Как доказать что число простое

Простые числа в математике

Простые числа — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя. Другими словами, число x является простым, если оно больше 1 и при этом делится без остатка только на 1 и на x.

Например, 11 — это простое число. Его можно разделить только на 1 и 11. Деление простого числа на другое приводит к тому, что остается остаток, что называют простым числом.

13 ÷ 4 = 3 (остаток 1).

Число, имеющее более двух множителей, называется составными числами. Наименьшее простое число равно 2, потому что оно делится само на себя и только на 1.

30 не является примером простого числа, потому что его можно разделить на 1,2,3,5,6,10,15,30. Таким образом, 30 является примером составного числа, поскольку оно имеет более двух факторов.

Ноль, единица и числа меньше единицы не считаются простыми числами.

Основная теорема арифметики, лемма Евклида

Основная идея теоремы арифметики — это любое целое число больше 1 либо является простым числом, либо может быть получено путем умножения простых чисел вместе.

Фундаментальная теорема арифметики (название которой указывает на ее основную важность) гласит, что любое число может быть учтено в уникальном списке простых чисел.

Простое число (2,3,5,7,11. ) против составного (4=2×2, 6=2×3, 8=2x2x2, 12=2x2x3. ).

Этот ряд примеров можно продолжить:

• 10 равно 2×5;
• 11 — простое число;
• 12 — 2×2×3;
• 13 — это простое число;
• 14 равно 2×7;
• 15 равно 3×5;
• 16 равно 2×2×2×2;
• 17 является простым и т.д.

Таким образом, они либо простые, либо простые числа, умноженные друг на друга.

Число 42. Можем ли мы получить 42, умножив только простые числа?

Да, 2, 3 и 7 являются простыми числами, и при умножении вместе они составляют 42.

Число 7. 7 уже является простым числом

Число 22. 22 может быть получено путем умножения простых чисел 2 и 11 вместе.

Никакая другая комбинация простых чисел не будет работать.

Лемма — это, как правило, незначительное, доказанное утверждение, которое используется в качестве ступеньки к доказательству более сложной математической теории. По этой причине она также известна как «вспомогательная теорема».

В теории чисел лемма Евклида — это лемма, которая отражает фундаментальное свойство простых чисел, а именно: если простое число p делит произведение ab двух целых чисел a и b, то p должно разделить, по крайней мере, одно из этих целых чисел a и b.

Если p = 19, a = 133, b = 143, то ab = 133 × 143 = 19019, и поскольку это делится на 19, лемма подразумевает, что один или оба из 133 или 143 также должны быть. На самом деле 133 = 19 × 7.

Если предпосылка леммы не выполняется, т. е. p является составным числом, его следствие может быть либо истинным, либо ложным.

В случае p = 10, a = 4, b = 15 составное число 10 делит ab = 4 × 15 = 60, но 10 не делит ни 4, ни 15.

Это свойство является ключевым в доказательстве фундаментальной теоремы арифметики. Лемма Евклида показывает, что в целых числах неприводимые элементы также являются простыми элементами.

Таким образом, изучение чисел в основном сводится к изучению свойств простых чисел. Математики на протяжении тысячелетий довольно много выяснили о простых числах. Одно из самых известных доказательств Евклида показывает, что существует бесконечно много простых чисел.

Как определить простые числа

Сначала попробуйте разделить его на 2 и посмотреть, получится ли целое число. Если да, то оно не может быть простым числом. Если вы не получите целое число, затем попробуйте разделить его на простые числа: 3, 5, 7, 11 (9 делится на 3) и так далее, всегда делясь на простое число.

8 простых чисел до 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19.

Первые 10 простых чисел — это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Таблица простых чисел до 1000:

2 — наименьшее простое число. Это также единственное четное простое число — все остальные четные числа могут быть разделены сами по себе на 1 и 2, что означает, что у них будет, по крайней мере, 3 фактора.

Один из самых известных математиков классической эпохи, Евклид, записал доказательство того, что не существует самого большого простого числа. Самое большое известное простое число (по состоянию на ноябрь 2020 года) составляет 282 589 933-1, число, которое имеет 24 862 048 цифр при записи в базе 10. До этого самым большим известным простым числом было 277 232 917-1, состоящее из 23 249 425 цифр.

За исключением 2 и 3, все остальные простые числа могут быть выражены в общей форме как 6n + 1 или 6n — 1, где n — натуральное число.

Чтобы определить, является ли число простым или составным, нужно решить пример на делимость в следующем порядке (от простого к сложному): 2, 5, 3, 11, 7, и 13. Если вы обнаружите, что число делится на одно из них, и вы знаете, что оно составное, не нужно выполнять остальные тесты.

Если число меньше 121 не делится на 2, 3, 5 или 7, оно простое; в противном случае оно составное.

Если число меньше 289 не делится на 2, 3, 5, 7, 11, или 13, это простое число; в противном случае оно составное.

Примеры решения задач

Является ли 19 простым числом или нет?

Как понять, что число простое можно двумя способами.

Формула для простого числа равна 6n + 1

Запишем данное число в виде 6n + 1.

6(3) + 1 = 18 + 1 = 19

Проверьте на наличие факторов 19

Следовательно, с помощью обоих методов докажем, что 19 имеет только два фактора 1 и 19, что означает простое число.

53 — это простое число или нет?

Как доказать, что число простое, используя приведенную ниже формулу. Чтобы узнать простые числа, превышающие 40, можно:

n2 + n + 41, где n = 0, 1, 2, . 39

32 + 3 + 41 = 9 + 3 + 41 = 53

53 имеет только факторы 1 и 53.

Итак, 53 является простым числом по обоим методам.

Является ли число простым или составным?

Число 185 заканчивается на 5, поэтому оно делится на 5. Оно составное.

Как проверить простое ли число 243?

Число 243 заканчивается нечетным числом, поэтому оно не делится на 2. Он не заканчивается на 5 или 0, поэтому он не делится на 5. Его цифровой корень равен 9 (потому что 2 + 4 + 3 = 9), так что оно делится на 3.

Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Простыми числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют два положительных делителя, то есть себя и 1 .

Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.

Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.

Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

Любое число, которое больше 1 является либо простым, либо составным. Из свойства делимости имеем, что 1 и число а всегда будут делителями для любого числа а , то есть оно будет делиться само на себя и на 1 . Дадим определение целых чисел.

Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.

Простые числа: 2 , 3 , 11 , 17 , 131 , 523 . Они делятся только сами на себя и на 1 . Составные числа: 6 , 63 , 121 , 6697 . То есть число 6 можно разложить на 2 и 3 , а 63 на 1 , 3 , 7 , 9 , 21 , 63 , а 121 на 11 , 11 , то есть его делители будут 1 , 11 , 121 . Число 6697 разложится на 37 и 181 . Заметим, что понятия простых чисел и взаимно простых чисел – разные понятия.

Таблица простых чисел

Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:

Таблица для всех существующих натуральных чисел нереальна, так как их существует бесконечное множество. Когда числа достигают размеров 10000 или 1000000000 , тогда следует задуматься об использовании решета Эратосфена.

Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Возьмем, что а является натуральным числом, которое больше 1 , b является наименьшим отличным от единицы делителем для числа а . Следует доказать, что b является простым числом при помощи метода противного.

Допустим, что b – составное число. Отсюда имеем, что есть делитель для b , который отличен от 1 как и от b . Такой делитель обозначается как b 1 . Необходимо, чтобы условие 1 < b 1 < b было выполнено.

Из условия видно, что а делится на b , b делится на b 1 , значит, понятие делимости выражается таким образом: a = b · q и b = b 1 · q 1 , откуда a = b 1 · ( q 1 · q ) , где q и q 1 являются целыми числами. По правилу умножения целых чисел имеем, что произведение целых чисел – целое число с равенством вида a = b 1 · ( q 1 · q ) . Видно, что b 1 – это делитель для числа а . Неравенство 1 < b 1 < b не соответствует, потому как получим, что b является наименьшим положительным и отличным от 1 делителем а .

Простых чисел бесконечно много.

Предположительно возьмем конечное количество натуральных чисел n и обозначим как p 1 , p 2 , … , p n . Рассмотрим вариант нахождения простого числа, отличного от указанных.

Примем на рассмотрение число р, которое равняется p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Оно не равняется каждому из чисел, соответствующих простым числам вида p 1 , p 2 , … , p n . Число р является простым. Тогда считается, что теорема доказана. Если оно составное, тогда нужно принять обозначение p n + 1 и показать несовпадение делителя ни с одним из p 1 , p 2 , … , p n .

Если это было бы не так, тогда, исходя из свойства делимости произведения p 1 , p 2 , … , p n _, получим, что оно делилось бы на p n + 1 . Заметим, что на выражение p n + 1 делится число р равняется сумме p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Получим, что на выражение p n + 1 должно делиться второе слагаемое этой суммы, которое равняется 1 , но это невозможно.

Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.

Так как простых чисел очень много, то таблицы ограничивают числами 100 , 1000 , 10000 и так далее.

Решето Эратосфена

При составлении таблицы простых чисел следует учитывать то, что для такой задачи необходима последовательная проверка чисел, начиная с 2 до 100 . При отсутствии делителя оно фиксируется в таблицу, если оно составное, то в таблицу не заносится.

Если начать с числа 2 , то оно имеет только 2 делителя: 2 и 1, значит, его можно занести в таблицу. Также и с числом 3 . Число 4 является составным, следует разложить его еще на 2 и 2 . Число 5 является простым, значит, можно зафиксировать в таблице. Так выполнять вплоть до числа 100 .

Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.

Способ при помощи решета Эратосфена считают самым удобным. Рассмотрим на примере таблиц, приведенных ниже. Для начала записываются числа 2 , 3 , 4 , … , 50 .

Теперь необходимо зачеркнуть все числа, которые кратны 2 . Произвести последовательное зачеркивание. Получим таблицу вида:

Далее вычеркиваем все числа, кратные 3 . Получаем таблицу вида:

Переходим к вычеркиванию чисел, кратных 5 . Получим:

Вычеркиваем числа, кратные 7 , 11 . В конечном итоге таблица получает вид

Перейдем к формулировке теоремы.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель основного числа а не превосходит a , где a является арифметическим корнем заданного числа.

Необходимо обозначить b наименьший делитель составного числа а . Существует такое целое число q , где a = b · q , причем имеем, что b ≤ q . Недопустимо неравенство вида b > q , так как происходит нарушение условия. Обе части неравенства b ≤ q следует умножить на любое положительное число b , не равное 1 . Получаем, что b · b ≤ b · q , где b 2 ≤ a и b ≤ a .

Из доказанной теоремы видно, что вычеркивание чисел в таблице приводит к тому, что необходимо начинать с числа , которое равняется b 2 и удовлетворяет неравенству b 2 ≤ a . То есть, если вычеркнуть числа, кратные 2 , то процесс начинается с 4 , а кратных 3 – с 9 и так далее до 100 .

Составление такой таблицы при помощи теоремы Эратосфена говорит о том, что при вычеркивании всех составных чисел, останутся простые, которые не превосходят n . В примере, где n = 50 , у нас имеется, что n = 50 . Отсюда и получаем, что решето Эратосфена отсеивает все составные числа, которые по значению не больше значения корня из 50 . Поиск чисел производится при помощи вычеркивания.

Данное число простое или составное?

Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.

Доказать что число 898989898989898989 является составным.

Решение

Сумма цифр заданного числа равняется 9 · 8 + 9 · 9 = 9 · 17 . Значит, число 9 · 17 делится на 9 , исходя из признака делимости на 9 . Отсюда следует, что оно составное.

Такие признаки не способны доказать простоту числа. Если нужна проверка, следует производить другие действия. Самый подходящий способ – это перебор чисел. В течение процесса можно найти простые и составные числа. То есть числа по значению не должны превосходить a . То есть число а необходимо разложить на простые множители. если это будет выполнено, тогда число а можно считать простым.

Определить составное или простое число 11723 .

Решение

Теперь необходимо найти все делители для числа 11723 . Необходимо оценить 11723 .

Отсюда видим, что 11723 < 200 , то 200 2 = 40 000 , а 11 723 < 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

Для более точной оценки числа 11723 необходимо записать выражение 108 2 = 11 664 , а 109 2 = 11 881 , то 108 2 < 11 723 < 109 2 . Отсюда следует, что 11723 < 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

При разложении получим, что 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 – это все простые числа. Весь данный процесс можно изобразить как деление столбиком. То есть разделить 11723 на 19 . Число 19 является одним из его множителей, так как получим деление без остатка. Изобразим деление столбиком:

Отсюда следует, что 11723 является составным числом, потому как кроме себя и 1 имеет делитель 19 .

Как проверить, является ли число простым

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 60 человек(а).

Количество источников, использованных в этой статье: 8. Вы найдете их список внизу страницы.

Количество просмотров этой статьи: 193 650.

Простые числа — это числа, которые делятся только на себя и на 1. Все остальные числа называются составными числами. Есть множество способов определить, является ли число простым, и все они имеют свои преимущества и недостатки. С одной стороны, некоторые методы отличаются большой точностью, но они довольно сложны, если вы имеете дело с большими числами. С другой стороны, существуют намного более быстрые способы, но они могут привести к неправильным результатам. Выбор подходящего метода зависит от того, с насколько большими числами вы работаете.

Примечание: во всех формулах n обозначает проверяемое число.

Алгоритмы поиска простых чисел

«Самое большое простое число 2 32582657 -1. И я с гордостью утверждаю, что запомнил все его цифры… в двоичной форме».
Карл Померанс

Натуральное число называется простым, если оно имеет только два различных делителя: единицу и само себя. Задача поиска простых чисел не дает покоя математикам уже очень давно. Долгое время прямого практического применения эта проблема не имела, но все изменилось с появлением криптографии с открытым ключом. В этой заметке рассматривается несколько способов поиска простых чисел, как представляющих исключительно академический интерес, так и применяемых сегодня в криптографии.

Решето Эратосфена

Решето Эратосфена — алгоритм, предложенный древнегреческим математиком Эратосфеном. Этот метод позволяет найти все простые числа меньше заданного числа n. Суть метода заключается в следующем. Возьмем набор чисел от 2 до n. Вычеркнем из набора (отсеим) все числа делящиеся на 2, кроме 2. Перейдем к следующему «не отсеянному» числу — 3, снова вычеркиваем все что делится на 3. Переходим к следующему оставшемуся числу — 5 и так далее до тех пор пока мы не дойдем до n. После выполнения вышеописанных действий, в изначальном списке останутся только простые числа.

Алгоритм можно несколько оптимизировать. Так как один из делителей составного числа n обязательно , алгоритм можно останавливать, после вычеркивания чисел делящихся на .

Иллюстрация работы алгоритма из Википедии:

Сложность алгоритма составляет , при этом, для хранения информации о том, какие числа были вычеркнуты требуется памяти.

Существует ряд оптимизаций, позволяющих снизить эти показатели. Прием под названием wheel factorization состоит в том, чтобы включать в изначальный список только числа взаимно простые с несколькими первыми простыми числами (например меньше 30). В теории предлагается брать первые простые примерно до . Это позволяет снизить сложность алгоритма в раз. Помимо этого для уменьшения потребляемой памяти используется так называемое сегментирование. Изначальный набор чисел делится на сегменты размером и для каждого сегмента решето Эратосфена применяется по отдельности. Потребление памяти снижается до .

Решето Аткина

Более совершенный алгоритм отсеивания составных чисел был предложен Аткином и Берштайном и получил название Решето Аткина. Этот способ основан на следующих трех свойствах простых чисел.

Если n — положительное число, не кратное квадрату простого числа и такое, что . То n — простое, тогда и только тогда, когда число корней уравнения нечетно.

Если n — положительное число, не кратное квадрату простого числа и такое, что . То n — простое, тогда и только тогда, когда число корней уравнения нечетно.

Если n — положительное число, не кратное квадрату простого числа и такое, что . То n — простое, тогда и только тогда, когда число корней уравнения нечетно.

Доказательства этих свойств приводятся в этой статье.

На начальном этапе алгоритма решето Аткина представляет собой массив A размером n, заполненный нулями. Для определения простых чисел перебираются все . Для каждой такой пары вычисляется , , и значение элементов массива , , увеличивается на единицу. В конце работы алгоритма индексы всех элементов массива, которые имеют нечетные значения либо простые числа, либо квадраты простого числа. На последнем шаге алгоритма производится вычеркивание квадратов оставшихся в наборе чисел.

Из описания алгоритма следует, что вычислительная сложность решета Аткина и потребление памяти составляют . При использовании wheel factorization и сегментирования оценка сложности алгоритма снижается до , а потребление памяти до .

Числа Мерсенна и тест Люка-Лемера

Конечно при таких показателях сложности, даже оптимизированное решето Аткина невозможно использовать для поиска по-настоящему больших простых чисел. К счастью, существуют быстрые тесты, позволяющие проверить является ли заданное число простым. В отличие от алгоритмов решета, такие тесты не предназначены для поиска всех простых чисел, они лишь способны сказать с некоторой вероятностью, является ли определенное число простым.

Один из таких методов проверки — тест Люка-Лемера. Это детерминированный и безусловный тест простоты. Это означает, что прохождение теста гарантирует простоту числа. К сожалению, тест предназначен только для чисел особого вида , где p — натуральное число. Такие числа называются числами Мерсенна.

Тест Люка-Лемера утверждает, что число Мерсенна простое тогда и только тогда, когда p — простое и делит нацело -й член последовательности задаваемой рекуррентно: для .

Для числа длиной p бит вычислительная сложность алгоритма составляет .

Благодаря простоте и детерминированности теста, самые большие известные простые числа — числа Мерсенна. Самое большое известное простое число на сегодня — , его десятичная запись состоит из 24,862,048 цифр. Полюбоваться на эту красоту можно здесь.

Теорема Ферма и тест Миллера-Рабина

Простых чисел Мерсенна известно не очень много, поэтому для криптографии с открытым ключом необходим другой способ поиска простых чисел. Одним из таким способов является тест простоты Ферма. Он основан на малой теореме Ферма, которая гласит, что если n — простое число, то для любого a, которое не делится на n, выполняется равенство . Доказательство теоремы можно найти на Википедии.

Тест простоты Ферма — вероятностный тест, который заключается в переборе нескольких значений a, если хотя бы для одного из них выполняется неравенство , то число n — составное. В противном случае, n — вероятно простое. Чем больше значений a использовано в тесте, тем выше вероятность того, что n — простое.

К сожалению, существуют такие составные числа n, для которых сравнение выполняется для всех a взаимно простых с n. Такие числа называются числам Кармайкла. Составные числа, которые успешно проходят тест Ферма, называются псевдопростыми Ферма. Количество псевдопростых Ферма бесконечно, поэтому тест Ферма — не самый надежный способ определения простых чисел.

Тест Миллера-Рабина

Более надежных результатов можно добиться комбинируя малую теорему Ферма и тот факт, что для простого числа p не существует других корней уравнения , кроме 1 и -1. Тест Миллера-Рабина перебирает несколько значений a и проверяет выполнение следующих условий.

Пусть p — простое число и , тогда для любого a справедливо хотя бы одно из условий:

1. Существует целое число r < s такое, что

Чем больше свидетелей простоты найдено, тем выше вероятность того, что n — простое. Согласно теореме Рабина вероятность того, что случайно выбранное число a окажется свидетелем простоты составного числа составляет приблизительно .

Следовательно, если проверить k случайных чисел a, то вероятность принять составное число за простое .

Сложность работы алгоритма , где k — количество проверок.

Благодаря быстроте и высокой точности тест Миллера-Рабина широко используется при поиске простых чисел. Многие современные криптографические библиотеки при проверке больших чисел на простоту используют только этот тест и, как показал Мартин Альбрехт в своей работе , этого не всегда оказывается достаточно.

Он смог сгенерировать такие составные числа, которые успершно прошли тест на простоту в библиотеках OpenSSL, CryptLib, JavaScript Big Number и многих других.

Тест Люка и Тест Baillie–PSW

Чтобы избежать уязвимости, связанные с ситуациями, когда сгенерированное злоумышленником составное число, выдается за простое, Мартин Альбрехт предлагает использовать тест Baillie–PSW. Несмотря на то, что тест Baillie–PSW является вероятностным, на сегодняшний день не найдено ни одно составное число, которое успешно проходит этот тест. За нахождение подобного числа в 1980 году авторы алгоритма пообещали вознаграждение в размере $30. Приз пока так и не был востребован.

Ряд исследователей проверили все числа до и не обнаружили ни одного составного числа, прошедшего тест Baillie–PSW. Поэтому, для чисел меньше тест считается детерминированным.

Суть теста сводится к последовательной проверке числа на простоу двумя различными методами. Один из этих методов уже описанный выше тест Миллера-Рабина. Второй — тест Люка на сильную псевдопростоту.

Тест Люка на сильную псевдопростоту

Последовательности Люка — пары рекуррентных последовательностей , описываемые выражениями:

Пусть и — последовательности Люка, где целые числа P и Q удовлетворяют условию

Найдем такие r, s для которых выполняется равенство

Для простого числа n выполняется одно из следующих условий:

1. n делит
2. n делит для некоторого j < r

Вероятность того, что составное число n успешно пройдет тест Люка для заданной пары параметров P, Q не превышает 4/15. Следовательно, после применения теста k раз, эта вероятность составляет .

Тесты Миллера-Рабина и Люка производят не пересекающиеся множества псевдопростых чисел, соответственно если число p прошло оба теста, оно простое. Именно на этом свойстве основывается тест Baillie–PSW.

Заключение

В зависимости от поставленной задачи, могут использоваться различные методы поиска простых чисел. К примеру, при поиске больших простых чисел Мерсенна, сперва, при помощи решета Эратосфена или Аткина определяется список простых чисел до некоторой границы, предположим, до . Затем для каждого числа p из списка, с помощью теста Люка-Лемера, на простоту проверяется .

Чтобы сгенерировать большое простое число в криптографических целях, выбирается случайное число a и проверяется тестом Миллера-Рабина или более надежным Baillie–PSW. Согласно теореме о распределении простых чисел, у случайно выбранного числа от 1 до n шанс оказаться простым примерно равен . Следовательно, чтобы найти простое число размером 1024 бита, достаточно перебрать около тысячи вариантов.