среднеквадратичным отклонением

Среднеквадратическое отклонение и дисперсия при данных условиях и процедуре измерений являются величинами постоянными и характеризуют степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше они, тем точнее проведены измерения. Обработка результатов серии измерений сводится к возможно более точному нахождению и д. Смысл д как меры приближения измеренного значения величины к истинному значению х_is определяется физической сущностью измеряемой величины, а также физическими и конструктивными принципами заложенными в методику измерений. Эти принципы в рамках данной методики не зависят от экспериментатора и даже бесконечное увеличение числа измерений не даст заметного увеличения точности.

Если «разброс» д измеряемой величины х при большом числе измерений N есть величина статистически постоянная, то можно ожидать, что в произвольно заданный интервал Дх будет попадать более или менее постоянное число n измерений, зависящее от того, где на числовой оси х выбрать Дх.

6) Что такое доверительный интервал и доверительная вероятность и как записывается окончательный результат измерений?

Доверительный интервал — термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ежи Нейман, исходя из идей английского статистика Рональда Фишера.

Доверительная вероятность — вероятность того, что полученная при измерении оценка абсолютно точно совпадает с истинным значением параметра, равна нулю. Однако можно поставить вопрос, например, такой. Пусть получено некоторое измеренное значение; так вот, каков должен быть интервал, чтобы истинное значение оказалось внутри него с вероятностью, скажем, 0.9. Или 0.99. Исследователь выбирает эту вероятность сам. Ясно, что чем выше вероятность, тем шире интервал. Вот эти вероятности и соответствующие им интервалы называются доверительными.

7) Каков физический смысл ускорения свободного падения?

Ускоремние свобомдного падемния (ускорение силы тяжести) — ускорение, придаваемое телу силой тяжести, при исключении из рассмотрения других сил. В соответствии с уравнением движения тел в неинерциальных системах отсчёта ускорение свободного падения численно равно силе тяжести, воздействующей на объект единичной массы.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли g (обычно произносится как «Же») варьируется от 9,780 м/сІ на экваторе до 9,832 м/сІ на полюсах. Стандартное («нормальное») значение, принятое при построении систем единиц, составляет g = 9,80665 м/сІ. Стандартное значение g было определено как «среднее» в каком-то смысле на всей Земле, оно примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5° на уровне моря. В приблизительных расчётах его обычно принимают равным 9,81; 9,8 или 10 м/сІ.

Опыт №1

Измерение длины математического маятника.

Измерение длины подвеса математического маятника (прямое измерение), при это устанавливается максимально возможная длина нити математического маятника. На данном этапе было проведено 10 измерений длины подвеса математического маятника (от точки подвеса до центра шарика). Результаты представлены в таблице:

Измерение длины, площади, объема и времени

Цель работы
Научиться измерять длину с помощью линейки, определять площадь поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда, находить абсолютные и относительные погрешности косвенных измерений.

Теоретические сведения

Прямоугольный параллелепипед – это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является прямоугольником. Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту.

Пусть
длина \(AD=BC=A_1 D_1=B_1 C_1=a\)
ширина \(AB=CD=A_1 B_1=C_1 D_1=b\)
высота \(AA_1=BB_1=CC_1=DD_1=c\)
Площади верхней и нижней грани равны \(S_1=ab\), площади передней и задней граней равны \(S_2=ac\), площади левой и правой граней равны \(S_3=bc\).

Найдем погрешность определения объема.
Объем равен произведению трех измерений, значит, относительная погрешность для объема равна сумме относительных погрешностей измерений: $$ \delta_v=\delta_a+\delta_b+\delta_c=\frac da+\frac db+\frac dc=d\left(\frac 1a+\frac 1b+\frac 1c\right)=d\cdot\frac $$ Абсолютная погрешность для объема: $$ \triangle V=v\cdot\delta_v=abc\cdot d\cdot\frac = d(bc+ac+ab)=d\cdot\frac> <2>$$

Приборы и материалы
Ученическая линейка, книга (или деревянный брусок).

Ход работы
1. Ознакомьтесь с теоретической частью работы, выпишите необходимые формулы.
2. Измерьте длину, ширину и высоту книги (бруска), \(a,b,c\).
3. Найдите площадь поверхности \(S_<пов>\) и объем \(V\).
4. Найдите абсолютные погрешности \(\triangle S_<пов>\) и \(\triangle V\).
5. Найдите относительные погрешности в процентах: $$ \delta_>=\frac<\triangle S_<пов>>>\cdot 100\text<%>,\ \ \delta_V=\frac<\triangle V>\cdot 100\text <%>$$ 6. Дополнительное задание. Определите толщину одного листа книги, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
7. Сделайте выводы о проделанной работе.

Результаты измерений и вычислений

Инструментальная погрешность линейки \(d=\frac<1\ мм><2>=0,5\ мм\)
Результаты измерений:
a=218 мм
b=147 мм
c=32 мм
Площадь поверхности: \begin S_<пов>=2(ab+ac+bc)=2(218\cdot 147+218\cdot 32+147\cdot 32)=\\ =2(32046+6976+4704)=87452\ (мм^2) \end Объем: $$ V=abc=218\cdot 147\cdot 32=1025472\ (мм^2) $$ Абсолютная погрешность определения площади поверхности (округляем до двух значащих цифр с избытком): $$ \triangle S_<пов>=4d(a+b+c)=4\cdot 0,5\cdot (218+147+32)=2\cdot 397=794\ (мм^2)\approx 800\ (мм^2) $$ Полученную величину площади поверхности также округляем до сотен. Получаем: $$ S_<пов>=(87500\pm 800)\ (мм^2) $$ Абсолютная погрешность определения объема: $$ \triangle V=d\cdot\frac><2>=0,5\cdot\frac<87452><2>=21863\ (мм^3)\approx 22000\ (мм^3) $$ Полученную величину объема также округляем до тысяч. Получаем: $$ V=(1025000\pm 22000)\ (мм^3) $$
Относительные погрешности (округляем до двух значащих цифр с избытком): \begin \delta_>=\frac<\triangle S_<пов>>>\cdot 100\text<%>=\frac<800><87500>\cdot 100\text <%>\approx 0,92\text<%>\\ \delta_v=\frac<\triangle V>\cdot 100\text<%>=\frac<22000><1025000>\cdot 100\text<%>\approx 2,2\text <%>\end Измеряем толщину книги между обложками: \(h=23\ мм\)
Количество страниц в книге \(N=688\)
Количество листов в 2 раза меньше. Получаем толщину одного листа: $$ t=\frac=\frac<2h>=\frac<2\cdot 23><688>\approx 0,0669\ (мм)=66,9\ (мк) $$ Количество листов – величина точная, без погрешностей.
Абсолютная погрешность для толщины листа зависит только от \(\triangle h\): $$ \triangle t=\frac 2N\triangle h=\frac 2N d=\frac<2><688>\cdot 0,5\approx 0,0015\ (мм)=1,5\ (мк) $$ Толщина листа: $$ t=(66,9\pm 1,5)\ мк $$ Относительная погрешность: $$ \delta_t=\frac<\triangle t>\cdot 100\text<%>=\frac<1,5><66,9>\cdot 100\text<%>\approx 2,3\text <%>$$

Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.

Измерения проводились с помощью линейки с инструментальной погрешностью \(d=0,5\ мм\).
Получена площадь поверхности книги $$ S_<пов>=(87500\pm 800)\ мм^2,\ \ \delta_>\approx 0,92\text <%>$$ Объем книги: $$ V=(1025000\pm 22000)\ мм^3,\ \ \delta_V\approx 2,2\text <%>$$ Определяя толщину листа, мы использовали способ рядов и увеличили абсолютную точность измерений от 0,5 мм до 1,5 мк. Толщина листа: $$ t=(66,9\pm 1,5)\ мк,\ \ \delta_t\approx 2,3\text <%>$$ С наибольшей точностью определена площадь поверхности, т.к. для нее относительная погрешность меньше всех.
С наименьшей относительной точностью определена толщина листа, зато абсолютная точность для этой величины очень высока – 1,5 микрона.

п.2. Лабораторная работа №2. Измерение времени с помощью секундомера. Погрешность серии прямых измерений

Цель работы
Научиться измерять время с помощью секундомера, определять абсолютную и относительную погрешность величины, полученной в серии прямых измерений.

Теоретические сведения

При отклонении математического маятника на малые углы (до 20°) период его колебаний \(T\) остается постоянной величиной. В действительности колебания постепенно затухают, но при достаточно длинной нити и тяжелом грузике, затухания происходят медленно.

Приборы и материалы
Секундомер, штатив, грузик на длинной нитке (не менее 50 см).

Ход работы
1. Закрепите нитку с грузиком в лапке штатива, как показано на рисунке.

2. Определите цену деления секундомера.
3. Отклоните грузик на небольшой угол, отпустите его и с помощью секундомера измерьте время, за которое маятник совершит 10 полных колебаний.
4. Повторите опыт 5 раз.
5. С помощью алгоритма определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений (см. §3 данного справочника) найдите точное значение и абсолютную погрешность времени 10 колебаний.
6. Найдите точное значение и абсолютную погрешность периода колебаний \(T\), рассчитайте относительную погрешность результата измерений.
7. Сделайте выводы о проделанной работе.

Результаты измерений и вычислений

Определение цены деления секундомера

Инструментальная погрешность секундомера равна половине цены деления: \(d=\frac<\triangle><2>=0,1\ c\)

Измерения времени 10 колебаний

Найдем среднее время для 10 колебаний: \begin t_0=\frac<15,3+14,9+15,2+15,5+15,1><5>=\frac<76,0><5>=15,2\ (c) \end Принимаем среднее время за истинное значение измеряемой величины.
Найдем абсолютные отклонения каждого измерения от \(t_0\): $$ \triangle_1=|15,3-15,2|=0,1;\ \ \triangle_2=|14,9-15,2|=0,3\ \text <и т.д.>$$ Среднее абсолютное отклонение: $$ \triangle_=\frac<0,1+0,3+0+0,3+0,1><5>=\frac<0,8><5>=0,16\ (c) $$ Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ \triangle t=max\left\\right\>=max\left\<0,1;0,16\right\>=0,16\ \text $$ Результат измерения времени 10 колебаний: \begin t=t_0\pm\triangle t,\ \ t=(15,20\pm 0,16)\ c \end Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T=\frac<1><10>(t_0\pm\triangle t),\ \ T=(1,520\pm 0,016)\ c $$ Относительная погрешность измерений: $$ \delta_T=\frac<\triangle T>\cdot 100\text<%>=\frac<0,016><1,520>\cdot 100\text<%>\approx 1,1\text <%>$$

Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.

Измерения проводились с помощью секундомера, для которого была определена цена деления \(\triangle=0,2\ с\) и соответствующая инструментальная погрешность \(d=\frac<\triangle><2>=0,1\ с\).
В данном случае абсолютная погрешность может быть заметно больше инструментальной, и поэтому для ее определения потребовалась серия экспериментов.
Полученный в серии из 5 экспериментов результат измерения времени 10 колебаний: $$ t=(15,20\pm 0,16)\ c $$ Искомый период колебаний маятника: $$ T=(1,520\pm 0,016)\ c,\ \ \delta_T=1,1\text <%>$$