Приведите пример целого числа у которого ровно 2014 делителей

Приведите пример целого числа у которого ровно 2014 делителей

Определение. Простое число — это натуральное число, большее единицы, которое делится нацело только на единицу и на само себя. Остальные натуральные числа, большие единицы, называют составными. Единицу не относят ни к простым, ни к составным числам.

Теорема 1. Чтобы проверить, является ли натуральное число n составным, достаточно проверить, делится ли оно на какое-нибудь из простых чисел, не превосходящих √ n .
(По определению √ n — это такое неотрицательное число, что (√ n ) 2 = n .)

Теорема 2 (основная теорема арифметики). Каждое натуральное число можно разложить на простые множители, причём такое разложение единственно с точностью до перестановки этих множителей.

Приведите пример целого числа , у которого ровно 2014 делителей.

возникла и развивалась в связи с утверждением христианства — одной из мировых религий (наряду с буддизмом и исламом).

христианство (от греч. christos — , мессия) возникло в 1 в. в контексте мессианистических движений иудаизма, с которым, однако, вскоре вступило в конфликт. первоначально
христианство распространялось среди еврейства палестины и средиземноморья, но уже в первые десятилетия получило мн. последователей из других народов (язычников), до 5 в. — гл.о. в пределах римской империи. особую роль в становлении х.к. сыграли восточные окраины империи — египет с александрией
(центром христианской науки и философии) и сирия. сложна языковая ситуация раннего христианства. проповедь иисуса звучала на разговорном языке тогдашней палестины — арамейском, принадлежащем к семитской группе. однако языком межэтнического общения на запад от сирийско-палестинского ареала был
греческий язык. именно на этом языке написаны тексты самой священной книги христианства — нового завета, и х.к. начинается с обусловленного миссионерской явления, которое принято называть инкультурацией. некоторое время христианская даже в самом риме творится на греческом языке (что характеризует
её космополитическую социальную среду), латиноязычная рождается в северной африке (2-3

распространение раннего христианства происходит на фоне упадка ценностей античности: гражданской этики, дополняющейся презрением к рабам; философского рационализма, сдавшегося под натиском астрологии и
магизма. грубой чувственности паразитических верхов и деморализованных низов христианство противопоставило принцип аскетизма, культу власти и славы — призыв «будь из всех последним и всем слугою» (евангелие от марка, 9,35). отказ участвовать в религиозно-политических церемониях навлекал на христиан
вплоть до поворота империи к христианству при имп. константине i (313) систематические репрессии. лица, подвергшиеся за вере смертной казни («мученики») или заключению и пыткам («исповедники»), составляли большинство среди почитаемых святых раннего христианства; идеал мученика (соотнесённый с
образом распятого христа) стал центральной парадигмой христианской этики, рассматривающей дольний мир как «лежащий во зле» под неправой властью «князя мира сего» (сатаны), а должное поведение как конфликт с этой властью и непременное принятие страдания.

надэтнический пафос
христианства выражался в его обращении ко всем .

став в начале 4 в. официально дозволенной, а к концу его господствующей религией в римской империи, христианство надолго поступает под покровительство, но не под опеку государственной власти; границы христианского мира некоторое время с
границами империи, так что сан императора есть сан единственного верховного светского «предстоятеля» всех христиан в мире. эта парадигма значима ещё для трактата данте алигьери «о монархии» (1310-11). она определила византийскую идеологию священной державы и отчасти некоторые традиции православной
ветви христианства (сравни на руси идею третьего рима). на фоне сакрализации трона реальность вновь и вновь создавала конфликты между христианской совестью и властью, оживляя актуальные для любой эпохи христианства идеалы мученичества и исповедничества, морального сопротивления власти. неоднозначно
также отношение христианства к греко-римской культурной традиции. христианские авторы в резких выражениях критиковали дискуссии философских школ, внешний лоск риторической образованности, гедонизм поэзии, музыки, театра и пластических искусств, а также исконную связь всего этого с языческим культом.
с другой стороны, универсалистское устремление христианского миссионерства делало неизбежным усвоение языка греко-римской культуры.

Практика оптимального программирования. Поиск делителей числа

Гадание на кофейной гуще или на картах Таро? Может, на ромашке? Хотя лучше не доверять свои отношения цветку. Наша судьба — только в наших руках. А судьба чисел предопределена заранее. Сегодня мы будем предсказывать их жизнь и судьбу по делителям. Но главная проблема — найти эти делители.

Постановка проблемы. Переборное решение

Встречали ли вы странных персонажей в задачах, которым резко понадобилось купить 50 арбузов? А что подумаете, если ваш учитель математики задаст найти число, у которого 50 делителей?

Поиск делителей в математике не самый сложный процесс. Есть разные способы: разложение на простые множители, обычный перебор и так далее. Сложность задания будет зависеть от самого числа. Довольно быстро получится найти делители числа 24 — число небольшое, красивое, удобное. Нахождение делителей числа 1234567 займет гораздо больше времени.

Я предлагаю включить компьютер, открыть среду разработки и заставить код сделать за нас всю работу.

Идея в следующем:

1. Создадим список, в который мы сохраним все делители числа.
2. С помощью цикла for переберем все числа из диапазона от 1 до самого числа.
3. Если в переборе мы нашли такое число, которое является делителем исходного — остаток от деления будет равен 0 — сохраним это число в список.

В итоге мы получим список всех делителей исходного числа.

У этого метода есть очень большая проблема — время его работы.

Программа выполняет команды очень быстро, но не бесконечно быстро.

Время работы программы можно измерить. Например, Sublime Text 3 занимается этим автоматически. И он помог посчитать, что программа выше выполнилась за 0.2 секунды. Давайте постепенно повышать ставки и смотреть, сколько времени понадобится этой же программе для поиска делителей других чисел:
— число 1234567 — 0.2 секунды;
— число 12345670 — 0.9 секунды;
— число 123456700 — 8.0 секунд;
— число 1234567000 — 115.7 секунд.

Замеры времени зависят от многих факторов, например, мощности компьютера. Но мы можем повысить эффективность работы программы.

Ускоренный перебор делителей

Идея ускоренного перебора делителей заключается в том, что, найдя один делитель, мы сразу можем подобрать второй — его пару.

Возьмем число 24. Найдя его делитель 2, мы сразу можем сказать, что у 24 есть еще один делитель — 12, потому что 12 = 24 / 2. Интересная мысль? Давайте ее развивать.

Найдем по такой логике все делители числа 16.

1. Самый простой делитель числа — 1. И по этой логике сразу найдем второй делитель — само число 16, так как 16 / 1 = 16.

1. Проверим число 2. Это делитель, так что сразу найдем его пару: 16 / 2 = 8.

1. Проверяем число 3 — это не делитель, его просто пропускаем.

1. При проверке числа 4 мы столкнемся с интересной ситуацией. Его парой будет 16 / 4 = 4 — то же самое число, а мы ищем различные пары. Значит, у корня числа пары не будет: найдя корень, мы найдем только один делитель.

Если мы продолжим перебор, числа 5, 6 и 7 — не будут делителями. А за ними — 8, делитель, который мы уже нашли.

Если у числа целого корня нет, перебираем до его округленного вниз значения.
Нам нет смысла перебирать числа после корня, так что будем перебирать до предельно близкого к нему значения, но не больше.

Логика программы будет такой:

1. Перебираем числа от 1 до корня исходного числа.
2. Если мы нашли корень числа, добавляем в список делителей только его.
3. Если мы нашли не корень, а обычный делитель — добавляем в список сразу пару делителей.

Пример реализации ускоренного перебора делителей для числа 1234567000:

Эта программа нашла все делители числа и выдала их количество — 64. А на ее работу ушло меньше секунды.

Но и это не панацея. Что, если нам придется проверить делители сразу нескольких чисел? Например, мы хотим найти все числа, у которых ровно 7 делителей, в диапазоне от 1 до 10000.

Программу надо немного модифицировать:

1. заведем переменную-счетчик, которая будет считать подходящие числа;
2. number сделаем перебираемой переменной по нужному диапазону с помощью цикла for;
3. ускоренный перебор будет внутри перебора number;
4. в конце каждого шага цикла проверяем — если делителей у числа ровно 7, то увеличиваем наш счетчик на 1.

Теперь программа будет выглядеть следующим образом:

Эта программа работала всего 0.2 секунды. Звучит неплохо, но давайте снова поднимать ставки:

1. диапазон 1 — 10000 — 0.2 секунды;
2. диапазон 1 — 100000 — 2.6 секунды;
3. диапазон 1 — 1000000 — 80.2 секунды.

Время снова увеличивается очень быстро. Что можно с этим сделать?

Еще более ускоренный перебор делителей

Не считаем, что не нужно

Обратите внимание — программа выше нашла среди чисел 1–10000 всего 2 числа, имеющих ровно 7 делителей. А сколько же у остальных? Может быть и больше, может быть и меньше. Например, у числа 9864 делителей аж 24 штуки. Стоило ли тратить время на поиск их всех, если количество делителей больше 7?

Конечно, нет. Как только мы нашли 8 штук, мы уже можем понять, что анализировать число далее нам неинтересно. Значит, нужно остановить работу цикла.

Команда break полностью останавливает работу цикла.

Мы можем модернизировать нашу последнюю программу: если в переборе делителей мы увидим, что их больше семи, завершаем цикл командой break.

При этом завершится именно цикл перебора делителей i, так как break находится именно в нем, а цикл перебора number продолжит свою работу.

Давайте произведем замеры еще раз:

1. диапазон 1-10000 — 0.2 секунды;
2. диапазон 1-100000 — 2.1 секунды;
3. диапазон 1-1000000 — 53.5 секунды.

В последнем случае мы сэкономили около трети от времени работы программы. Но и это не предел.

Не считаем, что не нужно 2.0

Вернемся на несколько абзацев выше, когда мы искали делители числа 16. Мы нашли 5 делителей — 2 пары и 1 корень, который не даст пару. Это справедливо для любого числа: целый корень не будет давать пару ни с каким другим числом, а все остальные делители — будут.

Нам нужны числа, у которых ровно 7 делителей. Следовательно, нам нужны числа, у которых есть целый корень. Это можно проверить, вычислив точный корень числа и его округленное значение. Если они совпадут, значит, округлять корень было некуда и он целый.

Но как пропускать числа, которые нам не нужны?

Команда continue останавливает работу текущего шага цикла и сразу переходит к следующему.

Если мы найдем число number, у которого нет целого корня, мы можем применить команду continue: данный шаг цикла перебора number завершается, и мы сразу перейдем к следующему.

Включить эту проверку в программу можно следующим образом:

Снова посмотрим на время работы программы при разных диапазонах:

1. диапазон 1-100000 — 0.1 секунды;
2. диапазон 1-1000000 — 0.5 секунды;
3. диапазон 1-10000000 — 4.5 секунды;
4. диапазон 1-100000000 — 44.4 секунды.

А делители — это вообще для чего? А таблицы со временем — это точно важно? Может, подождать проще, чем учить все это?

Нахождению делителей чисел посвящена задача 25 ЕГЭ, и без этих теоретических знаний решить ее крайне сложно. Что же касается времени работы, то за ним приходится следить внимательнейшим образом, ведь в задачах могут встречаться ситуации, когда надо найти делители для сотен миллионов чисел за раз!

Зная все особенности ускорения перебора делителей и поиска чисел с конкретными делителями, за считанные секунды можно решать задачи огромных диапазонов.

Фактчек

• Ускоренный перебор делителей подразумевает нахождение делителей попарно, при этом перебирать делители достаточно только до корня числа.
• Команда break полностью останавливает работу цикла, а команда continue завершает работу лишь текущего шага цикла, перенося нас сразу на следующий.
• Если у числа есть целый корень, количество делителей числа будет нечетным, так как корень не даст пару ни с кем. Если же у числа целого корня нет — количество его делителей будет четным, так как все делители будут иметь пару.

Проверь себя

Задание 1.
Для чего нужен ускоренный перебор делителей?

1. Обычный перебор слишком скучный
2. Для большей точности вычислений
3. Для ускорения работы программы

Задание 2.
Найдите количество делителей числа 2568568668.

1. 5
2. 6
3. 7
4. 8

Задание 3.
Найдите, сколько чисел из диапазона от 2000 до 1002000 имеют ровно 5 делителей.

1. Ни одного
2. 1
3. 10
4. 8

Ответы: 1. — 3; 2. — 3; 3. — 4.

Задание 19. Вариант 33. Сборник Ященко 36 вариантов ФИПИ школе ЕГЭ 2020.

а) Приведите пример трёхзначного числа, у которого ровно 7 натуральных делителей.

б) Существует ли такое трёхзначное число, у которого ровно 21 натуральный делитель?

в) Сколько существует таких трёхзначных чисел, у которых ровно 18 натуральных делителей?

а) Рассмотрим трехзначное число, например, 121, оно разлагается на два простых числа 11 и 11: $$121=<11>^2.$$ Если к степеням простых множителей добавить 1 и полученные числа перемножить, то получим общее число делителей числа. В данном случае имеем $$2+1=3$$ — общее число делителей числа 121, это числа: 1, 11 и 121.

Чтобы получить ровно 7 делителей можно взять число $$3^6=729$$, у которого будет $$6+1=7$$ делителей. Это делители: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729. Ответ: 729.

б) Если у числа 21 делитель, то можно, например, подобрать простые множители со степенью 20, но минимальное число $$2^<20>$$ — это явно не трехзначное число. Вместе с тем, число 21 можно представить в виде произведения $$21=3\cdot 7$$ и взять множители $$2^6\cdot 3^2=64\cdot 9=576$$. У числа 576 21 делитель:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 64, 72, 96, 144, 192, 288, 576. Ответ: 576.

в) Ровно 18 делителей для трехзначных чисел можно получить следующим образом. Число 18 можно представить в виде множителей $$\prod_i<(a_i+1)>$$ следующими вариантами: $$18=2\cdot 3\cdot 3=\left(1+1\right)\cdot \left(2+1\right)\cdot \left(2+1\right);18=\left(5+1\right)\cdot \left(2+1\right);18=\left(8+1\right)\cdot \left(1+1\right).$$

То есть для получения трехзначных чисел с 18-ю делителями, необходимо перебрать все простые множители, с соответствующим числом делителей и степенями: