Последовательность an геометрическая прогрессия отметь последовательности которые являются

Последовательность an геометрическая прогрессия отметь последовательности которые являются

3 последовательности, среди которых есть арифметическая прогрессия и геометрическая прогресси, заданы несколькими первыми членами.Укажите для каждой последовательности соответствующее ей утверждение.

1)последовательность является арифметической прогрессией.

2) последовательность является геометрической прогрессией.

3) последовательность не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией

Алгебра. Урок 6. Задания. Часть 1.

Найдем первые несколько членов данной последовательности.

n = 1 ⇒ c 1 = 1 2 − 1 = 1 − 1 = 0

n = 2 ⇒ c 2 = 2 2 − 1 = 4 − 1 = 3

n = 3 ⇒ c 3 = 3 2 − 1 = 9 − 1 = 8

Число 3 является членом данной последовательности.

Правильный ответ под номером 3 .

№2. Последовательность задана формулой c n = n + ( − 1 ) n n . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

1. 2 1 2
2. 4 1 4
3. 5 1 5
4. 6 1 6

Решение:

Найдем несколько первых членов данной последовательности.

n = 1 ⇒ c 1 = 1 + ( − 1 ) 1 1 = 1 + − 1 1 = 1 − 1 = 0

n = 2 ⇒ c 2 = 2 + ( − 1 ) 2 2 = 2 + 1 2 = 2 1 2

n = 3 ⇒ c 3 = 3 + ( − 1 ) 3 3 = 3 + − 1 3 = 3 − 1 3 = 2 2 3

n = 4 ⇒ c 4 = 4 + ( − 1 ) 4 4 = 4 + 1 4 = 4 1 4

n = 5 ⇒ c 5 = 5 + ( − 1 ) 5 5 = 5 + − 1 5 = 5 − 1 5 = 4 4 5

n = 6 ⇒ c 6 = 6 + ( − 1 ) 6 6 = 6 + 1 6 = 6 1 6

Приходим к выводу, что число 5 1 5 не является членом данной последовательности.

Правильный ответ под номером 3.

№3. Последовательность задана формулой a n = 11 n + 1. Сколько членов в этой последовательности больше 1?

1. 8
2. 9
3. 10
4. 11

Решение:

Решим неравенство 11 n + 1 > 1 относительно n .

Для того, чтобы дробь была больше 1 , знаменатель должен быть меньше числителя. n + 1 < 11 ⇒ n < 10.

Поскольку n – натуральное число, то все возможные значения, которые может принимать n для выполнения исходного неравенства это: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Правильный ответ под номером 2.

№4. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них – арифметическая прогрессия. Укажите её.

1. 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; …
2. 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; …
3. 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; …
4. 1 ; 1 2 ; 2 3 ; 3 4 ; …

Решение:

Для того, чтобы последовательность была арифметической, должны выполняться условия:

a 2 = a 1 + d a 3 = a 2 + d a 3 = a 2 + d a n = a n − 1 + d

То есть каждый следующий член последовательности должен отличаться от предыдущего на одно и то же число. Начнем проверку:

1. 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; …
   d = 2 − 1 = 1
   d = 3 − 2 = 1
   d = 5 − 3 = 2 – противоречие.
2. 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; …
   d = 2 − 1 = 1
   d = 4 − 2 = 2 – противоречие.
3. 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; …
   d = 3 − 1 = 2
   d = 5 − 3 = 2
   d = 7 − 5 = 2

Условия соблюдены. Данная прогрессия является арифметической.

1. 1 ; 1 2 ; 2 3 ; 3 4 ; …
   d = 1 2 − 1 = − 1 2
   d = 2 \ 2 3 − 1 \ 3 2 6 = 2 ⋅ 2 − 1 ⋅ 3 6 = 4 − 3 6 = 1 6 – противоречие.

Правильный ответ под номером 3.

№5. Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

1. 10 ; 6 ; 2 ; − 2 ; …
2. 5 ; 5 2 ; 5 4 ; 5 8 ; …
3. 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; …
4. 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; 1 5 ; …

Решение:

Для того, чтобы последовательность была геометрической, должны выполняться условия: b 2 = b 1 ⋅ q b 3 = b 2 ⋅ q = b 1 ⋅ q 2 … b n = b n − 1 ⋅ q = b 1 ⋅ q n − 1

То есть каждый следующий член последовательности должен отличаться от предыдущего в q раз ( q одно и то же для всех членов последовательности). Начнем проверку:

1. 10 ; 6 ; 2 ; − 2 ; …
   q = 6 10 = 0,6
   q = 2 6 = 1 3 – противоречие.
2. 5 ; 5 2 ; 5 4 ; 5 8 ; …
   q = 5 2 ÷ 5 = 5 2 ⋅ 1 5 = 1 2
   q = 5 4 ÷ 5 2 = 5 4 ⋅ 2 5 = 1 2
   q = 5 8 ÷ 5 4 = 5 8 ⋅ 4 5 = 4 8 = 1 2

Условия соблюдены. Данная прогрессия является геометрической.

1. 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; …
   q = 2 1 = 2
   q = 3 2 = 1,5 – противоречие.
2. 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; 1 5 ; …
   q = 1 3 ÷ 1 2 = 1 3 ⋅ 2 1 = 2 3
   q = 1 4 ÷ 1 3 = 1 4 ⋅ 3 1 = 3 4 – противоречие.

Правильный ответ под номером 2.

№6. Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1. Последовательность натуральных степеней числа 2.
2. Последовательность натуральных чисел, кратных 5.
3. Последовательность кубов натуральных чисел.
4. Последовательность всех правильных дробей, числитель которых на 1 меньше знаменателя.

Решение:

Для того, чтобы последовательность была арифметической, должны выполняться условия:

a 2 = a 1 + d a 3 = a 2 + d a 3 = a 2 + d a n = a n − 1 + d

1. Последовательность натуральных степеней числа 2.

Данная последовательность представляет собой следующий ряд:

5 ; 10 ; 15 ; 20 ; …
d = 4 − 2 = 2
d = 8 − 4 = 4 – противоречие.

1. Последовательность натуральных чисел, кратных 5.

Данная последовательность представляет собой следующий ряд:

5 ; 10 ; 15 ; 20 ; …
d = 10 − 5 = 5
d = 15 − 10 = 5
d = 20 − 15 = 5

Условие соблюдено. Данная прогрессия является арифметической.

1. Последовательность кубов натуральных чисел.

Данная последовательность представляет собой следующий ряд:

1 ; 8 ; 27 ; 81 ; …
d = 8 − 1 = 7
d = 27 − 8 = 19 – противоречие.

1. Последовательность всех правильных дробей, числитель которых на 1 меньше знаменателя.

Данная последовательность представляет собой следующий ряд:

1 2 ; 2 3 ; 3 4 ; 4 5 ; …
d = 2 \ 2 3 − 1 \ 3 2 6 = 2 ⋅ 2 − 3 6 = 4 − 3 6 = 1 6
d = 3 \ 3 4 − 2 \ 4 3 12 = 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 4 12 = 9 − 8 12 = 1 12 – противоречие.

Геометрическая прогрессия

Когда создатель шахмат (древнеиндийский математик по имени Сесса) показал своё изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он позволил изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у короля за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы, за второе — два, за третье — четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно.С изумлением внимал царь словам старца.

— Назови же мне это чудовищное число, – сказал он.

— 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615, о повелитель!

Если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма, тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит 1,200 триллионов тонн, что превышает весь объем урожая пшеницы, собранный за всю историю человечества!

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел ( членов прогрессии ) , в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число ( знаменатель прогрессии ):

Например, последовательность 1, 2, 4, 8, 16, … – геометрическая ()

Знаменатель геометрической прогрессии

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Последовательность является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется указанное выше соотношение.

В частности, для геометрической прогрессии с положительными членами, верно:

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

При , геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей . Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число и

Примеры

Пример 1 . Последовательность <> –геометрическая прогрессия.

Приметр 2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии <>, в которой

Помните, при работе с арифметической прогрессией, мы пользовались формулой, которая позволяла связать между собой не только и , но и (шире) и ?

В геометрической прогрессии мы также воспользуемся аналогичной формулой:

Пример 3. Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее десятый член равен , а одиннадцатый член равен

Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии

Пример 4. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии

Для того, чтобы воспользоваться формулой , нам следует найти знаменатель

Пример 5. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии <>, в которой

Найдем знаменатель прогрессии :

Так как по условию , то берем только .

Далее, чтобы применить формулу суммы геометрической прогрессии

нам потребуется найти :

Пример 6. Представьте в виде обыкновенной дроби число

Замечаем, что число составлено из суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Пусть эта прогрессия <>,

Тогда сумма бесконечно убывающей прогрессии <> (а значит, и само число ) есть

Пример 7. Найдите , если известно, что числа являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии имеем:

При найденном имеем следующую геометрическую прогрессию:

Пример 8. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отношение суммы первых четырех членов которой, к сумме первых двух членов равно

Пусть дана геометрическая прогрессия <>.

Тогда, согласно условию,

Пример 9. Между числами и вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия

Когда мы вставим три числа (назовем их ), у нас получится геометрическая прогрессия из пяти членов ().

Геометрическая прогрессия

Например:
1. Последовательность 1, 3, 9, 27, . является геометрической прогрессией с b₁ = 1, q = 3.

2. Последовательность \(\mathrm<9,\ -3,\ 1,\ -\frac13,\ \frac19. >\) является геометрической прогрессией с b₁ = 9, \(\mathrm\).

п.2. Формула n-го члена геометрической прогрессии

По определению геометрической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: b_n = b_n-1q. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

п.3. Свойства геометрической прогрессии

Свойство 1. Экспоненциальный рост/падение

Геометрическая прогрессия с положительными первым членом и знаменателем b₁ > 0, q > 0 является показательной функцией вида f(n) = kq n : $$ \mathrm< b_n=\fracq^n > $$

Свойство 2. Признак геометрической прогрессии

Для того чтобы числовая последовательность была геометрической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним геометрическим предыдущего и последующего членов: $$ \mathrm < \left\— \text<геометрическая прогрессия>\ \Leftrightarrow\ b_n=\sqrtb_>,\ \ n\in\mathbb,\ \ n \geq 2 > $$ Следствие: аждый член прогрессии является средним геометрическим двух равноудалённых от него членов: $$ \mathrm< b_n=\sqrtb_>,\ \ n\in\mathbb,\ \ k\in\mathbb,\ \ n \geq k+1 > $$

Например:
Найдём b₉, если известно, что \(\mathrm<16>,\ \ b_<11>=4>\)
По следствию из признака геометрической прогрессии: \(\mathrm>=\sqrt<\frac<1><16>\cdot 4>=\frac12>\)

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Если n> – геометрическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство произведений членов: $$ \mathrm < m+k=p+q \Rightarrow b_mb_k=b_pb_q >$$ Следствие: произведение членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $$ \mathrm< b_1b_n = b_2b_=b_3b_=. > $$

п.4. Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Например:
Найдём сумму первых 10 степеней двойки: 2 + 2 2 + 2 3 + . + 2 10
В этом случае b₁ = 2, q = 2, n = 10
Получаем: \(\mathrm< S_<10>=2\cdot \frac<2^<10>-1><2-1>=2\cdot (1024-1)=2046>\)

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов, если:
а) b₅ = 9, b₈ = 243
Найдём отношение $$ \mathrm< \frac=\frac=q^3,\ \ \frac=\frac<243><9>=27=3^3,\ \ q^3=3^3\Rightarrow q = 3 > $$ Найдём 1-й член: $$ \mathrm< b_1=\frac=\frac<9><3^4>=\frac<3^2><3^4>=\frac<1><3^2>=\frac19 > $$ Сумма: $$ \mathrm< S_<10>=b_1\frac-1>=\frac<3^<10>-1><9\cdot 2>=\frac<29524><9>=3280\frac49 > $$ Ответ: q = 3, S₁₀ = \(\mathrm<3280\frac49>\)

б) b₁ = 3, b_n = 96, S_n = 189
По формуле суммы: $$ \mathrm< S_=\frac\Rightarrow 189 =\frac<96q-3>\Rightarrow 189(q-1)=96q-3\Rightarrow 93q=186\Rightarrow q = 2 > $$ Сумма: $$ \mathrm< S_<10>=b_1\frac-1>=3\cdot \frac<2^<10>-1><2-1>=3\cdot 1023=3069 > $$ Ответ: q = 2, S₁₀ = 3069

Пример 2. Между числами \(\mathrm<40\frac12\ \text<и>\ 5\frac13>\) вставьте такие четыре числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
По условию \(\mathrm\) $$ \mathrm< \frac=q^5,\ \ \frac=5\frac13 : 40\frac12=\frac<16> <3>: \frac<81><2>=\frac<16> <3>\cdot \frac<2><81>=\frac<32><243>=\frac<2^5><3^5>=\left(\frac23\right)^5 > $$ Знаменатель \(\mathrm\)
Находим промежуточные члены прогрессии: \begin \mathrm< b_2=b_1q=40\frac12\cdot\frac23=\frac<81><2>\cdot \frac23=27,\ \ b_3=b_2q=27\cdot\frac23=18, >\\ \mathrm < b_4=b_3q=18\cdot\frac23=12,\ \ b_5=b_4q=12\cdot\frac23=8 >\end Ответ: 27, 18, 12 и 8

Пример 3. Найдите первый и последний члены геометрической прогрессии, если: $$ \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Заметим, что b₄=b₂q 2 , b₅=b₃q 2 . Для первых двух уравнений получаем: $$ \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \Rightarrow \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Делим второе уравнение на первое: $$ \mathrm< \frac=\frac<1,2><0,6>\Rightarrow\frac=q=2 > $$ Подставляем найденное значение знаменателя прогрессии в первое уравнение: $$ \mathrm< b_2(2^2-1)=0,6\ \Rightarrow\ b_2=\frac<0,6><3>=0,2\ \Rightarrow\ b_1=\frac=\frac<0,2><2>=0,1 > $$ Для третьего уравнения можем записать: \begin \mathrm< S_n=b_1\frac=0,1\cdot\frac<2^n-1><2-1>=\frac<2^n-1><10>=12,7\ \Rightarrow\ 2^n-1=127\ \Rightarrow >\\ \mathrm < \Rightarrow\ 2^n=128=2^7\ \Rightarrow\ n=7 >\end 7-й член b₇ = b₁q 6 = 0,1 · 2 6 = 6,4
Ответ: b₁ = 0,1; b₇ = 6,4

Пример 4. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первого и второго членов равна 48, а сумма третьего и четвёртого членов равна 12. Найдите значение n, при котором S_n = 63. $$ \text<По условию>\ \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Заметим, что b₃ = b₁q 2 , b_4=b_2q 2 . Второе уравнение можно переписать в виде: $$ \mathrm< b_3+b_4=b_1q^2+b2q^2=\underbrace<(b_1+b_2)>_ <=48>q^2=12\ \Rightarrow\ q^2=\frac<12><48>=\frac14\ \Rightarrow\ q=\frac12 > $$ Берём положительное значение q, т.к. по условию все члены положительны.
Из первого уравнения $$ \mathrm< b_1+b_2=b_1(1+q)=48\ \Rightarrow\ b_1=\frac<48><1+\frac12>=48\cdot\frac23=32 > $$ Для третьего уравнения можем записать: \begin \mathrm< S_n=b_1\frac=b_1\frac<1-q^n><1-q>=32\cdot\frac<1-\frac<1><2^n>><1-\frac12>=64\left(1-\frac<1><2^n>\right)=63 >\\ \mathrm< 64-\frac<64><2^n>=63\ \Rightarrow\ 1=\frac<2^6><2^n>\ \Rightarrow\ n=6 > \end Ответ: 6

Пример 5. Бактерия, попав в организм, делится надвое каждые 20 мин. Сколько бактерий будет в организме через сутки?
Сутки – это 24 · 60 = 1440 мин, или n = 1440 : 20 = 72 цикла деления.
По условию необходимо найти

N = N₀ · 2 n , где N₀ = 1
N = 2 72 = 4 722 366 482 869 645 213 696 ≈ 4,7 · 10 21