Как найти матрицу грамма

Грама. Определитель Грамма, его геометрический смысл

Пусть — система векторов в евклидовом (унитарном) пространстве.

Матрицей Грама данной системы векторов называется матрица вида: .

Матрице Грама поставим в соответствие ее определитель: .

Свойства определителя Грама:

1.

2. — линейно зависимы.

3. Для,— квадрат длины вектора.

,— квадрат площади.

,— квадрат объема.

,— квадрат объема-мерного параллелепипеда, со сторонами.

4. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта не меняет определитель Грама.

Для доказательства этого установим, что если к одному из векторов прибавить линейную комбинацию остальных, состоящую из одного вектора, то определитель не изменится.

Умножим первый столбец на и прибавим к-тому столбцу:

умножим первую строку на и прибавим к-той строке, получим определитель Грама:

.

Что и требовалось доказать.

Используя это обстоятельство, мы ортогонализируем систему векторов методом Грама-Шмидта:

, где.Следовательно

.

При этом, для ,— квадрат площади,

для ,— квадрат объема исходного параллелепипеда.

Чтобы найти высоту , опущенную изна основаниедостаточно вычислить.

Скалярное произведение в произвольном базисе

Пусть — базис евклидова пространства,

,

рассмотрим скалярное произведение:

=

(*)

Если записать (*) в матричном виде, то получим:

.

Если базис — ортонормированный, то, то

.

Ортогональное дополнение подпространства m из l

Пусть — евклидово (унитарное) пространство, подпространство. Векторназываетсяортогональным к подпространству, если для всех.

Множество всех векторов ортогональных к подпространству называется ортогональным дополнением и обозначается.

Очевидно, М ┴ является подпространством пространства, причем для размерности подпространств и размерность пространства связаны соотношением

.

Действительно, выберем базис подпространства, дополним его до базиса, получим. Ортогонализируем данный базис методом Грамма-Шмидта, получим:— базис пространства,

— базис подпространства,— базис подпространства ортогонального дополнения.

Говорят, что пространство является прямой ортогональной суммой своих подпространств и :

Прямая сумма подпространств

Пространство являетсяпрямой суммой подпространств, если

1. любой вектор представляется в виде, где

2. представление единственно.

Обозначается .

Если пространство евклидовои выполняется дополнительно условие

3. при,

то прямая сумма состоит из попарно ортогональных подпространств (ортогональная сумма) и обозначается так

Теорема. Пусть — линейный оператор в евклидовом (унитарном) пространстве. Сопоставим ему билинейную (полуторалинейную) функцию,. Это соответствие является биекцией между операторами и билинейными (полуторалинейными) функциями.

Рассмотрим билинейную (полуторалинейную) функцию , заданную формулой. Тогда матрица для функциив ортонормированном базисе— это матрица, т.е.. Будем говорить, что функцияопределяетсопряженный оператор . Более подробно

Определение. Сопряженным оператором к оператору называется такой оператор, который удовлетворяет равенству.

Определение. Оператор называетсясамосопряженным или симметричным (эрмитовым), если , т.е.. Операторназываетсякососимметричным ( косоэрмитовым), если , т.е.. Операторназываетсяортогональным (унитарным для ), если.

Теорема. Пусть — ортонормальный базис в евклидовом (унитарном) пространстве, и— линейный оператор. Операторявляется самосопряженным (эрмитовым) тогда и только тогда, когда его матрица в базисесимметрична(эрмитова).

Теорема. Пусть — ортонормальный базис в евклидовом (унитарном) пространстве, и— линейный оператор. Операторявляется кососимметричным (косоэрмитовым) тогда и только тогда, когда его матрица в базисекососимметрична(косоэрмитова).

Лемма. Если — инвариантное подпространство для самосопряженного операторав евклидовом (унитарном) пространстве, тотоже инвариантно относительно.

Лемма. Пусть — самосопряженный оператор на-мерном евклидовом пространстве. Тогда длясуществует собственный вектор.

Теорема. Для всякого самосопряженного оператора в-мерном евклидовом (унитарном) пространствесуществует ортонормальный базис, состоящий из собственных векторов оператора, т.е. в таком базисе матрица оператора диагональна. Матрицаоператораодна и та же во всех таких канонических базисах, с точностью до перестановки диагональных элементов. Верно и обратно.

Замечание. В унитарном пространстве все собственные числа для самосопряженного операторавещественны,.

Если (— евклидово или унитарное пространство) — собственные векторы с разными собственными значениямидля самосопряженного оператора, то, так как.

Следствие. Для всякой (эрмитовой) квадратичной функции в-мерном евклидовом (унитарном) пространствесуществует ортонормальный базис, в котором(). При этом, системане зависит от выбора базиса, с точностью до перестановок.

Пусть — ортогональный (унитарный) оператор в евклидовом (унитарном) пространстве. Тогда, т.е.. Если— собственное значения, то, так как.

Лемма. Ортогональный (унитарный) оператор невырожден.

Теорема.Следующие свойства линейного оператора в-мерном евклидовом (унитарном) пространстве равносильны.

— ортогональный (унитарный) оператор.

В любом ортонормальном базисе матрица оператораортогональна (унитарна, т.е.).

В некотором ортонормальном базисе матрица оператораортогональна (унитарна).

Оператор переводит любой ортонормальный базис в ортонормальный базис.

Оператор переводит некоторый ортонормальный базис в ортонормальный базис.

Лемма. Если — ортогональный (унитарный) оператор в евклидовом (унитарном) пространстве, и— инвариантное дляподпространство в, то ортогональное дополнениетакже является инвариантным подпространством для.

Лемма. Пусть — ортогональный оператор без собственных векторов в-мерном евклидовом пространстве. Тогда в ортонормальном базисе его матрицаимеет вид.

Теорема. Для всякого ортогонального (унитарного) оператора в-мерном евклидовом (унитарном) пространстве существует ортонормальный базис, в котором матрица оператора имеет вид:

для евклидова случая и , где, для унитарного пространства.

Определение. Пусть — самосопряженный оператор в-мерном евклидовом пространстве. Он определяет билинейную функцию, заданную формулой. Операторназываетсяположительно определенным, если — положительно определенная симметрическая функция, т.е.для любого вектора.

Лемма. Для всякого невырожденного оператора в-мерном евклидовом пространствепроизведениеявляется положительно определенным самосопряженным оператором.

Лемма. Самосопряженный оператор в-мерном евклидовом пространствеявляется положительно определенным тогда и только тогда, когда все собственные значения дляположительны.

Лемма. Для всякого невырожденного положительно определенного самосопряженного оператора в-мерном евклидовом пространствесуществует такой невырожденный положительно определенный самосопряженный оператор, что.

Теорема.[о полярном разложении] Всякий невырожденный линейный оператор в-мерном евклидовом пространствеможет быть разложен в произведение, где— ортогональный оператор, а— самосопряженный положительно определенный оператор.

Определение.Пусть— линейное пространство над полем. Тогда отображениеназываетсябилинейной функцией, если

для любых векторови любых чисел,

для любых векторови любых чисел.

Определение.Матрицейбилинейной функциив базисеназывается матрица, где.

Теорема.Пусть— базис-мерного линейного пространства. Тогда для любой квадратной матрицыпорядкасуществует, причем единственная, билинейная функцияна пространствес матрицейв базисе. При этом значения />, гдеи, могут быть найдены по формуле.

Замечание.Билинейные функцииобразуют линейное пространство. Линейная комбинация двух функций— это функция, заданная формулой.

Если зафиксировать базис в пространстве , то мы получаем изоморфизм из пространства билинейных функций в пространствоквадратных матриц порядканад полем.

Лемма.Пустьи— матрицы размераисоответственно. Тогда.

Теорема.Еслии— матрицы билинейной функциив разных базисахипространства, то />, гдематрица перехода от базисак, т.е..

Определение.Билинейная функцияназываетсясимметрической, еслидля любых векторов.

Билинейная функция называетсякососимметрической, еслидля любых векторов.

Теорема.Если матрицабилинейной функциив некотором базисе симметрическая (кососимметрическая), т.е.(), то функцияявляется симметрической (кососимметрической) билинейной функцией.

Если билинейная функцияявляется симметрической (кососимметрической), то ее матрицав любом базисе симметрическая (кососимметрическая).

Определение.Пусть— линейное пространство над полем. Функцияназываетсяполуторалинейной, если

для любых векторови любых чисел,

для любых векторови любых чисел.

Для полуторалинейной функции имеем .

Определение.Полуторалинейная функцияназываетсяэрмитовой, если.

Теорема.Если матрицаполуторалинейной функциив некотором базисе эрмитова, т.е., то функцияявляется эрмитовой полуторалинейной функцией.

Если полуторалинейная функцияявляется эрмитовой, то ее матрицав любом базисе эрмитова, т.е..

Определение.Рангомбилинейной функцииназывается рангее матрицыв некотором базисе.

Замечание.При умножении на невырожденную матрицу ранг не меняется, поэтому определение ранга функции корректно. Заметим, чтотогда и только тогда, когда.

Определение.Ядросимметрической билинейной функции— это множестводля любого.

Теорема.Ядро симметрической билинейной функциина-мерном линейном пространствеявляется подпространством размерности.

33. Матрица Грама в евклидовом пространстве

Пусть Еn – N-Мерное евклидово пространство и пусть Е = (Е1, Е2, . , Еn ) – базис в нём. Так как в Еn для любой упорядоченной пары векторов определено их скалярное произведение, то определены скалярные произведения всех пар базисных векторов. Составим из них матрицу

Матрица Г Называется Матрицей Грама Скалярного произведения для базиса Е.

Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления скалярного произведения векторов,

Пусть в базисе Е заданы векторы А = Х1Е1 + Х2Е2 + … + ХnЕn , В = У1Е1+ У2Е2 + … + УnЕn . Тогда (А, в) = (Х1Е1 + Х2Е2 + … + ХnЕn)×( у1Е1+ У2Е2 + … + УnЕn) = = Х Т×Г×У, где Х Т– строка координат вектора А, У – Столбец координат вектора В . Итак, (А, в) = Х Т×Г×У (42).

Свойства матрицы Грама.

10. Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.

Это следует из того, что (Ек, еS ) = (ЕS, ек ).

20. Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны.

Это следует из того, что Ек ¹ 0 и, следовательно, (Ек, ек ) > 0.

30. Для матрицы Грама и любого N-Мерного столбца Х Выполняется условие Х Т×Г×Х > 0.

Это следует из 4-ой аксиомы определения скалярного произведения.

Симметрическую матрицу А, Удовлетворяющую условию Х Т×А×Х > 0 для любого

Ненулевого столбца Х, Называют Положительно определённой. Следовательно, матрица

Грама Положительно определённая.

40. Пусть Е = (Е1, Е2, . , Еn ) и Е1 = (Е11, Е21, . , Еn1 ) –два базиса в Еn , Г И Г1 – матрицы Грама данного скалярного произведения в базисах Е И Е1 соответственно. Пусть Т – матрица перехода от базиса Е К базису Е1. Тогда (А, в) = Х Т×Г×У, х = Т×х1, у = Т×у1, х Т= (Т×х1)Т= (Х1)Т× ТТ. Следовательно, (А, в) = ((Х1)Т× ТТ)× Г× (Т×у1) = (Х1)Т× (ТТ× Г× Т )× У1. Но (А, в) = (Х1)Т× Г1× у1. Отсюда

Г1 = ТТ× Г× Т (43)

Формула (42) даёт связь матриц Грама в разных базисах.

50. Определители матриц Грама во всех базисах имеют один и тот же знак.

60. Все главные миноры матрицы Грама строго положительны.

1. Во множестве М2 Квадратных матриц с действительными элементами скалярное произведение задано формулой . Найти матрицу Грама этого произведения в базисе Е1 = , Е2 = , Е3 = , Е4 = .

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (Е1, е1) = 1, (Е1, е2) = (Е2, е1) = 0, (Е1, е3) = (Е3, е1) = 0, (Е1, е4) = (Е4, е1) = 0, (Е2, е2) = 1, (Е2, е3) = (Е3, е2) = 0, (Е2, е4) = (Е4, е2) = 0, (Е3, е3) = 1, (Е3, е4) = (Е4, е3) = 0, (Е4, е4) = 1. Следовательно,

2. В пространстве R[Х] многочленов степени не выше 3-х скалярное произведение задано формулой , где A И B – фиксированные действительные числа, A < B. Составить матрицу Грама в базисе (1, Х, х2, х3).

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (1, 1) = = B – A,

(1, Х) = (Х, 1) = = ), (1, Х2) = (Х2, 1) = = ), (1, Х3) = (Х3, 1) = = ), (Х, х) = = ), (Х, х2) = (Х2, х) = = ), (Х, х3) = (Х3, х) = = ), (Х2, х2) = = ), (Х2, х3) = (Х3, х2) = = ), (Х3, х3) = = ). Матрица Грама будет иметь вид:

3. В базисе (Е1, е2, е3) пространства Е3 Скалярное произведение задано матрицей Грама Г = . Найти скалярное произведение векторов А = (1, –5, 4) и В = (–3, 2, 7).

Решение. Используя формулу (41), получим (А, В) = (1, –5, 4) × × = 7.

Матрица Грамма. Ортогональные матрицы и преобразования

Пусть в пространстве Е_/г задан базис е_Р е₂, е_п. Пусть х и у — векторы в Е„:

Найдем скалярное произведение (х, у):

Обозначим через Г матрицу

Эта матрица называется матрицей Грамма.

Таким образом, скалярное произведение двух векторов х и у можно записать в следующем виде:

Элементы матрицы Грамма обозначают через gij. Эта матрица носит также название метрического тензора.

Если матрица Грамма равна единичной матрице, то базис является ортонормированным.

Рассмотрим, как изменяются элементы матрицы Грамма при переходе от одного базиса к другому.

Пусть е_х, е₂. е_п— некоторый базис в Е„, которому соответствует матрица Грамма Г, а е_<, е₂. е_п — некоторый другой базис с матрицей Грамма Г’. Пусть S — матрица преобразования из базиса е в базис е’. Тогда имеем

Для матрицы Грамма получаем:

Следствие 1: Пусть / = 1. п— произвольные векторы, а Г — их матрица Грамма. Если эти векторы линейно независимы, то их можно принять за базис. Тогда существует преобразование S такое, что Г — S ES. Таким образом, если набор векторов линейно независим, то их матрица Грамма невырожденная. Обратно, если матрица Грамма невырожденная, то векторы линейно независимы.

Следствие 2. Если е_п / = 1 . п— ортонормированный базис ОНБ в Е„, а е, i = 1. п — другой ОНБ в Е„, то и Г = Е и Г’ = Е. Тогда очевидно, что существует матрица S такая, что Е = S T S.

Определение 5.8. Матрица S, удовлетворяющая условию S S = Е, называется унитарной (ортогональной). Любая унитарная матрица невырожденная и S — S .

Определение 5.9. Преобразование А евклидова пространства называется унитарным, если оно сохраняет скалярное преобразование всех векторов.

Теорема 5.6. В ортонормированием базисе матрица унитарного преобразования унитарная.

Самосопряженные преобразования

Определение 5.10. Пусть в евклидовом пространстве задано линейное преобразование А. Преобразование А’ называется сопряженным к А, если для любых векторов х и у справедливо соотношение (Ах,у) = (хДУ).

Теорема 5.7. Для каждого линейного преобразования существует, и притом только одно, сопряженное с ним преобразование. Сопряженное преобразование также является линейным.

Определение 5.11. Если сопряженное преобразование совпадает с данным, то оно называется самосопряженным (В комплексном пространстве такое преобразование называется эрмитовым).

Теорема 5.8. Все корни характеристического уравнения эрмитова преобразования вещественны.

Теорема 5.9. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям эрмитова преобразования, ортогональны.

Теорема 5.10. Каждое эрмитово преобразование определяет орто- нормированный базис из собственных векторов (быть может, неоднозначно).

Матрица и определитель Грама: определение, свойства, приложения

Квадратная симметрическая матрица [math]G(\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots, \mathbf_n)[/math] , составленная из скалярных произведений системы векторов [math]\mathbf_1,\mathbf_2, \ldots, \mathbf_n[/math] называется матрицей Грама

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть [math](\mathbf)=(\mathbf_1,\ldots,\mathbf_n)[/math] и [math](\mathbf)= (\mathbf_1,\ldots,\mathbf_n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]\mathbb[/math] , a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](\mathbf)[/math] к базису [math](\mathbf)\colon\, (\mathbf)=(\mathbf)S[/math] . Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](\mathbf)[/math] и [math](\mathbf)[/math]

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]\mathbf[/math] и [math]\mathbf[/math] в разных базисах:

где [math]\mathop\limits_<(\mathbf)>,\, \mathop\limits_<(\mathbf)>[/math] и [math]\mathop\limits_<(\mathbf)>,\, \mathop\limits_<(\mathbf)>[/math] — координатные столбцы векторов [math]\mathbf[/math] и [math]\mathbf[/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]\mathop\limits_<(\mathbf)>= S \mathop\limits_<(\mathbf)>,[/math] [math]\mathop\limits_<(\mathbf)>= S \mathop\limits_<(\mathbf)>[/math] , получаем тождество

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому :

Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](\mathbf)[/math] и [math](\mathbf)[/math] , получаем [math]E=S^TES[/math] , так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(\mathbf_1,\ldots,\mathbf_n)= G(\mathbf_1,\ldots,\mathbf_n)=E[/math] . Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^<-1>=S^T[/math] .

Определитель Грама и его свойства

Определитель матрицы [math]G(\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots, \mathbf_n)[/math] называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]\mathbf_1,\mathbf_2, \ldots, \mathbf_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система [math]\mathbf_1, \mathbf_2, \ldots,\mathbf_k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,\ldots,x_k[/math] , не равные нулю одновременно, что

Умножая это равенство скалярно на [math]\mathbf_1[/math] , затем на [math]\mathbf_2[/math] и т.д. на [math]\mathbf_k[/math] , получаем однородную систему уравнений [math]G(\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots,\mathbf_k)x=o[/math] , которая имеет нетривиальное решение [math]x=\beginx_1&\cdots&x_k \end^T[/math] . Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы [math]\mathbf_1, \mathbf_2,\ldots,\mathbf_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Определитель Грама [math]\det_1,\mathbf_2, \ldots, \mathbf_k)>[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots,\mathbf_k[/math] . Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots,\mathbf_k[/math] получены векторы [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots,\mathbf_k[/math] , то

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]\mathbf_1,\mathbf_2, \ldots,\mathbf_k[/math] последовательно строятся векторы

После первого шага определитель Грама не изменяется

Выполним с определителем [math]\det G(\mathbf_1, \mathbf_2, \ldots,\mathbf_k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-\alpha_<21>)[/math] , а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-\alpha_<21>)[/math] . Получим определитель

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots, \mathbf_k)[/math] Грама ортогональной системы [math]\mathbf_1,\mathbf_2, \ldots,\mathbf_k[/math] векторов является диагональной, так как [math]\langle \mathbf_i,\mathbf_j\rangle=0[/math] при [math]i\ne j[/math] . Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

3. Определитель Грама любой системы [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots, \mathbf_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]\mathbf_1,\mathbf_2, \ldots, \mathbf_k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots, \mathbf_k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]\mathbf_1,\mathbf_2, \ldots, \mathbf_k[/math] , для которых по свойству 2:

Оценим теперь скалярный квадрат [math]\langle \mathbf_j,\mathbf_j\rangle[/math] . Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]\mathbf_j= \mathbf_j+ \alpha_\mathbf_1+ \ldots+ \alpha_\mathbf_[/math] . Отсюда

Следовательно, по свойству 2 имеем

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

Метрические приложения определителя Грама

Пусть [math]\boldsymbol_1,\boldsymbol_2, \ldots,\boldsymbol_k[/math] — линейно независимая система векторов n-мерного евклидова пространства [math](k\leqslant n)[/math] . Определим по индукции понятие многомерного объема. Обозначим через [math]\boldsymbol_j[/math] — перпендикуляр, опущенный из конца вектора [math]\boldsymbol_j[/math] на подпространство [math]\operatorname (\boldsymbol_1, \ldots,\boldsymbol_),[/math] [math]j=2,\ldots,k[/math] .

[math]V_<\ast \boldsymbol_1>=|\boldsymbol_1|[/math] — одномерный объем — длина вектора [math]\boldsymbol_1[/math] ;

[math]V_<\ast \boldsymbol_1,\boldsymbol_2>= V_<\ast \boldsymbol_1>\cdot |\boldsymbol_2|= |\boldsymbol_1|\cdot|\boldsymbol_2|[/math] — двумерный объем — площадь параллелограмма, построенного на векторах [math]\boldsymbol_1,\,\boldsymbol_2[/math] ;

[math]V_<\ast \boldsymbol_1,\boldsymbol_2, \boldsymbol_3>= V_<\ast \boldsymbol_1, \boldsymbol_2>\cdot |\boldsymbol_3|= |\boldsymbol_1|\cdot |\boldsymbol_2|\cdot |\boldsymbol_3|[/math] — трехмерный объем — объем параллелепипеда, построенного на векторах [math]\boldsymbol_1,\,\boldsymbol_2,\, \boldsymbol_3[/math] ;

[math]V_<\ast \boldsymbol_1,\ldots,\boldsymbol_>= V_<\ast \boldsymbol_1, \ldots, \boldsymbol_>\cdot |\boldsymbol_k|= |\boldsymbol_1|\cdot|\boldsymbol_2|\cdot \ldots\cdot |\boldsymbol_k|[/math] — k-мерный объем — объем параллелепипеда, построенного на векторах [math]\boldsymbol_1, \boldsymbol_2, \ldots,\boldsymbol_k[/math] .

Проводя ортогонализацию системы векторов [math]\boldsymbol_1,\boldsymbol_2, \ldots, \boldsymbol_k[/math] , получаем, согласно пункту 4 замечаний 8.14, перпендикуляры [math]\boldsymbol_1= \boldsymbol_1,\boldsymbol_2, \ldots,\boldsymbol_k[/math] . Тогда по свойству 2 определителя Грама имеем

т.е. определитель Грама векторов [math]\boldsymbol_1, \boldsymbol_2, \ldots, \boldsymbol_k[/math] равен квадрату k-мерного объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. В этом заключается геометрический смысл определителя Грама.

Расстоянием от конца вектора [math]\boldsymbol[/math] до подпространства [math]L[/math] называется наименьшее значение длин векторов [math](\boldsymbol-\boldsymbol)[/math] , где [math]\boldsymbol\in L[/math] , т.е.

Аналогично определяется расстояние от конца вектора до многообразия.

Углом между ненулевым вектором [math]\boldsymbol[/math] и подпространством [math]L[/math] называется наименьший угол [math]\varphi[/math] между вектором [math]\boldsymbol[/math] и ненулевыми векторами подпространства, т.е.

Аналогично определяется угол между вектором и многообразием, как угол между вектором и однородной частью многообразия.

Из неравенств пункта 1 замечаний 8.14 следует, что

1) расстояние [math]d[/math] от конца вектора [math]\boldsymbol[/math] до подпространства [math]L[/math] равно длине перпендикуляра [math]\boldsymbol[/math] , опущенного из конца вектора [math]\boldsymbol[/math] на подпространство [math]L[/math] , т.е. [math]d=|\boldsymbol|[/math] ;

2) угол между ненулевым вектором [math]\boldsymbol[/math] и подпространством [math]L[/math] равен углу между вектором [math]\boldsymbol[/math] и его ортогональной проекцией на подпространство [math]L[/math] .

Для нахождения расстояний и углов можно использовать формулу (8.37).

Пусть задан вектор [math]\boldsymbol[/math] и подпространство [math]L=\operatorname (\boldsymbol_1,\ldots,\boldsymbol_r)[/math] , причем векторы [math]\boldsymbol_1, \ldots, \boldsymbol_r[/math] линейно независимы. Тогда [math]V_<\ast \boldsymbol_1,\ldots, \boldsymbol_r, \boldsymbol>= V_<\ast \boldsymbol_1,\ldots,\boldsymbol_r>\cdot |\boldsymbol|[/math] , где [math]\boldsymbol[/math] — ортогональная составляющая вектора [math]\boldsymbol[/math] относительно подпространства [math]L[/math] . Отсюда, [math]\boldsymbol= \frac_1,\ldots, \boldsymbol_r, \boldsymbol>>_1,\ldots,\boldsymbol_r>>[/math] . Используя (8.37) для вычисления объемов, получаем, что длина [math]|\boldsymbol|[/math] ортогональной составляющей (расстояние от конца вектора [math]\boldsymbol[/math] до подпространства [math]L=\operatorname( \boldsymbol_1,\ldots,\boldsymbol_r)[/math] находится по формуле

а угол [math]\varphi[/math] между ненулевым вектором [math]\boldsymbol[/math] и подпространством находится по формуле

Пример 8.22. В пространстве [math]\mathbb^4[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27) заданы: вектор [math]v=\begin-3&2&0&0\end^T[/math] и подпространство [math]L[/math] — множество [math]\[/math] решений однородной системы:

Требуется найти расстояние [math]|h|[/math] от конца вектора [math]\boldsymbol[/math] до подпространства [math]L[/math] и угол между вектором [math]\boldsymbol[/math] и подпространством [math]L[/math] .

Решение. Базис подпространства был найден в примере 8.9:

Составляем определители Грама [math]\Bigl(\langle \boldsymbol, \boldsymbol_1\rangle= (-3)^2+ 2^2+0^2+0^2=13\Bigr)[/math] , остальные скалярные произведения векторов найдены в примере 8.20):

Тогда [math]|h|=\sqrt<\frac<14><62>>=\sqrt<\frac<7><31>>[/math] , а [math]\varphi= \arcsin\sqrt<\frac<7><403>>[/math] . В найдены ортогональная проекция [math]l=\begin\dfrac<-92><31>&\dfrac<60><31>&\dfrac<14><31>&\dfrac<4><31>\end^T[/math] и ортогональная составляющая [math]h=\begin\dfrac<-1><31>& \dfrac<2><31>&\dfrac<-14><31>& \dfrac<-4> <31>\end^T[/math] . Вычисляя длину вектора [math]h[/math] , получаем [math]|h|=\sqrt<\frac<7><31>>[/math] . Результаты совпадают.