Сколько существует пар натуральных чисел

Сколько существует пар натуральных чисел, у которых наименьшее общее кратное (НОК) равно 2000?

Подсказка

Либо одно из чисел равно 2000, либо в разложении одного из чисел на простые сомножители должен присутствовать множитель 2 4 , а в разложении другого – множитель 5 3 .

Решение

Рассмотрим две возможности.
1) Одно из чисел равно 2000. Тогда другое число может быть любым делителем числа 2000. Поскольку 2000 = 2 4 ·5 3 , оно имеет 20 делителей (см. задачу 30358).
2) Ни одно из двух чисел a, b не равно 2000. Тогда в разложении одного из этих чисел a, b (для определенности, a) на простые сомножители должен присутствовать множитель 2 4 , а в разложении другого – множитель 5 3 . Таким образом, a = 2 4 ·5 m , b = 2 n ·5 3 , где m может принимать 3 значения (0, 1, 2) , и независимо от этого n может принимать 4 значения (0, 1, 2, 3). Таким образом, в этом случае имеется 3·4 = 12 возможностей.
Итак, имеется 20 + 12 = 32 пары натуральных чисел, имеющие НОК = 2000.

ребят спасайте! завтра олимпиада а там есть задание:
1.)Сколько существует пар натуральных чисел аи b таких, что
НОК(a, b) = НОД(a, b) + 17. Напоминаем, что НОД(a, b) — это наибольший общий
делитель, то есть наибольшее натуральное число, на которое делятся иаи b. HOKа,
b) — это наименьшее общее кратное, то есть наименьшее натуральное число, которое
делится и на а, и на b.
2.) Вдоль автотрассы М7 расположены 40 кафе. Хозяин каждого из них
посчитал сумму расстояний до оставшихся заведений. Возможно ли такое
, что у всех получились различные числа?

2) Если строго математически, то между сорока точками прямой есть 39 отрезков и общая сумма их всегда одинакова. Но слово ВОЗМОЖНО заставляет нас искать варианты и они есть :

1. Все хозяева плохо считают и каждый сделал ошибку

2. Трасса М7 не является прямой, а каждый считал расстояние не по трассе, а по кратчайшему расстоянию.

математика — Пары натуральных чисел

Сколько существует пар натуральных чисел (а; b), для которых число 5а-3 кратно b, а число 5b-1 кратно а? Я пытался решить простым перебором, но очень сложно и зыбко, у меня получилось 6 пар натуральных чисел (а,b). Просто больше ни одной здравой идеи нет. Может кто-нибудь что-нибудь посоветует. Заранее благодарен.

задан 8 Янв ’14 23:43

Должно быть конечное число пар. Ответ 6 пар неверен.

С задачей ознакомился только что. Идеи решения пока нет. А откуда убежденность в конечности множества решений?

Убежденность в конечности множества решений на мой взгляд следует из вопроса задачи: количество пар указанных чисел ввести в предложенное поле.

Действительно, конечность множества решений можно установить из условия: 5a-3=bx, 5b-1=ay, xy<25. Далее рассмотреть случаи для всевозможныx x,y.

@Urt: конечность там можно доказать из общих соображений. Я пока «ручного» решения не знаю (прямой перебор возможен, но он получается длинный), а компьютерное вычисление показывает, что пар имеется 18. Задача интересная, и надо будет завтра ещё над ней подумать.

1 ответ

Получилось всё-таки подсчитать количество пар при помощи не слишком длинного перебора.

Читать:

Не удалось загрузить проблема с сетью что делать

Полагая $%5a-3=bx$%, $%5b-1=ay$% в тех обозначениях, которые предложил @Urt, решаем систему относительно $%a$% и $%b$%. Получается $$a=\frac<25-xy>;\qquad b=\frac<3y+5><25-xy>.$$ Таким образом, достаточно перебрать пары натуральных чисел $%xy$%, произвдение которых принимает значения от $%1$% до $%24$% и отобрать те варианты, которые подходят. При этом перебор будет осуществляться по значениям $%xy$%, и многие случаи рассматривать оказывается не нужно. Так, можно не рассматривать случаев, когда $%25-xy$% кратно трём, так как при этом $%x$% и $%y$% должны делиться на $%3$%, но это невозможно. То же самое касается случая, когда $%xy$% кратно пяти: оба числа $%x$%, $%y$% будут при этом делиться на $%5$% при том, что $%xy$% меньше $%25$%. Также не надо рассматривать случаев, где $%xy\le7$%: при этом $%25-xy\ge18$%, откуда $%x\ge3$%, $%y\ge5$%, что приводит к противоречию.

1) $%xy=24$%; $%25-xy=1$%. Здесь знаменатель равен 1, и подходят любые числа, в произведении дающие 24. Это 8 пар. При желании, их легко выписать.

2) $%xy=23$%; $%25-xy=2$%. Здесь подходят нечётные $%x$% и $%y$%. Это ещё $%2$% случая.

3) $%xy=21$%; $%25-xy=4$%. Здесь $%x-1$% и $%y-1$% кратны 4. Таких случаев $%2$% (для чисел 1 и 21 в тот или другом порядке).

4) $%xy=18$%; $%25-xy=7$%. Здесь $%x+1$% и $%y-3$% кратны 7. Подходит $%1$% вариант ($%x=6$%, $%y=3$%).

5) $%xy=17$%; $%25-xy=8$%. Здесь оба варианта годятся, что даёт ещё $%2$% решения.

6) $%xy=14$%; $%25-xy=11$%. Здесь $%x+4$% кратно $%11$%. Значение $%x=7$% приносит ещё $%1$% пару.

7) $%xy=12$%; $%25-xy=13$%. Здесь ничего не подходит.

8) $%xy=11$%; $%25-xy=14$%. Здесь также нет решений.

9) $%xy=9$%; $%25-xy=16$%. Здесь подходит только $%x=1$%, так как $%x-1$% кратно 16. Ещё $%1$% решение.

10) $%xy=8$%; $%25-xy=17$%. Здесь годится только $%x=2$%, и мы получили ещё $%1$% пару (здесь $%a=b=1$%).

Итого получилось $%18$% пар чисел $%(a;b)$%. Разным значениям $%x$%, $%y$% соответствуют разные пары, так как $%x$% и $%y$% однозначно определяются парой $%(a;b)$%.