Разложение степени на множители. Разложите на множители
По определению степень является произведением. Используя это, можно представлять степени в виде призведения.
Простой пример разложения степени на множители:
Пример разложения степени на множители в форме призведения степеней:
Здесь мы используем свойство степени, согласно которому произведение степеней равно степени произведения.
Пример разложения степени на множители:
Здесь мы используем свойство степени, согласно которому при умножении степеней с одинаковыми остнованиями, показатели степеней складываются.
Пример разложения степени на множители:
Здесь мы используем свойство степени, согласно которому при умножении степеней с одинаковыми остнованиями, показатели степеней складываются.
Это же относится и к дробям:
Проверим правильность разложения дроби на множители:
То есть получили исходную дробь в степени 5. Значит наше разложение степени дроби на множители верное.
Разложение многочлена на множители
Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.
Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.
Теория
Когда любой многочлен со степенью n , имеющие вид P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью a n и n линейных множителей ( x — x i ) , i = 1 , 2 , … , n , тогда P n ( x ) = a n ( x — x n ) ( x — x n — 1 ) · . . . · ( x — x 1 ) , где x i , i = 1 , 2 , … , n – это и есть корни многочлена.
Теорема предназначена для корней комплексного типа x i , i = 1 , 2 , … , n и для комплексных коэффициентов a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Это и есть основа любого разложения.
Когда коэффициенты вида a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами. Например, корни x 1 и x 2 , относящиеся к многочлену вида P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид P n ( x ) = a n ( x — x n ) ( x — x n — 1 ) · . . . · ( x — x 3 ) x 2 + p x + q , где x 2 + p x + q = ( x — x 1 ) ( x — x 2 ) .
Замечание
Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.
Основная теорема алгебры
Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.
Теорема Безу
После того, как произвели деление многочлена вида P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 на ( x — s ) , тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s , тогда получим
P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = ( x — s ) · Q n — 1 ( x ) + P n ( s ) , где Q n — 1 ( x ) является многочленом со степенью n — 1 .
Следствие из теоремы Безу
Когда корень многочлена P n ( x ) считается s , тогда P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = ( x — s ) · Q n — 1 ( x ) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.
Разложение на множители квадратного трехчлена
Квадратный трехчлен вида a x 2 + b x + c можно разложить на линейные множители. тогда получим, что a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 ) , где x 1 и x 2 — это корни (комплексные или действительные).
Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.
Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.
Необходимо найти корни уравнения 4 x 2 — 5 x + 1 = 0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D = ( — 5 ) 2 — 4 · 4 · 1 = 9 . Отсюда имеем, что
x 1 = 5 — 9 2 · 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 · 4 = 1
Отсюда получаем, что 4 x 2 — 5 x + 1 = 4 x — 1 4 x — 1 .
Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:
4 x — 1 4 x — 1 = 4 x 2 — x — 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 — 5 x + 1
После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.
Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3 x 2 — 7 x — 11 .
Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3 x 2 — 7 x — 11 = 0 .
Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что
3 x 2 — 7 x — 11 = 0 D = ( — 7 ) 2 — 4 · 3 · ( — 11 ) = 181 x 1 = 7 + D 2 · 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 — D 2 · 3 = 7 — 181 6
Отсюда получаем, что 3 x 2 — 7 x — 11 = 3 x — 7 + 181 6 x — 7 — 181 6 .
Произвести разложение многочлена 2 x 2 + 1 на множители.
Теперь нужно решить квадратное уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и найти его корни. Получим, что
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = — 1 2 x 1 = — 1 2 = 1 2 · i x 2 = — 1 2 = — 1 2 · i
Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2 x 2 + 1 = 2 x — 1 2 · i x + 1 2 · i .
Произвести разложение квадратного трехчлена x 2 + 1 3 x + 1 .
Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и найти его корни.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 — 4 · 1 · 1 = — 35 9 x 1 = — 1 3 + D 2 · 1 = — 1 3 + 35 3 · i 2 = — 1 + 35 · i 6 = — 1 6 + 35 6 · i x 2 = — 1 3 — D 2 · 1 = — 1 3 — 35 3 · i 2 = — 1 — 35 · i 6 = — 1 6 — 35 6 · i
Получив корни, запишем
x 2 + 1 3 x + 1 = x — — 1 6 + 35 6 · i x — — 1 6 — 35 6 · i = = x + 1 6 — 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · i
Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.
Способы разложения на множители многочлена степени выше второй
При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x 1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на ( x — x 1 ) . Полученный многочлен нуждается в нахождении корня x 2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.
Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями и целыми коэффициентами.
Вынесение общего множителя за скобки
Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как P n ( x ) = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x .
Видно, что корень такого многочлена будет равняться x 1 = 0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения P n ( x ) = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x = = x ( a n x n — 1 + a n — 1 x n — 2 + . . . + a 1 )
Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.
Выполнить разложение многочлена третьей степени 4 x 3 + 8 x 2 — x на множители.
Видим, что x 1 = 0 — это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:
4 x 3 + 8 x 2 — x = x ( 4 x 2 + 8 x — 1 )
Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4 x 2 + 8 x — 1 . Найдем дискриминант и корни:
D = 8 2 — 4 · 4 · ( — 1 ) = 80 x 1 = — 8 + D 2 · 4 = — 1 + 5 2 x 2 = — 8 — D 2 · 4 = — 1 — 5 2
Тогда следует, что
4 x 3 + 8 x 2 — x = x 4 x 2 + 8 x — 1 = = 4 x x — — 1 + 5 2 x — — 1 — 5 2 = = 4 x x + 1 — 5 2 x + 1 + 5 2
Разложение на множители многочлена с рациональными корнями
Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида P n ( x ) = x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1 .
Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.
Произвести разложение выражения f ( x ) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 .
Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа — 18 . Получим, что ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить коэффициенты разложения многочлена:
| x i | Коэффициенты многочленов | ||||
| 1 | 3 | — 1 | — 9 | — 18 | |
| 1 | 1 | 3 + 1 · 1 = 4 | — 1 + 4 · 1 = 3 | — 9 + 3 · 1 = — 6 | — 18 + ( — 6 ) · 1 = — 24 |
| — 1 | 1 | 3 + 1 · ( — 1 ) = 2 | — 1 + 2 · ( — 1 ) = — 3 | — 9 + ( — 3 ) · ( — 1 ) = — 6 | — 18 + ( — 6 ) · ( — 1 ) = — 12 |
| 2 | 1 | 3 + 1 · 2 = 5 | — 1 + 5 · 2 = 9 | — 9 + 9 · 2 = 9 | — 18 + 9 · 2 = 0 |
| 2 | 1 | 5 + 1 · 2 = 7 | 9 + 7 · 2 = 23 | 9 + 23 · 2 = 55 | |
| — 2 | 1 | 5 + 1 · ( — 2 ) = 3 | 9 + 3 · ( — 2 ) = 3 | 9 + 3 · ( — 2 ) = 3 | |
| 3 | 1 | 5 + 1 · 3 = 8 | 9 + 8 · 3 = 33 | 9 + 33 · 3 = 108 | |
| — 3 | 1 | 5 + 1 · ( — 3 ) = 2 | 9 + 2 · ( — 3 ) = 3 | 9 + 3 · ( — 3 ) = 0 | |
Отсюда следует, что х = 2 и х = — 3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:
f ( x ) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 = ( x — 2 ) ( x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9 ) = = ( x — 2 ) ( x + 3 ) ( x 2 + 2 x + 3 )
Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x 2 + 2 x + 3 .
Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.
Ответ: f ( x ) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 = ( x — 2 ) ( x + 3 ) ( x 2 + 2 x + 3 )
Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида P n ( x ) = x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , старший из которых на равняется единице.
Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.
Произвести разложение на множители f ( x ) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Необходимо выполнить замену переменной y = 2 x , следует переходить к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4 . Получаем, что
4 f ( x ) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g ( y )
Когда получившаяся функция вида g ( y ) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60
Перейдем к вычислению функции g ( y ) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что
g ( 1 ) = 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 = 162 g ( — 1 ) = ( — 1 ) 3 + 19 · ( — 1 ) 2 + 82 · ( — 1 ) + 60 = — 4 g ( 2 ) = 2 3 + 19 · 2 2 + 82 · 2 + 60 = 308 g ( — 2 ) = ( — 2 ) 3 + 19 · ( — 2 ) 2 + 82 · ( — 2 ) + 60 = — 36 g ( 3 ) = 3 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 = 504 g ( — 3 ) = ( — 3 ) 3 + 19 · ( — 3 ) 2 + 82 · ( — 3 ) + 60 = — 42 g ( 4 ) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g ( — 4 ) = ( — 4 ) 3 + 19 · ( — 4 ) 2 + 82 · ( — 4 ) + 60 = — 28 g ( 5 ) = 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 = 1070 g ( — 5 ) = ( — 5 ) 3 + 19 · ( — 5 ) 2 + 82 · ( — 5 ) + 60
Получаем, что у = — 5 – это корень уравнения вида y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 , значит, x = y 2 = — 5 2 — это корень исходной функции.
Необходимо произвести деление столбиком 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2 .
Решение
Запишем и получим:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 ( 2 x 2 + 14 x + 6 ) = = 2 x + 5 2 ( x 2 + 7 x + 3 )
Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x 2 + 7 x + 3 . Приравниванием к нулю и находим дискриминант.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 — 4 · 1 · 3 = 37 x 1 = — 7 + 37 2 x 2 = — 7 — 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 — 37 2 x + 7 2 + 37 2
Отсюда следует, что
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 — 37 2 x + 7 2 + 37 2
Искусственные приемы при разложении многочлена на множители
Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.
Способ группировки
Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.
Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 на множители.
Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1 , — 1 , 2 и — 2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что
1 4 + 4 · 1 3 — 1 2 — 8 · 1 — 2 = — 6 ≠ 0 ( — 1 ) 4 + 4 · ( — 1 ) 3 — ( — 1 ) 2 — 8 · ( — 1 ) — 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 — 2 2 — 8 · 2 — 2 = 26 ≠ 0 ( — 2 ) 4 + 4 · ( — 2 ) 3 — ( — 2 ) 2 — 8 · ( — 2 ) — 2 = — 6 ≠ 0
Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.
Необходимо провести группировку:
x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 = x 4 + 4 x 3 — 2 x 2 + x 2 — 8 x — 2 = = ( x 4 — 2 x 2 ) + ( 4 x 3 — 8 x ) + x 2 — 2 = = x 2 ( x 2 — 2 ) + 4 x ( x 2 — 2 ) + x 2 — 2 = = ( x 2 — 2 ) ( x 2 + 4 x + 1 )
После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что
x 2 — 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = — 2 ⇒ x 2 — 2 = x — 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 — 4 · 1 · 1 = 12 x 1 = — 4 — D 2 · 1 = — 2 — 3 x 2 = — 4 — D 2 · 1 = — 2 — 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 — 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 = x 2 — 2 x 2 + 4 x + 1 = = x — 2 x + 2 x + 2 — 3 x + 2 + 3
Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.
Произвести разложение на множители многочлен x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 .
Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что
x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 = = ( x 4 + x 3 ) + ( 2 x 3 + 2 x 2 ) + ( — 2 x 2 — 2 x ) — x 2 — 2 x + 2 = = x 2 ( x 2 + x ) + 2 x ( x 2 + x ) — 2 ( x 2 + x ) — ( x 2 + 2 x — 2 ) = = ( x 2 + x ) ( x 2 + 2 x — 2 ) — ( x 2 + 2 x — 2 ) = ( x 2 + x — 1 ) ( x 2 + 2 x — 2 )
После разложения на множители получим, что
x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 = x 2 + x — 1 x 2 + 2 x — 2 = = x + 1 + 3 x + 1 — 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 — 5 2
Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители
Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.
Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 на множители.
Необходимо выполнить преобразование выражения к виду
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3
На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x + 1 4 .
Значит, имеем x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 .
После применения разности квадратов, получим
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 = = x + 1 4 — 3 = x + 1 2 — 3 x + 1 2 + 3
Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 = = x + 1 4 — 3 = x + 1 2 — 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 — 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Произвести разложение на множители x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Займемся преобразованием выражения. Получаем, что
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 — 2 = ( x + 2 ) 3 — 2
Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = ( x + 2 ) 3 — 2 = = x + 2 — 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 — 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Способ замены переменной при разложении многочлена на множители
При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.
Произвести разложение на множители многочлена вида x 6 + 5 x 3 + 6 .
По условию видно, что необходимо произвести замену y = x 3 . Получаем:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Корни полученного квадратного уравнения равны y = — 2 и y = — 3 , тогда
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 — 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 — 3 3 x + 9 3
То есть получили искомое разложение.
Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении и разложении многочлена на множители разными способами.
Метод неопределённых коэффициентов
Метод неопределённых коэффициентов — это «полуолимпиадный» приём, с помощью которого вы сможете раскладывать на множители многочлены, которые не раскладываются, и решать уравнения, которые не решаются.:)
В двух словах этот метод звучит так:
В любой непонятной ситуации вводим новую переменную. А затем думаем, что с этой переменной делать.
Сегодня мы детально изучим метод неопределённых коэффициентов. Мы разберём столько разных задач, что не понять этот приём будет просто невозможно. И да: речь пойдёт не только о многочленах.:)
1. Основная идея
Чтобы понять основную идею метода неопределённых коэффициентов, рассмотрим простую наводящую задачу. Допустим, у нас есть квадратный трёхчлен, разложенный на множители:
\[P\left( x \right)=\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)\]
Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится тот же многочлен, записанный в стандартном виде:
Зная разложение на множители, легко получить стандартный вид многочлена. А вот обратный переход — от стандартного вида к множителям — является вычислительно сложной операцией, но всё ещё возможной: считаем дискриминант, находим корни, вспоминаем теорему Виета и т.д.
Немного усложним задачу. Рассмотрим разложение на множители многочлена четвёртой степени (почему именно четвёртой — см. урок. «Разложение на множители»):
\[P\left( x \right)=\left( <
Раскроем скобки и приведём подобные. Вновь получим многочлен в стандартном виде:
Но как выполнить обратную операцию? Как по стандартному виду многочлена определить, на какие множители его можно разложить? Тут на помощь и приходит метод неопределённых коэффициентов.
Проблема разложения на множители
Рассмотрим задачу в общем виде. Допустим, нам нужно разложить на множители многочлен четвёртой степени:
Теорема о нулевом многочлене
Доказательство я вынесу на отдельную страницу (см. урок «Корни многочлена»). Потому что у этой теоремы много применений, но нас сейчас интересует не сама теорема, а лишь одно-единственное следствие из неё:
Вот тут всё становится на свои места!
Основной алгоритм
Пусть даны два представления одного и того же многочлена. Например, в стандартном виде и разложение на множители:
Тогда для нахождения неизвестных коэффициентов в любом из этих разложений необходимо выполнить три шага:
- Раскрыть все скобки и привести подобные, чтобы получить две записи в стандартном виде;
- Приравнять соответствующие коэффициенты, составить систему уравнений;
- Решить эту систему и правильно интерпретировать ответ.
Вот и вся суть метода. Первые два пункта очевидны. Проблемы возникают лишь на третьем шаге, поскольку зачастую системы уравнений получаются нелинейными. И мы детально разберём, как решать подобные системы.
Но для начала — парочка простых задач.:)
Задача 1.1. Основная идея
Задача. Найдите числа $a$, $b$, $c$, при которых многочлены $P\left( x \right)$ и $Q\left( x \right)$ равны:
\[\begin
P\left( x \right) &=2< ^<4>>+3< ^<3>>-5x-2\\ Q\left( x \right) &=\left( ax+3 \right)\left( < ^<3>>-b \right)-3x+c\\ \end \]
Решение. Согласно Теореме 1, многочлены $P\left( x \right)$ и $Q\left( x \right)$ равны, когда в точности равны их коэффициенты. Поэтому раскроем скобки в многочлене $Q\left( x \right)$ и найдём эти коэффициенты:
Для удобства коэффициенты выделены синим цветом. Сравним их с коэффициентами многочлена $P\left( x \right)$:
Чтобы многочлены были равны, должны выполняться равенства
Получили систему уравнения, которая легко решается:
Задача 1.2. Альтернативный подход
Задача. Найдите числа $a$, $b$, $c$, при которых многочлены $P\left( x \right)$ и $Q\left( x \right)$ равны:
\[\begin
P\left( x \right) &=3< ^<4>>+7< ^<3>>+3< ^<2>>+x+2\\ Q\left( x \right) &=\left( x+1 \right)\left( a< ^<3>>+b< ^<2>>-x+c \right)\\ \end \]
Решение. Решим эту задачу двумя способами: «чистым» методом неопределённых коэффициентов и с привлечением схемы Горнера.
Способ 1. «Чистый» метод неопределённых коэффициентов. Раскрываем скобки в многочлене $Q\left( x \right)$:
Приравниваем многочлены $Q\left( x \right)$ и $P\left( x \right)$:
Получим набор из пяти уравнений:
Решаем систему из этих уравнений и получаем ответ:
Способ 2. Привлечение схемы Горнера. Поскольку многочлен $Q\left( x \right)$ разложен на множители, сделаем то же самое и с многочленом $P\left( x \right)$ — выделим из него множитель-двучлен $x+1$. Для этого заполним таблицу для $x=\color
Получили остаток $r=\color
\[P\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( 3<
Приравняем многочлены $P\left( x \right)$ и $Q\left( x \right)$:
И сразу получаем ответ:
Если вам непонятно, как работает схема Горнера и при чём тут разложение на множители, см. урок «Схема Горнера» — это ещё один универсальный алгоритм. Который, как и метод неопределённых коэффициентов, будет полезен во многих нестандартных задачах.
2. Разложение многочлена на множители
Переходим к серьёзным задачам. Всё, что мы решали выше, сводилось к простым линейным уравнениям, которые решались обычной подстановкой.
Теперь мы разберём многочлены четвёртой степени — те самые, с которых начинали рассуждения. И заодно научимся решать нелинейные системы методом целочисленного перебора.
Задача 2.1. Самая стандартная
Задача. Разложите многочлен на множители методом неопределённых коэффициентов:
\[P\left( x \right)=<
^<4>>+2< ^<3>>+2< ^<2>>+10x+25\]
Этот многочлен вообще не имеет действительных корней, в чём легко убедиться, выделив точные квадраты:
Полученная сумма равна нулю только если $x=-5$ и одновременно $x=0$ или $x=-1$. Что, очевидно, невозможно. Следовательно, линейных множителей в разложении не будет.
Зато квадратные множители точно будут, поэтому используем метод неопределённых коэффициентов. Предположим, что многочлен раскладывается на произведение двух квадратных трёхчленов:
Раскрываем скобки и приводим подобные:
Сравниваем коэффициенты полученного многочлена с коэффициентами исходного:
Получили систему из четырёх нелинейных уравнений. Универсального алгоритма для решения таких систем не существует. Однако здесь хорошо работает метод целочисленного перебора.
Рассмотрим последнее уравнение:
Какие числа нужно перемножить, чтобы в произведении получилось 25? Вот несколько вариантов:
Рассмотрим вариант, когда $\color
Подставим $\color
Последнее уравнение является следствием первого, поэтому система равносильна двум уравнениям:
Эта система имеет два решения, которые легко находятся методом подбора: $\color
Но ведь на самом деле это одно и то же разложение — просто множители поменялись местами. Поэтому мы вправе выбрать любой вариант.
Запишем окончательный ответ:
\[P\left( x \right)=\left( <
Важное замечание. После приведения подобных и сравнения коэффициентов мы получили систему из нескольких нелинейных уравнений, которые затем начали решать методом целочисленного перебора.
Такие уравнения будут преследовать нас постоянно — это основная трудность метода неопределённых коэффициентов.
Чтобы в процессе перебора не упустить из виду какой-нибудь вариант, целесообразно составлять таблицу всех возможных вариантов. Например, для равенства $\color
Обратите внимание: в таблице нет варианта $\color
Тем не менее, в некоторых примерах придётся рассматривать все возможные варианты. Один из таких примеров мы рассмотрим чуть позже, а пока давайте потренируемся на более адекватных задачах.:)
Задача 2.2. Снова стандартная
Задача. Разложите многочлен на множители методом неопределённых коэффициентов:
\[P\left( x \right)=<
^<4>>+5< ^<3>>+5< ^<2>>-4x-2\]
Решение. Запишем искомое разложение:
Нужно найти четыре числа: $\color
Сравниваем коэффициенты этого многочлена с коэффициентами исходного:
Получаем четыре уравнения, которые должны выполняться одновременно:
Произведение коэффициентов $\color
Рассмотрим первый вариант: $\color
Вычтем почленно из последнего уравнения первое и получим
Подставляем $\color
Откуда получаем искомое разложение на множители:
\[P\left( x \right)=\left( <
Важное замечание. К сожалению, в процессе целочисленного перебора далеко не всегда верный вариант будет попадаться сразу, на первом же шаге. Когда я собирал материалы для этого урока, иногда верным оказывался лишь четвёртый вариант из четырёх возможных.:)
Поэтому не переживайте, когда видите несовместную систему. Это нормально и даже неизбежно.
И вообще давайте посмотрим, как это выглядит на практике. Например, рассмотрим второй вариант в только что решённой задаче: $\color
Складываем первое уравнение с последним — и тут же получаем проблему:
Получили дробный коэффициент $\color
Но тогда не выполняется второе равенство. Следовательно, система несовместна.
Задача 2.3. Упрощённые выкладки
Задача. Разложите многочлен на множители методом неопределённых коэффициентов:
\[P\left( x \right)=<
^<4>>+< ^<3>>+3< ^<2>>+32x-10\]
В этот раз распишу всё кратко — только основные выкладки. Разложим многочлен $P\left( x \right)$ на два квадратных трёхчлена:
Раскрываем скобки, приводим подобные:
Сравниваем с исходным многочленом:
Получаем четыре уравнения:
Поскольку $\color
Первые три варианта дают несовместные системы с дробными коэффициентами $\color
Решение системы: $\color
\[P\left( x \right)=\left( <
3. Решение уравнений методом неопределённых коэффициентов
Одно из важнейших приложений метода неопределённых коэффициентов — это решение уравнений высших степеней. В самом деле, зачем мы раскладываем многочлен $P\left( x \right)$ на множители? Обычно по одной из двух причин:
- Решить уравнение $P\left( x \right)=0$. Ведь произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю;
- Сократить рациональную дробь вида $
Про рациональные дроби мы поговорим в отдельном уроке (см. урок «Разложение на простейшие»). А вот уравнения мы разберём сейчас.
Допустим, нужно решить уравнение вида
В левой части равенства стоит стандартный многочлен. И если коэффициенты многочлена целые, то мы уже знаем как минимум два способа решения таких уравнений:
- Теорема Безу для отыскания рациональных корней-кандидатов;
- Схема Горнера для быстрой проверки этих кандидатов.
И эта связка отлично работает, когда многочлен имеет рациональные корни вида $x=<\color
>/<\color>\;$. Вот буквально: мы найдём все такие корни и решим уравнение.
А если корни иррациональны? Безу и Горнер тут бесполезны. Зато полезным оказывается разложение на множители, когда вместо большого и страшного многочлена $P\left( x \right)$ в левой части уравнения появится произведение двух многочленов меньшей степени:
\[H\left( x \right)\cdot Q\left( x \right)=0\]
А дальше всё стандартно: произведение равно нулю, когда $H\left( x \right)=0$ или $Q\left( x \right)=0$. И вот мы свели исходную задачу к двум уравнениям меньших степеней, которые наверняка легко решаются.:)
Задача 3.1. «Нерешаемое» уравнение
Это приведённое целочисленное уравнение, но его нельзя решить по теореме Безу и схеме Горнера. Ведь целые корни этого уравнения являются делителями свободного члена $\color
И все они дают ненулевой остаток в схеме Горнера:
Остаётся только метод неопределённых коэффициентов. Разложим уравнение на произведение двух квадратных трёхчленов:
Раскроем скобки и приведём подобные в правой части равенства:
Вспоминаем коэффициенты многочлена в исходном уравнении:
Получаем уже привычный набор из четырёх уравнений:
Рассмотрим последнее уравнение: $\color
Итого два варианта. Рассмотрим первый вариант: $\color
Вычитая из первого уравнения последнее, получаем $\color
Второй вариант: $\color
Складывая первое и последнее уравнение, получаем $\color
Многочлен в первой скобке не имеет действительных корней, во второй — имеет:
\[D=<<1>^<2>>-4\cdot 1\cdot \left( -1 \right)=1+4=5\]
Корней будет два:
Неудивительно, что эти корни не были обнаружены по теореме Безу. Ведь они являются иррациональными.:)
Задача 3.2. «Нерешаемое» уравнение — 2
Это задание похоже на предыдущее, поэтому распишем всё кратко. Ожидаемое разложение на множители:
Найдём такое разложение методом неопределённых коэффициентов. Раскрываем скобки, приводим подобные:
Сравниваем с коэффициентами исходного многочлена:
Выписываем четыре уравнения:
Поскольку $\color
Перебирая варианты, обнаруживаем, что правильная комбинация — это $\color
Дважды прибавим к последнему уравнению первое — получим
Следовательно, исходное уравнение примет вид
Многочлен в первой скобке корней не имеет (в этом легко убедиться, посчитав дискриминант). Рассмотрим вторую скобку:
Уравнение имеет два корня:
Ответ: $x=1\pm \sqrt<3>$.
Задача 3.3. Более сложное уравнение
Итого шесть неизвестных коэффициентов. Для сравнения: раньше их было всего четыре.
Однако задачу можно существенно упростить, если сделать два допущения:
- Оба старших коэффициента — $\color
$ и $\color $ — являются целыми и положительными. - Положим для определённости, что $\color
\gt \color $.
В этом и состоит ключевая идея метода неопределённых коэффициентов: мы вводим дополнительные ограничения, которые в итоге почти наверняка выполняются. Да, есть небольшой риск «промахнуться» в своих допущениях, но это компенсируется многократным упрощением дальнейших выкладок.
Осталось всего четыре неизвестных коэффициента. Раскроем скобки и приведём подобные:
Сравним с коэффициентами исходного уравнения:
Многочлены в первой и второй скобке не являются взаимозаменяемыми (поскольку у них разные коэффициенты при $<
Рассмотрим каждую комбинацию. В первом случае быстро обнаружится, что система несовместна. А вот второй случай, когда $\color
Складываем первое уравнение с последним — получаем
Итак, система совместна. Получили разложение на множители:
Многочлен в первых скобках принимает только положительные значения, поэтому не имеет корней:
Рассмотрим вторые скобки:
Это квадратное уравнение. Дискриминант положительный:
\[D=<<2>^<2>>-4\cdot 1\cdot \left( -1 \right)=4+4=8\]
Следовательно, уравнение имеет два различных корня:
Это и есть корни исходного уравнения четвёртой степени.
Ответ: $x=1\pm \sqrt<2>$.
4. Деление многочлена на многочлен
Ещё одна задача, где работает метод неопределённых коэффициентов — это деление одного многочлена на другой с остатком. Напомню, что разделить многочлен $P\left( x \right)$ на двучлен $T\left( x \right)$ с остатком — это значит представить его в виде
\[P\left( x \right)=Q\left( x \right)\cdot T\left( x \right)+R\left( x \right)\]
При этом степень остатка $R\left( x \right)$ должна быть меньше степени делителя $T\left( x \right)$. Кроме того,
\[\deg Q\left( x \right)+\deg T\left( x \right)=\deg P\left( x \right)\]
При соблюдении таких ограничений многочлены $Q\left( x \right)$ и $R\left( x \right)$ всегда определяются однозначно. Их коэффициенты мы как раз и будем находить.
Задача 4.1. Деление на двучлен
Задача. Используя метод неопределённых коэффициентов, найдите частное $Q\left( x \right)$ и остаток $R\left( x \right)$ при делении многочлена
\[P\left( x \right)=<
^<3>>-5< ^<2>>+15x-6\] на двучлен $T\left( x \right)=x-3$.
Итак, мы хотим представить многочлен $P\left( x \right)$ в виде
\[P\left( x \right)=Q\left( x \right)\cdot \left( x-3 \right)+R\left( x \right)\]
где $Q\left( x \right)$ — неполное частное. Точнее, $Q\left( x \right)$ — квадратный трёхчлен, потому что
\[\begin
Кроме того, степень делителя $\deg T\left( x \right)=1$, поэтому степень остатка $\deg R\left( x \right)=0$, т.е. $R\left( x \right)$ — это просто число. С учётом этих фактов многочлен $P\left( x \right)$ примет вид
Раскроем скобки, приведём подобные слагаемые:
С другой стороны, изначально тот же многочлен $P\left( x \right)$ имел вид
Приравниваем коэффициенты и получаем четыре равенства:
Это система из четырёх уравнений с четырьмя неизвестными, которая легко решается:
Подставим найденные числа в $Q\left( x \right)$ и $R\left( x \right)$:
Ответ: $Q\left( x \right)=<
Впрочем, такие рассуждения актуальны лишь при делении на двучлен вида $x-\color
Задача 4.2. Многочлен с параметром
Задача. При каких значениях параметров $a$ и $b$ многочлен
\[P\left( x \right)=<
^<3>>+a< ^<2>>-x+b\] делится без остатка на многочлен
\[T\left( x \right)=<
^<2>>+2x+5\]
Решение. Если многочлен $P\left( x \right)$ делится без остатка на многочлен $T\left( x \right)$, то его можно представить в виде
\[P\left( x \right)=Q\left( x \right)\cdot T\left( x \right)\]
Здесь многочлен $Q\left( x \right)$ — это частное, и его степень равна
\[\deg Q\left( x \right)=\deg P\left( x \right)-\deg T\left( x \right)=3-2=1\]
\[P\left( x \right)=\left( \color
Найдём коэффициенты $\color
Сравниваем с коэффициентами исходного многочлена:
Приравниваем соответствующие «красные» и «синие» коэффициенты и получаем четыре равенства:
Итак, у нас четыре линейных уравнения и четыре переменных. Эта система имеет только одно решение:
Впрочем, нас интересуют лишь переменные $\color
Задача 4.3. Квадратный трёхчлен
Задача. Используя метод неопределённых коэффициентов, найдите частное $Q\left( x \right)$ и остаток $R\left( x \right)$ при делении многочлена
\[P\left( x \right)=2<
^<2>>+3x-3\] на двучлен $T\left( x \right)=2x-1$.
Решение. Частное $Q\left( x \right)$ имеет степень
\[\deg Q\left( x \right)=\deg P\left( x \right)-\deg T\left( x \right)=2-1=1\]
Сравним с исходным видом этого же многочлена:
Приравниваем соответствующие коэффициенты — получаем три уравнения:
Эта система легко решается:
Следовательно, неполное частное $Q\left( x \right)=x+2$ и остаток $R\left( x \right)=-1$.
Ответ: $Q\left( x \right)=x+2$, $R\left( x \right)=-1$.
Задача 4.4. Сложный многочлен
Задача. Используя метод неопределённых коэффициентов, найдите частное $Q\left( x \right)$ и остаток $R\left( x \right)$ при делении многочлена
\[P\left( x \right)=<
^<5>>-1\] на квадратный трёхчлен $T\left( x \right)=<
^<2>>+2x-1$.
Решение. На самом деле это несложная задача, но вычислений будет много. Запишем результат деления с остатком:
\[P\left( x \right)=Q\left( x \right)\cdot \left( <
Сразу найдём степени неполного частного и остатка:
\[\begin
Переходим к методу неопределённых коэффициентов. Сначала запишем общий вид многочленов $Q\left( x \right)$ и $R\left( x \right)$:
Пусть вас не пугает большое количество переменных. Это нормально для многочленов высших степеней. Подставим наши выражения в формулу для $P\left( x \right)$:
Раскрываем скобки. Для удобства запишем одночлены одинаковой степени в одном и том же столбце:
Приводим подобные слагаемые:
Сравниваем эту запись с исходным многочленом:
Получаем шесть уравнений, которые последовательно решаются:
Подставим найденные коэффициенты в выражения для $Q\left( x \right)$ и $R\left( x \right)$:
Мы нашли неполное частное и остаток от деления. Это и есть окончательный ответ.
Ответ: $Q\left( x \right)=<
5. Выделение точного квадрата
Ещё одно приложение метода неопределённых коэффициентов — это «сворачивание» многочленов по формулам сокращённого умножения:
Здесь всё как в разложении на множители: раскрывать скобки и привести подобные легко, а вот обратный переход — по коэффициентам «угадать» формулу сокращённого умножения — операция весьма нетривиальная.
Такие «нетривиальные операции» регулярно встречаются в задачах с параметрами и при работе с корнями. Параметрам посвящён отдельный урок, а вот корни мы рассмотрим прямо сейчас.
Задача 5.1. Избавление от корня
Решение. Единственное, что здесь можно упростить — это избавиться от внешнего большого корня. Для этого нужно представить подкоренное выражение в виде точного квадрата:
Почему именно такая конструкция возводится в квадрат? Всё просто: в исходной сумме мы видим одно слагаемое с корнем и одно слагаемое без него. Для получения такой суммы исходные слагаемые тоже должны быть разными: одно с корнем, а другое — без него.
Сравниваем полученное разложение с исходным выражением:
Чтобы эти выражения были гарантированно равны друг другу, достаточно потребовать, чтобы слагаемые без корня совпадали. Как и слагаемые с корнем:
Это нелинейная система с двумя переменными, которая легко решается методом подбора:
Научиться раскладывать целые числа на «правильные» слагаемые и множители — вопрос небольшой практики. Просто попробуйте — и вы поймёте, насколько это быстро и легко.
Нам остаётся лишь записать решение:
Затем подставить найденные числа в исходное выражение:
Когда под модулем стоит иррациональное выражение, его знак следует проверять отдельно. Иначе даже при правильном ответе его можно счесть недостаточно обоснованным.
Если вы забыли, как проверять знаки таких выражений, вернитесь к уроку «Знаки иррациональных выражений». В двух словах: для такой проверки используются либо цепочки неравенств, либо цепочки равносильных преобразований.
В следующем задании мы отработаем оба способа.
Задача 5.2. Предварительные преобразования
Под корнем мы видим ещё один корень: $\sqrt<48>$ — это большое число, с ним сложно работать. Поэтому прежде чем искать точный квадрат, немного упростим выражение:
Теперь представляем подкоренное выражение в виде точного квадрата
Обратите внимание: перед нами квадрат разности. Потому что в исходном подкоренном выражении элементы не складывались, а именно вычитались. Этот факт ещё даст о себе знать, когда будем выяснять знак подмодульного выражения.
Ну а пока всё просто. Сравниваем старую запись и новую:
Получаем систему уравнений:
Второе уравнение перепишем в виде $\color
Получили красивое решение:
Возвращаемся к исходному выражению и извлекаем корень:
Чтобы раскрыть модуль, нужно выяснить знак иррационального числа $5-2\sqrt<3>$. Для этого можно заметить, что $\sqrt <3>\lt 2$, поэтому
\[5-2\sqrt <3>\gt 5-2\cdot 2=1 \gt 0\]
Это и есть цепочка неравенств. Также можно напрямую сравнить число $5-2\sqrt<3>$ с нулём:
Очевидно, что $25 \gt 12$, поэтому мы ещё раз убеждаемся, что исходное число положительное, и модуль раскрывается со знаком «плюс»:
Но всё это были довольно простые примеры с квадратным корнем. Как насчёт корней $n$-й степени?
Задача 5.3. Проблема с корнем
Решение. Для начала вспомним свойства корней $n$-й кратности. Их можно умножать:
А также извлекать корень из корня:
В частности, второй корень из задачи можно переписать так:
Чтобы избавиться от внутреннего квадратного корня, представим подкоренное выражение в виде точного квадрата. Но поскольку $\sqrt<10>=\sqrt<5>\cdot \sqrt<2>$, возможны два варианта:
Однако в исходном выражении (т.е. прямо в условии задачи) есть ещё один $\sqrt<10>$, который пока никак не преобразуется и никуда не денется, поэтому целесообразно рассмотреть лишь первый вариант:
Получаем стандартную систему:
Второе уравнение равносильно $\color
Возвращаемся к исходному заданию:
Наконец, рассмотрим задание, где требуется выделить куб суммы и куб разности. Как вы понимаете, это задание совершенно другого уровня сложности.:)
Задача 5.4. Куб суммы и куб разности
Чтобы «красиво» извлечь корень третьей степени, нужно представить подкоренное выражение в виде точного куба. Начнём с суммы:
Получаем систему с двумя неизвестными:
Возвращаемся к исходному выражению:
6. Избавление от иррациональности в знаменателе
Последний приём, который мы рассмотрим в этом уроке — избавление от иррациональностей в знаменателе с помощью неопределённых коэффициентов.
Из курса алгебры мы помним, как избавлять от простых иррациональностей. Например, домножение на квадратный корень:
Или домножение на сопряжённое:
Но всё это касается лишь самых простых корней — квадратных. Уже в случае с кубическими корнями такой фокус не пройдёт. Тут-то на помощь к нам и приходят коэффициенты-переменные.
Задача 6.1. Корень третьей степени
Поскольку это иррациональное число, то никакие преобразования не избавят нас от корней полностью.
Заметим, что $\sqrt[3]<9>=\sqrt[3]<3>\cdot \sqrt[3]<3>$. Попробуем возвести число $\sqrt[3]<3>$ в разные степени:
Итак, все степени числа $\sqrt[3]<3>$ можно разделить на три типа:
- Целые числа $\color
\in \mathbb $; - Иррациональные выражения вида $\color
\sqrt[3]<3>$ где $\color \in \mathbb $; - Выражения вида $\color
\sqrt[3]<9>$, где $\color \in \mathbb $.
Логично предположить (и это можно доказать), что результат деления на $1+\sqrt[3]<9>$ можно представить в виде комбинации слагаемых этих трёх типов:
И тут к делу подключается метод неопределённых коэффициентов. Преобразуем уравнение так, чтобы найти эти коэффициенты. Для начала умножим обе части на $1+\sqrt[3]<9>$:
Группируем слагаемые относительно одинаковых корней:
С учётом этих двух условий само уравнение примет вид
Получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
Важное замечание. Чтобы избавиться от иррациональности конкретно в этой задаче, достаточно было домножить числитель и знаменатель дроби на недостающую часть куба суммы:
\[\begin
\frac<10><1+\sqrt[3]<9>> &=\frac<10\cdot \left( \color <1-\sqrt[3]<9>+\sqrt[3]<<<9>^<2>>>> \right)> <\left( 1+\sqrt[3]<9>\right)\left( \color <1-\sqrt[3]<9>+\sqrt[3]<<<9>^<2>>>> \right)>= \\ &=\ldots =1+3\sqrt[3]<3>-\sqrt[3] <9>\end \] Однако такой подход не работает, когда в знаменателе стоит конструкция вида $\color
+ \color \sqrt[3]<3>+ \color \sqrt[3]<9>$. А метод неопределённых коэффициентов работает всегда.:)
Попробуем решить ещё одну задачу такого же типа.
Задача 6.2. То же самое, но чуть сложнее
Решение. Найдём несколько степеней числа $\sqrt[3]<2>$:
На будущее: для корня $n$-й степени достаточно рассмотреть первые $n$ степеней. В нашем случае достаточно было выписать $\sqrt[3]<2>$, $\sqrt[3]<4>$ и $\sqrt[3]<8>=2$ — новых иррациональных чисел мы уже не получим.
Итак, решаем задачу методом неопределённых коэффициентов. Попробуем подобрать целые (или рациональные) числа $\color
Умножаем обе части уравнения на $2-3\sqrt[3]<2>$:
Раскрываем скобки, приводим подобные:
Это равенство верно при соблюдении трёх условий:
Это система из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Её решение:
Следовательно, исходное выражение можно переписать так:
Почему не использовать этот приём всегда? Потому что в следующей задаче он уже не сработает. Там помогут только неопределённые коэффициенты и решение системы уравнений.
Задача 6.3. Когда кубы уже не помогают
Это задание чуть сложнее, потому что здесь не помогут формулы сокращённого умножения. Да и сами вычисления будут чуть сложнее, чем в предыдущих задачах.
Мы уже встречались с числами $\sqrt[3]<3>$ и $\sqrt[3]<9>$, поэтому знаем, что исходное выражение можно представить в виде
Преобразуем выражение, избавившись от дроби:
Раскроем скобки, приведём подобные:
Это равенство возможно при соблюдении трёх условий:
Три линейных уравнения, три переменных. Всё решается легко:
Следовательно, исходное выражение перепишется так:
Как видите, никакие кубы суммы здесь уже не помогут.:)
7. Зачем всё это нужно
В этом уроке мы рассмотрели пять типов задач, которые можно решить методом неопределённых коэффициентов. У внимательного читателя наверняка возник вопрос: зачем вообще нужен этот метод, когда многие из этих задач можно решить проще и быстрее с помощью отдельных специальных приёмов?
- Большинство многочленов отлично раскладываются на множители с помощью теоремы Безу и схемы Горнера — об этом мы говорили в отдельном уроке. Но только при условии, что среди корней есть рациональные.
- То же самое можно сказать и про решение уравнений.
- Делить многочлены друг на друга с остатком вообще лучше столбиком. Это самый быстрый и самый надёжный способ — при условии, что среди коэффициентов нет параметров.
- Точные квадраты зачастую можно подобрать, если немного подумать. Как и дополнительные множители для избавления от иррациональности. Если только это не «тяжёлый» случай, где формулы сокращённого умножения не работают.
Так зачем же нужен метод неопределённых коэффициентов? Всё дело в тех самых оговорках: «при условии», «только если не тяжёлый случай» и т.д.
Основная сила этого метода — в его универсальности. Да, считать придётся чуть больше, чем при использовании более специализированных приёмов. И да: целочисленный перебор не всегда приводит нас к успеху.
Но перед нами прежде всего универсальный алгоритм. Который точно работает — всегда, везде, без всяких оговорок. И если задача не решается методом неопределённых коэффициентов, то «специализированные» приёмы тем более не помогут.
Более того: область применения этого метода намного шире. Например, мы не рассмотрели разложение рациональных дробей в простейшие, а это очень важный приём, например, в интегрировании — и ему тоже нет альтернативы.
Поэтому берите на вооружение всё, что вы сегодня узнали, практикуйтесь — и да прибудут с вами решённые задачи, олимпиады и университетские зачёты и экзамены.:)
Разложение на множители разности n-x степеней
Выведем формулу для разности двух четвёртых степеней:
Предположим, что $a^5-b^5 = (a-b)(a^4+a^3 b+a^2 b^2+ab^3+b^4 )$
Проверим нашу догадку:
$$ (a-b)(a^4+a^3 b+a^2 b^2+ab^3+b^4 ) = a(a^4+a^3 b+a^2 b^2+ab^3+b^4 )- $$
$$ = a^5+a^4 b+a^3 b^2+a^2 b^3+ab^4-a^4 b-a^3 b^2-a^2 b^3-ab^4-b^5 = a^5-b^5 $$
Формула для разности n -х степеней
Теперь можно обобщить полученные формулы для любой степени n:
Эта формула справедлива для любого натурального $n\ge2$.
Формула для суммы нечетных n -х степеней
Получив формулу для разности любой степени n, можно вывести формулу для суммы, но не всех (!) степеней, а только нечётных.
Для нечётной степени $(-b)^n = -b^n$. Получаем:
Эта формула справедлива для всех нечётных $n\ge3$.
Например, уже известная нам сумма кубов:
Также, можем записать сумму пятых степеней:
Суммы чётных степеней на множители не раскладываются!
Нельзя получить разложения для $a^2+b^2, a^4+b^4$ и т.п.
на множестве действительных чисел.
Примеры
Пример 1. Разложите на множители:
а) $ x^6-y^6 = (x-y)(x^5+x^4 y+x^3 y^2+x^2 y^3+xy^4+y^5 )$
$x^6-y^6 = (x^2 )^3-(y^2 )^3 = (x^2-y^2 )(x^4+x^2 y^2+y^4 ) = $
$ = (x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2 )(x^2-xy+y^2 )$ – самое полное разложение