Сложение дробей
Определение: Суммой дробей с одинаковыми знаменателями называют дробь,числитель которой равен сумме числителей исходных дробей,и со знаменателем равным знаменателю обеих дробей.
Формула
Сложим две дроби с одинаковым с одинаковыми знаменателями
По формуле складываем числители, а знаменатель оставляем исходный
Важно: Если есть возможность сократить дробь, то в конечный ответ мы записываем сокращенную дробь.
Пример: При сокращении дроби у нас получится число 1/2
Сложение дробей с разными знаменателями:
Определение: Для того, чтобы найти сумму дробей с разными знаменателями сначала нужно дроби привести к общему знаменателю, а затем сложить их как дроби с одинаковыми знаменателями.
Задача:
Ход решения:
1) Приводим дроби к общему знаменателю.
Для этого ищем НОК — наименьшее общее кратное, для знаменателей 7 и 6 это число 42.
Делим число 42 на знаменатели дробей 3/7 и 2/6
Так мы нашли дополнительные множители.
Дальше домножаем дроби на дополнительные множители и получаем выражение:
2) Складываем дроби.
В нашем случае дробь можно сократить на 2 , и в конечный ответ записываем число 16/21
Сложение дроби и целого числа:
Определение: Для того, чтобы сложить дробь с целым числом, нужно сначала представить целое число как дробь со знаменателем равным 1.
Алгоритм расчета:
1) Приводим дроби к общему знаменателю.
2) Складываем дроби
3) Если есть возможность, то сокращаем полученную дробь.
4) Если же получилась неправильная дробь, то вычисляем из нее целую часть.
Пример:
Решение:
Вычисляем целую часть, и получаем ответ
Сложение смешанных дробей:
Определение: Для того, чтобы сложить смешанные дроби нужно отдельно сложить целые части, и отдельно сложить дробные части.
Формула
Пример:
Подставляем цифры в формулу:
Получаем:
Из дроби вычисляем целую часть т.к она неправильная,и получаем выражение 7+2=9.
Как складывать дроби с числом
Когда вы осознали и поняли, что такое дроби, какой частью они являются от целого, то самое время уже поговорить о возможности оперировать ими. Самое простое, что можно сделать с дробями, это сложить их.
Здесь не действует такое правило как с обычными числами, то есть сложили и все! Здесь прежде надо привести дробь к общему знаменателю, соответственно изменить числитель, если был изменен знаменатель, только после можно складывать дроби. Итак, вы уже догадались, что тема сегодняшней статьи будет о сложении дробей, то есть о том, как складывать дроби!
Начнем как всегда, с самого простого!
Как сложить целое число и дробь
Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь.
Если мы складываем целое число и смешанную дробь, мы прибавляем это число к целой части дроби
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:
Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью.
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше по алгоритму, который я рассказал в самом начале. Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК или НОЗ (наименьшее общее кратное или наименьший общий знаменатель дробей). Для числителя каждой из дробей находятся дополнительные множители с помощью деления НОК на знаменатель этой дроби. Собственно пример выглядит вот так, за одним замечанием, что НОК не всегда так просто найти. То есть взять умножить 3 на 5 и все тут!
Так вот, если знаменатель состоят из больших чисел, то алгоритм нахождения общего знаменателя будет следующим.
Как найти наименьшее общее кратное, наименьший общий знаменатель (НОК или НОЗ)
Наименьшее общее кратное двух чисел (наименьший знаменатель) (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка.
Иногда НОК можно подобрать в уме, чаще всего перемножением двух знаменателей. Тогда получается так, что и один и другой знаменатель делится друг на друга.
Однако проблемы возникают с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:
Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:
Разложить эти числа на простые множители
Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.
Например, найдем НОК чисел 28 и 21:
Как складывать дроби
Дробь — это число, которое состоит из одной или из нескольких равных частей единицы. Говоря упрощённо, это число обозначает часть чего‑либо, например один кусок торта, или целое с несколькими дополнительными частями, например один целый торт и ещё три куска другого.
Обыкновенные дроби состоят из числителя (вверху) и знаменателя (внизу), разделённых горизонтальной или косой чертой. Знаменатель отражает то, на сколько частей можно разделить наш условный торт, а числитель — сколько из них в наличии: 1 /2, 3 /4, 9 /10.
Обыкновенные дроби бывают правильные и неправильные. У правильных числитель меньше знаменателя ( 5 /8, 7 /15), а у неправильных наоборот — больше ( 8 /5, 15 /7). Из неправильной дроби можно выделить целую и дробную части: 1 3 /5, 2 1 /7. Получившееся число будет называться смешанной дробью.
Бывают ещё десятичные дроби. У них в знаменателе стоит степень числа 10, и они записываются по‑другому — через запятую: 0,5, 0,98. Хотя десятичные дроби можно представить и в виде обыкновенных: 5 /10, 98 /100.
Как складывать дроби
Обыкновенные с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, просто суммируйте их числители, а знаменатели оставьте без изменений. Например: 1 /5 + 2 /5 = 3 /5; 9 /6 + 10 /6 = 19 /6 = 3 1 /6.
Обыкновенные с разными знаменателями
Сначала нужно привести дроби к общему знаменателю. Для этого найдите наименьшее число, которое без остатка делится на оба ваших знаменателя. Например, для дробей 5 /6 и 4 /9 это число 18.
Затем разделите его на ваши знаменатели — и вы получите так называемый дополнительный множитель (18 : 6 = 3, 18 : 9 = 2). Это число, на которое нужно умножить обе части дроби, чтобы привести её к новому знаменателю. То есть: 5 x 3 /6 x 3 + 4 x 2 /9 x 2 = 15 /18 + 8 /18.
Остаётся только повторить процесс из предыдущего пункта, сложив числители. В нашем примере получится 23 /18, или 1 5 /18, если выделить целую часть.
Смешанные дроби
Складывать такие дроби можно несколькими способами. Самый простой — суммировать целые и дробные части отдельно. Например, вам нужно сосчитать, сколько будет 3 1 /5 + 4 2 /3. Сначала складываем 3 + 4 и получаем 7. Потом переходим к дробным частям: 1 /5 + 2 /3 = 1 x 3 /5 x 3 + 2 x 5 /3 x 5 = 3 /15 + 10 /15 = 13 /15. А вместе — 7 13 /15.
Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь, из неё тоже нужно выделить целое и добавить к полученной ранее целой части.
Десятичные дроби
Первым делом нужно уравнять количество цифр после запятой. Например, вы хотите сложить числа 33,142 и 5,6. Добавьте два нуля ко второй дроби — 5,600. Теперь сложите между собой числа до запятой (33 + 5) и после (142 + 600). Получится 38,742.
Если вы ещё не очень хорошо освоили работу с десятичными дробями, суммируйте их столбиком, как обычные числа. Следите за тем, чтобы запятая была под запятой. Такой метод сложения облегчит вам подсчёты в том случае, когда после запятой появляется «лишняя» цифра.
Например, нужно найти сумму чисел 1,742 и 5,6. Вы уже знаете, что 1 + 5 = 6, а 742 + 600 = 1 342, но в столбике вы сразу увидите, что единицу из 1 342 нужно перенести, добавить к целой части. В итоге получится 7,342.
Как сложить дробь с натуральным числом
Для того, чтобы сложить дробь и натуральное число, необходимо c самого начала представить целое число как дробь со знаменателем 1.
При этом алгоритм таков:
1) Сначала приводит дроби к общему знаменателю;
2) Затем складываем дроби;
3) Если возможно, сокращаем полученную дробь;
4) Если мы получили неправильную дробь, то необходимо выделить из нее целую часть.
7 + 7/11 = 7/1 + 7/11 = (7 * 11)/11 + 7/11 = 77/11 + 7/11 = (77 + 7)/11 = 84/11 = 7 7 /11.