Какое логическое выражение эквивалентно выражению

Какое логическое выражение эквивалентно выражению

Помогите решить пару примеров. И если не сложно объясните принцып решения. Спасибо.
Какое логическое выражение эквивалентно выражению ¬ (¬ AV¬ B) Λ C?
1)(AV¬B) V C
2)A Λ B Λ C
3)(A→¬B) V C
4)¬(AV¬B) V C

Дан фрагмент таблицы истинности функция F.
Какое выражение соответствует F?
A B F
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Выражение (¬ AV¬ B) означает «А ложно либо В ложно». Его результат будет ложным, только если А и В оба истинны: ¬ (¬ AV¬ B)= A ∧ B .
Значит, ¬ (¬ AV¬ B) Λ C ⇒ A Λ B Λ C.

F истинна, пока А ложно либо В ложно: F=(¬AV¬B).
Либо, F ложна только когда А и В оба истинны: F истинна=¬(A ∧ B).
Импликация A→. означает, что достаточно, если А ложно, а в противном случае в силу вступает логика, на которую указывает стрелка.
Значит, F=A→(¬AV¬B)

Эквивалентность — Введение в математическую логику

У современной математики есть собственный формальный язык. С его помощью мы сводим сложные высказывания к формальностям — то есть переводим рассуждения и мысли в плоскость математики. Так мы лучше понимаем мысли других людей, точнее высказываем свои рассуждения и учимся рассуждать логически.

В этом уроке мы продолжим изучать формальный язык логики высказываний. Мы разберем отношения эквивалентности и научимся определять высказывания, которые равнозначны по смыслу. Так мы сможем экономить время и заранее понимать, какие высказывания можно посчитать истинными или ложными без дополнительных рассуждений.

Логическая эквивалентность

Возьмем для примера такое предложение:

Если Вася получит прибавку к зарплате, то он пойдет в театр

С точки зрения логики в этом высказывании есть и такой смысл:

Если Вася не пошел в театр, значит он не получил прибавку к зарплате

Эти высказывания логически эквивалентны — одно можно заменить на другое без потери смысла. В этом и заключается логическая эквивалентность — два выражения считаются эквивалентными, если они имеют одинаковое истинностное значение во всех случаях.

Как эквивалентность помогает доказывать

Основная польза эквивалентности в том, что она помогает доказывать математические результаты. Допустим, мы знаем, что

. Попробуем это доказать.

Можно заменить выражение

на другое эквивалентное выражение

, которое также будет равно

Как видите, значение составной пропозиции не изменилось. Значит, эквивалентность помогла нам доказать первоначальное высказывание —

Как эквивалентность помогает рассуждать

Кроме доказательств, эквивалентность используется и в рассуждениях. Она помогает осмыслить предложение и отнести его к одной из трех категорий в таблице истинности.

Таблица истинности — это разбиение логической функции путем перечисления всех возможных значений, которые может принимать функция. Такая таблица обычно содержит несколько строк и столбцов. В верхней строке представлены логические переменные и комбинации, которые по возрастанию сложности приводят к конечной функции.

В логической функции есть три основные операции:

НЕ (Инверсия или отрицание, обозначается как ¬)

ИЛИ (Дизъюнкция или сложение, обозначается как

И (Конъюнкция или умножение, обозначается как

Значениям функций обычно присваивается логический ноль (ложь) или логическая единица (истина).

Какое логическое выражение эквивалентно выражению

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

1) ¬A Ú B Ú ¬C 2) A Ù ¬B Ù C 3) ¬A Ú ¬B Ú ¬C 4 ) ¬A Ù B Ù ¬C

1) A Ú ¬B 2) ¬A Ú B 3) B Ù ¬A 4) A Ù ¬B

1) (A Ú ¬B) Ú C 2) A Ù B Ù C 3) (A → ¬B) Ú C 4) ¬(A Ú ¬B) Ú C

1) CBE 2) ADD 3) ECE 4) EAD

1) 4325 2) 1432 3) 1241 4) 3452

( K → ¬ M ) Ú (¬ L Ù M Ù K ) Ú ¬N

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

1) 5 2) 2 3) 3 4) 4

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

1) ¬A Ú B Ú ¬C 2)(¬A Ú ¬B) Ù ¬C 3)(¬A Ú ¬B) Ù C 4) ¬A Ù ¬B Ù ¬C

1) A Ú B 2) A Ù B 3) ¬A Ú ¬B 4) ¬A Ù B

1) A Ù B Ù C 2) A Ú B Ú ¬C 3) A Ù (B Ú C) 4) (A Ú ¬B) Ù ¬C

1) 4325 2) 4123 3) 1241 4) 3452

¬N Ú (¬ L Ù M Ù K ) Ú ( K → ¬ M )

1. Забор красный. Здесь забор – объект, а красный описывает его свойство. «красный» (иногда говорят – свойство «быть красным»). Имеется в виду конкретный забор, а не забор вообще! В русском языке свойства часто (но не всегда) выражаются прилагательными.
2. Коля и Петя – друзья. Здесь Коля и Петя – «объекты», а слово друзья описывает отношение между ними. Это отношение симметрично – смысл сказанного не поменяется, если написать «Петя и Коля – друзья». Здесь, как и во всех элементарных высказываниях, имеются в виду конкретные люди.
3. Коля старше, чем Петя. Здесь отношение описывается словами «старше, чем». Это отношение не является симметричным.

a+b = b+a

2. Логические значения, логические связки и логические высказывания

3. Свойства логических выражений и таблиц истинности.

4. Эквивалентные преобразования логических выражений

5. Высказывания о множествах

6. Примеры эквивалентных преобразований

1)A \/ B 2)A /\ B 3) ¬ A \/ ¬ B 4) ¬ A /\ B

¬А /\ ¬(¬ B ) = ¬ A /\ B

¬ B

А \/¬ B

¬ (А \/ ¬ B )

A \/ B

A /\ B

¬ A \/ ¬ B

Логическое равенство (эквивалентность)

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…тогда и только тогда, когда …».

Логическая операция эквивалентности «А тогда и только тогда, когда В» обозначается А≡В, А

В и выражается с помощью логической функции F₁₀, которая задаётся соответствующей таблицей истинности (таблица 16).

Таблица 16 – Таблица истинности логической функции эквивалентности

Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Рассмотрим, например, два высказывания: А = «Компьютер может производить вычисления» и В = «Компьютер включён».

Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, истинно, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны:

«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включён».

«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включён».

Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, ложно, когда одно высказывание истинно, а другое — ложно:

«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включён».

«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включён».

Логические законы и правила преобразования логических выражений

Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления. В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют выполнять эквивалентные преобразования логических выражений.

Для логических величин обычно используются три операции:

Конъюнкция – логическое умножение (И) – and, &, Ʌ.

Дизъюнкция – логическое сложение (ИЛИ) – or, |, v.

Логическое отрицание (НЕ) – not, ¬.

Всякое высказывание тождественно самому себе:

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание А истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно:

А & Ā=0

Закон исключённого третьего

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным – третьего не дано. Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина»:

Закон двойного отрицания

Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание:

=А.

Законы де Моргана (общей инверсии)

= Ā & ;

= Ā .

Важное значение для выполнения преобразований логических выражений имеют законы алгебраических преобразований. Многие из них имеют аналоги в обычной алгебре.

Закон коммутативности (переместительный)

В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения:

Логическое умножение А & В = В & А.

Логическое сложение A v В= A v В.

Закон ассоциативности (сочетательный)

Если в логическом выражении используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять:

Логическое умножение Логическое сложение

(А & B) & С =A & (B & С). (A v В) v С = A v (B v С).

Закон дистрибутивности (распределительный)

В отличие от обычной алгебры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые:

Дистрибутивность умножения относительно сложения

Дистрибутивность сложения относительно умножения

ab+ ас = а(b+с) — в алгебре

(А & В) v (A & С) =А & (B v С)

(A v В) & (A v С) = A v (B & С)

Рассмотрим в качестве примера применения законов логики преобразование логического выражения. Пусть нам необходимо упростить логическое выражение (А & В) v (А & ).

Воспользуемся законом дистрибутивности и вынесем за скобки А:

(А & В) v (А & ) = А & (B v ).

По закону исключённого третьего В v =1, следовательно:

А&(В v )=А & 1=А.