Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника сколько существует треугольников

Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника сколько существует треугольников

Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек).
Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

Решение

Треугольник однозначно определяется тремя своими вершинами. Из двадцати точек три можно выбрать = 1140 способами. Учитывая, что три точки, лежащие на одной стороне десятиугольника, не образуют треугольника, получим: 1140 – 10 = 1130 треугольников.

Помогите решить задачи в контрольной работе

1) Из колоды в 36 карт вытаскивают три карты. Какова вероятность того, что они все тузы?
2) Сколько существует треугольников, вершины которых являются вершинами данного выпуклого 10-угольника?

Общее число случаев n=(С из 36 по 3)=36•35•34/6=7140.
Благоприятное число случаев – три из четырёх –
m=(С из 4 по 3)=4.
Тогда искомая вероятность будет равна Р=m/n=4/7140≈0,0006.

Или так.
1-я туз р1=4/36;
2-я туз р2=3/35;
3-я туз р3=2/34;
Р=р1•р2•р3=4•3•2/(36•35•34)≈0,0006

Число сочетаний из 10 элементов по 3. 10!/(7!*3!)=10*9*8/(3*2*1)=120 треугольников.

Сколько треугольников можно построить,если в качестве их вершин использовать вершины правильного десятиугольник?

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

12. A lot of schools ________ every year in Moscow.

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

D. are being built

. My sister was translating the article when I ____ the room.

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

A. had come into

C. am coming into

16. It ____ since early morning.

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

D. has been raining

. No letters again. ____ has written to me for a month.

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

2. I am really angry _____ you.

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

14. If he ____ without her, she will never speak to him again.

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

0. You look much ____ today.

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

8. What is the ____ important invention in the twentieth century?

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

6. ____ wasn’t easy to find your house.

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

15. What are you laughing ____?

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

I’m afraid he ____ five minutes ago.

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

7. The news he told us ____ interesting.

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

18. ____ you do me a favour?

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

4. I’ll be on vacation ____ next week.

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

I’d like to ask you ____ questions.

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

This bank of the river isn’t ____ that one.

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

D. as beautiful as

A. more beautiful

. My father has lived in Japan ____ five years.

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

. Can you tell ____ not to be so rude?

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

I’ll call you as soon as he ____.

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

____ beef is a kind of ____ meat.

Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:

1. В треугольнике ABC AB > BC > АС. Найдите <A, B, C, если известно, что один из углов треугольника равен 120°, а другой 40°.

2. В треугольнике ABC угол A равен 50°, а угол В в 12 раз меньше угла С. Найдите углы В и С.

3. В треугольнике ABC B угол B равен 35°, CD угол C равен 90°, а Найдите углы треугольника ACD.

4. *Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 12 см. Найдите стороны треугольника.

Самостоятельное решение задач

а) Сколько существует треугольников, вершины которых являются вершинами данного выпуклого шестиугольника?

б) Сколькими способами можно построить замкнутую ломаную, вершинами которой являются все вершины правильного шестиугольника (ломаная может быть самопересекающейся)?

б). 6!/12 = способов. (вершины можно обходить в любом порядке, но начинать можно с любой из 6 вершин в любом из 2 направлений).

Докажем геометрическим путем формулу

где, 0 ? s ? k, 0 ? s ? n, рассмотрев разбиение множества всех путей из А(0;0) в M(k, n) на классы в соответствии с тем, через какую точку прямой DE (где D(k-s;n), E(k; n-s)) они проходят.

За один шаг точка движется на единицу по горизонтали или по вертикали. Тогда из А(0;0) до М(k;n), необходимо сделать n+k шагов, при чем из них надо выбрать n шагов по вертикали. Следовательно, всего путей .

При этом каждый такой путь ровно в одной точке пересечет DE, следовательно все множество из путей можно разбить на классы (непересекающиеся подмножества) в соответствии с тем, через каждую точку DE проходит путь.

Найдем количество путей в каждом классе, т.е. для любых XЄ DE, Х имеет координаты X(k-s+m; n-m) где m=0;1;…..;s. Из точки А(0;0) до X(k-s+m; n-m) (k-s+m)+(n-m)=n+k-s шагов из них какие-то n-m по вертикали, т.е. всего от А до X путей.

Из точки X (k-s+m; n-m) до M(k;n) k-(k-s+m)+n-(n-m)= S шагов, из них какие-то m по вертикали, т.е. всего от X до M путей.

Тогда от А до M путей через Х: ?

Монету бросают 2n раз. Докажите, что число вариантов, при которых герб ни в один момент не выпал чаще решки, равно

Пусть m — число выпавших гербов, тогда k = 2n-m — число решек. В любой момент гербов выпадало меньше, чем решек, следовательно, в частности после 2n подбрасываний: m ? k = 2n — m, следовательно m ? n

Далее, мы в условиях задачи об очереди в кассу: m — гербы — «рубли»,

k — решки — «полтинники».

Выпавших гербов не больше решек <=> очередь идет без задержки.

при m=0 = 0 = 0 = 0

только 1 вариант —

— коэффициент при x n :

Автобусная сеть города устроена так. что:

1) с любой остановки можно попасть на любую другую бед пересадки;

2) для любой пары маршрутов найдется и притом единственная остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой;

3) на каждом маршруте ровно п остановок. Сколько автобусных маршрутов в городе?

В городе один маршрут, соединяющий все n остановок. Выполнены требования условия задачи: 1) и 3) — очевидно, 2) — по принципу «все черти зеленые».

В городе более 1 маршрута. Тогда из условий 1) и 2) задачи следует, что для любой остановки существует маршрут, не содержащий ее.

Доказательство: А — произвольная остановка.

] A Є m (А- остановка на маршруте m)

mґ? m (более 1 маршрута)

А mґ — все доказано, т.е. нашелся маршрут, не содержащий А.

B Є mґ: В ? A не бывает маршрутов из одной остановки.

По условию 1): mґґ, соединяющий В и С. По условию 2): А mґґ, иначе m и mґґ имели бы 2 общие остановки А и С.

А mґґ нашелся маршрут, не содержащий А¦.

Из условий задачи следует, что через каждую остановку проходит ровно n маршрутов.

Доказательство: ]B — произвольная остановка. m: B m (доказано выше)

По условию 1) m_k — маршрут, соединяющий B и A_k, где k 1,2,…, n.

По условию 2) a) такой маршрут m_k — единственный, т.к., иначе m_k и m?_k имеют 2 общие остановки В и A_k.

б). при k?l m_k?m_l, т.к. иначе m_k=m_l=mґ и m имеют 2 общие остановки А_k и A_l

в). Любой маршрут, проходящий через B, должен иметь общую остановку А_k с маршрутом m, т.е. совпадает с одним из m_k.

Таким образом, m₁,m₂,…. m_n — все различные маршруты через B¦.

Считаем количество маршрутов.

m — какой-либо маршрут.

Выше доказано, что через каждую А_к проходит n маршрутов, т.е. (n-1) без учета маршрута m.

Из условия 2) любой маршрут, отличный от m, проходит ровно через одну А_к, т.е. все множество маршрутов состоит из m и n непересекающихся классов по (n-1) маршруту.

Общее количество маршрутов n(n-1)+1

В городе насчитывается 57 автобусных маршрутов. Известно, что:

1) с любой остановки можно без пересадки попасть на любую другую;

2) для любой пары маршрутов найдется, и притом только одна, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов па другой:

3) на каждом маршруте не менее трех остановок. Сколько остановок имеет каждый из 57 маршрутов?

Пусть m — один из маршрутов — имеет n остановок. Тогда любой другой маршрут mґ тоже имеет n остановок.

Доказательство: по условию 2). m и mґ персекаются в единственной остановке A.

С Є m: С ? А не бывает маршрутов

из одной остановки

По условию 1). mґґ- маршрут, соединяющий С и D, а по условию 3). mґґ имеет хотя бы одну остановку B отличную от С и D.

B m, B mґ, т.к. иначе mґґимел бы с m и mґ более одной общей остановки.

Применим рассуждения решения задачи №4 (второго доказательства ). Следовательно m₁,…,m_n — все различные маршруты через B.

Тогда по условию 2).:

по условию 2).:k ? l => Bk ? Bl, иначе mk и ml имели бы 2 общие остановки: B и Bk=Bl

по условию 1).: любая остановка mґ совпадает с одной из B_k, т.к. любая остановка mґ может быть соединена маршрутом с B, а через B проходят только маршруты m₁,m₂,…,m_n=> остановка mґ соединена к B каким-то m_k. =>

=> данная остановка является B_k.

Т.о., B₁,B₂,….,B_n -все остановки mґ, mґимеет n остановок ¦.

Мы, в условиях задачи №4 => число маршрутов 57=n(n-1)+1, где n — число остановок на каждом маршруте. Из этого следует: n=8.

Можно ли проложить в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что какие бы 8 маршрутов ни были взяты, найдется остановка, не принадлежащая ни одному из этих маршрутов, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки?

Возможно, например, рассмотрим 10 прямых на плоскости у=kx+k 2 , где k=1,2,…,10 — это маршруты автобусов.

Любые две из этих прямых пересекаются (т.к. прямые не параллельны, потому что у них различные k) в одной точке.

Пусть точки пересечения прямых и только они будут остановками.

Никакие 3 прямые не имеют общую точку пересечения, т.к. система линейных уравнений

Действительно, ранг матрицы системы

системы ранг расширенной матрицы

Базисный минор, т.к. определитель этой матрицы — определитель Вандермонда — равен — (k₃-k₂)(k₃-k₁)(k₂-k₁) ? 0

Проложены 10 маршрутов.

*) если взяты любые 8 маршрутов, то 2 оставшихся имеют общую остановку, не принадлежащую 8-ми взятым (иначе, через эту остановку проходят 3 маршрута).

**) если взяты любые 9 маршрутов, то любая остановка оставшегося маршрута принадлежит одному из 9-ти взятых (т.к. любая остановка оставшегося маршрута — это точка его пересечения с каким-либо другим маршрутом, т.е. одним из 9-ти взятых).