Как определить тип кривой второго порядка

1

§ 8.4. Кривые второго порядка

, (8.4.1)

в котором .

Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (8.4.1), называется кривой (линией) второго порядка.

Для всякой кривой второго порядка существует прямоугольная система координат, называемая канонической, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих видов:

1) (эллипс);

2) (мнимый эллипс);

3) (пара мнимых пересекающихся прямых);

4) (гипербола);

5) (пара пересекающихся прямых);

6) (парабола);

7) (пара параллельных прямых);

8) (пара мнимых параллельных прямых);

9) (пара совпадающих прямых).

Уравнения 1)–9) называются каноническими уравнениями кривых второго порядка.

Решение задачи приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду включает нахождение канонического уравнения кривой и канонической системы координат. Приведение к каноническому виду позволяет вычислить параметры кривой и определить ее расположение относительно исходной системы координат. Переход от исходной прямоугольной системы координат к каноническойосуществляется путем поворота осей исходной системы координат вокруг точкиО на некоторый угол  и последующего параллельного переноса системы координат.

Инвариантами кривой второго порядка (8.4.1) называются такие функции от коэффициентов ее уравнения, значения которых не меняются при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой такой же системе.

Для кривой второго порядка (8.4.1) сумма коэффициентов при квадратах координат

,

определитель, составленный из коэффициентов при старших членах

и определитель третьего порядка

являются инвариантами.

Значение инвариантов s, ,  можно использовать для определения типа и составления канонического уравнения кривой второго порядка (табл. 8.1).

Классификация кривых второго порядка, основанная на инвариантах

s < 0. Эллипс

s > 0. Мнимый эллипс

Пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке

Пара пересекающихся прямых

Пара параллельных прямых

Рассмотрим подробнее эллипс, гиперболу и параболу.

Эллипсом (рис. 8.1) называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек этой плоскости, называемыхфокусами эллипса, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами). При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Полусумму расстояний от точки эллипса до его фокусов обозначают через а, половину расстояний между фокусами – с. Если прямоугольная система координат на плоскости выбрана так, что фокусы эллипса располагаются на оси Оx симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат эллипс задается уравнением

, (8.4.2)

называемым каноническим уравнением эллипса, где .

При указанном выборе прямоугольной системы координат эллипс симметричен относительно осей координат и начала координат. Оси симметрии эллипса называют его осями, а центр его симметрии – центром эллипса. Вместе с тем часто осями эллипса называют числа 2a и 2b, а числа a и b – большой и малой полуосью соответственно.

Точки пересечения эллипса с его осями называются вершинами эллипса. Вершины эллипса имеют координаты (а, 0), (–а, 0), (0, b), (0, –b).

Эксцентриситетом эллипса называется число

. (8.4.3)

Поскольку 0  c < a, эксцентриситет эллипса 0   < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Отсюда видно, что эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе  к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении  эллипс становится более вытянутым.

Пусть – произвольная точка эллипса, и– расстояния от точкиМ до фокусов F₁ и F₂ соответственно. Числа r₁ и r₂ называются фокальными радиусами точки М эллипса и вычисляются по формулам

.

Директрисами отличного от окружности эллипса с каноническим уравнением (8.4.2) называются две прямые

.

Директрисы эллипса расположены вне эллипса (рис. 8.1).

Отношение фокального радиуса точкиM эллипса к расстоянию от этой точки до отвечающей фокусудиректрисы равно эксцентриситету этого эллипса (фокус и директриса считаются соответствующими, если они расположены по одну сторону от центра эллипса).

Гиперболой (рис. 8.2) называется геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек иэтой плоскости, называемыхфокусами гиперболы, есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами).

Пусть расстояние между фокусами равно 2с, а указанный модуль разности расстояний равен 2а. Выберем прямоугольную систему координат так же, как и для эллипса. В этой системе координат гипербола задается уравнением

, (8.4.4)

называемым каноническим уравнением гиперболы, где .

При данном выборе прямоугольной системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат – ее центром симметрии. Оси симметрии гиперболы называют ее осями, а центр симметрии – центром гиперболы. Прямоугольник со сторонами 2a и 2b, расположенный, как показано на рис. 8.2, называется основным прямоугольником гиперболы. Числа 2a и 2b – оси гиперболы, а числа a и b – ее полуоси. Прямые, являющиеся продолжением диагоналей основного прямоугольника, образуют асимптоты гиперболы

.

Точки пересечения гиперболы с осью Ox называются вершинами гиперболы. Вершины гиперболы имеют координаты (а, 0), (–а, 0).

Эксцентриситетом гиперболы называется число

. (8.4.5)

Поскольку с > a, эксцентриситет гиперболы  > 1. Перепишем равенство (8.4.5) в виде

.

Отсюда видно, что эксцентриситет характеризует форму основного прямоугольника и, следовательно, форму самой гиперболы: чем меньше , больше вытягивается основной прямоугольник, а вслед за ним и сама гипербола вдоль оси Ox.

Пусть – произвольная точка гиперболы,и– расстояния от точкиМ до фокусов F₁ и F₂ соответственно. Числа r₁ и r₂ называются фокальными радиусами точки М гиперболы и вычисляются по формулам

Директрисами гиперболы с каноническим уравнением (8.4.4) называются две прямые

.

Директрисы гиперболы пересекают основной прямоугольник и проходят между центром и соответствующей вершиной гиперболы (рис. 8.2).

Отношение фокального радиусаточкиM гиперболы к расстоянию от этой точки до отвечающей фокусудиректрисы равно эксцентриситету этой гиперболы (фокус и директриса считаются соответствующими, если они расположены по одну сторону от центра гиперболы).

Параболой (рис. 8.3) называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F (фокуса параболы) этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой (директрисы параболы), также расположенной в рассматриваемой плоскости.

Выберем начало О прямоугольной системы координат в середине отрезка [FD], представляющего собой перпендикуляр, опущенный из фокуса F на директрису (предполагается, что фокус не принадлежит директрисе), а оси Ox и Oy направим так, как показано на рис. 8.3. Пусть длина отрезка [FD] равна p. Тогда в выбранной системе координат иканоническое уравнение параболы имеет вид

. (8.4.6)

Величина p называется параметром параболы.

Парабола имеет ось симметрии, которая называется осью параболы. Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы. Если парабола задана своим каноническим уравнением (8.4.6), то осью параболы является ось Ox. Очевидно, вершиной параболы является начало координат.

Пример 1. Точка А = (2, –1) принадлежит эллипсу, точка F = (1, 0) является его фокусом, соответствующая F директриса задана уравнением . Составьте уравнение этого эллипса.

Решение. Будем считать систему координат прямоугольной. Тогда расстояние от точкиА до директрисы в соответствии с соотношением (8.1.8), в котором , равно

.

Расстояние от точкиА до фокуса F равно

,

что позволяет определить эксцентриситет эллипса

.

Пусть M = (x, y) – произвольная точка эллипса. Тогда расстояние от точкиМ до директрисы по формуле (8.1.8) равно

а расстояние от точкиМ до фокуса F равно

.

Поскольку для любой точки эллипса отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса, отсюда имеем

,

,

.

Пример 2. Кривая задана уравнением

в прямоугольной системе координат. Найдите каноническую систему координат и каноническое уравнение этой кривой. Определите тип кривой.

Решение. Квадратичная форма имеет матрицу

.

Ее характеристический многочлен

имеет корни ₁ = 4 и ₂ = 9. Следовательно, в ортонормированном базисе из собственных векторов матрицы А рассматриваемая квадратичная форма имеет канонический вид

.

Перейдем к построению матрицы ортогонального преобразования переменных, приводящего рассматриваемую квадратичную форму к указанному каноническому виду. Для этого будем строить фундаментальные системы решений однородных систем уравнений и ортонормировать их.

При эта система имеет вид

Ее общим решением является . Здесь одна свободная переменная. Поэтому фундаментальная система решений состоит из одного вектора, например, из вектора. Нормируя его, получим вектор

.

При также построим вектор

.

Векторы иуже ортогональны, так как относятся к различным собственным значениям симметричной матрицыА. Они составляют канонический ортонормированный базис данной квадратичной формы. Из столбцов их координат строится искомая ортогональная матрица (матрица поворота)

.

Проверим правильность нахождения матрицы Р по формуле , где– матрица квадратичной формы в базисе:

Матрица Р найдена верно.

Выполним преобразование переменных

и запишем уравнение данной кривой в новой прямоугольной системе координат со старым центром и направляющими векторами :

где .

Получили каноническое уравнение эллипса

.

В силу того, что результирующее преобразование прямоугольных координат определяется формулами

,

,

каноническая система координат имеет началои направляющие векторы.

Пример 3. Применяя теорию инвариантов, определите тип и составьте каноническое уравнение кривой

.

Решение. Поскольку

,

в соответствии с табл. 8.1 заключаем, что это – гипербола.

Так как s = 0, характеристический многочлен матрицы квадратичной формы

.

Его корни ипозволяют записать каноническое уравнение кривой

,

где С находится из условия

,

.

Искомое каноническое уравнение кривой

.

В задачах этого параграфа координаты x, y предполагаются прямоугольными.

8.4.1. Для эллипсов инайдите:

г) уравнения директрис.

8.4.2. Составьте уравнения эллипса, зная его фокус , соответствующую директрисуx = 8 и эксцентриситет . Найдите второй фокус и вторую директрису эллипса.

8.4.3. Составьте уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты (1, 0) и (0, 1), а большая ось равна двум.

8.4.4. Дана гипербола . Найдите:

а) полуоси a и b;

г) уравнения асимптот;

д) уравнения директрис.

8.4.5. Дана гипербола . Найдите:

а) полуоси а и b;

г) уравнения асимптот;

д) уравнения директрис.

8.4.6. Точка принадлежит гиперболе, фокус которой, а соответствующая директриса задана уравнением. Составьте уравнение этой гиперболы.

8.4.7. Составьте уравнение параболы, если даны ее фокус и директриса.

8.4.8. Даны вершина параболы и уравнение директрисы. Составьте уравнение этой параболы.

8.4.9. Составьте уравнение параболы, фокус которой находится в точке

и директриса задана уравнением .

8.4.10. Составьте уравнение кривой второго порядка, зная ее эксцентриситет , фокуси соответствующую директрису.

8.4.11. Определите тип кривой второго порядка, составьте ее каноническое уравнение и найдите каноническую систему координат:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) ;

л) .

8.4.12. Докажите, что кривая второго порядка, заданная уравнением

,

является эллипсом. Найдите длины полуосей и эксцентриситет этого эллипса, координаты центра и фокусов, составьте уравнения осей и директрис.

8.4.13. Докажите, что кривая второго порядка, заданная уравнением

,

является гиперболой. Найдите длины полуосей и эксцентриситет этой гиперболы, координаты центра и фокусов, составьте уравнения осей, директрис и асимптот.

8.4.14. Докажите, что кривая второго порядка, заданная уравнением

,

является параболой. Найдите параметр этой параболы, координаты вершин и фокуса, составьте уравнения оси и директрисы.

8.4.15. Каждое из следующих уравнений приведите к каноническому виду. Изобразите на чертеже соответствующую кривую второго порядка относительно исходной прямоугольной системы координат:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) .

8.4.16. Применяя теорию инвариантов, определите тип и составьте каноническое уравнение кривой:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение alt=»Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения» />и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является alt=»Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения» />;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Кривые второго порядка

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.

или можно встретить следующую форму записи:

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Рассмотрим кривую второго порядка:

Вычислим определитель из коэффициентов:

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ < 0, кривая второго порядка гиперболического типа.

Эллипс — множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, большая расстояния между этими точками.

с — фокальное расстояние,

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

2а — большая ось эллипса, 2b — малая ось эллипса.

а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x₀;y₀), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Эксцентриситет — число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

с — фокальное расстояние,

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

x — действительная ось, y — мнимая ось.

а — действительная полуось, b — мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x₀;y₀), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Эксцентриситет гиперболы — число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы — прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f₁ — правая директриса, f₂ — левая директриса.

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

2. Провести асимптоты гиперболы — диагонали построенного прямоугольника.

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А₁ (-а;0), А ₂ (а;0).

Как определить тип кривой заданной уравнением

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.

или можно встретить следующую форму записи:

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Рассмотрим кривую второго порядка:

Вычислим определитель из коэффициентов:

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ F₁ и F₂ — фокусы.

с — фокальное расстояние,

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

2а — большая ось эллипса, 2b — малая ось эллипса.

а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x₀;y₀), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Эксцентриситет — число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

с — фокальное расстояние,

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

x — действительная ось, y — мнимая ось.

а — действительная полуось, b — мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x₀;y₀), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Эксцентриситет гиперболы — число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы — прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f₁ — правая директриса, f₂ — левая директриса.

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

2. Провести асимптоты гиперболы — диагонали построенного прямоугольника.

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F — фокус параболы, f — директриса параболы.

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение />и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является />;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Примеры решений: кривые второго порядка

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему Кривые второго порядка: приведение к каноническому виду, нахождение характеристик, построение графика т.п.

Кривые 2-го порядка: решения онлайн

Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение кривой 2 порядка, найти все ее параметры, построить кривую.

Задача 2. Дана кривая. Привести к каноническому виду. Построить и определить вид кривой.

Задача 3. Выяснить вид кривой по общему уравнению, найти её параметры и положение в системе координат. Сделать рисунок.

Задача 4. Общее уравнение кривой второго порядка привести к каноническому. Найти координаты центра, координаты вершин и фокусов. Написать уравнения асимптот и директрис. Построить линии на графики, отметить точки.

Задача 5. Дана кривая $y^2+6x+6y+15=0$.
1. Докажите, что данная кривая – парабола.
2. Найдите координаты ее вершины.
3. Найдите значения ее параметра $р$.
4. Запишите уравнение ее оси симметрии.
5. Постройте данную параболу.

Задача 6. Дана кривая $5x^2+5y^2+6xy-16x-16y=16$.
1. Докажите, что эта кривая – эллипс.
2. Найдите координаты центра его симметрии.
3. Найдите его большую и малую полуоси.
4. Запишите уравнение фокальной оси.
5. Постройте данную кривую.

Задача 7. Найти уравнения параболы и её директрисы, если известно, что парабола имеет вершину в начале координат и симметрична относительно оси $Ox$ и что точка пересечения прямых $y=x$ и $x+y-2=0$ лежит на параболе.

Задача 8. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки $F(0;10)$ к расстоянию до прямой $x=-4$ равно $\sqrt $. Привести это уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.

Задача 9. Даны уравнения асимптот гиперболы $y=\pm 5x/12$ и координаты точки $M(24,5)$, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Задача 10. Даны уравнение параболы $y=1/4 x^2+1$ и точка $C(0;2)$, которая является центром окружности. Радиус окружности $r=5$.
Требуется найти
1) точки пересечения параболы с окружностью
2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках её пересечения с окружностью
3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках пересечения. Чертёж.