Что растет быстрее показательная или степенная функция
Перейти к содержимому

Что растет быстрее показательная или степенная функция

  • автор:

20.Сравнение роста показательной,степенной и логарифмической функций.

при (логарифмическая функция)= о(),(степенная функция)=о() (), т.е. при ББ функция (показательная) имеет более высокий порядок роста, чем ББ функции и ; ББ функция имеет более высокий порядок роста, чем ББ функция

21. Фор-ла Тейлора является основой приближенных вычислений,т.к. позволяет заменить диф. Фу-цию многочленом любой степени

Фор-ла с остаточным членом в форме Логранжа:

-многочлен Тейлора

-остаточный член в форме Логранжа

Фор-ла с остаточным членом в форме Пеано:

-многочлен Тейлора

-остаточный член в форме Пеано

22.Разложение фу-ций по фо-ле Маклорена

23.Определение возрастающей(убывающей)фу-ции

Фу-ция y=f(x)назыв.возрастающей (убывающей)на промежуткеХ,если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее(меньшее)значение фу-ции,то есть для x1<x2,x1и x2X справедливо f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2))

Условия монотонности диф.ф-ции на интервале:

1.пусть ф-ция f(x) диф.на интервале (а;b),тогда

1)y=f(x) назыв. неубывающей на (a;b)тогда и только тогда,когда f’(x)≥0 на (a;b)

2)y=f(x)назыв. невозрастающей на (a;b)тогда и только тогда,когда f’(x)≤0 на (a;b)

2.пусть ф-ция f(x) диф-ема на (a;b),тогда

1)если f’(x)>0 на (a;b),то y=f(x) возрастает на (a;b)

2)если f’(x)<0 на (a;b),то y=f(x) убывает на (a;b)

3.пусть ф-ция y=f(x) диф-ма на (a;b),тогда

1)y=f(x) возрастает на (a;b)тогда когда f’(x)≥0 на (a;b)причем равенство f’(x)=0 возможно только в отдельных точках этого интервала

2)y=f(x) убывает на (a;b)тогда и только тогда,когда f’(x)≤0 на (a;b)причем равенство f’(x)=0 возможно толоько в отдельных точках этого интервала

Достаточное условие выпуклости графика фц-ции

Если сущ.вторая производная f”(x) и она <0 при всех Х на (a;b),то график ф-ции f(x) является выпуклым вверх на (a;b)

Если сущ.вторая производная и она >0 при всех Х на (a;b),то график ф-ции f(x) является выпуклым вниз на (a;b)

Точки перегиба

Точка М(х0;f(x0))в уторой меняется направление выпуклости гнрафика ф-ции называется точкой перегиба

Достаточное условие перегиба:если f”(x) в некоторой точке х0 обращается в 0 или не существует и при переходе через эту точку меняет знак,то точка М(х0;f(x0))является точкой перегиба

24.Отыскание точек локального экстремума фу-ции

Точка х0 назыв. точкой лок. max f(x) если для всех xx0 из некоторой окрестности т. х0 f(x0)>f(x)

Точка х0 назыв. точкой лок. min f(x) если для всех xx0 из некоторой окрестности т. х0f(x0)<f(x)

Необходимое условие экстремума: если х0 является точкой локального экстремума точки f(x)

То производная f’(x) в этой точке обращается в 0 или не существует(точки в которых производная обращается в 0 или не существует назыв. критическими точками или стационарными или точками возможного экстремума, но это не обяз. точки экстремума)

1 достаточный признак сущ. экстремума : пусть х0 –критическая точка непрерывной фу-ции f(x), тогда если f’(x) при переходе через точку х0 слева направо меняет знак с «-»на «+» то х0-точка лок. min;Если меняет знак с «+» на «-» то х0-точко лок. max

2 достаточный признак сущ.экстремума:пусть х0-критич.точка f(x) и ф-ция дважды диф-емы в окрестности х0,тогда, если f”(x0)<0,то х0-т.лок.max;если f”(x0)>0,тох0-т.лок. min;если f”(x0)=0,то х0-может являться точкой лок.экстремума,а можети не являться точкой лок.экстремума

3 достаточный признак сущ.экстремума:пусть х0-критич.точка f(x) и ф-ция f(x) n-раз диф-ма в окрестности т.х0 причем f’(x0)=f”(x0)=…=f n -1 (x0)=0 f ( n ) (x0)0 тогда

1)если n-четное число и f ( n ) (x0)<0,то х0-точка лок.max

2)если n-четное и f ( n ) (x0)>0,то х0-точка лок.min

3.9. Бесконечно большие функции и их сравнение

Сравнивают бесконечно большие функции по тому же принципу, что и бесконечно малые. А именно:

То функция называется бесконечно большой функцией Низшего порядка роста, чем бесконечно большая функция . А функция – соответственно Высшего порядка роста, чем .

В частности, очевидно, что функции ; ; ; являются бесконечно большими при , причем каждая последующая из них – высшего порядка роста, чем предыдущая. И вообще, можно доказать (см. главу 4, §4), что любая степенная функция () при является бесконечно большой функцией низшего порядка роста, чем любая показательная функция (). То есть

Иначе говоря, Любая показательная функция () при растет быстрее, чем любая степенная функция ().

То бесконечно большие функции и называется Эквивалентными (равносильными), и обозначается это так:

Где А – конечное число, и , то функции и называется функциями Одного порядка роста. При этом, очевидно, что

4) Если и при , то, как и для бесконечно малых функций, получаем равенство, аналогичное (4.13):

Пример 5. Показать, что при :

Доказательство. Учтем, что (4.18) равносильно (4.17), и вычислив соответствующие пределы, убедимся, что все они равны 1:

1. Показать, что сумма и произведение любого конечного числа бесконечно малых функций тоже являются бесконечно малыми функциями.

2. Показать, что произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

3. Доказать, что бесконечно малые при Функции и несравнимы между собой, то есть что предел их отношения не существует.

Функция более высокого порядка роста

Таким образом, линейная функция более высокого порядка роста, чем логарифм с основанием бОльшим единицы (и т.д.).

Проверяю это утверждение графически (с помощью сервиса http://www.yotx.ru):


График 1
Всё верно. Этот график иллюстрирует приведенное ранее у автора решение следующего предела (формула построена с помощью сервиса https://www.hostmath.com):

Линейная функция (обозначена на графике 1 синим цветом) улетает вверх (в сторону положительной бесконечности по оси Y) быстрее трех указанных логарифмических функций. Из-за этого знаменатель в указанном пределе растет быстрее числителя, в результате чего дробь под знаком предела стремится к нулю.

Показательная функция, с основанием, бОльшим единицы (и т.д.) более высокого порядка роста, чем степенная функция с положительной степенью.

Проверяю это утверждение графически (с помощью сервиса http://www.yotx.ru):


График 2
И тут всё верно. График 2 иллюстрирует приведенное ранее у автора решение следующего предела (формула построена с помощью сервиса https://www.hostmath.com):

Показательные функции (обозначены на графике 2 зеленым, черным и синим цветами) улетают вверх (в сторону положительной бесконечности по оси Y) быстрее степенной функции (обозначена на графике 2 красным цветом). Из-за этого знаменатель в указанном пределе растет медленнее числителя, в результате чего дробь под знаком предела стремится к положительной бесконечности.

Методы решения пределов. Неопределённости.
Порядок роста функции. Метод замены

На уроках Пределы. Примеры решений, Замечательные пределы мы рассмотрели азы темы, и данная статья продолжает наше погружение в мир пределов. Помимо закрепления материала, будет много новой информации о методах решения пределов, и, конечно же, примеры, примеры, примеры со всеми техническими тонкостями решений. Качественная проработка урока позволит выйти на уверенный средний уровень даже полному чайнику.

Что необходимо знать и уметь на данный момент?

– Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел функции. Не выучить, не зазубрить, а именно понять хотя бы на общем, интуитивном уровне. Поэтому, если пределы сродни китайской грамоте, пожалуйста, начните с базового урока Пределы. Примеры решений, а также загляните в справку Графики и свойства элементарных функций, где я проиллюстрировал геометрический смысл понятия.

– Необходимо уметь использовать основные методы решения пределов и справляться с наиболее распространёнными заданиями. Очень хорошо, если кроме примеров моих первых двух уроков, вы порешали (или попытались порешать) что-нибудь дополнительно.

Есть? Едем дальше. Начнём с пары вопросов, которые вызвали недопонимание у некоторых посетителей сайта. За 2 года в отзывах и личной переписке мне удалось выяснить те моменты, которые недостаточно подробно рассмотрены в ранних статьях. И сейчас самое время акцентировать на них внимание.

Первый вопрос затрагивает саму сущность предела. В черновой версии урока я даже процитировал Винни-Пуха: «Куда идём мы с Пятачком, большой-большой секрет». Но потом убрал… нехорошо как-то… выходит все, кто этого не понял – медведи с опилками в голове.

«Чему равен предел ?» (пример условный)

Здесь не указано, куда стремится «икс», и такая запись не имеет смысла:

Предел функции не летает где-то по воздуху на воздушном шаре, он может существовать (или не существовать) только в определённой точке (в частности, в точке или ). Например:

Заодно вспоминаем примитивный, но важный приём – чтобы вычислить предел, сначала нужно попытаться подставить значение «икс» в функцию. В случае с бесконечностью очевидно, что:

Иными словами, если , то функция неограниченно возрастает.

А вот следующего предела не существует:

Значение не входит в область определения функции (под корнем получается «минус»).

рАвно не существует и такого предела:

Тут «икс» стремится к «минус бесконечности», и под корнем нарисуется бесконечно большое отрицательное число.

Итак, в природе не существует «просто предела». Предел может существовать (или не существовать) лишь в определённой точке, в частности, в точке «плюс бесконечность» или «минус бесконечность».

В процессе оформления практических примеров постарайтесь придерживаться следующей рекомендации: не допускайте неполной записи вроде , это одна из самых скверных оплошностей. Презумпция виновности студента утверждает, что он либо совсем не в теме, либо откуда-то впопыхах списал пример.

Второй вопрос касается путаницы с неопределённостями, которые возникают в ходе решения более сложных пределов. Систематизируем информацию:

Что в пределах функций ЯВЛЯЕТСЯ неопределённостью
и НЕ ЯВЛЯЕТСЯ неопределённостью

Прежде всего, перед решением любого предела, обязательно выполняем подстановку «икса» в функцию – неопределённости может и не быть! Однако сладостей много вредно, и на первых двух уроках мы сталкивались со следующими неопределённостями:

Кроме указанных видов, существует довольно распространённая неопределённость («бесконечность минус бесконечность»), которую мы подробно разберём в этой статье, и совсем редко встречаются неопределённости .

Для того чтобы устранить неопределённость, как вы знаете, необходимо использовать некоторые правила и методы решения пределов.

Теперь о том, ЧТО НЕ ЯВЛЯЕТСЯ неопределённостью.

Неопределённостью не является:

Бесконечно малое число, делённое на ненулевую константу: . Сюда же можно отнести бесконечно малое число, делённое на бесконечно большое число:

– Ненулевая константа, делённая на бесконечно малое число, например: .

– Начинающие изучать математический анализ, часто пытаются устранить мифическую неопределённость . Но все попытки тщетны, поскольку это определённость:
представим «бесконечность делить на ноль» в виде произведения: , и, согласно предыдущему пункту: . Приведу живой пример:

Примечание: на практике значок часто записывают без «плюса»: , но, строго говоря, это две разные вещи. Для простоты я буду считать второе обозначение «плюс бесконечностью» и иногда в целях бОльшей чёткости изложения ставить знак «плюс».

– Число, не равное единице, в бесконечно большой степени не является неопределённостью. Например: . В частности: .

– Разность двух функций, каждая из которых стремится к нулю, например: . Таким образом, неопределённости «ноль минус ноль» тоже не существует – это определённость.

Многие из перечисленных неопределённостей и определённостей уже встречались и ещё неоднократно встретятся на практике.

До нового 2013 года остаются считанные дни, и в качестве подарка я принёс увесистый ящик с петардами:

Порядок роста функции

В данном параграфе будут разобраны пределы с многочленами, многочленами под корнем, когда или . Материал вам уже частично знаком, и настала пора разобраться в нём как следует. Давайте научимся находить решение в считанные секунды!

Вычислим следующий предел:

На базовом уроке Пределы. Примеры решений я рекомендовал рассуждать не совсем корректным способом: сначала «икс» равно 10, потом, 100, затем 1000, миллион и т.д. до бесконечности. В чём изъян такого подхода? Построим данную последовательность:

Исходя из полученных результатов, складывается стойкое впечатление, что предел стремится к «минус бесконечности», но на поверку впечатление кардинально ошибочно:

В этой связи необходимо знать теорию матана, а именно, некоторые выкладки о порядке роста функции.

Применительно к нашему примеру можно сказать, что слагаемое обладает более высоким порядком роста, чем сумма . Иными словами, при достаточно больших значениях «икс» слагаемое «перетянет» на «плюс бесконечность» всё остальное:

При небольших значениях «икс» – да, сладкая парочка перетягивает канат в сторону «минус бесконечности», что и привело нас к неверному первоначальному выводу. Но уже при получается гигантское положительное число .

Если сильно уменьшить первое слагаемое, то от этого ничего не изменится: , будет лишь отсрочен тот момент, когда бравая дробь «вытянет» весь предел на «плюс бесконечность». Не поможет и «усиление противовеса»:
.
Нулей можете приписать, сколько хотите (без шуток). Удивительная наука математический анализ – способна низвести любого монстра до мелочи пузатой.

Таким образом, кубическая функция имеет более высокий порядок роста, чем:

– квадратичная функция;
– линейная функция;
– функция-константа;
– сумма квадратичной функции, линейной функции и константы (в любых комбинациях).

На простейшем примере поясню геометрический смысл вышесказанного. Представьте графики линейной , квадратичной и кубической функций (см. методичку Графики и свойства функций). Легко заметить, что при увеличении значений «икс», кубическая парабола взмывает вверх гораздо быстрее и круче, чем парабола и, тем более, прямая.

Аналогичное правило можно сформулировать для любой степени:

Степенная функция данной степени растёт быстрее, чем любая степенная функция более низкой степени. И быстрее, чем сумма любого количества степенных функций более низкой степени.

Значение данного предела зависит только от слагаемого . Всё остальное МЫСЛЕННО отбрасываем: , и теперь ясно как день, что предел стремится к «минус бесконечности»:

То есть, слагаемое более высокого порядка роста, чем всё остальное.

У «хвоста» могут быть сколь угодно большие константы, другие знаки, но результат от этого НЕ ИЗМЕНИТСЯ.

Сравнение бесконечно больших функций

На первом уроке мы вычислили три предела с неопределённостью :

В перечисленных примерах используется стандартный приём деления числителя и знаменателя на «икс» в старшей степени и всё расписывается подробно. Но правильный ответ легко выяснить ещё до решения!

В первом примере в числителе и знаменателе МЫСЛЕННО отбрасываем все младшие слагаемые:
.

В таких случаях говорят, что функции числителя и знаменателя обладают одинаковым порядком роста. Или короче – числитель и знаменатель одного порядка роста. Действительно, в данном пределе и вверху, и внизу находятся квадратичные функции. Мир, равенство, братство.

Во втором примере аналогично – в числителе и знаменателе МЫСЛЕННО уберём всех малышей:

Здесь знаменатель более высокого порядка, чем числитель. Функция-многочлен 4-й степени растёт быстрее кубической функции и «перетягивает» предел на ноль.

И, наконец, в пределе карлики тоже идут лесом:

А в этом примере всё наоборот – числитель более высокого порядка, чем знаменатель. Квадратичная функция растёт быстрее линейной и «перетягивает» предел на «плюс бесконечность».

Сделаем краткую теоретическую выжимку. Рассмотрим две произвольные функции , которые определены на бесконечности.

1) Если , где – ненулевая константа, то функции имеют одинаковый порядок роста. Если , то функции называют эквивалентными на бесконечности.

2) Если , то функция более высокого порядка роста, чем .

3) Если , то функция более высокого порядка роста, чем .

! Примечание: при суть выкладок не меняется.

Подчеркиваю ещё раз, что данные факты относятся к произвольным функциям, определённым на бесконечности, а не только к многочленам. Но у нас ещё непаханое поле полиномов, поэтому, продолжаем работать с ними… да вы не грустите, для разнообразия я добавлю корней =)

В наличии неопределённость и приём решения уже знаком – нужно разделить числитель и знаменатель на «икс» в старшей степени.

Старшая степень числителя равна двум. Знаменатель…. Как определить старшую степень, если многочлен под корнем? МЫСЛЕННО отбрасываем все слагаемые, кроме самого старшего: . Константу тоже отбрасываем и выясняем старшую степень знаменателя: . Она тоже равна двум. Таким образом, числитель и знаменатель одного порядка роста, а значит, предел равен конечному числу, отличному от нуля.

Почему бы сразу не узнать ответ? В числителе и знаменателе МЫСЛЕННО отбрасываем все младшие слагаемые: . Таким образом, наши функции не только одного порядка роста, но ещё и эквивалентны на бесконечности.

Разделим числитель и знаменатель на

В действительности пару шагов можно пропустить, просто я подробно расписал, как в знаменателе под корень вносится .

Это пример для самостоятельного решения. Постарайтесь провести рассуждения по образцу первого примера. Также заметьте, что здесь неопределённость , что необходимо отразить в решении. Примерный образец чистового оформления примера в конце урока.

Во избежание недочёта, всегда анализируйте, какая неопределённость получается в пределах рассматриваемого вида. Помимо неопределённости может встретиться неопределённость либо . Во всех четырёх случаях числитель и знаменатель необходимо разделить на «икс» в старшей степени.

Слишком трудный предел? Лёгкий испуг от хлопушки. Главное, грамотно управиться с радикалами.

Проведём предварительный анализ:

Сначала выясним старшую степень числителя. Там сумма двух корней. Под корнем отбросим младшее слагаемое: и уберём константу: . Под корнем отбросим все младшие слагаемые: .
, значит, старшая степень числителя: .

Разбираемся с нижним этажом. Под корнем отбрасываем константу: . У многочлена старшая степень равна двум.
, значит, старшая степень знаменателя: .
Кстати, заметьте, что корень более высокого порядка роста, чем , поэтому весь знаменатель будет стремиться к «плюс бесконечности».

Сравниваем старшие степени: , следовательно, числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель, и сразу можно сказать, что предел будет равен бесконечности.

Оформляем решение, я распишу его максимально подробно:

Разделим числитель и знаменатель на «икс» в старшей степени: :

Действия в числителе прозрачны, закомментирую знаменатель. У дроби «разнокалиберные» корни, и квадратный корень необходимо «подогнать» под кубический корень . Составим и решим уравнение: . Таким образом: .

Ну и на всякий случай напоминаю формулу , по которой выполняется деление:

Другие члены знаменателя:

Правила действий с корнями можно найти на странице Математические формулы и таблицы в методичке Горячие формулы школьного курса математики. Также на действиях с радикалами я подробно останавливался при нахождении производных.

Это более простой пример для самостоятельного решения. В предложенном примере снова неопределённость ( более высокого порядка роста, чем корень ).

Если «икс» стремится к «минус бесконечности»

Призрак «минус бесконечности» уже давно витал в этой статье. Рассмотрим пределы с многочленами, в которых . Принципы и методы решения будут точно такими же, что и в первой части урока, за исключением ряда нюансов.

Рассмотрим 4 фишки, которые потребуются для решения практических заданий:

1) Вычислим предел

Значение предела зависит только от слагаемого , поскольку оно обладает самым высоким порядком роста. Если , то бесконечно большое по модулю отрицательное число в ЧЁТНОЙ степени, в данном случае – в четвёртой, равно «плюс бесконечности»: . Константа («двойка») положительна, поэтому:

2) Вычислим предел

Здесь старшая степень опять чётная, поэтому: . Но перед расположился «минус» (отрицательная константа –1), следовательно:

3) Вычислим предел

Значение предела зависит только от . Как вы помните из школы, «минус» «выскакивает» из-под нечётной степени, поэтому бесконечно большое по модулю отрицательное число в НЕЧЁТНОЙ степени равно «минус бесконечности», в данном случае: .
Константа («четвёрка») положительна, значит:

4) Вычислим предел

Первый парень на деревне снова обладает нечётной степенью, кроме того, за пазухой отрицательная константа, а значит: Таким образом:
.

Используя вышеизложенные пункты, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель и знаменатель одного порядка роста, значит, в пределе получится конечное число. Узнаем ответ, отбросив всех мальков:

Разделим числитель и знаменатель на

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

А сейчас, пожалуй, самый тонкий из случаев:

Рассматривая старшие слагаемые, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель, поэтому сразу можно сказать, что предел равен бесконечности. Но какой бесконечности, «плюс» или «минус»? Приём тот же – в числителе и знаменателе избавимся от мелочи:

Разделим числитель и знаменатель на

Проанализируем бесконечно малые слагаемые знаменателя:

Если , то слагаемые с чётными степенями будут стремиться к бесконечно малым положительным числам (обозначаются через ), а слагаемые с нечётными степенями будут стремиться к бесконечно малым отрицательным числам (обозначаются через ).

Теперь зададимся вопросом, какое из этих четырёх слагаемых будет стремиться к нулю (неважно с каким знаком) медленнее всего? Вспомним наивный приём: сначала «икс» равно –10, потом –100, затем –1000 и т.д. Медленнее всего к нулю будет приближаться слагаемое . Образно говоря, это самый «жирный» ноль, который «поглощает» все остальные нули. По этой причине на завершающем этапе и появилась запись .

Следует отметить, что знаки бесконечно малых слагаемых числителя нас не интересуют, поскольку там нарисовалась осязаемая добротная единичка. Поэтому в числителе я поставил «просто нули». К слову, знаки при нулях не имеют значения и во всех примерах, где в пределе получается конечное число (Примеры №№5,6).

Без измен, на то он и математический анализ, чтобы анализировать =)

Впрочем, о бесконечно малых функциях позже, а то вы нажмёте маленький крестик справа вверху =)

Это пример для самостоятельного решения.

Рекомендую хорошо осмыслить информацию первой части урока, и по возможности сделать перерыв.

Неопределённость «бесконечность минус бесконечность»

Популярная неопределённость устраняется тремя распространёнными способами:

– приведением выражения под знаком предела к общему знаменателю;

– умножением/делением на сопряжённое выражение;

Рассмотрим первый случай, о котором я ещё не рассказывал:

В данном пределе имеет место неопределённость , и общий алгоритм решения незамысловат: необходимо привести выражение к общему знаменателю, а затем попытаться что-нибудь сократить:

(1) Раскладываем знаменатели на множители: в первом знаменателе выносим «икс» за скобки, во втором знаменателе используем формулу разности кубов . Данный шаг можно было пропустить, но этим пришлось бы заниматься потом, и, на мой взгляд, разложение на множители удобнее провести сразу же.

(2) Приводим выражение к общему знаменателю.

(3) Приводим подобные слагаемые в числителе. Неопределённость трансформировалась в неопределённость , которая стандартно раскрывается разложением числителя и знаменателя на множители.

(4) Знаменатель уже разложен на множители. Раскладываем на множители числитель, в данном случае использована формула .

(5) Сокращаем числитель и знаменатель на , устраняя неопределённость.

Как видите, новизны-то особой и нет.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Решение и ответ в конце урока

Второй вид пределов с неопределённостью представляет собой разность, в которой присутствуют два или один корень:

Каноничный образец. Метод решения подробно разобран на уроке Пределы. Примеры решений. Необходимо умножить и разделить на сопряженное выражение, чтобы потом воспользоваться формулой

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

Неопределённость превратилась в неопределённость . Узнаёте? Такие семечки мы грызли в первом разделе данного урока.

Числитель и знаменатель одного порядка роста, а значит, предел равен конечному числу. Разделим числитель и знаменатель на :

Не редкость, когда в разности всего один корень, но это не меняет алгоритма решения:

Это пара коротких примеров для самостоятельного решения.

Следует отметить, что пределы рассмотренного типа не обязаны равняться конечному числу, вполне может получиться и бесконечность, причём, как «плюс», так и «минус». Кстати, в примере №13 можно посмотреть на порядок роста членов, чтобы сразу выяснить ответ 😉

Иногда на практике встречаются пределы-«обманки», в которых неопределённости «бесконечность минус бесконечность» нет вообще, вот простейший пример:

Таким образом, будьте предельно внимательны: перед решением предела необходимо убедиться, что неопределённость действительно есть!

В заключительной части статьи вернёмся к незаслуженно забытым замечательным пределам, где рассмотрим, в том числе, третий тип пределов с неопределённостью .

Метод замены переменной в пределе

Весьма ходовой приём решения. Метод замены переменной применяют чаще всего для того, чтобы свести решение к первому замечательному пределу, намного реже – к другому замечательному пределу. Рассмотрим пару типовых образцов:

В пределе находится арктангенс, от которого хорошо бы избавиться. Логично и очень удобно превратить «арк» в одну единственную букву. Проведём замену переменной: .

Теперь в пределе нужно выразить всё остальное через «тэ».

Во-первых, выясним, куда будет стремиться новая переменная «тэ»:
Если , то , иными словами, новоиспеченная переменная тоже будет стремиться к нулю:

Осталось в знаменателе выразить «икс» через «тэ». Для этого на обе части равенства «навешиваем» тангенсы:

В правой части две взаимно обратные функции уничтожаются:
, откуда:

Взмахи волшебной палочки закончены, остальное просто:

Используемые формулы и приёмы решения завершающего этапа очень подробно разобраны в первой части урока Замечательные пределы.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Ещё пара занятных примеров на тему замены переменной:

При подстановке единицы в предел получается неопределённость . Замена переменной уже напрашивается, но сначала преобразуем тангенс по формуле . Действительно, зачем нам тангенс?

Заметьте, что , поэтому . Если не совсем понятно, посмотрите значения синуса в тригонометрической таблице. Таким образом, мы сразу избавляемся от множителя , кроме того, получаем более привычную неопределённость 0:0. Хорошо бы ещё и предел у нас стремился к нулю.

Под косинусом у нас находится «икс», который тоже необходимо выразить через «тэ».
Из замены выражаем: .

(1) Проводим подстановку

(2) Раскрываем скобки под косинусом.

(3) Используем формулу приведения , формулы приведения также можно найти в тригонометрических таблицах.

(4) Чтобы организовать первый замечательный предел , искусственно домножаем числитель на и обратное число .

Задание для самостоятельного решения:

Полное решение и ответ в конце урока.

Это были несложные задачи в своём классе, на практике всё бывает хуже, и, помимо формул приведения, приходится использовать самые разные тригонометрические формулы, а также прочие ухищрения. В статье Сложные пределы я разобрал пару настоящих примеров =)

В канун праздника окончательно проясним ситуацию ещё с одной распространённой неопределённостью:

Устранение неопределённости «единица в степени бесконечность»

Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел, и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-й замечательный предел, хотя это вовсе не так.

Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?

На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):

Неопределённость можно устранить по формуле:

Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.

Выделим существенные моменты формулы:

1) Речь идёт только о неопределённости и никакой другой.

2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.

С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы, которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел :

В данном случае , и по формуле :

Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-й замечательный предел.

Всё это хорошо, правильно, но сейчас в кадре более любопытные кадры:

На первом шаге, не устану повторять, подставляем значение «икс» в выражение под знаком предела. А вдруг никакой неопределённости вообще нет? Так бывает! Но не в этот раз. Подставляя «тройку», приходим к выводу, что здесь неопределённость

Чтобы не таскать за собой букву «е» и не мельчить, показатель удобнее вычислить отдельно:

В данном случае:

С точки зрения техники вычислений всё рутинно: сначала приводим первое слагаемое к общему знаменателю, затем выносим константы и проводим сокращения, избавляясь от неопределённости 0:0.

Обещанный подарок с разностью логарифмов и неопределённостью :

Сначала полное решение, потом комменты:

(1)-(2) На первых двух шагах используем формулы . У сложных производных мы «разваливаем» логарифмы, а здесь, наоборот – их нужно «собрать».

(3) Значок предела перемещаем под логарифм. Это можно сделать, поскольку данный логарифм непрерывен на «минус бесконечности». Кроме того, предел же относится к «начинке» логарифма.

(4)-(5) Стандартным приёмом, рассмотренным на базовом уроке про замечательные пределы, преобразуем неопределённость к виду .

(6) Используем формулу .

(7) Экспоненциальная и логарифмическая функция – взаимно обратные функции, поэтому и «е» и логарифм можно убрать. Действительно, согласно свойству логарифма: . Минус перед дробью вносим в знаменатель:

(8) Без комментариев =)

Рассмотренный тип предела не такой редкий, примеров 30-40 у себя нашёл.

Это пример для самостоятельного решения. Помимо использования формулы, можно представить предел в виде и заменой свести решение к случаю .

В заключение рассмотрим пределы-«фальшивки».

Вернёмся к неопределённости . Данную неопределённость далеко не всегда можно свести к неопределённости и воспользоваться 2-м замечательным пределом либо формулой-следствием. Преобразование осуществимо в том случае, если числитель и знаменатель основания степени – эквивалентные бесконечно большие функции. На пример: .

Отвлечёмся от показателя и вычислим предел основания:

В пределе получена единица, значит, числитель и знаменатель не просто одного порядка роста, а ещё и эквивалентны. На уроке Замечательные пределы. Примеры решений мы без проблем свели данный пример к неопределённости и получили ответ.

Аналогичных пределов можно придумать очень много:
и т.д.

Дроби данных примеров объединяет вышеуказанная особенность: . В других случаях при неопределённости 2-й замечательный предел не применим.

Как ни старайся, а неопределённость не удастся преобразовать в неопределённость

Здесь числители и знаменатели оснований одного порядка роста, но не эквиваленты: .

Таким образом, 2-й замечательный предел и, тем более формулу, ПРИМЕНИТЬ НЕЛЬЗЯ.

! Примечание: не путайте с Примером №18, в котором числитель и знаменатель основания не эквивалентны. Там готовая неопределённость , здесь же речь идёт о неопределённости .

Метод решения пределов-«подделок» прост и знакОм: нужно числитель и знаменатель основания разделить на «икс» в старшей степени (невзирая на показатель):

Если числитель и знаменатель основания разного порядка роста, то приём решения точно такой же:

Это короткие примеры для самостоятельного изучения

Иногда неопределённости может не быть вообще:

Подобные фокусы особенно любимы составителями сборника Кузнецова. Вот почему очень важно ВСЕГДА на первом шаге выполнять подстановку «икса» в выражение под знаком предела!

Завершая тотальное разоблачение пределов, я хочу поздравить всех посетителей сайта с новым 2013 годом! С подарком я успел, и постинг данной статьи осуществлен 31 декабря 2012 года. Вы спросите, а как же моя личная подготовка к празднику? Давно готов =) На протяжении многих лет я занимаюсь стратегическим планированием – чтобы не толкаться в очередях до и не пересекаться с краснокожими после =)

Решения и ответы:

Пример 2

Старшая степень числителя: 2; старшая степень знаменателя: 3.
Разделим числитель и знаменатель на :

Пример 4

Разделим числитель и знаменатель на :

Примечание: самым последним действием умножили числитель и знаменатель на , чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Пример 6

Разделим числитель и знаменатель на :

Пример 8

Разделим числитель и знаменатель на :

Примечание: слагаемое стремится к нулю медленнее, чем , поэтому является «главным» нулём знаменателя.

Пример 10

Пример 12

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

Пример 13

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

Разделим числитель и знаменатель на :

Пример 17

Проведём замену:
Если , то .
Далее используем формулу приведения , тригонометрическую формулу и первый замечательный предел:

Пример 20

Используем формулу

Пример 22

Примечание: бесконечно малая функция стремится к нулю медленнее, чем , поэтому «более большой» ноль знаменателя играет определяющую роль:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *