Точки симметричных относительно абсцисс как это

График функции. Симметричное (зеркальное) отображение.

Этот тип преобразований необходимо проводить в случаем, когда присутствует «минус» перед коэффициентами k_1, (симметрично отображаем график относительно оси ox ) и k₂ (симметрично отображаем график относительно оси oy). Когда знак «минус» отсутствует, то этот этап пропускается.

Говоря другими словами:

Когда функция принимает вид y = f (-x) выполняем симметричное отражение графика относительно оси ординат (0у).

Когда функция принимает вид y = — f (x) выполняем симметричное отражение графика относительно оси абсцисс (0х).

5.3. Виды симметричных периодических функций

Периодические несинусоидальные функции, обладающие каким-либо видом симметрии, имеют определенные свойства, которые упрощают разложение этих функций в тригонометрический ряд. Существуют функции, симметричные относительно оси абсцисс, относительно оси ординат, относительно начала координат, а также функции, симметрич­ные как относительно оси абсцисс, так и относительно оси ординат. Рас­смотрим такие функции.

Функция, симметричная относительно оси абсцисс. Функция, удов­летворяющая условию

(5.8)

называется симметричной относительно оси абсцисс (рис. 5.4). Иными словами, функция симметрична относительно оси абсцисс, если ее двум абсциссам, отличающимся на полпериода Т/2, соответствуют равные, но разные по знаку ординаты. Кривая обладает свойством сим­метрии относительно оси абсцисс в том случае, если в результате сме­щения ее положительной полуволны по оси на полпериода, т. е. на Т/2, и зеркального отражения относительно оси t получается изобра­жение отрицательной полуволны.

Такая функция при разложении в ряд Фурье не содержит постоян­ной составляющейA₀ и высших гармоник четного порядка. Докажем это положение. Так как условием симметрии является равенство

Последнее равенство имеет место при любых значениях ωt, что возможно только при условии, когда A₀ = 0, А_2m = 0, А_4m = 0 и т. д., т. е. когда нулевая гармоника и амплитуды четных гармоник равны нулю.

Таким образом, функция, симметричная относительно оси абсцисс, при разложении в ряд Фурье содержит только нечетные гармоники.

Следовательно,ряд Фурье такой функции имеет вид

Функция, симметричная относительно оси ординат. Функция, удовлет­воряющая условию

(5.10)

называется симметричной относительно оси ординат (рис. 5.5). Иными словами функция симметрична относительно оси ординат, если двум равным ординатам, соответствуют равные, но разные по знаку абсциссы.

Функция, симметричная относительно оси ординат, при разложе­нии в ряд Фурье не содержит синусов, а содержит только косинусы и постоянную составляющую. Рассмотрим это свойство симметрии.

Итак, условие симметрии f(ωt) = f(-ωt), или f(ωt) — f(-ωt) = 0, где

Следует иметь в виду, что при изменении знака аргумента синусы меняют знак, а косинусы его не меняют, так как cos (- ωt) = cos (ωt). В результате алгебраического сложения уравнений (5.11) и (5.12) имеем

Это равенство будет иметь место при любых значениях ωt, но при условии, когда В_1m = 0, В_2m = 0, В_3m = 0 и т. д. Следовательно, при симметрии функции относительно оси ординат ряд не содержит синусов:

(5.13)

Функция» симметричная относительно начала координат. Функция, у которой точка нуля функции совпадает с началом координат (рис. 5.6) и удовлетворяет условию

(5.14)

называется симметричной относительно начала координат. Согласно (5.14), условие симметрии для данной функции можно также записать в виде

Складывая уравнения (5.11) и (5.12), получим

Это равенство справедливо при условии А₀ = 0, С_1m = 0, С_2m = 0, С_3m = 0 и т. д. Следовательно, функции, симметричные относительно начала координат, не содержат постоянной составляющей и косинусов и могут быть представлены рядом

(5.15)

Функция, симметричная как относительно оси абсцисс, так и начала координат. Если функция симметрична относительно оси абсцисс, то при разложении ее в ряд в нем отсутствуют нулевая и четные гармо­ники, а для функции, симметричной относительно начала координат, кроме того, отсутствуют и косинусоиды. Следовательно, функция, сим­метричная как относительно оси абсцисс, так и начала координат , (рис. 5.7), при разложении в ряд состоит только из синусоид нечетного порядка:

(5.16)

Пример 4.3. К трехпроводной трехфазной линии с линейным на­пряжением 380 В подключен трехфазный приемник с параметрами R=10 Ом, X_L = 10 Ом, Х_с=10 Ом. Рассчитать токи в фазах и в линии, построить совмещенные топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

Решение. Сопротивления фаз по модулю одинаковые, но по аргументу разные; следовательно, нагрузка несимметричная и ток, каждой фазы необходимо рассчитать отдельно.

Комплексные сопротивления фаз:

Комплексные линейные напряжения:

Рисунки к примеру 4.3.

Для построения векторных диаграмм выбираем масштабы напряже­ния и тока. Строим топографическую диаграмму напряжений. Векторы фазных токов I_ab, I_bc, J_ca соот­ветственно откладываем относительно векторов линейных напряжений U_ab, U_bc, U_ca под углами φ_ab= 0, φ_bc = 90°, φ_ca = -90 о . За­тем в соответствии строим векторы I_A, I_B, I_C длина и на­правление которых должны соответствовать расчетным данным.

Пример 4.4. К трехфазной линии с U_Л=380 В подключены трехфазный симметричный приемник, фазы которого соединены треугольником, и группа однофазных приемников, соединенных звездой с ней­тральным проводом. Комплексное сопротивление фазы сим­метричного приемника Z_ф = 20 е j 15 ° Ом. Активные мощности однофазных приемников Р_a=5500 Вт, Р_b=3300 Вт, Р_c=7700 Вт при соsф_ф = 1. Со­противлением проводов можно пренебречь. Определить: фазные и ли­нейные токи симметричного приемника, токи в несимметричных приемниках, суммарные активную, реактивную и полную мощности.

Решение. Фазные напряжения при соединении звездой с нейтральным проводом Uф =U_Л /= 380/= 220 В.

Рисунок к примеру 4.4.

Фазные токи однофазных приемников:

Фазные и линейные токи трехфазного приемника:

и его активная, реактивная и полная мощности:

Осевая симметрия

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Осевая симметрия»

Сегодня на уроке мы вспомним такое понятие как осевая симметрия на плоскости, введём понятие осевой симметрии в пространстве, проверим, будет ли осевая симметрия движением пространства.

Давайте вспомним, что фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая называется осью симметрии фигуры. Про такую фигуру говорят, что она обладает осевой симметрией.

Давайте приведём примеры таких фигур из жизни и геометрии.

Ещё мы давали такое определение:

Точки и называются симметричными относительно прямой , если прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна к этому отрезку.

Прямая называется осью симметрии.

Каждая точка прямой считается симметричной самой себе.

В курсе планиметрии мы доказывали, что осевая симметрия является движением.

Напомним это доказательство.

Пусть точки М и N – какие-нибудь точки плоскости, а точки М₁, и N₁ – симметричные им точки относительно прямой А. Здесь может быть несколько вариантов расположения точек на плоскости.

Рассмотрим один из таких вариантов.

По построению симметричных точек относительно прямой А, прямая А перпендикулярна прямым ММ₁ и NN₁ и делит эти отрезки пополам, значит, в треугольниках МОМ₁ и NОN₁ отрезки ОК и ОЕ будут являться медианами и высотами, проведёнными к основанию, то есть это равнобедренные треугольники.

.

.

Заменив отрезок равным ему отрезком , а отрезок – равным ему отрезком , получим, что .

Вывод: таким образом, мы доказали, что расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками М один и N₁.

Получаем, что осевая симметрия – пример движения плоскости.

В пространстве осевой симметрией с осью мы назовем такое отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку относительно оси .

Теперь давайте проверим, будет ли осевая симметрия в пространстве движением пространства.

Для этого введём прямоугольную систему координат Оxyz так, чтобы ось Оz совпала с осью симметрии. Теперь давайте попробуем найти связь между координатами точки М с координатами x, y, z и точки М₁ с координатами x₁, y₁,z₁, симметричных относительно оси Оz.

Если точка М не лежит на оси Оz, то по определению оси симметрии, ось Оz проходит через середину отрезка ММ₁ и перпендикулярна к этому отрезку. Поскольку Оz – середина отрезка ММ₁, и абсциссы и ординаты точек оси Оz равны нулю, то можно записать, что и .

То есть , .

Условие того, что ось Оz перпендикулярно прямой ММ₁ даёт нам, то что аппликаты точек М и М₁ равны .

Если же точка М лежит на оси Оz, то она отображается сама на себя, по определению оси симметрии, значит, и в этом случае будут выполнятся полученные равенства.

Вывод: для симметричный точек относительно оси Оz абсциссы и ординаты противоположны, а аппликаты равны.

Возникает вопрос, а если ось симметрии совпадает не с осью Оz, а, например, Оx или Оy. Тогда связь между координатами симметричных точек М и М₁ будет такая: если ось симметрии проходит через ось Оx, то точки М и М₁ имеют такие координаты , .

Если осью симметрии будет ось Оy, то точки М и М₁ имеют такие координаты , .

Теперь давайте рассмотрим любые две точки и . По только что доказанным формулам для координат симметричных точек получим, что точка . Точка .

Теперь давайте найдём расстояние .

Получим, что .

Теперь давайте найдём расстояние между точками и .

Очевидно, что оба эти выражения равны, то есть получим, что . То есть расстояние между точками при осевой симметрии в пространстве сохраняется, значит, осевая симметрия в пространстве также является движением, но уже не плоскости, а пространства.

Задача: найти координаты точек, в которые переходят точки , , при осевой симметрии относительно координатных осей.

Решение: сначала найдём координаты точек в которые переходит точки , , при осевой симметрии относительно оси Ох.

Если точка симметрична точке относительно оси то справедливы формулы: .

Точка отобразится в точку .

Точка отобразится в точку .

Точка отобразится в точку .

Если точка симметрична точке относительно оси то справедливы формулы: .

Точка отобразится в точку .

Точка отобразится в точку .

Точка отобразится в точку .

Если точка симметрична точке относительно оси то справедливы формулы: .

Точка отобразится в точку .

Точка отобразится в точку .

Точка отобразится в точку .

Сегодня на уроке мы ввели понятия осевой симметрии в пространстве. Показали, что и в пространстве осевая симметрия будет примером движения. Решили несколько задач.

Уравнение оси симметрии заданных точек

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

• Ось симметрии угла — биссектриса.
• Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
• Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
• У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
• У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
• Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
4. Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

1. Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
2. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
3. Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
4. Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A₁ и B₁.
5. Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
5. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

6.7.3. Осевая симметрия

Точки А и А₁ симметричны относительно прямой m, так как прямая m перпендикулярна отрезку АА₁ и проходит через его середину.

m – ось симметрии.

Прямоугольник ABCD имеет две оси симметрии: прямые m и l.

Если чертеж перегнуть по прямой m или по прямой l, то обе части чертежа совпадут.

Квадрат ABCD имеет четыре оси симметрии: прямые m, l, k и s.

Если квадрат перегнуть по какой-либо из прямых: m, l, k или s, то обе части квадрата совпадут.

Окружность с центром в точке О и радиусом ОА имеет бесчисленное количество осей симметрии. Это прямые: m, m_1, m₂, m_{3 .}

Задание. Построить точку А₁, симметричную точке А(-4; 2) относительно оси Ох.

Построить точку А₂, симметричную точке А(-4; 2) относительно оси Оy.

Точка А₁(-4; -2) симметрична точке А(-4; 2) относительно оси Ох, так как ось Ох перпендикулярна отрезку АА₁ и проходит через его середину.

У точек, симметричных относительно оси Ох абсциссы совпадают, а ординаты являются противоположными числами.

Точка А₂(4; -2) симметрична точке А(-4; 2) относительно оси Оy, так как ось Оу перпендикулярна отрезку АА₂ и проходит через его середину.

У точек, симметричных относительно оси Оу ординаты совпадают, а абсциссы являются противоположными числами.

Как найти ось симметрии квадратичной функции

Как найти ось симметрии квадратичной функции — Разница Между

Содержание:

Что такое квадратичная функция

Полиномиальная функция второй степени называется квадратичной функцией. Формально f (x) = ax 2 + bx + c — квадратичная функция, где a, b и c — действительные постоянные и a ≠ 0 для всех значений x. График квадратичной функции является параболой.

Как найти ось симметрии квадратичной функции

Любая квадратичная функция показывает поперечную симметрию поперек оси y или линии, параллельной ей. Ось симметрии квадратичной функции может быть найдена следующим образом:

F (X) = ах 2 + bx + c, где a, b, c, x∈R и a ≠ 0

Написание х терминов в виде полного квадрата у нас есть,

Переставляя члены вышеприведенного уравнения

Это означает, что для каждого возможного значения f (x) есть два соответствующих значения x. Это хорошо видно на диаграмме ниже.

расстояние влево и вправо от значения -b / 2a. Другими словами, значение -b / 2a всегда является средней точкой линии, соединяющей соответствующие значения x (точки) для любого заданного f (x).

Следовательно ,
x = -b / 2a — уравнение оси симметрии для заданной квадратичной функции в виде f (x) = ax 2 + BX + C

Как найти ось симметрии квадратичной функции — Примеры

• Квадратичная функция определяется как f (x) = 4x 2 + Х + 1. Найдите симметричную ось.

х = -b / 2a = -1 / (2 × 4) = — 1/8

Следовательно, уравнение оси симметрии имеет вид х = -1 / 8

• Квадратичная функция задается выражением f (x) = (x-2) (2x-5)

Упрощая выражение, мы получаем f (x) = 2x 2 -5x-4x + 10 = 2x 2 -9x + 10

Мы можем сделать вывод, что a = 2 и b = -9. Следовательно, мы можем получить ось симметрии как