Каждый член после первого в n^n больше, поэтому n^n будет расти быстрее.

ответ дан 17 мар ’16, в 15:03

проще этого объяснить нельзя. — сн.анураг

тот же комментарий, что и у @sn.anurag, мне нравится ваше простое объяснение, простое и мощное 🙂 — Ибра

Этот ответ полезен, но его можно улучшить, выполнив что-то подобное для сравнения n! и 2^n (и это рассуждение распространяется на любую постоянную базу). — Бернхард Баркер

каждый срок n+1 больше, чем n , но быстрее не растет 🙂 — Восканян Давид

n^n растет больше, чем n! — отличное объяснение см. в ответе @AlexQueue.

В остальных случаях читайте дальше:

Факториальные функции асимптотически растут больше, чем экспоненциальные функции, но не сразу ясно, когда начинается разница. Например, для n=5 и k=10 , факториал 5!=120 все еще меньше, чем 10^5=10000 . Чтобы определить, когда факториальные функции начинают расти, нам нужно провести быстрый математический анализ.

Мы используем формулу Стирлинга и основные операции с логарифмами:

Таким образом, однажды n достигает почти в 3 раза больше k , факториальные функции начнут расти больше, чем экспоненциальные функции. Для большинства реальных сценариев мы будем использовать большие значения n и малые значения k , поэтому на практике мы можем предположить, что факториальные функции строго больше экспоненциальных функций.

ответ дан 06 окт ’19, 23:10

Я хочу показать вам более наглядный метод, чтобы очень легко это доказать. Мы собираемся использовать деление для построения графика функции, и он очень легко покажет нам это.

Давайте воспользуемся простой и скучной функцией деления, чтобы объяснить свойство деления.

По мере увеличения значение этого выражения также увеличивается. По мере уменьшения b оценка этого выражения также уменьшается.

Используя эту идею, мы можем построить график, основанный на том, что мы ожидаем увеличить и ожидаем уменьшить, и провести сравнение относительно того, что увеличивается быстрее.

В нашем случае мы хотим знать, будут ли экспоненциальные функции расти быстрее, чем факториалы, или наоборот. У нас есть два случая: константа для переменного показателя степени против переменного факториала и переменная для переменного показателя степени против переменного факториала.

Графическое представление этих инструментов с помощью Desmos (никакой принадлежности, это просто хороший инструмент) показывает нам следующее:

График от константы к переменной степени по сравнению с переменным факториалом

Хотя первоначально кажется, что экспоненциальное выражение увеличивается быстрее, оно достигает точки, когда оно больше не растет так быстро, а вместо этого факториальное выражение увеличивается быстрее.

График переменной в переменную экспоненту по сравнению с переменным факториалом

Хотя сначала он кажется медленнее, после этой точки он начинает быстро расти, поэтому мы можем сделать вывод, что экспонента должна расти быстрее, чем факториал.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость

Для того чтобы понять примеры данного урока необходимо хорошо ориентироваться в положительных числовых рядах: понимать, что такое ряд, знать необходимый признак сходимости ряда, уметь применять признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши. Тему можно поднять практически с нуля, последовательно изучив статьи Ряды для чайников и Признак Даламбера. Признаки Коши. Логически этот урок является третьим по счёту, и он позволит не только разобраться в знакочередующихся рядах, но и закрепить уже пройденный материал! Какой-то новизны будет немного, и освоить знакочередующиеся ряды не составит большого труда. Всё просто и доступно.

Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд и распишем его подробнее:

А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности.

Знакочередование обеспечивает множитель : если чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус» (как вы помните ещё с урока о числовых последовательностях, эта штуковина называется «мигалкой»). Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн».

В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например:

Подводным камнем являются «обманки»: , , и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака. Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , . Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решения функциональных рядов.

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии. Опасно для мозга.

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.

Или в два пункта:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю: , причём, убывают монотонно.

Если выполнены эти условия, то ряд сходится.

Краткая справка о модуле приведена в методичке Горячие формулы школьного курса математики, но для удобства ещё раз:

Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду . Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа. Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше, чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначают одно и то же:

– Члены ряда без учёта знака убывают.
– Члены ряда убывают по модулю.
– Члены ряда убывают по абсолютной величине.
– Модуль общего члена ряда стремится к нулю:

// Конец справки

Теперь немного поговорим про монотонность. Монотонность – это скучное постоянство.

Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю МЕНЬШЕ, чем предыдущий: . Для ряда выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:

А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: .

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом: Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего: .

В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). Кроме того, члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю, но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.

Не нужно пугаться того, что я нагородил, практические примеры всё расставят по своим местам:

Исследовать ряд на сходимость

В общий член ряда входит множитель , и это наталкивает на естественную мысль проверить выполнение условий признака Лейбница:

1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».

2) Убывают ли члены ряда по модулю? Здесь нужно решить предел , который чаще всего является очень простым.

– члены ряда не убывают по модулю, и из этого автоматически следует его расходимость – по той причине, что предела не существует *, то есть, не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

* Согласно, строгому определению предела числовой последовательности, и кроме того, в данном случае это очевидно.

Вывод: ряд расходится.

Как разобраться, чему равно ? Очень просто. Как известно, модуль уничтожает минусы, поэтому для того, чтобы составить , нужно просто убрать с крыши проблесковый маячок. В данном случае общий член ряда . Тупо убираем «мигалку»: .

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1)
Ряд является знакочередующимся.

2) – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: () – поскольку бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби. Таким образом, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Однако это еще не всё! Сходимость бывает разной. А именно:

– сходящийся ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд ;
в противном случае ряд сходится условно.

! Из вышесказанного очевидно следует, что любой сходящийся положительный ряд является абсолютно сходящимся.

Поэтому в типовом задании, как правило, нужно провести второй этап решения. . Не виноватый я – такая уж теория и практика числовых рядов =)

Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:
– расходится (гармонический ряд) – тут даже без исследования обошлось.

Таким образом, наш ряд сходится условно.

Следует отметить, что при формулировке «Исследуйте ряд на сходимость» можно рискнуть и ограничиться признаком Лейбница (т.е. просто констатировать сходимость), но таки лучше не лениться – с большой вероятностью вас попросят уточнить, сходится ли ряд абсолютно или условно.

Заметьте также, что в Примере 1 второй этап по-любому отпадает, поскольку еще на первом шаге сделан вывод о том, что ряд расходится.

Собираем ведёрки, лопатки, машинки и выходим из песочницы, чтобы смотреть на мир широко открытыми глазами из кабины моего экскаватора:

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1)
Данный ряд является знакочередующимся.

2) – члены ряда убывают по модулю.

Для любого номера справедливо неравенство: , а бОльшим знаменателям соответствуют меньшие дроби:
, то есть, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: , а это означает, что убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Теперь выясним, как именно. Для этого составим и исследуем соответствующий ряд из модулей:

Анализируя начинку, приходим к выводу, что здесь нужно использовать предельный признак сравнения. Скобки в знаменателе удобнее раскрыть:

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения.

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд сходится вместе с рядом .

Таким образом, ряд сходится абсолютно.

Исследовать ряд на сходимость

Исследовать ряд на сходимость

Это примеры для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления в конце урока.

Как видите, знакочередующиеся ряды – это просто и занудно! Но не спешите закрывать страницу, всего через пару экранов мы рассмотрим случай, который многих ставит в тупик. А пока еще пара примеров для тренировки и повторения.

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) – члены ряда убывают по модулю. Осталось показать монотонность убывания. Неравенство здесь обосновать трудно и поэтому мы проявим разумную хитрость, расписав несколько конкретных членов и всю цепочку:

– не лишним будет взять в руки калькулятор, и убедиться в справедливости первых неравенств (хотя, это, конечно, некорректная проверка).

Вывод: ряд сходится.

Обратите внимание, что я не расписал подробно члены ряда. Их всегда желательно расписывать, но от непреодолимой лени в «тяжелых» случаях можно ограничиться фразой «Ряд является знакочередующимся». Кстати, не нужно относиться к этому пункту формально, всегда проверяем (хотя бы мысленно) что ряд действительно знакочередуется. Помните об «обманках» , , – если они есть, то от них нужно избавиться, получив «обычный» ряд с положительными членами.

Выясним характер сходимости ряда:

Таким образом, ряд сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения. Хммм… что-то я немного погорячился на счет простоты.

Нередко встречаются знакочередующиеся ряды, которые вызывают затруднения.

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1) Ряд является знакочередующимся.

Дело в том, что не существует стандартных обыденных приемов для решения подобных пределов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? Здесь важно знать, ЧТО на бесконечности растёт быстрее – числитель или знаменатель.

Примечание: понятие порядка роста функции подробно освещено в статье Методы решения пределов. У нас пределы последовательностей, но это не меняет сути.

Если числитель при растёт быстрее факториала, то . Если, на бесконечности факториал растёт быстрее числителя, то он, наоборот – «утянет» предел на ноль: . А может быть этот предел равен какому-нибудь отличному от нуля числу?

Попробуем записать несколько первых членов ряда:

Создается стойкое впечатление, что , но где гарантия, что при очень больших «эн» факториал не «обгонит» числитель и не утащит предел на ноль?

Обратимся к теории математического анализа, для того она и существует:

Справка:

– Факториал растёт быстрее, чем показательная последовательность , иными словами: или . Да хоть миллион в степени «эн», это не меняет дела. То есть, факториал более высокого порядка роста.

– Факториал растёт быстрее, чем степеннАя последовательность или многочлен, иными словами: или . Вместо можно подставить какой-нибудь многочлен тысячной степени, это опять же не изменит ситуацию – рано или поздно факториал всё равно «перегонит» и такой страшный многочлен. То есть и здесь факториал более высокого порядка роста.

– Факториал растёт быстрее произведения показательной и степенной последовательностей (наш случай). А также быстрее произведения и бОльшего количества таких множителей.

И, раз пошла такая пьянка:

– Показательная последовательность растёт быстрее, чем степенная последовательность , например: , . Аналогично факториалу, она «перетягивает» произведение степенных последовательностей: .

– А есть ли что-нибудь «круче» факториала? Есть! Степенно-показательная последовательность растёт быстрее, чем . На практике встречается редко, но информация лишней не будет.

Таким образом, второй пункт исследования (вы еще о нём помните? =)) можно записать так:
2) – члены ряда монотонно убывают по модулю (так как более высокого порядка роста, чем ).

Достаточно! О том, что члены начинают убывать лишь с некоторого номера «эн», лучше благоразумно умолчать – по той причине, что найти этот номер не так-то просто, а лишние вопросы вам ни к чему 😉 Ещё труднее показать монотонность убывания, поэтому просто констатируем этот факт. Здесь вас с высокой вероятностью «простят»

Вывод: ряд сходится.

Исследуем ряд, составленный из модулей членов:

А тут уже работает старый добрый признак Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Разобранный пример можно решить другим способом.

Теорема: если ряд сходится, то сходится и ряд

Пример 8 «на бис» вторым способом.

Исследовать ряд на сходимость

Решение: исследуем сходимость ряда, составленного из модулей:

Используем признак Даламбера:
…
только что печатал
…
Таким образом, ряд сходится, а значит, по соответствующей теореме, сходится и исследуемый ряд, причём, ясно как день – абсолютно.

Вывод: ряд сходится абсолютно.

Правда, при втором способе решения есть риск, что преподаватель оценит хитро… смекалку студента и забракует задание. А может и не забракует. Ибо условие не предписывает использовать именно признак Лейбница (но обычно это всё же подразумевается).

И напоследок пара примеров для самостоятельного решения. Один из той же оперы (перечитайте справку), но попроще. Другой для гурманов – на закрепление интегрального признака сходимости.

Исследовать ряд на сходимость

Исследовать ряд на сходимость

После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам, которые не менее монотонны и однообразны интересны.

Решения и ответы:

Пример 4: Используем признак Лейбница:

1) – данный ряд является знакочередующимся.
2)

Члены ряда не убывают по модулю, следовательно, предела не существует, и ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости.

Вывод: ряд расходится.
Примечание: в данном примере неопределенность устраняется стандартным способом: делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени. Старшая степень числителя: 1, старшая степень знаменателя:

Пример 5: Используем признак Лейбница.
1) – ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , т.е. убывание монотонно.

Таким образом, ряд сходится по признаку Лейбница.

С помощью ряда, составленного из модулей, выясним как именно:

Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения:
– конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с гармоническим рядом.
Таким образом, ряд сходится условно.

Пример 7: Используем признак Лейбница.
1) – ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю. Найдём модуль -го члена: . Для любого номера справедливо неравенство :

( ), т.е. члены убывают монотонно.

Ряд сходится по признаку Лейбница.

Исследуем характер сходимости:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.
Ряд сходится абсолютно.

Примечание: Возможно, не всем понятно, как разложены факториалы. Это всегда можно установить опытным путём, возьмём и сравним какие-нибудь соседние члены ряда:
и , следующий член ряда к предыдущему:
и , следующий член ряда к предыдущему:
…

Пример 9: Используем признак Лейбница:
1)
Ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда монотонно убывают по модулю (так как более высокого порядка роста, чем ) .

Таким образом, ряд сходится. Выясним, абсолютно или условно:

Используем признак Даламбера:
, следовательно , ряд сходится.
Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Пример 10: Используем признак Лейбница.
1)
Ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю, и очевидно, что – каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , т.е. убывание монотонно.

Ряд сходится по признаку Лейбница.

Исследуем ряд, составленный из модулей:

Используем интегральный признак.

Подынтегральная функция непрерывна на .

Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Исследуемый ряд сходится условно.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Что возрастает быстрее факториал или степенная функция

Вопрос по Главе 7. Задача про скорость роста функций

Расположите следующие 4 функции в порядке увеличения скорости роста (каждая функция есть O(следующая)), не исключено, что некоторые функции имеют одинаковую скорость
1) f1(n) = n!;
2) f2(n) = n2;
3) f3(n) = ln n ;
4) f4(n) = n(ln n).

А поясните, пожалуйста, почему Вы так считаете? Спасибо

1. Любой полилогарифм растет быстрее любого полинома. Значит, ln n=O(n). Следовательно, ln n=O(n (ln n)), т.к. n (ln n) растёт ещё быстрее, чем n.

2. Из ln n=O(n) также следует, что n(ln n)=O(n^2).

3. Факториал по скорости роста обгоняет даже показательную функцию, а любая показательная функция растёт быстрее полинома. Значит, n^2=O(n!). Можно ещё следующим образом показать, что факториал «больше» полинома. Чем выше степень полинома, тем он быстрее растёт. Например, n^2=O(n^3), n^3=O(n^5) и т.д. Представим факториал в виде произведения: n!=n*(n-1)*(n-2)*. *1. Если раскрыть первые 3 скобки, мы уже получим функцию, «не меньшую» чем n^3. Следовательно, т.к. n^2=O(n^3), то n^2=O(n!).

Ольга, но ведь n * (ln n) растёт в n раз быстрее, чем ln n.

Кроме того, где сравнение функций ln n и n * (ln n) с функцией n!?

Т.к. n^2=O(n!) и n*ln n=O(n^2), то n*ln n=O(n!).

Т.к. n*ln n=O(n!) и ln n=O(n*ln n), то ln n=O(n!).

Отношение «расти быстрее» транзитивно, поэтому сравнивать функции, которые «меньше» n^2, с факториалом особого смысла нет.

По поводу первого замечания: n * (ln n) действительно растет быстрее, чем ln n. Только я не поняла, к чему данное замечание относилось. Поясните, пожалуйста.

Значит, в Вашем первом ответе опечатка,

А по условиям задачи мы умеем следующее:

Следовательно, в Вашем ответе функция ln n растёт быстрее, чем n(ln n).

А про факториал, поправьте пожалуйста, если не прав, я читал, что это самая быстро растущая функция.

В моём ответе всё верно. В задании просят расположить функции в порядке увеличения скорости роста, т.е. ln n, n*ln n, n^2, n!, или f3, f4, f2, f1.

Поправка: в данном случае речь идёт о множестве не действительных чисел, а натуральных.

Другое дело, что скорость роста n! не слишком хороша для сравнения, и не очень понятно, где ее можно использовать. Удобнее пользоваться показательной функцией (экспонентой).

Извините, для какого сравнения не слишком хороша скорость роста факториала?

Тут я ошибся, переклинило и я решал обратную задачу, вот и всё. выше про это уже извинялся.

EugenO, не согласен, мы же смотрим не значения в точках, а скорость роста функции.

Или же, поясните подробнее, в чём именно на Ваш взгляд выражено это не удобство в сравнении.

Для меня удобство экспоненты в том, что она очень хороша для анализа. Она легко представима в виде a^x, элементарно дифференцируема (скорость роста) и интегрируема, причем многократно, связана со вторым замечательным пределом, кроме того, интуитивно (для меня) понятна, я ее график много раз рисовал в детстве и с удовольствием ассоциирую с всевозможными процессами, происходящими в реальной жизни, поэтому вижу естественным применение в асимптотике. В то же время не смогу указать ни одного естественного инерционного процесса, который изменялся бы «со скоростью выше экспоненциальной». Кстати, известна Stirling’s approximation для оценки факториала, а оценки экспоненты через факториал что-то не припомню (наверное, в ней смысла нет).

Хотелось бы узнать, зачем при анализе сложности алгоритмов Вы дифференцируете, интегрируете (причем многократно) экспоненту, как используете второй замечательный предел и формулу Стирлинга. Я не отрицаю, что, возможно, в теории сложности вычислений без этого нельзя обойтись. К сожалению, в данной области у меня очень скромный опыт((. А Вы, наверное, в этом вопросе отлично разбираетесь (может, даже на профессиональном уровне!). Поэтому очень интересно посмотреть, как применяет математический, комплексный и функциональный анализы в асимптотике настоящий специалист. Приведите, пожалуйста, пример.

Является ли факториал самой быстрорастущей формулой?

Дан файл, содержащий строки. Если третья строка не является самой длинной или самой короткой, то скопировать в новый
Я сделал половину, но здесь почему то max и min он выводит нули, следовательно он не может считать.

Является ли формулой следующее выражение?
Добрые люди помогите решить пару задачек: 1. Исходя из определения логической.

Является ли данное выражение формулой
Помогите, пожалуйста, установить, является ли данное выражение формулой, а если да, то определить.

Проверить, что выражение является формулой
Ребят подскажите пожалуйста. ∃x∀yA(x,y)&B(x,y) ; от чего оттолкнутся? А&B является.

Решение

Igor, строго обоснования это не даст,но увидеть закономерность можно.

Добавлено через 39 секунд
Зотов_из_ОСА, чем вам не подходит вариант,который я предложил в первом сообщении?

Решение

контекст есть, но я его дословно не помню. Своими словами: самая быстрорастущая функция среди функций имеющих широкое применение.
Гамма функция, двойная экспонента и им подобные применяются при необходимости.
Например зачем обычному студенту вообще знать о существовании таких чисел
, которые даже суперкомпьютер обработать не в состоянии.
Если кто-то считает что я не прав, скажите пожалуйста в каком Универе проходят такие вещи. В ЮФУ до такой степени не заморачиваютя.
GpHUO7uk, вы о такой знаете или вычитали специально для комментария.
Товарищ модератор Catstail ваш пост заставил задуматься и создать новую тему.

Добавлено через 3 часа 17 минут
я подумал и решил ее не создавать. вопрос был относительно факториала и и то в рамках функций учебной программы. Дальнейшее придумывание «самых быстрорастущих функций» считаю неуместным.

Установить, является ли данное выражение формулой
Нужна ваша помощь. Необходимо установить, является ли данное выражение формулой Если да, то.

Является ли данная строка символов пропозициональной формулой?
Задание №1. Написать программу для реализации следующего алгоритма определения является ли данная.

Доказать, что данное выражение является формулой
Пользуясь определением формулы исчисления высказываний проверить является ли данное выражение.

Определить, является ли данная строка символов пропозициональной формулой
РЕБЯТ ПОМОГИТЕ МНЕ ПОЖАЛУЙСТА КТО МОЖЕТ НАПИСАТЬ ПРОГРАММУ.ОЧЕНЬ СРОЧНО НАДО.Я ПРОБОВАЛА НАПИСАТЬ.

Какая функция растет быстрее, экспоненциальная или факториальная?

Какая функция растет быстрее, экспоненциальная (например, 2^n, n^n, e^n и т.д.) или факториальная (n!)? Ps: Я только что где-то прочитал, что n! растет быстрее, чем 2^n.

n! в конечном итоге растет быстрее, чем экспонента с постоянным основанием (2^n и e^n), но n^n растет быстрее, чем n!, поскольку основание растет по мере увеличения n.

Каждый член после первого в n^n больше, поэтому n^n будет расти быстрее.

Что касается других случаев, читайте дальше:

Мы используем формулу Стирлинга и основные манипуляции с логарифмами:

Я хочу показать вам более графический метод очень легко доказать. Мы’ре собирается использовать разделение на график функции, и он будет показывать очень легко нам это.

Позвольте’ы использовать простой и скучный функции отдела, чтобы объяснить свойство деления.

Как увеличивает, оценка этого выражения также увеличивается. А уменьшается б, в оценке этого выражения также уменьшается.

Используя эту идею, можно построить график, основываясь на том, что мы рассчитываем на увеличение и планируете уменьшить, и сделать сравнение, какой растет быстрее.

В нашем случае, мы хотим знать, является ли экспоненциальных функций будет расти быстрее, чем факториалы, или наоборот. У нас есть два случая, постоянной переменной экспонента и факториал переменной, а переменной степени против переменной факториал.

Графики этих инструментов с desmos (никаких связей, он’s просто хороший инструмент), показывает нам это:

График постоянная в переменной степени, против переменной факториал

Хотя изначально кажется, что экспоненциальный выражений увеличивается быстрее, чем она попадает в точку, где она уже не растет так быстро, и вместо того, факториал выражения растет быстрее.

График переменной к переменной степенью, против переменной факториал

Хотя он первоначально, кажется, медленнее, она начинает стремительно расти после ссылки, поэтому можно сделать вывод, что экспоненциальный должна быть возрастающей быстрее, чем факториал.

Что растет быстрее факториал или степенная функция.

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт. Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «. дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось. к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса. » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

среда, 4 июля 2018 г.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Табличка на двери

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

Обозначается вот так: n! То есть,

Рассмотрим не очень понятное с точки зрения определения факториала выражение 0! Так уж в математике договорились, что

Следующие два очень похожих свойства:

Доказываются они элементарно. Прямо по смыслу факториала.)

Во-вторых, с помощью этих формул можно упрощать и считать некоторые хитрые выражения с факториалами. Типа таких.

Как действовать будем? Последовательно перемножать все натуральные числа от 1 до 1999 и от 1 до 2000? Это одуреешь! А вот по свойствам пример решается буквально в одну строчку:

Или такое задание. Упростить:

Снова работаем прямо по свойствам:

n! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n =\prod_ ^n i.

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так :

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, …

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция e^ ).

Свойства

Рекуррентная формула

1 & n = 0,\\ n \cdot (n-1)! & n > 0. \end

Комбинаторная интерпретация

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

Разложение на простые числа

Кратный факториал

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением :

Неполный факториал

Убывающий факториал

Убывающим факториалом называется выражение

n = 7; k = 4, (n − k ) + 1 = 4, n k = 7 6 5 4 = 840.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал

Праймориал или примориал (англ. primorial ) числа n обозначается p n # и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

Последовательность праймориалов (включая > ) начинается так :

Суперфакториалы

См. также

Напишите отзыв о статье «Факториал»

Примечания

Что растет быстрее Факториал или степенная функция?

Факториал по скорости роста обгоняет даже показательную функцию, а любая показательная функция растёт быстрее полинома. Значит, n^2=O(n!).

Какая из функций растёт быстрее N или n2?

растет быстрее, чем 2^n.

Что растет быстрее Факториал или X X?

функция xx растет еще быстрее факториала.

Что такое 5 Факториал?

n	n!
4	24
5	120
6	720
7	5040

Чему равен 1 Факториал?

Определяется она следующим образом: F (0) = F (1) = 1; F (n) = n * F (n-1). По общепринятой договоренности 0! = 1 (факториал нуля равен единице). приблизительно равен 2.28803779534.

Что растет быстрее n или n n?

По поводу первого замечания: n * (ln n) действительно растет быстрее, чем ln n.

Что растет быстрее логарифм и корень?

Сравнивая обе величины, мы заключаем, что вторая из них больше, так как корень растёт быстрее логарифма, и потому корень из логарифма растёт быстрее двойного логарифма.

Что растет быстрее логарифм и степенная?

Показательная функция растет быстрее степенной, а степенная – быстрее логарифмической.

Ещё бы доказательство такое же простое почему 0 в 0-й степени равно 1 🙂 По аналогии 00 = сколько раз «ничего» встречается в «ничего» = тоже лишь 1 раз. Кстати, есть альтернативная точка зрения, при которой принято считать что значение 0 в 0-й степени неопределено.

Как правильно посчитать факториал?

Факториалом числа называют произведение всех натуральных чисел до него включительно. Например, факториал числа 5 равен произведению 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120.

Для чего используется Факториал?

Факториал очень активно используется в различных разделах математики, особенно там, где заходит речь о различных вариантах, перестановках, комбинациях и т. п. Он применяется в комбинаторике, теории чисел, математическом анализе и других областях.

Что такое Факториал определение?

Факториал числа n — это произведение натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n, произносится «эн-факториал». Факториал определен для целых неотрицательных чисел.

Что делает Факториал?

Слово факториал произошло от латинского factor (делающий, производящий). Факториал числа — это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число). … Обозначается факториал восклицательным знаком «!».

Сколько будет 50 Факториал?

В таблице приведены значения факториалов для чисел от 0 до 50.

число	факториал числа
48!	12413915592536072670862289047373375038521486354677760000000000
49!	608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000
50!	30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

Что такое 100 Факториал?

Из сомножителей факториала 100 десять заканчиваются на ноль: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и 100 (заканчивается на два 0). Это дает уже как минимум одиннадцать конечных нулей, которые 100! … Все, кроме последней пары, входят в сотню составляющих факториала 100.