Как построить дробно линейное отображение

Построение дробно-линейной функции, заданной в трех точках

Найдем вначале дробно-линейную функцию , которая в различных точкахпринимает соответствующие значения,,. Очевидно– общий вид этой функции. Так какравно нулю (), то обязательно. Поэтому.

Аналогично, так как , тои поэтому, значит.

Наконец, в силу получаем:. Аналогично получаем:.

Найдем теперь отображение , которое переводит три различные конечные точкисоответственно в три различные конечные точки:. Легко видеть, что отображение, переводящее точкисоответственно вимеет вид. Ясно, что отображениебудет переводить точкив. Поэтому, применяя к обеим частям равенства отображение, получим.

Обычно для отображения пользуются не последней формулой, предыдущей. При этом обозначаютчерезW. В результате получают равенство =:(2). Отсюда и находят.

Отметим, что если одна из точек или одна из точекобращаются в, то разности, в которых участвуют эти точки в равенстве (2) замещаются на (1).

, тогда вместо ,.

Инвариантность двойного отношения при дробно-линейном преобразовании.

Рассмотрим четыре различные точки a, b, c, d, тогда двойное отношение называетсядвойным или ангарническим отношением.

В случае, когда одно из этих чисел a, b, c, d обращается в , разности отношения, в котором участвует этазаменяется на1. Двойное отношение обозначают символом (a, b, c, d).

Рассмотрим четыре произвольных числа a, b, c, d и какое-нибудь дробно-линейное отображение , переводящее их соответственно в числаA, B, C, D. Так как a, b, d L переводит в A, B, D, то оно имеет вид:

.

Так как W = h(z) переводит c в C, то будет выполняться равенство:

,

Итак, всякая дробно-линейная функция составляет инвариантное двойное отношение комплексных чисел.

Отображение областей ограниченных прямыми илиокружностями.

Если каждая из линий γ иГ является прямой или окружностью, а тройки z₁, z₂, z₃, и тройки W₁, W₂, W₃ состоящие из попарно различных точек принадлежит соответственно линиям γ иГ, то существует дробно-линейная функция W = h(z), отображающая γ на Г и, такая что, выполняется равенство h(z_k) = W_k (k = 1,2,3).

Доказательство.

Как мы знаем, существует единая дробно-линейная функция W = h(z), которая отображает точки z₁, z₂, z₃, соответственно в точки W₁, W₂, W₃. Эта функция определяется из отношения:

(1)

(разрешим отношение W и получим необходимую функцию). Эта дробно-линейная функция отобразит прямую или окружность γ на прямую или окружность .

Т.к. точки z₁, z₂, z₃ γ, то точки W₁, W₂, W₃ будут принадлежать. Но по построению отображения W = h(z) точки W₁, W₂, W₃ принадлежат еще Г.

Т.к. через закон различные точки W₁, W₂, W₃ можно провести через прямую или окружность, то= Г.

Пусть области g и G ограничены соответственно линиями γ и Г, каждая из которых является прямолинейной окружностью.

И тройки z₁, z₂, z₃; W₁, W₂, W₃ принадлежащие соответственно линиям γ и Г обладают свойством: при движении наблюдателя вдоль линии γ из z₁ в z₃ через z₂, которая остается слева от наблюдателя, и аналогично при движении наблюдателя вдоль линии Г из W₁ в W₃ через W₂. Область G также остается слева от наблюдателя, тогда дробно-линейная функция W=h(z), обладающая свойством: h(z_k) = W_k (k = 1, 2, 3), отображает область g на область G.

Доказательство.

Построим дробно-линейную функцию (1). Она обладает свойством (2) h(z_k)=W_k и отображает линию γ наГ. Покажем, что эта дробно-линейная функция отображает область g на область G.

Мы знаем, что дробно-линейная функция осуществляет конформные отображения 1 го рода. Поэтому, если отрезок δ, являющийся нормалью к линии γ, проведенной через точку z₂ внутрь области g, т. е. влево от наблюдателя, стоящего в точке z₂ и стоящего вдоль линии γ в выбранном направлении, то его образ Δ определен (также являющимся отрезком прямой или другой окружности) будет также направлен в левую сторону от наблюдателя, стоящего в точке W₂ и стоящего вдоль линии Г в выбранном направлении. Следовательно, этот образG, следовательно, h(g) = G.

Отобразить взаимнооднозначно и конформно верхнюю полуплоскость > 0 на внутренности единичной окружности.

Пусть z₁ = -1, z₂ = 0, z₃ = 1, W₁ = 1, W₂ = i, W₃ = -1.

Тогда, по предыдущей теореме дробно-линейная функция, определяемая уравнением , будет отображать верхнюю полуплоскостьg на внутренность G единичного круга. Можно показать, что эта функции равна .

Как построить дробно линейное отображение

где ad—bс неравно 0;часто применяется унимодулярная нормировка ad—bс=1. Всякое Д.-л. о. доопределяется соответствиями и до взаимно однозначного отображения расширенной плоскости С на себя. Простейшими среди Д.-л. о. являются линейные: получающиеся при с=0. Всякое нелинейное Д.-л. о. представимо в виде суперпозиции двух линейных отображений и отображения L₀:Свойства Д.-л. о. L₀ становятся наглядными на Римана сфере, так как при стереографич. проекции ему соответствует поворот сферы на 180° вокруг диаметра, проходящего через образы точек

Основные свойства. Д.-л. о. отображает взаимно однозначно и конформно С на себя. Круговое свойство: при Д.-л. о. любая окружность на С (т. е. окружность на С или прямая, пополненная точкой бесконечности) переходит в окружность на С. Инвариантность отношения симметрии двух точек: пара точек z, z*, симметричных относительно какой-либо окружности на при Д.-л. о. переходит в пару точек w, w*, симметричных относительно образа этой окружности. Двойное отношение четырех точек на С инвариантно относительно Д.-л. о., т. е. если точки x₁, x₂, x₃,x₄ при Д.-л. о. переходят соответственно в z₁,z₂, z₃, z₄, то

Для любых заданных троек x₁, x₂,x₃ и z₁, z₂, z₃, попарно различных точек на С, существует и притом только одно Д.-л. о., переводящее соответственно k=1, 2, 3.

Все конформные автоморфизмы единичного круга . образуют подгруппу Aut Вгруппы Aut С, состоящую из Д.-л. о. вида:

Исключив тождественное Д.-л. о. E(z), можно сказать, что Д.-л. о. имеет не более двух различных неподвижных точек x₁, x₂ на С. В случае двух различных неподвижных точек семейство окружностей 2, проходящих через x₁ и x₂, переводится Д.-л. о. (1) само в себя. При этом семейство е’ всех окружностей, ортогональных к окружностям е, также переходит само в себя. Здесь возможны в свою очередь три случая.

где множитель Д.-л. о. m>0, Унимодулярное Д.-л. о. (1) является гиперболическим тогда и только тогда, когда и |a+d|>2.

2) Каждая окружность 2′ переходит сама в себя; такое Д.-л. о. наз. эллиптическим ив нормальной форме (3) характеризуется множителем m таким, что |m| = 1, Унимодулярное Д.-л. о. (1) является эллиптическим тогда и только тогда, когда

|a+d|<2.

3) Ни одна из окружностей семейств 2 и 2′ не переходит сама в себя; такое Д.-л. о. называется локсодромическим и в нормальной форме (3) характеризуется множителем таким, что либо

либо m<0. Унимодулярное Д.-л. о. (1) является локсодромическим тогда и только тогда, когда

при либо

при Унимодулярное Д.-л. о. (1) является параболическим тогда и только тогда, когда a+d=

Наиболее важны те Д.-л. о. С n , к-рые продолжаются в какую-либо компактификацию С n . Так, в пространство теории функций продолжаются все линейные преобразования, переставляющие координаты, а также Д.-л. о. вида

где L_k(z_k) — Д.- л. о. вида (1) на плоскости z_k. Порождаемая перечисленными отображениями группа Д.-л. о. совпадает с группой Aut всех биголоморфных автоморфизмов компактификации Соответствующая подгруппа Aut U n с

исчерпывает все автоморфизмы единичного поликруга U n =.|z_j|<1, j=1, . п). В проективное замыкание СР n пространства С n продолжаются Д.-л. о., у к-рых

Функция , где – комплексные числа, удовлетворяющие условию , называется дробно-линейной, а отображение, осуществляемое ею – дробно-линейным отображением. При надо считать, что , , а при считать .

Существует единственная дробно-линейная функция, отображающая заданные три различные точки расширенной комплексной плоскости в заданные три различные точки соответственно. Она находится из соотношения

, (1)

которое надо рассматривать как уравнение относительно . При этом, если некоторые из чисел равны , то дробь, у которой в числителе и знаменателе присутствует , надо считать равной 1. Например, если w₁ = , то надо считать

.

Точки и называются симметричными относительно окружности , если они расположены на одном луче, выходящем из центра , и

Чтобы найти образ ориентированной окружности (или прямой) при дробно-линейном отображении , надо взять на данной окружности три различные точки согласно направлению обхода, найти их образы и провести через них окружность, которая и будет образом данной окружности. Направление обхода на ней надо брать от точки к точке и от к .

Чтобы найти образ части окружности или прямой (дуги, отрезка, луча) при дробно-линейном отображении , надо взять на ней три точки: начальную , какую-нибудь «среднюю» и конечную , найти их образы , провести через них окружность и взять ту часть, для которой – начальная точка, – «средняя точка» и – конечная точка.

Чтобы найти образ области, ограниченной дугами окружностей и частями прямых, надо выбрать на границе области направление обхода так, чтобы область оставалась слева, и найти образы всех частей границы с учетом их направлений. Эти образы в совокупности образуют некоторую ориентированную замкнутую линию, может быть, неограниченную, т.е. замкнутую в . Тогда область, остающаяся слева от этой линии, будет образом исходной области.

Чтобы найти какое-нибудь одно конформное отображение области , ограниченной окружностью (или прямой), на подобную же область , надо выбрать направления обходов границ и областей и так, чтобы области оставались слева. Затем на границах и взять согласно направлениям обходов по три различных точки и соответственно и из уравнения (1) найти дробно-линейную функцию , которая и будет одним из конформных отображений области на область .

В общем случае конформное отображение единичного круга на единичный круг имеет вид:

конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0 на единичный круг имеет вид:

1. Найти дробно-линейную функцию, отображающую точки соответственно в точки .

.

2. Найти точку, симметричную с точкой относительно окружности .

Решение. Из рис. 1, на котором изображены точка z₁ = 3 и окружность видно, что искомая симметричная точка расположена внутри окружности и имеет вид , где x > -2. Это следует из подобия соответствующих треугольников. Подставив z₁, z₂ в равенство

получим: , откуда с учетом неравенства x > -2 находим . Тогда .

3. Найти образы окружностей при отображении

Подставив сюда , найденное из уравнения , получим:

Считая , получим семейство вертикальных прямых

4. Найти образы области D при отображении , если

а)

б)

в) .

Граница области в данном случае состоит из двух частей: полуокружности и двух лучей, которые надо рассматривать как одну непрерывную часть прямой Im z = 0, так как прямая считается окружностью, проходящей через , т.е. непрерывной кривой, замкнутой в . На этих лучах, как на одной части границы , выберем начальную точку z₁ = -1, среднюю точку z₂ = , конечную точку z₃ = 1 и найдем их образы

.

Проведем через точку – , 1, окружность и возьмем ту часть, для которой — – начало, 1 – средняя точка, – конец. Ею будет дуга Г₁ (рис. 3). Направление обхода на дуге Г₁ берется от – к 1 и от 1 к . Эта дуга будет образом совокупности двух лучей .

Найдем образ полуокружности . Образами начала 1, средней точки – и конца -1 полуокружности будут точки , 0 и – соответственно. Окружность, проходящая через эти точки, есть прямая Re w = 0, поэтому образом полуокружности будет отрезок Г₂ с концами и – , направленный сверху вниз (рис. 3).

Следовательно, образом границы при отображении будет замкнутая кривая Г₁Г₂, направленная против часовой стрелки, а образом области D – полукруг, изображенный на рис. 3.

Так как дробно-линейная функция отображает на , то образом области D будет , из которой надо выкинуть образ отрезка [-2;1]. Так как образами начала -2, «средней точки» 0 и конца 1 при отображении будут соответственно точки , то образом отрезка [-2;1] будет луч . Тогда образом области D будет плоскость с разрезом по лучу (рис.5).

в) Граница области D состоит из прямой , ориентированной слева направо, и окружности , ориентированной против часовой стрелки (рис. 6). При отображении точки , расположенные на прямой согласно направлению обхода, переходят соответственно в точки Значит, прямая

переходит в прямую , ориентированную справа налево (рис.7). Аналогично, взяв на окружности точки 2 , 1+ , 0 и вычислив их образы , найдем образ окружности . Им будет прямая , ориентированная слева направо. Значит, образом границы будет совокупность прямых Г₁ и Г₂, а образом области D будет полоса , изображенная на рис. 7.

5. Найти какое-нибудь конформное отображение области на полуплоскость .

Решение. Выберем направления обходов границ областей D₁ и D₂ (рис.8) так, чтобы области оставались слева. Согласно этим направлениям на границах и возьмем по три точки и и, подставив их в уравнение (1), найдем дробно-линейное отображение

,

6. Найти конформное отображение верхней полуплоскости на единичный круг удовлетворяющее условиям .

то числа надо выбрать так, чтобы

откуда = ,

Значит, искомое конформное отображение имеет вид

7. Найти конформное отображение полуплоскости Re z + Im z < 0 на круг удовлетворяющее условиям

Решение. Так как любое конформное отображение области, ограниченной окружностью (или прямой), на подобную область является дробно-линейным, то согласно свойству симметрии дробно-линейной функции при искомом отображении точка , симметричная точке относительно прямой Re z + Im z = 0 (рис. 9), перейдет в точ-

ку , симметричную точке относительно окружности (рис. 10), которая является образом прямой Re z + Im z = 0, при искомом отображении. Следовательно, точки переходят соответственно в точки , подставив которые в уравнение (1), найдем искомое отображение:

.

8. Найти конформное отображение круга на круг , удовлетворяющее условиям , .

Решение. Точке 2 симметрична относительно окружности точка , а точке симметрична относительно окружности точка -2 . Следовательно, при искомом дробно-линейном отображении точки 2 и перейдут соответственно в точки и 2 . Пусть в точку переходит некоторая неизвестная пока точка . Тогда дробно-линейное отображение, переводящее точки 2, , соответственно в точки , , -2 найдется из уравнения

,

.

Для нахождения воспользуемся условием и условием , означающим, что при искомом отображении граничная точка z = 3 круга переходит в некоторую граничную точку круга .

находим . Следовательно, комплексное число –2 имеет вид

,

откуда . Из второго условия

находим r = 2. Значит, = 2 + 2 и

Дробно-линейной функцией называется функция вида: , где — произвольные комплексные числа, такие, что .

1. Дробно-линейная функция осуществляет взаимно однозначное отображение расширенной комплексной плоскости на себя. При этом точка отображается в точку , а точка отображается в .
2. Дробно-линейное отображение можно представить в виде суперпозиции трех простейших отображений: целого линейного , отображения и сдвига .
3. Дробно-линейное отображение отображает окружности и прямые в окружности и прямые. При этом прямая может перейти как в прямую, так и в окружность. Окружность тоже может перейти как в прямую, так и в окружность. Это свойство называется круговым свойством дробно-линейных отображений.
4. Точки симметричные относительно прямой или окружности переходят в точки симметричные относительно образа этой прямой или окружности.
5. Дробно-линейное отображение, переводящее три заданные точки в три заданные точки: дается формулой:

Пример 1 Найти образ мнимой оси при отображении .

Мнимая ось представляет собой прямую. По третьему свойству она должна перейти в окружность или в прямую. Найдем образы трех точек мнимой оси: . Так как образ одной из точек , то мнимая ось переходит в прямую проходящую через и , то есть в действительную ось.

Пример 2 Найти дробно линейное отображение, переводящее точки .

Пример 3 Найти образ области при отображении

Найдем образ мнимой оси при данном отображении. Возьмем три точки : .

Отметим также, что . Куда же перешел луч ? Подставим в формулу отображения: . При , точки переходят в точки луча действительной оси. Точки переходят в луч . Образы двух точек действительной оси у нас есть: Действительная ось переходит в окружность, проходящую через точки .

Найдем образ точки из границы нашей области:

Итак, образ луча будет полуокружность .

Пусть функция отображает область в и — дуга окружности или отрезок, принадлежащий границе области , и — область, симметричная относительно .

Пусть непрерывна на и области и не пересекаются. Тогда функция конформно отображает на , где и — образы и соответственно при отображении .

На следующем рисунке видно, что области и симметричны относительно луча , который переходит в полуокружность . Так находится образ области . Он для удобства обозначен штриховкой. Точно так же находятся образы остальных двух квадрантов.

Дробно-линейные отображения комплексной плоскости

фиксированные комплексные числа и ad — Ьс^О. Найдем образы прямых и окружностей при этом отображении комплексной плоскости.

Образы окружностей и прямых

Построение (рис. 127).

• 1) Строим начало координат О, точку R на положительном луче оси абсцисс, проводим окружность с центром в точке О, проходящую через точку R, и кнопкой «Комплексное число» ставим точку z на окружности.
• 2) Кнопкой «Комплексное число» ставим точки а, 6, с, d, а затем строкой ввода строим точку, соответствующую комплексному числу

w = az + b Построение закончено. cz + d к

Заставляем точку w оставлять след и задаём анимацию точки z. Наблюдаем как точка w вычерчивает образ центральной окружности. Останавливаем анимацию, отменяем команду оставлять след точки w, передвигаем точку R в новое положение, восстанавливаем команду оставлять след точки w и включаем анимацию. Получаем образ новой центральной окружности. На рисунке 128 точка w вычерчивает прямую при R =

= (0.92,0), окружность нал прямой при R = (0.08,0) и окружность под прямой при R = (1.28,0).

Аналогично задайте некоторое дробно-линейное отображение и постройте образ нецентральной окружности.

Опишите построения на рис. 128, где прямая преобразуется в окружность, и на рис. 129, где прямая преобразуется в прямую.

Известно, что при дробно-линейном отображении всякая окружность преобразуется либо в окружность, либо в прямую и всякая прямая преобразуется либо в прямую, либо в окружность.

Конформность дробно-линейных отображений

Продемонстрируем на экране сохранение углов между прямыми при дробно-линейном отображении. Построение (рис. 130).

• 1) Отмечаем на осях точки А, В, С, D и строим прямые и CD. Клавишей «Комплексное число» на прямой АВ отмечаем точку z, а на CD — точку Z2.
• 2) Клавишей «Комплексное число» отмечаем точки a,b,c,d, а затем строкой ввода строим точки v = (az+b)/(cz+d) и w = (az-2+b)/(cz2+d).
• 3) Заставляем точки v и w оставлять след и задаём анимацию точек z hz₂.B результате точки v и w вычерчивают окружности — образы прямых

АВ и CD при дробно-л и ней ном отображении г —> а » + ^.

• 4) Клавишей «Окружность по трем точкам» отмечаем на вычерченных окружностях по три точки. Прячем точки, по которым построены окружности.
• 5) Отмечаем точку пересечения построенных окружностей и проводим касательные к окружностям. Основные построения закончены.

Теперь сравниваем угол между данными прямыми АВ и CD с углом между касательными. Видим, что эти углы равны. Ниже конформность дробно-линейных преобразований будет доказана математически.

Конформные отображения

Преобразования, наделенные таким свойством, позволяют успешно решать задачи аэро- и гидродинамики, теории упругости, теории полей различной природы и многие другие. Мы ограничимся преобразованиями плоских областей. Непрерывное отображение го = /(г) плоской области в область на плоскости называется конформным в точке , если в этой точке оно обладает свойствами постоянства растяжения и сохранения углов.

Открытые области и называются конформно эквивапентными,если существует взаимнооднозначное отображение одной из этих областей на другую, конформное в каждой точке. Теорема Римана. Любые две плоские открытые односвязные области, границы которых состоят более чем из одной точки, конформно эквивалентны. Основной проблемой при решении конкретных задач является построение по заданным плоским областям явного взаимно однозначного конформного отображения одной из них на другую.

Один изспособоврешенияэтой проблемы в плоском случае — привлечение аппарата теории функций комплексного переменного. Какужеотмечалось выше, однолистная аналитическаяфункция с отличной от нуля производной осуществляет конформное отображение своей области задания на ее образ. При построении конформных отображений весьма полезно следующее правило. Принцип соответствия границ.

Пусть в односвязной области Я) комплексной плоскости z, ограниченной контуром 7, задана однозначная аналитическая функция w = f(z), непрерывная в замыкании 9) и отражающая контур 7 на некоторый контур 7′ комплексной п/юскости w. Если при этом сохраняется направления обхода контура, то функция w — f(z) осуществляет конформное отображение области комплексной плоскости z на область З1 комплексной плоскости w, ограниченную контуром 7′ (рис. 1).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы, используя найденные ранее области однолистности основных элементарных фуннций комплексного переменного, научиться строить конформные отображения открытых одно-связных плосжх областей, часто встречающихся в приложениях, надвестан- КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ дартныс области — верхнюю полуплоскость и единичный круг (рис. 2). Для более эффективного использо- Рис.2 вания приводимой ниже таблицы полезны некоторые простейшие преобразования комплексной плоскости.

Преобразования плоскости

Преобразования плоскости, осуществляющие: 1. параллельный перенос (сдвиг на заданное комплексное число а) (рис. 3), Рис.3 2. поворот (на заданный угол 3. растяжение (fc > 1) ил и сжатие (рис. 5). Тем самым, преобразование вида 0 любой круг можно сделать единичным кругом с центром в нуле (рис. 6), любую полуплоскость можосделать верхней полуплоскостью, любой отрезок прямой можно преобразовать в отрезок [0, 1) вещественной оси (рис. 7), любой луч — в положительный луч вещественной оси (рис. 8). б) Рис. 6 растяжение (им) О перенос в) \ поворот перенос рас гяжение Рис. 7 перенос поворот Рис.8 в) б) В) 4.

Преобразование плоскости z,

переводящее три различные точки z\, zi, z3 в три различныеточт плоскости (рис.9). Рассмотрим пример, показывающий, как пользоваться приведенной ниже табли- цей.

Пример с решением:

Отобразить круг с разрезом по радиусу (рис. 10) взаимно однозначно и конформно на единичный круг с центром в нуле. 4 А. Применяя простейшие преобразования плоскости, приведем заданную область к области, имеющейся в таблице. 1. Переместим центр заданного круга в нулевую точку (см. рис. 11): .

Имеем: круг с разрезом 2. Повернем полученный круг по часовой стрелке на угол (см. рис. 12) . Имеем: круг с разрезом arg 3. Сожмем круг в три раза (см. рис. 13) Имеем: круг с разрезом Таким образом, исходная область приводится к имеющейся в таблице при помощи следующего преобразования Б. 1. Указанная область — круг с разрезом — приведена в таблице под № 30. Функция Жуковского КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ преобразует эту область в плоскость с разрезом по отрезку [-1, 5] вещественной оси (рис. 14). 2. Указанная область приведена в таблице под № 22.

Применяя дробно-линейное преобразование преобразуем эту область в плоасость с разрезом по лучу [0, +оо) вещественной оси (рис. 15).

3. Указанная область приведена в таблице под № 6. Извлекая квадратный корень преобразуем эту область в верхнюю полуплоскость Im z6 > 0 (рис. 16). 4. Указанная область приведона в таблице под Ng 11. Применяя дробно- линейное преобразование преобразуем эту область в единичный круге центром в нуле Последовательно выражая z* через z^-i, получим взаимно однозначное и конформное преобразование заданного на комплексной плоскости г круга с разрезом по радиусу на единичный круг комплексной плоек ости tr. р- Конформное отображение заданными областями определяется неоднозначно.

Пример с решением:

Отобразить полукруг (рис.18) взаимно однозначно и конформно на верхнюю полуплоскость Im w > 0. . Дробно-линейное отображение преобразует заданный полукруг в прямой угол 2. Указанная область приведена в таблице под Ne 4 (п = 2). Возводя в квадрат Б. Заданная область приведена в таблице за No 9. Искомое преобразование имеет вид чю- Оба отображения w -заданный полукруг в верхнюю полуплоскость переводит взаимно однозначно и конформно Организация таблицы и правила пользования ею.

Как будет показано в конце параграфа, такая стандартизация удобна для практического использования. Часто приводится только преобразование, сводящее заданную область к ранее рассмотренной. В этом случае дается ссылка на преобразование, переводящее полученную область в стандартную (единичный круг с центром в нуле или верхнюю полуплоскость). Основные элементарные функции.

Таблица Плоскость с разрезом по действительному лучу [О, Плоскость с разрезами Плоскость с разрезом по действительному лучу [0, +ю[ Плоскость с разрезом по отрезку 10, 1] Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +«>( Плоскость с разрезами по действительным лучам J -оо, 0] и (I, +оо[ Плоскость с разрезом по действительному лучу [0, +«>( Плоскость с разрезом по отрезку lu. zi] Плоскость с разрезом по отрезку (О, 1J № 21 1лоскость с разрезами ю лучам, лежащим ia прямой, проходящей через ачало координат по действительным лучам ]-«ю, 0] и (1.

Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +во( Плоскость с разрезом по дуге окружности Ixl — 1, lm z > О Плоскость с разрезом по дуге окруж ности III — I, Re z > О Плоскость с разрезом по действительн ому лучу (0, Плоскость с разрезом no дуге окруж ности Плоскость с разрезом по действительному лучу [С, + со [ № 25 Полуплоскость с разрезами Полуплоскость l с разрезом по отрезку [0, />

Плоскость с разрезом по действительному лучу [ — I, Полуплоскость с разрезом по отрезку Полуплоскость Im г > О с разрезами по отрезку [0, oi) и мнимому лучу №28 Полуплоскость с разрезом по ду| е окружности по действительным лучам |- по действительным лучам 1 — оо, -Л2] с разрезом по мнимому лучу Круг с разрезами Круг 1 с разрезом по отрезку (1/2, 1J №30 Плоскость с разрезом по отрезку <-1, 5/4] Круг Izl с разрезами по отрезкам (-1. -1/2] и (1/2, 1] № 31

Плоскость с разрезами по отрезиам I -5/4, 5/4] Круг Ijl симметричными разрезами по мнимой оси Круг lie с симметричными разрезами по действительной оси Внешность круга с разрезами Внешность единичного круга I с разрезом по отрезку [1, 2J №33 Внешность единичного круга с разрезом по отрезкам 1-2, -1] и 11, 2) №34 Плоскость с разрезом по отрезку [ -1, 5/4] Плоскость с разрезом по отрезку I — 5/4, 3/4] w = e’^z Внешность единичного круга Izl > 1 с разрезами по отрезкам, являющимися продолжениями его диаметра Внешность единичного круга Iwl > 1 с разрезами по отрезкам, лежащим на действительной оси Полуируг с разрезами -г2

Nfc 36 Круг Iwl с разрезом по отрезку [ -1/4, 1] Полукруг , с разрезом по отрезку (0, i/2) Полукруг , с разрезом по отрезку [//2, /) Круг \ с разрезами по отрезкам № 37 Полукруг с разрезами по отрезкам [0. al) и [Ы. /). где N? 38 Круг с разрезами по отрезкам 1-1. — угол с разрезами Угол с разрезом по действительному лучу Ах» г — т/4 с началом в точке 1 + / Полуплоскость Im W > 0 с разрезом по мнимому лучу с началом в точке 12/, +/•©( Nf39 Плоскость с разрезами по действительным лучам Угол с разрезом по действительному лучу Arg z — т/л с началом в точке Полоса с разрезами w — с*

Полуплоскость Im с разрезом по дуге окружности иг » с Полоса 0 т с разрезом по мнимому отрезку ( Полуплоскость Im с разрезом по дуге окружности w — е Полоса 0 разрезом по мнимому отрезку fW/2, TiJ N? Полоса Полуплоскость Im w > О с разрезами по мнимым с разрезами по дуге отрезкам [0, al\ и [Ы, «1, окружности w « t*, КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ М43 Полоса Плоскость с разрезом по действительному лучу (0. +«( №44 Полоса с разрезом Полуплоскость Im по действительному с разрезом по мнимому лучу I отрезку [О, /I

Полоса 0 Полоса с разрезом по действительному лучу I №46 Полоса Полоса 0 с разрезом по действительному лучу R №47 Область 1 Полоса 01 Область с удаленным кругом Re Полоса Полуплоскость Im z > О с удаленным круговым сегментом Угол №50 -Ш Полуплоскость Im с удаленным круговым сегментом Полуплоскость Im w > 0 № 51 Полуполоса Полуплоскость Im w > Полуплоскость Im Полуполоса с удаленными полукругами № 53

Полуполоса Полуполоса N? 54 Угол Полуплоскость Im w > 0 с удаленным сектором единичного круга Ne 55 Угол Im z с удаленным полукругом Полуполоса 0 Внешность параболы Полуплоскость Im w Внутренность параболы Полуплоскость Im № 58 Внешность гиперболы Полуплоскость Im w Внутренность правой ветви гиперболы Полуплоскость Iro W > О Внешность эллипса Внешность круга М > I

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.