Числовые характеристики распределения вероятностей. Математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение
Свойства математического ожидания
1) Размерность математического ожидания равна размерности случайной величины.
2) Математическое ожидание может быть любым действительным числом: положительным, равным 0, отрицательным.
3) Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:
M(C) = C
4) Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме математических ожиданий:
M(X + Y) = M(X) + M(Y)
5) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий:
6) Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания:
M(CX) = C · M(X)
Например:
Пусть в результате экспериментов получено следующее распределение случайной величины X – числа появления белых шаров (см. пример 1, §40 данного справочника):
| Число белых шаров, xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | \(\mathrm |
\(\mathrm |
\(\mathrm |
\(\mathrm |
\(\mathrm |
\(\mathrm |
| 0,0074 | 0,0618 | 0,2060 | 0,3433 | 0,2861 | 0,0954 |
Найдём математическое ожидание для данного распределения:
M(X) = 0 · 0,0074 + 1 · 0,0618 + . + 5 · 0,0954 = 3,125
п.3. Дисперсия
Свойства дисперсии
1) Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины.
2) Дисперсия может быть любым неотрицательным действительным числом.
3) Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D(C) = 0
4) Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий:
D(X + Y) = D(X) + D(Y)
5) Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии:
D(CX) = C 2 · D(X)
Например:
Продолжим исследование и найдём дисперсию для распределения случайной величины X – числа появления белых шаров. Составим расчётную таблицу:
Получаем: D(X) = 10,9375 – 3,125 2 ≈ 1,1719.
п.4. Среднее квадратичное отклонение
Свойства СКО
1) Размерность СКО равна размерности случайной величины.
2) СКО может быть любым неотрицательным действительным числом.
3) СКО постоянной величины равно нулю:
4) Постоянный множитель можно вынести за знак СКО:
п.5. Правило трёх сигм
Большое количество случайных величин, измеряемых в экспериментах (например, в школьных лабораторных работах), имеет так называемое нормальное распределение.
В частности, при больших n, биномиальное распределение можно с хорошей точностью описывать как нормальное с M(X) = np и \(\mathrm<\sigma(X)=\sqrt
График плотности нормального распределения p(x) похож на колокол, с максимумом, соответствующим M(X) = Xcp – среднему значению измеряемой величины.
Величина СКО σ(X) характеризует степень отклонения X от среднего значения M(X).
п.6. Примеры
Пример 1. Найдите математическое ожидание, дисперсию и СКО при бросании кубика.
Закон распределения величины X – очки на верхней грани при бросании кубика и расчётная таблица:
Пример 2*. Найти математическое ожидание, дисперсию и СКО суммы очков при бросании двух кубиков.
Пример 3*. Докажите, что в опытах по схеме Бернулли математическое ожидание M(X)=np, а дисперсия D(X)=npq.
Проведем один опыт. В нём может быть только два исхода: «успех» и «неудача».
Составим расчётную таблицу:
Мат.ожидание первого опыта \(\mathrm
Общее число успехов при n опытах складывается из числа успехов при каждом опыте, т.е. \(\mathrm
По свойству мат.ожидания суммы независимых событий: \begin
По свойству дисперсии суммы независимых событий: \begin
Пример 4. 100 канцелярских кнопок высыпали на стул. Вероятность, что кнопка упала острием вверх, равна 0,4. Найдите среднее количество, дисперсию и СКО для числа кнопок, упавших острием вверх. Найдите интервал оценки для количества этих кнопок по правилу «трёх сигм».
По условию n = 100, p = 0,4.
Для каждой кнопки может быть два исхода: упасть острием вверх или вниз.
Таким образом, это испытание Бернулли с биномиальным распределением случайной величины. \begin
Ответ: \(\mathrm
Пример 5*. В тесте 10 задач с 4 вариантами ответов. Ответы выбираются наугад. Постройте распределение величины X = «количество угаданных ответов», найдите числовые характеристики этого распределения.
Найдите интервал оценки для количества угаданных ответов по правилу «трёх сигм».
Какова вероятность угадать хотя бы 1 ответ? Хотя бы 5 ответов? Угадать все 10 ответов?
По условию: \(\mathrm
Для каждого ответа может быть два исхода: «угадал»/ «не угадал».
Таким образом, это испытание Бернулли с биномиальным распределением случайной величины. $$ \mathrm< P_<10>(k)=C_<10>^kp^kq^<10-k>=C_<10>^k\frac<3^<10-k>><4^<10>>=\left(\frac34\right)^<10>\frac
| \(\mathrm |
\(\mathrm |
\(\mathrm<3^k>\) | \(\mathrm |
\(\mathrm |
\(\mathrm |
\(\mathrm |
| 0 | 1 | 1 | 0,0563135 | 0,0000000 | 0 | 0,0000000 |
| 1 | 10 | 3 | 0,1877117 | 0,1877117 | 1 | 0,1877117 |
| 2 | 45 | 9 | 0,2815676 | 0,5631351 | 4 | 1,1262703 |
| 3 | 120 | 27 | 0,2502823 | 0,7508469 | 9 | 2,2525406 |
| 4 | 210 | 81 | 0,1459980 | 0,5839920 | 16 | 2,3359680 |
| 5 | 252 | 243 | 0,0583992 | 0,2919960 | 25 | 1,4599800 |
| 6 | 210 | 729 | 0,0162220 | 0,0973320 | 36 | 0,5839920 |
| 7 | 120 | 2187 | 0,0030899 | 0,0216293 | 49 | 0,1514053 |
| 8 | 45 | 6561 | 0,0003862 | 0,0030899 | 64 | 0,0247192 |
| 9 | 10 | 19683 | 0,0000286 | 0,0002575 | 81 | 0,0023174 |
| 10 | 1 | 59049 | 0,0000010 | 0,0000095 | 100 | 0,0000954 |
| Σ | 1 | 2,5 | 8,125 |
Получаем: \begin 
Интервал оценки «три сигмы»: \begin
Вероятность угадать хотя бы один ответ: \begin
Вероятность угадать хотя бы 5 ответов: \begin
Вероятность угадать все 10 ответов: p10≈ 0,000001. Шанс – один из миллиона.
3. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
Определение 1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности f(х) называют величину несобственного интеграла (если он сходится):
Определение 2. Дисперсией непрерывной случайной величины X, математическое ожидание которой М(Х) = а и функция f(х) является ее плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится):
Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины имеют те же свойства, что и математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
Для непрерывной случайной величины X среднее квадратическое отклонение (Х) определяется, как и для дискретной величины, формулой .
Пример 4. Случайная величина X задана плотностью вероятности
Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины X.
Решение. Согласно определениям 1 и 2
4.5. Некоторые законы распределения случайных величин
1. Биномиальное распределение. Пусть производится п испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события А в одном испытании равна р, то вероятность его ненаступления равна q = 1 р.
Найдем вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит т раз (т п).
Пусть событие А наступило в первых т испытаниях т раз и не наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно записать в виде произведения:
Общее число сложных событий, в которых событие А наступает т раз, равно числу сочетаний из п элементов по т элементов. При этом вероятность каждого сложного события равна: p m q n — m . Так как эти сложные события являются несовместимыми, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Итак, если Рп(т) есть вероятность появления события А т раз в п испытаниях, то или
Формулу (1) называют формулой Бернулли.
Пример 1. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.
Решение. а) В данном случае n = 4, т = 3, р = 0,9, q = 1 p = 0,1. Применим формулу Бернулли (1):
б) Здесь событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей . Но Р4(4) = (0,9) 4 = 0,6561. Поэтому Р(А) = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477.
Снова рассмотрим n независимых испытаний, в каждом из которых наступает событие А с вероятностью р. Обозначим через X случайную величину, равную числу появлений события А в п испытаниях.
Понятно, что событие А может вообще не наступить, наступить один раз, два раза и т.д. и, наконец, наступить п раз. Следовательно, возможными значениями величины X будут числа 0, 1, 2, . n 1, п. По формуле Бернулли можно найти вероятности этих значений:
Запишем полученные данные в виде таблицы распределения:
Построенный закон распределения дискретной случайной величины X называют законом биномиального распределения.
Найдем М(Х). Очевидно, что Xi число появлений события А в каждом испытании представляет собой случайную величину со следующим распределением:
Поэтому М(Хi) = . Но так как X = Х1 + . +Хn, то М(Х) = пр. Найдем далее D(X) и (Х). Так как величина имеет распределение
то M(Xi 2 )= . Поэтому
Наконец, в силу независимости величин X1, X2, . Хn,
Пример 2. Случайная величина X определена как число выпавших гербов в результате 100 бросаний монеты. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X.
Решение. Вероятность появления герба в каждом бросании монеты . Следовательно, вероятность непоявления герба . Случайная величина X имеет биномиальное распределение при п = 100 и . Поэтому
Пример 3. Допустим, что для хищника вероятность поимки отдельной жертвы составляет 0,4 при каждом столкновении с жертвой. Каково ожидаемое число пойманных жертв в 20 столкновениях?
Решение. Это пример биномиального распределения при п = 20 и р = 0,4. Ожидаемое число есть М(Х) = пр = = =8.
2. Локальная и интегральная предельные теоремы Лапласа. Если число испытаний п велико, то вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Лаплас получил важную приближенную формулу для вероятности Рn(т) появления события А точно m раз, если п достаточно большое число. Им же получена приближенная формула и для суммы вида .
Локальная предельная теорема Лапласа. Пусть р=Р(А) вероятность события А, причем 0 < р < 1. Тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А при п испытаниях появится точно т раз, выражается приближенной формулой Лапласа
Для функции имеется таблица (см. приложение 1) ее значений для положительных значений х (функция четная).
Пример 4. Вероятность поражения цели стрелком при одиночном выстреле равна р = 0,2. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена ровно 20 раз?
Решение. Здесь р = 0,2, q = 0,8, n = 100 и т = 20. Отсюда и, следовательно,
Учитывая, что , из формулы (2) получаем (для получения приближен-ного равенства можно использовать калькулятор).
Перейдем к интегральной предельной теореме Лапласа. Поставим следующий вопрос, какова вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А, имеющее вероятность Р(А) = р (0 < р < 1), при п испытаниях (как и прежде, число испытаний велико) появится не менее k раз и не более l раз. Эту искомую вероятность обозначим через Pn(k, l).
Как найти математическое ожидание?
Математическое ожидание случайной величины $X$ (обозначается $M(X)$ или реже $E(X)$) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание — это первый начальный момент заданной СВ.
Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Скажем, если матожидание случайной величины — срока службы лампы, равно 100 часов, то считается, что значения срока службы сосредоточены (с обеих сторон) от этого значения (с тем или иным разбросом, о котором уже говорит дисперсия).
Формула среднего случайной величины
Математическое ожидание дискретной случайной величины Х вычисляется как сумма произведений значений $x_i$ , которые принимает СВ Х, на соответствующие вероятности $p_i$: $$ M(X)=\sum_
Пример нахождения математического ожидания
Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти M(X) по формулам, введеным выше.
Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом: $$ x_i \quad -1 \quad 2 \quad 5 \quad 10 \quad 20 \\ p_i \quad 0.1 \quad 0.2 \quad 0.3 \quad 0.3 \quad 0.1 $$
Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины: $$ M(X)=\sum_
Пример 2. Найти математическое ожидание для величины Х, распределенной непрерывно с плотностью $f(x)=12(x^2-x^3)$ при $x \in(0,1)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.
Используем для нахождения мат. ожидания формулу: $$ M(X)=\int_<-\infty>^ <+\infty>f(x) \cdot x dx. $$ Подставляем из условия плотность вероятности и вычисляем значение интеграла: $$ M(X)=\int_<-\infty>^ <+\infty>f(x) \cdot x dx = \int_<0>^ <1>12(x^2-x^3) \cdot x dx = \int_<0>^ <1>12(x^3-x^4) dx = \\ =\left.(3x^4-\frac<12><5>x^5) \right|_0^1=3-\frac<12> <5>= \frac<3><5>=0.6. $$
Вычисление математического ожидания онлайн
Как найти математическое ожидание онлайн для произвольной дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.
- Введите число значений случайной величины К.
- Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
- Нажмите на кнопку «Вычислить».
- Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$.
Видео. Полезные ссылки
Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)
Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое мат.ожидание, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).
Полезные ссылки
Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по терверу. Для закрепления материала — еще примеры решений по теории вероятностей.
А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:
Как вычислить математическое ожидание и дисперсию
непрерывной случайной величины?
Ответ на этот вопрос состоит всего лишь из 2 слов: с помощью интегралов. Приветствую тех, кто подтянулся с поисковика – вы попали на 2-ю часть урока о непрерывной случайной величине (НСВ), и если что-то будет не понятно, милости прошу по ссылкам.
Сам смысл математического ожидания и дисперсии мы уже разбирали ранее (но, конечно, повторим), и сейчас настало время узнать, как они определяются для НСВ. Всё очень просто: по аналогии с ДСВ. Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется, как несобственный интеграл:
, где – функция плотности распределения этой случайной величины.
Примечание: несложный вывод этой формулы можно найти, например, в учебном пособии В.Е. Гмурмана
Дисперсия тоже имеет «знакомые очертания»: (по определению), но в практических задачах гораздо удобнее применять формулу:
Как и в случае с дискретной случайной величиной, она не может быть отрицательной!
И среднее квадратическое отклонение вычисляется точно так же:
Итак, все инструменты в руках и мы с энтузиазмом приступаем к работе учёбе любимому делу:
…нет, это не опечатка – пример уже 7-й!
Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:
Вычислить . И построим ещё графики и , ну а куда же без них?
Решение начнём с графика функции распределения. При его ручном построении удобно найти промежуточное значение и аккуратно провести кусок кубической параболы : 
Повторяем: функция распределения описывает вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , «пробегающая» все значения от до . Данная функция изменяется в пределах и не убывает (т. к. «накапливает» вероятности), а также является непрерывной (для НСВ).
Очевидно, что случайная величина принимает случайные значения из отрезка , и какие из них более вероятны, а какие – менее, наглядно показывает функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей:
И снова опорные точки: с немедленным чертёжом: 
В отличие от функции плотности может быть разрывна и может принимать значения бОльшие единицы (как в нашем случае); может, как убывать, так и возрастать и даже иметь экстремумы (наш кусок параболы растёт). Однако, она неотрицательна: и обладает свойством , которое лучше всегда проверять (а то мало ли, опечатка или ошибка). В силу аддитивности интеграла:
– данный результат равен заштрихованной площади и с вероятностной точки зрения означает тот факт, что случайная величина достоверно примет одно из значений отрезка . Причём, по чертежу хорошо видно, что значения из правой части отрезка гораздо более вероятны, чем значения слева.
И эти вероятности оцениваются кусками площади, а не значениями функции . (окончательно избавляемся от распространённой иллюзии)
Ради интереса вычислим:
– вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка
Теперь числовые характеристики. Очевидно, что математическое ожидание (среднеожидаемое значение) случайной величины должно находиться в «живом» отрезке, причём – ближе к его правому концу (поскольку там выше плотность вероятности). Убедимся в этом аналитически. По формуле вычисления математического ожидания, и в силу того же свойства аддитивности:
– ну что же, вполне и вполне правдоподобно, результат я отметил красной точкой на чертеже.
! Примечание: в общем случае (и в этом, в частности) не делит площадь на 2 равные части!
Если промежуток конечен, то можно сразу записывать, что матожидание равно определённому интегралу:
Дисперсию (меру рассеяния случайных значений относительно ) вычислим по формуле:
Сначала удобно разобраться с интегралом, здесь я не буду расписывать подробно:
И, наконец, среднее квадратическое отклонение:
Самостоятельно по чертежу оцените, что на интервале сконцентрирована значительная часть площади – образно говоря, тут находится «гуща событий».
Вот такое вот у нас получилось захватывающее повторение-изучение-исследование!
И коль скоро спрашивалось немного, запишем:
Ответ:
Строго говоря, ответ следовало записывать и в предыдущих задачах, но когда пунктов много, то итоговые результаты вполне допустимо помечать по ходу решения, например, подчёркивать или обводить карандашом. Однако на моей памяти встречались и строгие рецензенты, которые требовали всё оформлять «по высшему разряду».
Следующее задание для самостоятельного решения:
Дана функция: 
Представить в аналитическом виде и показать, что она может служить плотностью вероятностей непрерывной случайной величины . Вычислить и .
Да, бывает и так! – вспоминаем уравнение прямой на плоскости. Краткое решение и ответ в конце урока.
Зачастую вычисление математического ожидания и дисперсии сопряжено с техническими трудностями, и заключительные примеры урока будут посвящены их преодолению:
Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения .
Найти: …, прямо так и хочется добавить ещё, но в жуткой борьбе с самим собой я остановился, чтобы сосредоточиться на главном =)
Решение: найдём коэффициент . Согласно свойству :
интеграл здесь табличный, и значения арксинуса «хорошие»:
Таким образом:
и функция плотности распределения:
Проверочка: , ч.т.п., и не забываем проконтролировать, что .
Но, в принципе, тут можно не полениться и подвести функцию под знак дифференциала:
Интересно отметить, что математическое ожидание «разделило» вероятности (единичную площадь под функцией плотности) на 2 равные части: 
Но, как я примечал выше, в общем случае это не так. Здесь это получилось по причине чётности и «симметричных» вероятностей. Также обратите внимание на то, что наша функция достигает минимума в точке и около этого значения сконцентрированы наименее вероятные значения случайной величины. Впрочем, распределение вероятностей близкО к равномерному.
Поскольку математическое ожидание равно нулю, то дисперсию удобно вычислить «одной строкой». Используем формулу и чётность подынтегральной функции:
Здесь сразу же удобно провести замену переменной, о которой я рассказывал в Примере 4 урока об эффективных методах решения интегралов:
Найдём новые пределы интегрирования. Если , то и:
…мда, хороший вышел каламбур на счёт одной строки :), продолжаем:
Результат получился положительным, и это уже хороший знак. Тем не менее, не помешает выполнить косвенную проверку и вычислить среднее квадратическое отклонение:
– ну что же, вполне и вполне реалистично, ещё раз взгляните на чертёж и мысленно отмерьте от влево/вправо 0,6.
А вот если бы отклонение вышло равным 1, 2 или бОльшему числу, то это говорило бы о явной ошибке.
Ответ:
Существует более трудная вариация рассмотренной функции
– с двумя вертикальными асимптотами в точках разрыва и сходящимся несобственным интегралом. Такие задачи предлагают даже студентам-заочникам, но я не стал маньячить, и поместил похожий пример в библиотеку для самостоятельного изучения.
Всё хорошо в меру:
Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения:
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
Вспоминаем интегрирование по частям, при этом, чтобы не запутаться, лучше придерживаться известного алгоритма: сначала находим неопределенный интеграл, затем проверяем первообразную дифференцированием, и только потом используем формулу Ньютона-Лейбница.
В целях самоконтроля полезно построить график плотности и отложить на чертеже математическое ожидание, затем найти дисперсию и оценить «правдоподобность» стандартного отклонения.
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:
Найти и . Составить функцию распределения и построить графики . Вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение, бОльшее, чем её математическое ожидание.
Нахождение функции распределения как-то так затерялось в последних задачах, и поэтому самое время освежить в памяти формулу . И, кстати, перед вами пример непрерывной случайной величины с бесконечной дисперсией. Да, так бывает! Но удивляться тут не нужно – потому что бывают и более интересные случаи. …Я знал, что вы соскучились =)
Решения и ответы совсем близко. Для желающих предлагаю более трудное задание с функцией , где нужно расписать модуль (свериться можно здесь же).
И предчувствие вас не обмануло! Точно так же, как и в дискретном случае, у непрерывной случайной величины есть особые виды распределений, самые популярные из которых рассмотрены в следующих статьях:
+ тематический pdf-решебник с десятками готовых задач, но это уже когда нагуляете аппетит 🙂
Решения и ответы:
Пример 8. Решение: представим в аналитическом виде. Составим уравнение прямой по точкам и :
Таким образом:
Примечание: верхние неравенства можно записать и так: , в условии нет однозначной инструкции на этот счёт.
Покажем, что может служить плотностью вероятностей НСВ :
1) функция на всей числовой прямой;
2)
Таким образом, может служить плотностью вероятностей непрерывной случайной величины
Вычислим математическое ожидание:
Дисперсию вычислим по формуле:
В данном случае:
Таким образом:
Среднее квадратическое отклонение:
Пример 10. Решение: найдем коэффициент . В силу непрерывности функции распределения:
Таким образом:
Найдем функцию плотности распределения:
Вычислим математическое ожидание:
Интегрируем по частям:
Построим график плотности распределения и отметим на оси математическое ожидание, значение которого получилось весьма правдоподобным: 
Дисперсию вычислим по формуле:
В данном случае:
Сначала найдём неопределённый интеграл:
Вычислим определённый интеграл:
Вычислим среднее квадратическое отклонение:
По чертежу хорошо видно, что на интервале сконцентрирована значительная плотность вероятности, что служит косвенным подтверждением правильности вычислений.
Пример 11. Решение: найдём коэффициент . Используем свойство .
В данном случае:
Вычислим несобственный интеграл:
Таким образом:
и функция плотности распределения:
Вычислим математическое ожидание:
Дисперсию вычислим по формуле:
в данном случае:
, откуда следует, что .
Функцию распределения вероятностей найдём по формуле :
1) на интервале и ;
2) на промежутке , следовательно:
Таким образом:
Выполним чертежи: 
Вычислим
– вероятность того, что случайная величина примет значение, бОльшее, чем её математическое ожидание.
Примечание: так как случайная величина теоретически может принимать сколь угодно большие значения, то такое смещение вполне закономерно.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Contented.ru – онлайн школа дизайна
SkillFactory – получи востребованную IT профессию!