Полином Жегалкина
Полином Жегалкина (англ. Zhegalkin polynomial) — полином с коэффициентами вида [math]0[/math] и [math]1[/math] , где в качестве произведения берётся конъюнкция, а в качестве сложения исключающее или. Полином был предложен в 1927 году И. И. Жегалкиным в качестве средства для представления функций булевой логики. Полином Жегалкина имеет следующий вид:
[math]P = a_ <000\ldots000>\oplus a_ <100\ldots0>x_1 \oplus a_ <010\ldots0>x_2 \oplus \ldots \oplus a_ <00\ldots01>x_n \oplus a_ <110\ldots0>x_1 x_2 \oplus \ldots \oplus a_ <00\ldots011>x_
Содержание
Полнота
По теореме Поста, чтобы система булевых функций была полной, надо, чтобы в ней существовали
- Хотя бы одна функция, не сохраняющая [math]0[/math] ;
- Хотя бы одна функция, не сохраняющая [math]1[/math] ;
- Хотя бы одна нелинейная функция;
- Хотя бы одна немонотонная функция;
- Хотя бы одна несамодвойственная функция.
Исходя из этого, система функций [math]\bigl\langle \wedge, \oplus, 1 \bigr\rangle[/math] является полной:
| [math]x_0[/math] | [math]x_1[/math] | [math]\ldots[/math] | [math]x_n[/math] | [math]1[/math] | [math]\land[/math] | [math]\oplus[/math] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [math]0[/math] | [math]0[/math] | [math]\ldots[/math] | [math]0[/math] | [math]1[/math] | [math]0[/math] | [math]0[/math] |
| [math]1[/math] | [math]0[/math] | [math]\ldots[/math] | [math]0[/math] | [math]1[/math] | [math]0[/math] | [math]1[/math] |
| [math]\vdots[/math] | [math]\vdots[/math] | [math]\vdots[/math] | [math]\vdots[/math] | [math]\vdots[/math] | [math]\vdots[/math] | [math]\vdots[/math] |
| [math]1[/math] | [math]1[/math] | [math]\ldots[/math] | [math]1[/math] | [math]1[/math] | [math]1[/math] | [math]0[/math] |
| Сохраняет 0 | [math]0[/math] | [math]1[/math] | [math]1[/math] | |||
| Сохраняет 1 | [math]1[/math] | [math]1[/math] | [math]0[/math] | |||
| Самодвойственная | [math]0[/math] | [math]0[/math] | [math]0[/math] | |||
| Монотонная | [math]1[/math] | [math]1[/math] | [math]0[/math] | |||
| Линейная | [math]1[/math] | [math]0[/math] | [math]1[/math] | |||
На основе этой системы и строятся полиномы Жегалкина.
Существование и единственность представления (теорема Жегалкина)
Заметим, что различных булевых функций от [math]n[/math] переменных [math]2^<2^n>[/math] штук. При этом конъюнкций вида [math]x_
Построение полинома Жегалкина
Существует несколько способов построения полинома Жегалкина.
По таблице истинности
Пусть для функции [math]f(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math] задана таблица истинности. Запишем сначала данную функцию в виде полинома Жегалкина с неопределёнными коэффициентами. Затем по очереди подставляем всевозможные наборы в порядке увеличения количества единиц и находим коэффициенты с учётом того, что [math] a \oplus 1 = \bar[/math] , а [math] a \oplus 0 = a[/math] . За каждую подстановку находим только один коэффициент.
Пример: Дана функция [math]f(x_1,x_2,x_3,x_4)[/math] и её таблица истинности:
| [math]x_1[/math] | [math]x_2[/math] | [math]x_3[/math] | [math]x_4[/math] | [math]f(x_1,x_2,x_3,x_4)[/math] |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Построим для неё полином Жегалкина:
[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = a_ <0000>\oplus a_ <1000>x_1 \oplus a_ <0100>x_2 \oplus a_ <0010>x_3 \oplus a_ <0001>x_4 \oplus a_ <1100>x_1 x_2 \oplus a_ <1010>x_1 x_3 \oplus a_ <1001>x_1 x_4 \oplus a_ <0110>x_2 x_3 \oplus a_ <0101>x_2 x_4 \oplus a_ <0011>x_3 x_4 \oplus a_ <1110>x_1 x_2 x_3 \oplus a_ <1101>x_1 x_2 x_4 \oplus a_ <1011>x_1 x_3 x_4 \oplus a_ <0111>x_2 x_3 x_4 \oplus a_ <1111>x_1 x_2 x_3 x_4[/math]
Так как [math]f(0,0,0,0) = 0[/math] , то [math]a_ <0000>= 0[/math] . Далее подставляем все остальные наборы в порядке возрастания числа единиц, подставляя вновь полученные значения в следующие формулы:
[math]f(1,0,0,0) = a_ <0000>\oplus a_ <1000>= 1,[/math] следовательно [math]a_ <1000>= 1[/math]
[math]f(0,1,0,0) = a_ <0000>\oplus a_ <0100>= 0,[/math] следовательно [math]a_ <0100>= 0[/math]
[math]f(0,0,1,0) = a_ <0000>\oplus a_ <0010>= 0,[/math] следовательно [math] a_ <0010>= 0[/math]
[math]f(0,0,0,1) = a_ <0000>\oplus a_ <0001>= 0,[/math] следовательно [math] a_ <0001>= 0[/math]
[math]f(1,1,0,0) = a_ <0000>\oplus a_ <1000>\oplus a_ <0100>\oplus a_ <1100>= 1,[/math] следовательно [math] a_ <1100>= 0[/math]
[math]f(1,0,1,0) = a_ <0000>\oplus a_ <1000>\oplus a_ <0010>\oplus a_ <1010>= 0, [/math] следовательно [math] a_ <1010>= 1[/math]
[math]f(1,0,0,1) = a_ <0000>\oplus a_ <1000>\oplus a_ <0001>\oplus a_ <1001>= 0, [/math] следовательно [math] a_ <1001>= 1[/math]
[math]f(0,1,1,0) = a_ <0000>\oplus a_ <0100>\oplus a_ <0010>\oplus a_ <0110>= 1, [/math] следовательно [math] a_ <0110>= 1[/math]
[math]f(0,1,0,1) = a_ <0000>\oplus a_ <0100>\oplus a_ <0001>\oplus a_ <0101>= 0, [/math] следовательно [math] a_ <0101>= 0[/math]
[math]f(0,0,1,1) = a_ <0000>\oplus a_ <0010>\oplus a_ <0001>\oplus a_ <0011>= 0, [/math] следовательно [math] a_ <0011>= 0[/math]
[math]f(1,1,1,0) = a_ <0000>\oplus a_ <1000>\oplus a_ <0100>\oplus a_ <0010>\oplus a_ <1100>\oplus a_ <1010>\oplus a_ <0110>\oplus a_ <1110>= 1, [/math] следовательно [math] a_ <1110>= 0[/math]
[math]f(1,1,0,1) = a_ <0000>\oplus a_ <1000>\oplus a_ <0100>\oplus a_ <0001>\oplus a_ <1100>\oplus a_ <1001>\oplus a_ <0101>\oplus a_ <1101>= 0, [/math] следовательно [math] a_ <1101>= 0[/math]
[math]f(1,0,1,1) = a_ <0000>\oplus a_ <1000>\oplus a_ <0010>\oplus a_ <0001>\oplus a_ <1010>\oplus a_ <1001>\oplus a_ <0011>\oplus a_ <1011>= 1, [/math] следовательно [math] a_ <1011>= 0[/math]
[math]f(0,1,1,1) = a_ <0000>\oplus a_ <0100>\oplus a_ <0010>\oplus a_ <0001>\oplus a_ <0110>\oplus a_ <0101>\oplus a_ <0011>\oplus a_ <0111>= 0, [/math] следовательно [math] a_ <0111>= 1[/math]
[math]f(1,1,1,1) = a_ <0000>\oplus a_ <1000>\oplus a_ <0100>\oplus a_ <0010>\oplus a_ <0001>\oplus a_ <1100>\oplus a_ <1010>\oplus a_ <1001>\oplus a_ <0110>\oplus a_ <0101>\oplus a_ <0011>\oplus a_ <1110>\oplus a_ <1101>\oplus a_ <1011>\oplus a_ <0111>\oplus a_ <1111>= 0, [/math] следовательно [math] a_ <1111>= 1[/math]
Таким образом, полином Жегалкина выглядит так:
[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1 \oplus x_1 x_3 \oplus x_1 x_4 \oplus x_2 x_3 \oplus x_2 x_3 x_4 \oplus x_1 x_2 x_3 x_4[/math]
Преобразование дизъюнктивной нормальной формы
Этот способ основан на том, что [math] X \oplus 1 = \bar
Если функция задана в СДНФ, то так как при любых значениях входных переменных в единицу обращается не более одного члена выражения, то достаточно просто заменить все дизъюнкции исключающим ИЛИ.
Пример: Дана функция в ДНФ [math] f(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1 \land x_2 \land \neg x_3 \land x_4) \lor (\neg x_1 \land \neg x_4) \lor (x_1 \land x_2) \lor x_2 [/math] , построим полином Жегалкина.
Запишем функцию так:
[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1 x_2 \neg x_3 x_4 + \neg x_1 \neg x_4 + x_1 x_2 + x_2[/math] ;
Сгруппируем слагаемые и воспользуемся преобразованием (1):
[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1 x_2 \neg x_3 x_4 \oplus \neg x_1 \neg x_4 \oplus x_1 x_2 \neg x_3 x_4 \neg x_1 \neg x_4) + (x_1 x_2 \oplus x_2 \oplus \oplus x_1 x_2 x_2)[/math]
Воспользуемся свойствами конъюнкции [math]A \land A = A[/math] и [math]\neg A \land A = 0[/math] , а также тем, что [math]A \oplus A = 0[/math] , и упростим выражение:
[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1 x_2 \neg x_3 x_4 \oplus \neg x_1 \neg x_4) + x_2[/math]
Ещё раз воспользуемся преобразованием (1):
[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1 x_2 \neg x_3 x_4 \oplus \neg x_1 \neg x_4 \oplus x_2 \oplus (x_1 x_2 \neg x_3 x_4 \oplus \neg x_1 \neg x_4) x_2[/math]
Раскроем скобку по алгебраическим правилам:
[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1 x_2 \neg x_3 x_4 \oplus \neg x_1 \neg x_4 \oplus x_2 \oplus x_1 x_2 x_2 \neg x_3 x_4 \oplus \neg x_1 x_2 \neg x_4[/math]
Снова воспользуемся свойствами конъюнкции и исключающего ИЛИ:
[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = \neg x_1 \neg x_4 \oplus x_2 \oplus \neg x_1 x_2 \neg x_4[/math]
Заменим отрицание на прибавление [math]1[/math] :
[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1 \oplus 1) (x_4 \oplus 1) \oplus x_2 \oplus (x_1 \oplus 1) x_2 (x_4 \oplus 1)[/math]
[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1 x_4 \oplus x_1 \oplus x_4 \oplus 1 \oplus x_2 \oplus x_1 x_2 x_4 \oplus x_1 x_2 \oplus x_2 x_4 \oplus x_2[/math]
Выкинем парные слагаемые и получим окончательную формулу:
[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1 x_2 x_4 \oplus x_1 x_2 \oplus x_1 x_4 \oplus x_2 x_4 \oplus x_1 \oplus x_4 \oplus 1[/math]
Метод треугольника
Метод треугольника позволяет преобразовать таблицу истинности в полином Жегалкина путём построения вспомогательной треугольной таблицы в соответствии со следующими правилами:
- Строится полная таблица истинности, в которой строки идут в порядке возрастания двоичных кодов от [math]000\ldots00[/math] до [math]111\ldots11[/math] .
- Строится вспомогательная треугольная таблица, в которой первый столбец совпадает со столбцом значений функции в таблице истинности.
- Ячейка в каждом последующем столбце получается путём сложения по модулю 2 двух ячеек предыдущего столбца — стоящей в той же строке и строкой ниже.
- Столбцы вспомогательной таблицы нумеруются двоичными кодами в том же порядке, что и строки таблицы истинности.
- Каждому двоичному коду ставится в соответствие один из членов полинома Жегалкина в зависимости от позиций кода, в которых стоят единицы. Например, ячейке [math]111[/math] соответствует член [math]ABC[/math] , ячейке [math]101[/math] — член [math]AC[/math] , ячейке [math]010[/math] — член [math]B[/math] , ячейке [math]000[/math] — член [math]1[/math] и т.д.
- Если в верхней строке какого-либо столбца стоит единица, то соответствующий член присутствует в полиноме Жегалкина.
Фактически, этот метод является модификацией метода построения по таблице истинности, описанного выше. По сравнению с ним он удобнее тем, что расчёты занимают мало места и в них сложнее ошибиться, но метод треугольника требует бо́льшего количества операций.
Пример преобразования таблицы истинности в полином Жегалкина для функции трёх переменных [math]P(A,B,C)[/math] показан на рисунке.
Чтобы получить формулу, по которой рассчитывается какой-либо коэффициент, нужно из клетки, в которой он записан, пройтись всеми возможными путями влево, до столбца [math]»P»[/math] таблицы истинности, делая ходы влево и влево-вниз, записать значения в конечных ячейках и сложить их все между собой по модулю 2.
Таким образом, в первом столбце сверху записан коэффициент [math] a_0 = P(0,0,0) [/math] ,
во втором — [math] a_1 = P(0,0,0) \oplus P(0,0,1) [/math] ,
в третьем — [math] a_2 = P(0,0,0) \oplus P(0,0,1) \oplus P(0,0,1) \oplus P(0,1,0) = P(0,0,0) \oplus P(0,1,0) [/math] ,
[math] a_3 = P(0,0,0) \oplus P(0,0,1) \oplus P(0,0,1) \oplus P(0,0,1) \oplus P(0,1,0) \oplus P(0,1,0) \oplus P(0,1,0) \oplus P(0,1,1) = P(0,0,0) \oplus P(0,1,0) \oplus P(0,0,1) \oplus P(0,1,1), [/math]
и так далее, то есть при построении вспомогательной таблицы коэффициенты полинома просчитываются автоматически.
Преобразование Мёбиуса
Пусть задана булева функция [math]f: B^n \rightarrow B, \;\; B=\< 0; 1 \>[/math] . Любая булева функция представима в виде полинома Жегалкина, притом единственным образом.
Пусть [math] i = (i_1, i_2, \ldots i_n), \;\; i_k \in \<0 ; 1\>[/math] , и введем обозначение [math] x ^
Тогда полином Жегалкина можно записать как: [math] f(x) = \bigoplus\limits_i \alpha_i \cdot x_1^
Множество коэффициентов [math]\<\alpha _i\>[/math] можно рассматривать как функцию [math]\alpha[/math] , заданной на множестве индексов [math] i = (i_1, i_2, \ldots i_n)[/math] , то есть [math]\alpha: i \mapsto \alpha_i[/math] .
Очевидно, функцию [math] f [/math] можно записать и следующим образом: [math] f(x) = \bigoplus \limits_i \alpha_i \cdot [x_1 , \; [/math] если [math] \;\; i_1] \cdot [x_2 , \; [/math] если [math] \;\; i_2] \cdot[/math] [math]\ldots[/math] [math]\cdot [x_n , \; [/math] если [math] \;\; i_n][/math] .
Тут запись [math][x_k , \; [/math] если [math] \; i_k][/math] означает, что элелемент [math] x_k [/math] присутствует в соответствующем члене полинома только если [math] i_k = 1 [/math] . Тогда если для какого-то [math]x[/math] , [math]i \succ x*[/math] ,то в слагаемом будет существовать хотя бы один множитель, равный нулю, и такое слагаемое на сумму не повлияет. Отсюда ясно, что [math] f(x) = \bigoplus \limits_ \alpha_i [/math] [math] (2) [/math] Найдем отображение [math] f \mapsto \alpha[/math] (То есть такое, которое по заданной функции вычисляет значения всех коэффициентов).
[math]*[/math] [math]i \succ x[/math] обозначает, что [math]x[/math] «меньше» [math]i[/math] как последовательность бит
Докажем при помощи индукции по количеству единиц в векторе [math] x [/math] ( иначе говоря, по сумме [math]x_1+x_2+[/math] [math]\ldots[/math] [math]+x_n[/math] ) и для удобства обозначим это количество единиц(сумму) [math] wt(x) [/math] .
1) База: если [math] x = 0 [/math] , то, очевидно [math] f(0) = \alpha_0 [/math]
2) Пускай теорема справедлива для всех сумм [math]wt(x) \lt k[/math] . Покажем, что в таком случае она верна и для [math]wt(x) = k[/math] . По [math] (2) [/math] , а далее по предположению индукции видим: [math] f(x) = \bigoplus \limits_ \alpha_i = \left [ \bigoplus \limits_ \bigoplus \limits_
Рассмотрим сумму [math] \left [ \bigoplus \limits_ \bigoplus \limits_
Отображение [math] f \rightarrow \alpha[/math] также называется преобразованием Мёбиуса.
Видно, что [math] (2) [/math] и [math] (3) [/math] — это одно и тоже преобразование. Значит, если применить преобразование Мёбиуса к функции, а затем вновь применить то же преобразование к получившейся функции, тогда вновь получим исходную функцию [math]f[/math] . То есть преобразование Мёбиуса обратно самому себе, иными словами, является инволюцией.
Что нам стоит полином Жегалкина построить…
Думаю, каждый, кто изучал или изучает в университете дискретную математику, знаком с понятием многочлена Жегалкина.
Главная особенность этих многочленов состоит в том, что любую булеву функцию можно представить полиномом Жегалкина, причем единственным образом.
Чаще всего для построения полиномов Жегалкина студентам предлагаются два метода построения таких полиномов: метод неопределенных коэффициентов и метод эквивалентных преобразований.
Расчеты с использованием данных методов часто оказываются громоздкими. По невнимательности допустить ошибку не составляет труда.
Под катом приведен один удобный алгоритм, для построения полиномов Жегалкина, который студенты воспринимают «на ура», т.к. требует только выполнение «механических действий» без применения каких-либо умственных усилий. Краткое описание метода можно найти в Википедии, но на мой взгляд по нему не совсем понятно, как быстро проводить вычисления. Мне метод известен под названием «метод треугольника Паскаля».
Порядок проведения вычислений проще показать на примере. Далее я буду по шагам показывать, как должен выглядеть расчет на бумаге (или как его удобно проводить).
Метод треугольника Паскаля
Требуется построить полином Жегалкина для функции f. Для примера, в качестве функции f возьмем функцию голосования .
Шаг 1. Строим таблицу значений функции (строки в таблице идут в порядке возрастания двоичных кодов). Таблицу лучше разместить в левой части листа.
Шаг 2. Построение треугольника.
Для этого берем вектор значения функции и выписываем его напротив первой строки таблицы:
Далее заполняем треугольник, складывая попарно соседние значения по модулю 2, результат сложения выписываем ниже.
Продолжаем вычисления, пока в строке не останется лишь одна цифра.
Шаг 3. Построение полинома Жегалкина.
Нас интересует левая сторона треугольника (значения выделены жирным):
Числа на левой стороне (выделены жирным шрифтом) треугольника есть коэффициенты полинома при монотонных конъюнкциях, соответствующих наборам значений переменных.
Теперь выпишем для наглядности эти конъюнкции. Конъюнкции выписываем по двоичным наборам в левой части таблицы по следующему принципу: если напротив переменной xi стоит 1, то переменная входит в конъюнкцию; в противном случае переменная отсутствует в конъюнкции. Набору (0,0,0) соответствует константа 1.
Если принцип получения конъюнкций понятен, то столбец с ними можно (даже лучше) не выписывать, а сразу переходить к построению полинома.
Для построения полинома нужны только конъюнкции из строк с единицами на левой стороне треугольника.
Это и есть конъюнкции, входящие в состав полинома Жегалкина. Осталось лишь выписать сам полином:
Если переменных в функции не 3, а 4 или больше, то метод работает без изменений, только увеличатся размеры таблиц. Тем не менее, в отличие от метода неопределенных коэффициентов, расчеты можно без особых усилий выполнить на листе бумаги.
2.6. Полиномы Жегалкина
Полиномом (многочленом) Жегалкина от п переменных называется функция, в которой для получения ее значений (из набора значений аргументов) используется фиксированная цепочка операций 3 видов: конъюнкций, сложений по модулю 2 и констант (т. е. нулей и единиц).
Ясно, что любой полином Жегалкина можно (после преобразований) записать в виде
P 0 1 x 1 2 x 2
n x n n 1 x 1 x 2
n C 2 x n 1 x n
2 n 1 x 1 x 2 x n . (2.6)
Всего здесь 2 п слагаемых. Напомним, что + сейчас означает сложение по модулю 2, коэффициенты 0 , 1 , , 2 n 1 являются константами (рав-
ными нулю или единице).
Например, полином Жегалкина от 3 переменных всегда можно привести к виду
P ( x , y , z ) 0 1 x 2 y 3 z 4 xy 5 xz 6 yz 7 xyz . (2.7)
Замечание . При помощи сложения по модулю 2 легко записать отрицание любой логической функции: K K 1 , в частности, х + 1 = x
Теорема . Любая логическая функция может быть представлена полиномом Жегалкина.
Доказательство . Любую функцию можно записать в виде ДНФ. Запишем двойное отрицание этой ДНФ (что не меняет функции). При помощи нижнего отрицания и правила Де Моргана избавимся от дизъюнкций. В оставшейся записи данной функции будут присутствовать только конъюнкции и отрицания. Каждое отрицание заменим на прибавление единицы. В получившейся записи функции на переменные будут действовать только конъюнкции, сложения по модулю 2 и присутствовать константы. Это и значит, что функция записана в виде полинома Жегалкина, и теорема доказана.
Замечания : 1) в доказательстве приведен алгоритм перехода от записи функции в виде ДНФ к ее записи в виде полинома Жегалкина.
f ( x , y , z ) = xy x y y z xy x y y z = ( xy + 1)(( x + 1)( y + 1) + 1)(( y + 1) z + 1) + 1 =
= ( xy + 1)( xy + x+ y) ( yz + z + 1) + 1 = ( x+ y) ( yz + z + 1) + 1 =
= xyz + yz + xz + yz + x + y + 1 = xyz + xz + x + y + 1;
2) напоминаем, что при сложении (по модулю 2) 1 + 1 = 0. Поэтому сумма четного числа одинаковых слагаемых всегда равна 0. Например, xyz + xyz + xyz = xyz ;
3) надо уметь переходить к полиному Жегалкина не только от ДНФ (по алгоритму, приведенному в доказательстве теоремы), но и от таблицы истинности данной функции. Для такого перехода надо знать 2 алгоритма: метод неопределенных коэффициентов и «метод бабочки».
Метод неопределенных коэффициентов. Запишем сначала нашу функ-
цию в виде полинома Жегалкина с неопределенными коэффициентами, т. е. перепишем формулу (2.6), в частности, для функции 3 переменных – формулу (2.7). Затем в написанную формулу по очереди подставляем всевозможные наборы значений переменных и приравниваем полученные выражения соответствующим значениям функции из ее таблицы истинности.
Из полученных равенств, в которых неизвестными являются коэффициенты полинома Жегалкина, находим эти коэффициенты. Легко видеть, что за каждую подстановку мы находим ровно один коэффициент. Так как
число наборов равно числу коэффициентов (и равно 2 п ), то мы сможем найти все коэффициенты и, подставляя их в исходную формулу (2.6) (в частности, в формулу (2.7)), получим полином Жегалкина данной функции.
Метод бабочки. Пусть дана функция z = f ( x 1 , x 2 , … , x п ) от п переменных. В ее таблице истинности записаны 2 п ее значений. Алгоритм метода бабочки заключается в последовательном проведении п операций, обычно называемых итерациями. 1-я итерация: рядом со столбцом значений данной функции записывается новый столбец; в верхнюю его половину (т. е. от 1-й строчки до строчки с номером 2 п– 1 ) переписываются числа из столбца значений функции, т. е числа f (0, x 2 , … , x п ), а в нижнюю его половину (т. е. в строчках с номерами от 2 п– 1 + 1 до 2 п ) записываются суммы по модулю 2 соответствующих значений данной функции из верхней и нижней
половины таблицы, т. е. числа f (0, x 2 , … , x п ) + f (1, x 2 , … , x п ) . Во 2-й итерации ту же процедуру проделывают отдельно с верхней и отдельно с ниж-
ней частью столбца, полученного в результате проведения 1-й итерации. В результате проведения второй итерации появляется новый столбец, у которого в верхней четверти записаны числа f (0, 0, x 3 , … , x п ), во второй четверти – числа f (0, 0, x 3 , … , x п ) + f (0, 1, x 3 , … , x п ), в третьей четверти – числа f (0, 0, x 3 , … , x п ) + f (1, 0, x 3 , … , x п ), а в нижней четверти – числа
f (0, 0, x 3 , … , x п ) + f (1, 0, x 3 , … , x п ) + f (0, 1, x 3 , … , x п ) + f (1, 1, x , … , x п ) .
Эта процедура повторяется п раз. При проведении последней, п -й, итерации в последнем, п -м, столбце в строках с номерами 1, 3, 5, … , 2 п – 1 переписываются значения из предыдущего, п – 1 — го столбца, а в строках с номерами 2, 4, 6, … , 2 п записывается сумма (по модулю 2) того, что было записано в этой строке в п – 1 — м столбце со значением, записанном в этом же п – 1 — м столбце в предыдущей строке. По полученному п- му столбцу составляется полином Жегалкина данной функции: каждой единице этого столбца сопоставляется конъюнкция тех переменных, значения которых в строке с рассматриваемой единицей тоже равны единице, а затем эти конъюнкции переменных складываются по модулю 2. Последнее выражение и есть полином Жегалкина данной функции.
В последнем столбце – 3 единицы, которым соответствуют наборы значений аргументов (0, 0, 1), (0, 1, 0) и (1, 0, 1) соответственно. Значит, в полиноме Жегалкина этой функции складываются три простых конъюнкции, каждая из которых содержит всего по одной переменной – x , y и z соответственно, и поэтому искомый полином имеет вид: f ( x , y , z ) = x+ y+ z.
Обоснование метода бабочки. Докажем по индукции, что указанный метод действительно приводит к полиному Жегалкина.
База индукции. Для всех 4 функций одной переменной (т. е. для 0, 1, х , x ) это утверждение проверяется непосредственно при помощи одной итерации над их таблицами истинности. Индукционный переход. Пусть это утверждение уже доказано для всех логических функций от п переменных ( х 1 , х 2 , … , х п ). Докажем, что тогда оно верно и для функции f от п+ 1 переменной, т. е. для z = f ( х 1 , х 2 , … , х п , х п + 1 ). Считаем, что таблица истинности этой функции записана стандартным образом, т. е. по возрастанию двоичных чисел, соответствующих наборам значений аргументов. Тогда в п- м столбце, полученном в результате п- й итерации, в строках с номерами 1, 3, 5, … , 2 п – 1 стоят числа, соответствующие значению 0 последнего аргумента: х п+ 1 = 0 . Иными словами, в них стоят значения, соответствующие z = f ( х 1 , х 2 , … , х п , 0), т. е. функции от п переменных. По индукционному предположению, по их значениям можно записать полином Жегалкина для этой функции, поэтому мы записываем этот полином (у которого простые конъюнкции не содержат переменной х п+ 1 ), а значения из этих строк переписываем без изменений в последний, ( п + 1)-й столбец (т. е. для ( п + 1)-й итерации). В том же п -м столбце в строках с номерами 2, 4, 6, … , 2 п стоят числа, соответствующие тем же наборам значений аргументов, что и
в строках с номерами 1, 3, 5, … , 2 п– 1 (так как наборы значений аргументов
в строках с номерами 2 k– 1 и 2 k отличаются только значениями последнего
аргумента: х п+ 1 = 0 и х п+ 1 = 1 соответственно). Поэтому, если мы уже получили для полинома Жегалкина простую конъюнкцию x k 1 x k 2 . x k m ( k m < n + 1),
рассматривая строку с нечетным номером для f ( х 1 , х 2 , … , х п , 0) = 1, то в строке со следующим номером в последнем, ( п + 1)-м, столбце должен стоять 0, так как иначе в полиноме Жегалкина нужно будет записать сумму (по модулю 2) 2 простых конъюнкций x k 1 x k 2 . x k m + x k 1 x k 2 . x k m x n 1 , которая
при х п+ 1 = 1 и при любом наборе значений остальных переменных равна 0 (даже для тех наборов значений переменных, у которых соответствующая простая конъюнкция входит в полином Жегалкина с коэффициентом 1) . Иными словами, если в столбце, соответствующем предпоследней итерации, стоят подряд две единицы, то в столбце последней итерации должны стоять 1 и 0. Это достигается сложением двух единиц предпоследнего столбца, что и требуется для доказательства индукционного перехода (так как 1 + 0 = 0 + 1 = 1, а 0 + 0 = 0, то рассуждения в остальных вариантах расположения значений в предпоследнем столбце очевидны).
ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ, полином Жегалкина
На этой странице вы найдете готовые примеры задач, связанных с упрощением и преобразованием булевых функций к нормальным формам (ДНФ, КНФ), совершенным нормальным формам (СДНФ, СКНФ) и к каноническому многочлену Жегалкина.
Самый простой метод построения совершенной дизъюнктивной и конъюнктивной нормальных форм — с помощью таблиц истинности. Для перехода к ДНФ и КНФ используют методы эквивалентных преобразований, правила де Моргана, свойства поглощения, правило Блейка и т.п.
Полином Жегалкина может быть построен как с помощью последовательных преобразований, так и по таблице истинности (метод неопределенных коэффициентов).
Все эти примеры разобраны ниже. Типовые задачи снабжены подробным решением, формулами, пояснениями. Используйте их, чтобы научиться решать подобные задачи или закажите решение своей работы нам.
Другие примеры решений о булевых функциях:
- Булевы формулы
- Таблицы истинности
- Минимизация ДНФ булевых функций
- Полнота системы функций
Задачи и решения о представлении булевых функций
Нормальные формы (КНФ, СКНФ, ДНФ и СДНФ): примеры решений
Задача 1. Привести к КНФ и СКНФ.
$$((((A\to B)\to \bar A) \to \bar B) \to \bar C).$$
Задача 2. С помощью эквивалентных преобразований построить д.н.ф. функции:
$$f(x)=(\overline
Задача 3. Используя СКНФ, найдите наиболее простую формулу алгебры высказываний от четырех переменных, принимающую значение 0 на следующих наборах значений переменных, и только на них:
Задача 4. Привести данные выражения к ДНФ, пользуясь правилами де Моргана. Если возможно, сократить ДНФ, используя свойство поглощения и правило Блейка.
Многочлен Жегалкина: примеры решений
Задача 5. Представив функцию формулой над множеством связок $\<\&, -\>$, преобразовать затем полученную формулу в полином Жегалкина функции $f(x)$ (используя эквивалентности):
$$f(x) = (x_1 \vee x_2) \cdot (x_2 | x_3)$$
Задача 6. Задана булева функция: $$ f(x_1, x_2, x_3) = \overline
Б) Найти многочлен Жегалкина.
Задача 7. Для заданной логической функции перейти к полиному Жегалкина.
Решение задач на заказ
Выполняем для студентов очников и заочников решение заданий, контрольных и практических работ по любым разделам булевой алгебры, в том числе задачи по построению СДНФ, СКНФ, полинома Жегалкина на заказ. Также оказываем помощь в сдаче тестов. Подробное оформление, таблицы, графики, пояснение, использование специальных программ при необходимости. Стоимость примера от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 2 дней.