ЛЕКЦИЯ 1
Двойные интегралы. Определение двойного интеграла и его свойства. Повторные интегралы. Сведение двойных интегралов к повторным. Расстановка пределов интегрирования. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.
1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.1. Определение двойного интеграла
Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. В этом случае вместо отрезка интегрирования будет присутствовать какая-то плоская фигура.
Пусть D – некоторая замкнутая ограниченная область, а f(x,y) – произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области. Будем предполагать, что границы области D состоят из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y=f(x) или x=g(y), где f(x) и g(y) – непрерывные функции.
азобьем область D произвольным образом на n частей. Площадь i-го участка обозначим символом si. На каждом участке произвольно выберем какую-либо точку Pi, и пусть она в какой-либо фиксированной декартовой системе имеет координаты (xi,yi). Составим интегральную сумму для функции f(x,y) по области D, для этого найдем значения функции во всех точках Pi, умножим их на площади соответствующих участков si и просуммируем все полученные результаты:
. (1.1)
Назовем диаметром diam(G) области G наибольшее расстояние между граничными точками этой области.
Двойным интегралом функции f(x,y) по области D называется предел, к которому стремится последовательность интегральных сумм (1.1) при неограниченном увеличении числа разбиений n (при этом 
). Это записывают следующим образом
. (1.2)
Заметим, что, вообще говоря, интегральная сумма для заданной функции и заданной области интегрирования зависит от способа разбиения области D и выбора точек Pi. Однако если двойной интеграл существует, то это означает, что предел соответствующих интегральных сумм уже не зависит от указанных факторов. Для того чтобы двойной интеграл существовал (или, как говорят, чтобы функция f(x,y) была интегрируемой в области D), достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной в заданной области интегрирования.
усть функция f(x,y) интегрируема в области D. Поскольку предел соответствующих интегральных сумм для таких функций не зависит от способа разбиения области интегрирования, то разбиение можно производить при помощи вертикальных и горизонтальных линий. Тогда большинство участков области D будет иметь прямоугольный вид, площадь которых равна si=xiyi. Поэтому дифференциал площади можно записать в виде ds=dxdy. Следовательно, в декартовой системе координат двойные интегралы можно записывать в виде
. (1.3)
Замечание. Если подынтегральная функция f(x,y)1, то двойной интеграл будет равен площади области интегрирования:
. (1.4)
Отметим, что двойные интегралы обладают такими же свойствами, что и определенные интегралы. Отметим некоторые из них.
Свойства двойных интегралов.
1 0 . Линейное свойство. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
;
и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
.
2 0 . Аддитивное свойство. Если область интегрирования D разбить на две части, то двойной интеграл будет равен сумме интегралов по каждой этой части:
.
3 0 . Теорема о среднем. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то в этой области найдется такая точка (), что:
.
Далее возникает вопрос: как вычисляются двойные интегралы? Его можно вычислить приближенно, с этой целью это разработаны эффективные методы составления соответствующих интегральных сумм, которые затем вычисляются численно при помощи ЭВМ. При аналитическом вычислении двойных интегралов их сводят к двум определенным интегралам.
1.2. Повторные интегралы
Повторными интегралами называются интегралы вида
. (1.5)
В этом выражении сначала вычисляется внутренний интеграл, т.е. производится сначала интегрирование по переменной y (при этом переменная x считается постоянной величиной). В результате интегрирования по y получится некоторая функция по x:
.
Затем полученную функцию интегрируют по x:
.
Пример 1.1. Вычислить интегралы:
а) 
, б) 
.
Решение. а) Произведем интегрирование по y, считая, что переменная x=const. После этого вычисляем интеграл по x:
.
б) Так как во внутреннем интеграле интегрирование производится по переменной x, то y 3 можно вынести во внешний интеграл как постоянный множитель. Поскольку y 2 во внутреннем интеграле считается постоянной величиной, то этот интеграл будет табличным. Производя последовательно интегрирование по y и x, получаем
.
Между двойными и повторными интегралами существует взаимосвязь, но сначала рассмотрим простые и сложные области. Область называется простой в каком-либо направлении, если любая прямая, проведенная в этом направлении, пересекает границу области не более чем в двух точках. В декартовой системе координат обычно рассматривают направления вдоль осей Ox и Oy. Если область является простой в обоих направлениях, то говорят коротко – простая область, без выделения направления. Если область не является простой, то говорят, что она сложная.
Рис. 1.4
Теорема. Если область интегрирования D – простая в направлении оси Oy (см. рис.1.4а), то двойной интеграл можно записать в виде повторного следующим образом:
; (1.6)
если область интегрирования D – простая в направлении оси Ox (см. рис.1.4б), то двойной интеграл можно записать в виде повторного следующим образом:
. (1.7)
простая область
простая область в направлении Oy
простая область в направлении Ox
сложная область
сли область интегрирования является правильной в обоих направлениях, то можно произвольно выбирать вид повторного интеграла, в зависимости от простоты интегрирования.
1.3. РАССТАНОВКА ПРЕДЕЛОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1.3.1. Прямоугольная область интегрирования
Рис. 1.5
ри сведении двойных интегралов к повторным, основная трудность возникает при расстановке пределов во внутренних интегралах. Наиболее просто это сделать для прямоугольных областей (см. рис. 1.5).
Пример 1.2. Вычислить двойной интеграл
.
Решение. Запишем двойной интеграл в виде повторного:
.
1.3.2. Произвольная область интегрирования
Для того, чтобы перейти от двойного интеграла к повторному следует:
построить область интегрирования;
расставить пределы в интегралах, при этом следует помнить, что пределы внешнего интеграла должны быть постоянными величинами (т.е. числами) независимо от того, по какой переменной вычисляется внешний интеграл.
Пример 1.3. Расставить пределы интегрирования в соответствующих повторных интегралах для двойного интеграла
, если а) 
б) 
Рис. 1.6
ешение. а) Изобразим область интегрирования D (см. рис.1.6). Пусть интегрирование во внешнем интеграле производится по переменной x, а во внутреннем – по y. Расстановку пределов всегда нужно начинать с внешнего интеграла, в данном случае с переменной x. Из рисунка видно, что x изменяется от 0 до 1, при этом значения переменной y будут изменяться от значений на прямой y=x до значений на прямой y=2x. Таким образом, получаем
.
Пусть теперь интегрирование во внешнем интеграле производится по y, а во внутреннем – по x. В этом случае значения y будут изменяться от 0 до 2. Однако тогда верхняя граница изменений значений переменной x будет состоять из двух участков x=y/2 и x=1. Это означает, что область интегрирования нужно разбить на две части прямой y=1. Тогда в первой области y изменяется от 0 до 1, а x от прямой x=y/2 до прямой x=y. Во второй области y изменяется от 1 до 2, а x – от прямой x=y/2 до прямой x=1. В результате получим
.
) Построим область интегрирования D (см. рис.1.7). Пусть во внешнем интеграле интегрирование производится по x, а во внутреннем – по y. В этом случае при изменении x от –1 до 1 изменения переменной y сверху будут ограничены двумя линиями: окружностью и прямой. На отрезке [–1;0] y изменяется от y=0 до 
; на отрезке [0;1] переменная y изменяется от y=0 до y=1–x. Таким образом,
.
Пусть теперь во внешнем интеграле интегрирование производится по y, а во внутреннем – по x. В этом случае y будет изменяться от 0 до 1, а переменная x – от дуги окружности 
до прямой x=1–y. В результате получим
.
Данные примеры показывают, как важно правильно выбирать порядок интегрирования.
Пример 1.4. Изменить порядок интегрирования
а) 
; б) 
.
Рис. 1.8
ешение. а) Построим область интегрирования. На отрезке [0;1] для x переменная y изменяется от прямой y=0 до прямой y=x. В результате получается следующая область интегрирования (см. рис.1.8). На основании построенного рисунка, расставляем пределы интегрирования
.
б) Построим область интегрирования. На отрезке [0;9/16] для y переменная x изменяется от прямой x=y до параболы 
; на отрезке [9/16;3/4] – от прямой x=y до прямой x=3/4. В результате получается следующая область интегрирования (см. рис.1.9). На основании построенного рисунка, расставляем пределы интегрирования,
.
Изменить порядок интегрирования
Изменить порядок интегрирования в интеграле: 
Решение: В данном интеграле область интегрирования D — правильная область первого типа (рис. 10). По теореме 1 интеграл / записывается в виде двойного интеграла 
. Равенство 
означает, что точка D 
лежит на окружности 
Если 
то точка 
лежит на окружности 
Две эти окружности пересекаются в точках, для которых 
или при 
Подставляя это значение у в уравнение 
получаем 
Для обоих интегралов переменная х принимает только отрицательные значения. Значит для точек 
лежащих на первой окружности, справедливо равенство 
а для точек второй окружности 
Теперь, если рассмотреть область интегрирования D как правильную область второго типа, то согласно теореме 2 интеграл / записывается в виде
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Пример 2.
Изменить порядок интегрирования в повторном» интеграле.
Решение:
Область интегрирования D ограничена линиями 
Так как правый участок границы области D задан двумя линиями, то прямая у = 1 разбивает ее наобласти 
В результате получаем 
Пример 3.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
написать уравнения кривых, ограничивающих область ингегрирования, построить эту область.
Решение:
Образец выполнения задания в Mathcad:
Зададим подынтегральную функцию и определим границы области интегрирования по пределам повторного интеграла:
Найдем точки пересечения графиков функций: это точки с координатами 
Изменим порядок интегрирования. Для этого надо выразить уравнения границ в виде: 
Область интегрирования разбиваегся на две части, левая и правая границы которых однозначно определены. Исходный интеграл записывается в виде суммы двух интегралов. 
Указание. Для того, чтобы задать уравнения границ в виде: 
или 
надо определить границу в виде: 
и записать функцию 
Затем в меню Символика выбрать команду Разрешить относительно переменной, выделив сначала у или х в зависимости от того, какое уравнение хотим получить. Функции 
— есть уравнения границ в другом виде.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Рассмотрим двойной интеграл
в прямоугольных координатах 
Предположим, что переменные х и у являются функциями двух переменных 
и эти функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка по 
в некоторой замкнутой области G плоскости 
. Предположим также, что эти функции взаимно однозначно и непрерывно отображают область G на область D.
Тогда имеет место равенство 
называется якобианом преобразования G в D (предполагается, что определитель J, названный в честь немецкого математика Якоби, всюду в G отличен от нуля). Геометрически |J(u, v)\dudv выражает элемент площади в области G, а 
— коэффициент изменения элемента площади G при преобразовании в элемент площади D.
Координаты 
называются криволинейными координатами точки 
, поскольку уравнения 
представляют некоторые линии, вообще говоря, кривые, в области G.
Интеграл 
называется двойным интегралом в криволинейных координатах.
Простейшим и важнейшим частным случаем криволинейных координат являются полярные координаты 
Они связаны с прямоугольными координатами формулами 
Якобиан преобразования в этом случае равен
a 
— элемент площади в полярных координатах.
При этом имеет место формула замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам 
К полярным координатам особенно удобно переходить в тех случаях, когда область интегрирования круг или часть круга.
Расстановка пределов и вычисление двойного интеграла в криволинейных координатах выполняется аналогично случаю прямоугольных координат.
Как вычислить двойной интеграл?
по области D, ограниченной прямыми 
Решение:
Область D — параллелограмм АВСК (рис. 19 а). Хотя подынтегральная функция и область интегрирования просты, вычисление данного интеграла в прямоугольных координатах достаточно громоздко (убедитесь самостоятельно). Заметив, что уравнения прямых можно записать в виде 
перейдем к новым координатам, для чего обозначим 
Имеем 
В новой системе координат 
область G ограничена прямыми 
т.е. представляет собой прямоугольник (рис. 19 6), а подынтегральная функция равна
Отметим, что первая система формул, написанная выше, преобразует параллелограмм АВС К в прямоугольник 
вторая система — наоборот, преобразует прямоугольник 
в параллелограмм АВСК. При этом видно, что направление обхода вершин одной фигуры соответствует противоположному направлению обхода вершин другой. Именно поэтому 
Переходим к вычислениям:
Область D изображена на рис. 20 а. Заметим, что расставить пределы интегрирования в исходном интеграле не просто, однако подходящая замена переменных позволяет свести этот интеграл к интегралу по прямоугольнику.
Введем новые переменные при помощи равенств 
Выразим отсюда переменные 
через 
Находим якобиан полученного преобразования
откуда, с учетом того, что 
на области D, а значит, 
имеем 
Таким образом, исходный интеграл в плоскости 
имеет вид
Граница области G описывается линиями
(так как одна из формул преобразования имеет вид
то линии
в плоскости
соответствует линия
в плоскости
),
(рис. 20 6).
Поэтому область G имеет вид 
(т. е. представляет собой прямоугольник), а преобразованный интеграл вычисляется намного проще: 
Вычислить интеграл 
Строим круг 
радиуса а с центром в точке (а, 0) (рис. 21). Подынтегральная функция четная по переменной
а область интегрирования симметрична относительно оси 
. Поэтому можно вычислить интеграл только по верхнему полукругу и результат удвоить: 
Переходим к полярным координатам 
Для удобства расстановки пределов в полярных координатах совместим полярную систему с прямоугольной так, как это показано на рис. 21. Тогда полукруг D/2 в полярных координатах задается системой неравенств 
подынтегральная функция примет вид 
Таким образом, 
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Как расставлять пределы интегрирования в двойном интеграле
Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.
Контакты
Администратор, решение задач
Роман
Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym
Решение задач
Андрей
facebook:
dniprovets25
Вычисление двойных интегралов: теория и примеры
Двойные интегралы – это обобщение понятия определённого интеграла для функции двух переменных, заданной как z = f(x, y) .
Записывается двойной интеграл так:
Здесь D – плоская фигура, ограниченная линиями, выражения которых (равенства) даны в задании вычисления двойного интеграла. Слева и справа – равенствами, в которых слева переменная x , а сверху и снизу – равенствами, в которых слева переменная y . Это место и далее – одно из важнейших для понимания техники вычисления двойного интеграла.
Вычислить двойной интеграл — значит найти число, равное площади упомянутой фигуры D .
Пока мы не касаемся определения двойного интеграла, а будем учиться его вычислять. Понять, что такое двойной интеграл, проще, когда решены несколько задач на его вычисление, поэтому определение двойного интеграла вы найдёте в конце этого урока. Чуть забегая вперёд, можно лишь отметить, что определение двойного интеграла также связано с упоминавшейся фигурой D .
В случае если фигура D представляет собой прямоугольник, все линии, ограничивающие её – это прямые линии. Если фигура D — криволинейна, то слева и справа она ограничена прямыми, а сверху и снизу – кривыми линиями, заданными равенствами, которые даны в задании. Бывают и случаи, когда фигура D – треугольник, но о таких случаях чуть дальше.
Для вычисления двойного интеграла нужно, таким образом, рассортировать линии, огранивающие фигуру D , которая имеет строгое название – область интегрирования. Рассортировать на левые и правые и на верхние и нижние. Это потребуется при сведении двойного интеграла к повторному интегралу – методе вычисления двойного интеграла.
Случай прямоугольной области:
Случай криволинейной области:
А это уже решение знакомых нам определённых интегралов, в которых заданы верхний и нижний пределы интегрирования. Выражения, задающие линии, которые ограничивают фигуру D , будут пределами интегрирования для обычных определённых интегралов, к которым мы уже подходим.
Сведение двойного интеграла к повторному
Случай прямоугольной области
Пусть для такой функции существует двойной интеграл
Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид
Здесь пределы интегрирования a, b, c, d — числа, о которых только что упоминалось.
Сначала нужно вычислять внутренний (правый) определённый интеграл, затем — внешний (левый) определённый интеграл.
Можно и поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид
Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала — внутренний (правый) интеграл, затем — внешний (левый).
Пример 1. Вычислить двойной интеграл
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
На чертеже строим область интегрирования:
Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая игрек константой. Пользуемся формулой 7 из таблицы интегралов. Получаем.
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого), пользуясь для каждого слагаемого той же формулой 7:
Результат и будет решением данного двойного интеграла.
Пример 2. Вычислить двойной интеграл
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
На чертеже строим область интегрирования:
Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Пользуясь формулой 9 из таблицы неопределенных интегралов, получаем
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого). Пользуемся формулой 10 из таблицы неопределенных интегралов и формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:
Результат и будет решением данного двойного интеграла.
Случай криволинейной или треугольной области
Пусть снова дана функция двух переменных f(x, y) , а ограничения для D : уже несколько другого вида:
Эта запись означает, что фигуру D слева и справа ограничивают, как и в случае прямолинейной области — прямые x = a и x = b , но снизу и сверху — кривые, которые заданы уравнениями и . Иными словами, и — функции.
Пусть для такой функции также существует двойной интеграл
Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид
Здесь пределы интегрирования a и b — числа, а и — функции. В случае треугольной области одна из функций или — это уравнение прямой линии. Такой случай будет разобран в примере 3.
Как и в случае прямолинейной области, сначала нужно вычислять правый определённый интеграл, затем — левый определённый интеграл.
Точно так же можно поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид
Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала — внутренний (правый) интеграл, затем — внешний (левый).
Пример 3. Вычислить двойной интеграл
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
На чертеже строим область интегрирования и видим, что она треугольная:
Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Пользуясь формулами 6 и 7 из таблицы неопределенных интегралов, получаем
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого). Сначала представляем этот интеграл в виде суммы интегралов:
Вычисляем второе слагаемое, пользуясь все той же формулой:
Вычисляем третье слагаемое, также по формуле 7:
Получаем сумму, которая и будет решением данного двойного интеграла:
Пример 4. Вычислить двойной интеграл
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
На чертеже строим область интегрирования:
Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.
Теперь, пользуясь формулой 7 из таблицы неопределенных интегралов, вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
Результат и будет решением данного двойного интеграла.
Вычислить двойной интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 5. Вычислить двойной интеграл
если область D ограничена прямыми
Пример 6. Вычислить двойной интеграл
если область D ограничена прямыми
x-правильная и неправильная, y-правильная и неправильная области интегрирования
Случается, область интегрирования двойного интеграла ограничена такими линиями, что возникает необходимость разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно. Это случаи, когда:
1) область интегрирования представляет собой фигуру, имеющую в виде нижней или верхней (левой или правой) границы две или более двух прямых или кривых линий;
2) область интегрирования представляет собой фигуру, границу которой прямые пересекают более чем в двух точках.
Если вышесказанное относится к левой или правой границе области интегрирования, то есть ограничениях, заданных линиями, выраженными через x, то область интегрирования называется x-неправильной. Если же прямая y = y 0 пересекает соответствующую границу лишь в одной точке и если границей служит лишь одна прямая или кривая, то область интегрирования называется x-правильной
Аналогично, если границу, заданную линиями, выраженными через y, прямая x = x 0 пересекает более чем в одной точке или если границей служат более одной прямой или кривой, то область интегрирования называется y-неправильной. Вывести теперь признаки y-правильной области, надо полагать, совсем просто.
До сих пор мы рассматривали примеры с x-неправильными и y-правильными областями интегрирования. Теперь рассмотрим случаи, когда условие правильности нарушается.
Пример 7. Вычислить двойной интеграл , область интегрирования которого ограничена линиями y = x , xy = 1 , y = 2 .
Решение. Область интегрирования является y-неправильной, так как её нижнюю границу нельзя задать одной линией y = y(x) . Как видно на рисунке выше, нижняя граница складывается из y = x (тёмно-бордовая) и xy = 1 (зелёная). Поэтому прямой x = 1 (чёрная) можем разбить область интегрирования на две части — и .
Вычисляется этот двойной интеграл так:
Смена порядка интегрирования
Как уже отмечалось выше, после приведения двойного интеграла к повторному интегралу, можно поменять переменные x и y ролями, или, говоря иначе, поменять порядок интегрирования.
Смена порядка интегрирования образно может быть описана следующими словами О’Генри: «Так ведёт себя обитатель джунглей — зверь, попав в клетку, и так ведёт себя обитатель клетки — человек, заблудившись в джунглях сомнений». Результат, так же по О’Генри один и тот же: «Чалмерс разорвал письмо на тысячу мельчайших клочков и принялся терзать свой дорогой ковёр, расхаживая по нему взад и вперёд». (О’Генри. Шехерезада с Мэдисон-сквера.)
Тогда, если левый интеграл у нас по переменной x, а правый — по y, то после смены порядка интегрирования всё будет наоборот. Тогда пределы интегрирования для «нового» игрека нужно «позаимствовать» у «старого» икса, а пределы интегрирования для «нового» икса получить в виде обратной функции, разрешив относительно икса уравнение, задававшее предел для игрека.
Пример 8. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла
Решение. После смены порядка интегрирования интеграл по игреку станет левым, а интеграл по иксу — правым. Пределы интегрирования для «нового» игрека позаимствуем у «старого» икса, то есть нижний предел равен нулю, а верхний — единице. Пределы интегрирования для «старого» игрека заданы уравнениями и . Разрешив эти уравнения относительно икса, получим новые пределы интегрирования для икса:
(нижний) и (верхний).
Таким образом, после смены порядка интегрирования повторный интеграл запишется так:
После смены порядка интегрирования в двойном интеграле нередко область интегрирования превращается в y-неправильную или x-неправильную (см. предыдущий параграф). Тогда требуется разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно.
Поскольку разбиение области интегрирования на части представляет определённые трудности для многих студентов, то не ограничимся примером, приведённым в предыдущем параграфе, а разберём ещё пару примеров.
Пример 9. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла
Решение. Итак, область интегрирования данного повторного интеграла ограничена прямыми y = 1 , y = 3 , x = 0 , x = 2y .
При интегрировании в другом порядке нижняя граница области состоит из двух прямых: AB и BC , которые заданы уравнениями y = 1 и y = x/2 , что видно на рисунке ниже.
Выход из такой неопределённости состоит в разбиении области интегрирования на две части. Делить область интегрирования будет прямая BМ . Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме двух интегралов:
Естественно, таким же будет решение двойного интеграла, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.
Пример 10. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла
Решение. Итак, область интегрирования повторного интеграла ограничена прямыми x = 0 , x = 2 и кривыми и .
Как видно на рисунке ниже, прямая, параллельная оси 0x , будет пересекать нижнюю границу области интегрирования более чем в двух точках.
Поэтому разобьём область интегрирования на три части прямыми, которые на рисунке начерчены чёрным. Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Пределы для трёх новых областей интегрирования будут следующими.
Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме трёх интегралов:
Той же сумме трёх интегралов будет равен и двойной интеграл, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.
И всё же обстоятельства непреодолимой силы нередко мешают студентам уже на предыдущем шаге — расстановке пределов интегрирования. Тревога и смятение не лишены некоторого основания: если для разбиения области интегрирования на части обычно достаточно приглядеться к чертежу, а для решения повторного интеграла — таблицы интегралов, то в расстановке пределов интегрирования нужен некоторый опыт тренировок. Пробежим пример, в котором остановимся только на расстановке пределов интегрирования и — почти на автомате — на разбиении области и опустим само решение.
Пример 11. Найти пределы интегрирования двойного интеграла, если область интегрирования D задана следующим образом:
Решение. В явном виде (через x и y «без примесей») линии, ограничивающие область интегрирования, не заданы. Так как для икса ими чаще всего оказываются прямые, касающиеся в одной точке верхней и нижней границ, выраженных через игрек, то пойдём именно по этому пути. Тем более, что при смене порядка интегирования мы получим область интегрирования с такой же площадью. Разрешим неравенства относительно игрека и получим:
Строим полученные линии на чертёже. Пределами интегрирования по иксу действительно служат линии x = 0 и x = 2 . Но область интегрирования оказалась y-неправильной, так как её верхнюю границу нельзя задать одной линией y = y(x) .
Поэтому разобьём область интегрирования на две части при помощи прямой x = 1 (на чертеже — чёрного цвета).
Теперь данный двойной интеграл можем записать как сумму двух повторных интегралов с правильно расставленными пределами интегрирования:
Вычисление площади и объёма с помощью двойных интегралов
В этом параграфе даны примеры, в которых двойной интеграл равен отрицательному числу. Но, как отмечалось в теоретической справке в начале урока, площадь области интегрирования равна самому двойному интегралу. А если двойной интеграл — отрицательное число, то площадь равна его модулю.
Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла имеет более универсальный характер, чем вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла. С помощью двойного интеграла можно вычислять площади не только криволинейной трапеции, но и фигур, расположенных произвольно по отношению к к координатным осям.
Пример 12. Вычислить площадь области, ограниченной линиями y² = x + 1 и x + y = 1 .
Решение. Область интегрирования представляет собой фигуру, ограниченную слева параболой y² = x + 1 , а справа прямой y = 1 — x . (рисунок ниже).
Решая как систему уравнения этих линий, получаем точки их пересечения: . Ординаты этих точек — — 2 и 1 будут соответственно нижним и верхним пределами интегрирования по игреку. Итак, площадь фигуры найдём как двойной интеграл, сведённый к повторному:
Вычисляем внутренний (правый) интеграл:
Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
Как видим, решение двойного интеграла — отрицательное число. За площадь данной плоской фигуры принимается модуль этого числа, то есть 4/9.
Объём криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью , снизу плоскостью z = 0 и с боковых сторон цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси 0z , а направляющей служит контур области, вычисляется также по формуле двойного интеграла. То есть, с помощью двойного интеграла можно вычислять объёмы тел.
Пример 13. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями x = 0 , y = 0 , z = 0 и x + y + z = 1 (рисунок ниже).
Расставляя пределы интегрирования, получаем следующий повторный интеграл:
Вычисляем внутренний (правый) интеграл:
Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
Вновь видим, что решение двойного интеграла — отрицательное число. За объём данного тела принимается модуль этого числа, то есть 1/6.
Так что же такое двойной интеграл?
Мы уже знаем, что представляет собой область D. Пусть z = f(x, y) — некоторая функция двух переменных, определённая и ограниченная в этой области. Разобъём область D произвольно на n частей, не имеющих общих точек, с площадями . В каждой из этих частей выберем произвольную точку и составим сумму
которую назовём интегральной суммой. Диаметром области D условимся называть наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Учитывается также наибольший из диаметров частичных областей.
Определение. Если интегральная сумма при неограниченном возрастании числа n разбиений области D и стремлении наибольшего из диаметров частичных областей к нулю имеет предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.
Если областью интегрирования является окружность или часть окружности, то двойной интеграл проще вычислить в полярных координатах. Обобщением понятия двойного интеграла для функции трёх переменных является тройной интеграл.