15. Понятие отображения. Произведение (композиция) отображений. Ассоциативность произведения. Тождественное отображение и его свойства. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение.
Пусть Х и Y – множества элементов произвольной природы. Говорят, что задано отображение (читается: отображение f множества X во множество Y), если задан закон, по которому каждому элементу ставится в соответствие вполне определенный элемент (рис. 4.1).
Если , то называется образом элемента ; – прообразом элемента при отображении f.
Примерами отображений являются функции, которые изучаются в школьном курсе математики и в математическом анализе, например, функция – отображение . Классный журнал является примером отображения множества учеников в классе во множество всех фамилий.
Отображение называется тождественным, если оно любой элемент оставляет на месте. Тождественное отображение множества X на себя будем обозначать . Таким образом, .
Отображение называется взаимно однозначным (или биективным, или биекцией), если оно удовлетворяет двум условиям:
или одному, эквивалентному им, третьему условию:
Хороший пример взаимно однозначного отображения: в театре дают билет, каждому билету соответствует некоторое кресло, причем только одно.
Отображения и называются равными, если .
Пусть заданы отображения и . Произведением (или композицией) отображений f и g называется отображение такое, что (рис. 4.2).
Взаимно-однозначное отображение
Функция называется биекцией (и обозначается 
), если она:
- Переводит разные элементы множестваX в разные элементы множества Y (инъективность). Иными словами,
.
- Любой элемент из Y имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
.
Биекцию также называют взаимно однозначным отображением. Множества, для которых существует биекция, называются равномощными.
Содержание
Примеры
— биективные функции из 
в себя. Вообще, любой моном одной переменнойнечетнойстепени является биекцией.- f(x) = ex — биективная функция в
. Но если её рассматривать как функцию в , то она уже не будет биективной (у нуля и отрицательных чисел не будет прообразов). - f(x) = sinx не является биективной функцией, если считать её определённой на всём .
Свойства
- Функция
является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция
биективна, в этом случае 
биективна, то мы можем утверждать лишь, что f инъективна, а g сюръективна.
Использование модели
В информатике
Организация связи «один к одному» между таблицами реляционной БД на основе первичных ключей
См. также
Литература
- Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: «Лань», 2004—336 с.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Полезное
Смотреть что такое «Взаимно-однозначное отображение» в других словарях:
взаимно-однозначное отображение — взаимно однозначное соответствие — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы взаимно однозначное соответствие EN one to one mapping … Справочник технического переводчика
взаимно однозначное отображение — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] Тематики защита информации EN one to one mapping … Справочник технического переводчика
Взаимно однозначное отображение — Биективная функция. Функция называется биекцией (и обозначается ), если она: Переводит разные элементы множества X в разные элементы множества Y (инъективность). Иными словами … Википедия
Взаимно однозначное соответствие — (математическое) такое соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу первого множества соответствует один определённый элемент второго множества, а каждому элементу второго множества один определённый элемент… … Большая советская энциклопедия
ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ — соответствие между элементами двух множеств, при к ром каждому элементу первого множества соответствует единственный элемент второго множества, причем разным элементам первого множества соответствуют разные элементы второго и каждый элемент… … Математическая энциклопедия
Отображение — (матем.) множества А в множество В, соответствие, в силу которого каждому элементу х множества А соответствует определённый элемент у = f (x) множества В, называют образом элемента х (элемент х называют прообразом элемента у). Иногда под… … Большая советская энциклопедия
ФАКТОРНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — отображение f то пологич. пространства Xна топологич. пространство Y, при к ром множество открыто в пространстве Yв том и только том случае, если его прообраз f 1v открыт в пространстве X. Если дацрэ отображение f топологич. пространства Xна… … Математическая энциклопедия
Конформное отображение — Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis подобный), если в окрестности любой точки D дифференциал этого преобразования есть… … Википедия
отображение — Логическая связь набора значений (например, сетевых адресов в одной сети) с объектами другого набора (например, адресами в другой сети). [http://www.lexikon.ru/dict/net/index.html] отображение С самой общей точки зрения это правило, по которому… … Справочник технического переводчика
Отображение — [mapping, transformation] с самой общей точки зрения это правило, по которому элементам одного множества ставятся в соответствие элементы другого множества. Поэтому иногда говорят, что отображение это кортеж, состоящий из трех элементов:… … Экономико-математический словарь
Отображение во множество, отображение на множество, взаимно однозначное отображение
Пусть/есть отображение множества Е во множество F. Выражение «/ определено на Е» означает, что каждому х, принадлежащему Е, соответствует при отображении/некоторое у, принадлежащее F. Выражение «/ есть отображение Е в F» только это и означает, т.е. каждому х из Е соответствует у из F.
Но множество значений Дх) не обязано включать в себя все элементы множества F. Так, функция «sin» есть отображение множества R действительных чисел в R, но множество значений sin(x) состоит из действительных чисел у, удовлетворяющих условиям —1 фх2) всегда/(х!) ^ Дхг) в F.
Что значит взаимно однозначное отображение
Отображение называется взаимно однозначным или инъекцией, если разные элементы множества Л переводятся этим отображением в разные элементы множества В: для каждых из вытекает
Примеры. 6. Отображение множества целых чисел Z в множество всех четных чисел определим так: положим для каждого Это отображение — инъекция, так как из вытекает
7. Пусть А — множество всевозможных двухэлементных подмножеств множества действительных чисел R, В — множество приведенных квадратных уравнений. Каждому элементу множества А поставим в соответствие уравнение из В, для которого числа а, b являются корнями.
Как вытекает из теоремы Виета, такое отображение будет инъективным.
В нижнем ряду таблицы инъективного отображения в отличие от таблиц произвольных отображений, каждый элемент множества В встречается лишь один раз. Следовательно, на каждой горизонтальной прямой графика инъекции обозначено не более одной вершины сетки, а при стрелочном изображении инъекции в каждую точку, которой обозначается элемент множества В, входит не более чем одна стрелка.
Если множества А и В конечны и существует инъекция множества А в множество В, то, очевидно, должно выполняться неравенство