Сколько окружностей можно вписать в сегмент круга

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Центр данной окружности называется центром круга, а расстояние от центра до любой точки окружности — радиусом круга:

O — центр круга, OA — радиус круга.

Площадь круга

Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:

S = πr 2 ,

где S — площадь круга, а r — радиус круга.

Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:

D = 2r, значит r =	D	.
	2

Следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:

S = π(	D	) 2 = π	D 2	= π	D 2	.
	2		2 2		4

Сектор круга. Площадь сектора

Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Два радиуса разделяют круг на два сектора:

сектор круга

Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит n°, надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.

площадь сектора круга

Формула площади сектора:

S =	πr 2	· n =	πr 2 n	,
	360		360

где S — площадь сектора. Выражение

πr 2 n

360

можно представить в виде произведения

πr 2 n	= n ·	πr	·	r	,
360		180		2

где	nπr	— это длина дуги сектора.
	180

Следовательно, площадь сектора равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:

S =	sr	,
	2

где S — это площадь сектора, s — длина дуги данного сектора, r — радиус круга.

Сегмент. Площадь сегмента

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой. Любая хорда делит круг на два сегмента:

сегмент круга

Площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной дуги.

площадь сегмента круга

Площадь сегмента AMB будет вычисляться по формуле:

S =	r	(s — BC),
	2

где S — это площадь сегмента, r — радиус круга, s — длина дуги AB, а BC — длина половины хорды двойной дуги.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

сколько малых окружностей можно вписать в большую

Задача: сколько можно вписать одинаковых окружностей радиуса r в большую окружность радиуса R.

Решить в общем случае эту задачу никак не получается. Это вообще возможно ?
Я пока пришел к выводу что нет .
Тогда частный случай этой задачи: есть 30 ( +-10) окружностей радиуса r (пусть даже все численно известено). Вопрос: какого радиуса R нужно взять большую окружность, чтоб все эти маленькие в нее вписались?
Возникает вопрос а как компановать окружности? Я как ни размышлял, пришел к выводу что сначала заполнять с максимального удаления от центра и так кругами все ближе и ближе к центру. Но это хорошо если известен большой радиус и нужно посмотреть количество. А если радиус найти надо? Как будет правильно ?

Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М.Яглом. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии. «Наука», Москва, 1974.

Эта задача рассматривается в книжке под номером 110. Там есть и ссылки на другую литературу. К моменту написания книги задача была решена для числа окружностей, не превосходящего 19.

Последний раз редактировалось age 21.08.2009, 18:34, всего редактировалось 1 раз.

Задача сводится к нахождению описанной окружности вокруг правильного n-угольника такого, что каждая его сторона будет равна двойному радиусу . Тогда радиус искомой окружности будет радиус описанной окружности вокруг данного n-угольника + r.
Пусть радиус данных окружностей $r$ . Тогда для количества окружностей равного $n$ получаем правильный n-угольник со стороной . Радиус описанной около него окружности будет:
$$R_n=\dfrac<r><sin\left(\frac<\pi><n>>\right)$» /><br />Откуда радиус искомой окружности:<br /><img decoding=$ , когда расстояние между внутренними дугами двух вписанных противоположенных окружностей превысит , внутрь можно будет поместить еще окружность. Причем по тому же самому принципу. Поэтому можно рассчитать для любого $n$ .
Единственно, что надо потрудиться рассчитать сколько будет вложений. Тут согласен, что универсальная формула будет трудоемкой.
В частности, первую дополнительную окружность можно будет поместить начиная со значения $n$ такого, что $R\geq3r$ . Откуда
$R_n\geq2r$ или

$$\dfrac<r><sin\left(\frac<\pi><n>>\right)>\geq2r$» />. Откуда</p> <p><img decoding=$ .

Таким образом, начиная с $n=6$ для заданного радиуса уже поместится внутрь не $6$ , а $7$ окружностей.
Далее принцип тот же. Две окружности внутрь первого кольца окружностей поместить нельзя, только три. Расчет аналогичен. Когда число внтутренних окружностей достигнет $6$ внутрь них снова можно будет поместить новую окружность и так далее! Количество вложений колец может расти до бесконечности.
Является ли данный алгоритм единственным, сказать не могу. Но скорее всего, да.

— Пт авг 21, 2009 19:05:34 —

Для сорока окружностей необходимо будет посчитать число колец и как следствие число окружностей, которое в данное число колец уместится. Если число окружностей в первом (внешнем) кольце будет $p$ , то радиус внутреннего кольца, образованного вписанной в это кольцо окружности будет:
$$R_1=R_n-r=\dfrac<r><sin\left(\frac<\pi><p_1>>\right)>-r$» />.<br />В свою очередь, в эту окружность поместится кольцо из окружностей с количеством, не большим:<br /><img decoding=$ и окружности в каждом. Таким образом, искомый радиус составил:
$$R_<40>=\dfrac<r><sin\left(\frac<\pi><20>>\right)>+r=7,392 r$» /></p> <h2>Сколько малых окружностей можно вписать в большую ⁠ ⁠</h2> <p><img decoding=$

На какой широте расположен Сумеру? | Genshin Impact⁠ ⁠

Всем доброго дня
Сегодня решил глянуть синематики, посвященные уже вышедшему аль-Хайтаму. И тут мне на глаза попался один довольно интересный и, естественно, информативный кадр, вот он:

На какой широте расположен Сумеру? | Genshin Impact Genshin Impact, Компьютерные игры, Геометрия, Математика, Астрономия, Звездное небо, Длиннопост

Здесь мы видим вращение звездного неба, а оно, как известно, вызвано вращением Земли вокруг своей оси. По положению точки, вокруг которой крутятся звезды, и по направлению вращения можно примерно определить широту точки наблюдения, то есть Сумеру (ну аль-Хайтам из Сумеру, и пейзажи сумерские, думаю, в синематике Сумеру показан). Что ж, приступим

Начнем с углового значения широты ~~(хотя на этом мы и закончим)~~. Чтобы понять, что и как должно вращаться, нарисуем вращение ~~Земли~~ Тейвата относительно небесной сферы, а затем небесной сферы относительно сферической поверхности Тейвата:

Оставлю небольшое замечание: Тейват таки является сферическим, об этом говорит один из ученых, который как раз вычислял его кривизну:

Точка, вокруг которой крутятся звезды, должна лежать на оси вращения звездного неба относительно поверхности (короче на оси вращения ~~Земли~~ Тейвата) и при этом она лежит на оси вращения звездного неба относительно наблюдателя. Вот картинка для наглядности:

Так как эта точка бесконечно удалена, то можно считать, что те две оси параллельны. Теперь разрезаем планету и видим, как связано угловое расстояние от той точки до горизонта и широта:

Доказательство построения: так как оси вращения пересекаются, то они образуют плоскость (этой плоскостью мы резали планету). В то же время радиус из центра к наблюдателю проходит через обе оси, значит он лежит в этой плоскости. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу => она перпендикулярна первой плоскости => чтобы определить угол между осью наблюдателя и плоскостью нужно определить угол между осью и прямой пересечения плоскостей. Это как раз показано на рисунке
Как мы видим, угловое расстояние от точки до горизонта и есть широта

А теперь внимательно смотрим на картинку из начала поста и замечаем, что эта точка находится где-то рядом с горизонтом, значит, широта Сумеру близка к нулю. Ну а это значит, что Сумеру расположен близко к экватору. В южном полушарии или в северном — не имеет значения, ибо точное угловое расстояние не получить — и горизонт, и точка вращения спрятаны за горами
Разве что можно сказать, куда смотрит аль Хайтам. Вспоминаем один из чертежей, но теперь проводим касательную, лежащую в одной плоскости с осью вращения:

По картинке понятно, что если смотреть на юг, то звезды будут крутиться по часовой стрелке. Прям как на кадре из синематика. Значит, аль Хайтам смотрит куда-то на юг. К слову, вот похожее место:

Ну а на этом все. Надеюсь, пост получился интересным, а, может, кому-то даже помог чуть-чуть разобраться в геометрии и астрономии

Всем добра и выигранных 50/50)

Геометрия телевиденья⁠ ⁠

Геометрия телевиденья Карикатура, Игра слов, Иллюстрации, Юмор, Телевидение, Программа, Геометрия, Комедия, Телевизор, Зритель, Тупость, Тупой и еще тупее (фильм)

Старая картинка про телешоу на нашем тв. Есть отсыл к замечательной комедии, к программе для геометров, кто-то увидит вред тв на сознание — каждому свое. Я делал к материалу про разросшиеся как грибы разнообразные телешоу.

Советские короткометражки "Геометрия для малышей". Просто чудо!⁠ ⁠

На советском телевидении выходило много образовательных программ и телефильмов для младшего поколения — дошкольников и школьников, которые раскрывали молодому поколению основы различных наук. Причём всегда — в доступной форме, с юмором, наглядно и очень увлекательно! Вот и цикл короткометражных телефильмов «Геометрия для малышей» в лёгкой игровой форме, на простых примерах объясняет малышам основные понятия геометрии, потому что в действительности она присутствует повсеместно.
Предлагаемый вам фильм цикла состоит из двух игровых сюжетов. «История с ромбами» знакомит не только с ромбами, но и с подобием и равенством фигур, а также с устройством пантографа – прибора, с помощью которого можно скопировать изображение и нарисовать равные фигуры. «Кино и зеркала» рассказывает о симметрии и о применении зеркал в киносъёмке.

Новосибирсктелефильм, 1983 г. Источник: канал на YouTube «Советские фильмы, спектакли и телепередачи. Гостелерадиофонд», https://www.youtube.com/channel/UC7FDlGcSUqeSZHh1LRMM1OQ?sub_confirmation=1

Как выйти на орбиту при помощи пушки⁠ ⁠

Всем доброго времени суток. Чуть менее года назад мне попался пост про SpinLaunch, где в комментариях речь зашла о том, можно ли выйти на орбиту при помощи пушки и без включения двигателей. Ну и мне захотелось узнать ответ на этот вопрос. Захотелось, но то времени не было, то просто лень было что-то делать. Но вот руки дошли до поста, поэтому прямо сейчас проверим, можно ли выйти при помощи пушки на орбиту? А также в конце затрону вопрос о том, как лучше всего выходить на орбиту с использованием и пушки, и двигателей

На первый взгляд кажется, что выйти на орбиту, придав спутнику импульс на поверхности планеты, невозможно. Если не учитывать сопротивление воздуха, то точка старта будет принадлежать орбите аппарата, а еще там вертикальная скорость будет положительна, из чего следует, что перицентр окажется ниже поверхности. Но вот если добавить атмосферу, то картина изменится. Спутник всегда будет двигаться только вверх в атмосфере (ему все-таки из нее выбраться надо). Поэтому аэродинамическое сопротивление будет толкать спутник вниз. Если вы знакомы с орбитальной механикой и/или играли в Kerbal Space Program, то, я уверен, знаете, что если включить двигатель по направлению к или от небесного тела, то орбита начнет как бы «поворачиваться» относительно положения аппарата. Более понятно это показано на картинке, где орбита будет отчасти похожа на текущую орбиту нашего спутника в какой-то момент времени при движении в атмосфере:

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

Можно сразу заметить, что при таком «повороте» орбиты перицентр увеличивается. Значит теоретически может быть такой случай, когда спутник сам выйдет на орбиту. Давайте это проверим и попытаемся найти такой случай

Модель спутника

Так как основы никакой нет, то сами выберем, каким будет спутник. В качестве модели я решил взять конус диаметром 1 м, углом раствора 30 градусов и массой 500 кг. Этакий набор кубсатов под бронированным колпаком 🙂
В полете важную роль будет играть сопротивление воздуха, поэтому вычислим среднее значение коэффициента сопротивления воздуха. Но не совсем того, что нам дает классическая формула F = p * S * c * v^2 / 2, а немного другого. Запишем формулу ускорения от аэродинамического сопротивления: a = p * S * c * v^2 / 2m, заметим, что все, кроме p и v, — это константы. p, то есть плотность среды, мы заменим на p0 * e^(k * H), то есть аппроксимируем плотность от высоты при помощи экспоненты. Перепишем формулу ускорения: a = (p0 * S * c /2m) * v^2 * e^(k * H). Теперь все константы перепишем в одну a = C * v^2 * e^(k * H). Вот эту C мы и найдем
Сама по себе C — это не константа, так как коэффициент сопротивления воздуха для одной и той же формы разный при разных скоростях. Однако на больших скоростях он колеблется незначительно (что мы дальше и увидим), поэтому его можно принять константой (в целом, для более точного решения нужно C найти через интерполяцию его значений при конкретных скоростях, но для этого нужно взять довольно много точек, что делать не особо хочется, да и на точность это сильно не повлияет, зато прибавит лишней работы)
Ну коль надо измерять сопротивление воздуха, то нам понадобится САПР, в моем случае это SolidWorks. Запускаем, создаем модель, заходим во FlowSimulation и создаем проект:

Скорость -30000 м/с — один из расчетных случаев

Теперь поставим в проекте цель находить силу по оси Oy и по несколько раз запустим расчет, каждый раз меняя значение скорости потока воздуха. Я буду измерять с 8000 м/с до 30000 м/с с шагом в 1000 м/с. Для каждой скорости записываем действующую силу. Дальше, возвращаясь к формуле ускорения, мы избавимся от e^(k * H). Так как в SolidWorks-е воздух имеет такую же плотность, что и воздух у поверхности Земли при н.у., то переменная H становится равна нулю, а экспонента — единице. Ну а чтобы вычислить тот самый коэффициент, мы будем силу делить на массу и на квадрат скорости (сила на массу даст ускорение, а если ускорение поделить на квадрат скорости, то получим только коэффициент, ну и еще экспоненту, но мы от нее избавились). Короче говоря, пишем таблицу в экселе:

1-ый столбец — скорость, 2-ой — искомый коэффициент, 3-ий — сила, действующая на модель при данной скорости
Осталось найти среднее значение. Но как это сделать? Будем действовать так же, как при нахождении средней скорости: проинтегрируем функцию C(v), полученную интерполяцией табличных значений, а затем разделим на разность пределов интегрирования. В качестве пределов интегрирования будут использованы минимальная и максимальная скорость, что логично. Запускаем Wolfram Mathematica, пишем и выполняем следующий код:

Можно заметить, что сам коэффициент колеблется незначительно, что нам на руку

В целом, это все, что нужно знать про модель. В решении мы пренебрежем уменьшением массы от испарения аблятора, напряжения и деформацию рассматривать не будем (так как первое нам не нужно, а второе будет очень маленьким). Также примем, что наш конус при движении острием вперед устойчив, то есть его ось всегда совпадает с вектором скорости воздуха. На деле так случается не всегда, все зависит от центра масс, но будем считать, что спутник мы сделали устойчивым

Плотность атмосферы

У нас остался неизвестный коэффициент при экспоненте, его тоже надо найти (конечно, можно и плотность интерполировать, но для этого нужно много точек при больших высотах, что, опять же, делать не очень приятно, к тому же приближение через экспоненту работает довольно точно). Находим ГОСТ 4401-81 Атмосфера стандартная и из него берем плотности воздуха при разных высотах, далее записываем их в эксель и строим график. Создаем линию тренда, делаем ее экспоненциальной и выводим уравнение на график

Тут же сразу замечаем, что у полученной функции в нуле плотность не равна плотности воздуха при нулевой высоте. Поэтому полученный прежде коэффициент для сопротивления воздуха нужно переделать. В нем есть начальная плотность, которая как раз равна 1,225 кг/м^3. А при приближении экспонентой она должна быть равна 1,3611 кг/м^3. Поэтому сам коэффициент разделим на 1,225 и домножим на 1,3611. На картинке он есть, вон в низу красуется)

Составление модели полета

Вводные данные есть — значит можем приступать к самой модели полета. Сразу определимся, что в ней будем учитывать, а что не будем. Во-первых, в учет пойдут только сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Остальные силы очень малы, поэтому ими можно пренебречь. Помимо этого не будем учитывать моменты. Мы заранее приняли, что аппарат будет устойчив, поэтому можно не записывать уравнения моментов и не вводить зависимость сопротивления воздуха от ориентации: спутник всегда направлен по движению (a.k.a. по програду). Также по мелочи, не будем учитывать изменение радиуса Земли (и эллиптичность самой Земли в сечении) при разной широте старта
Систему координат возьмем декартову, трехмерную. Нуль координат будет совпадать с центром Земли
Приступим к формулам. Нам надо выразить ускорения по 3 осям
Начнем с силы тяжести. При помощи чертежа находим, как будет зависеть проекция силы на ось от координат тела:

Выражение записано только для оси Ox, однако оно аналогично для и для Oy и Oz
Теперь выражаем F, вернее a, и записываем проекции ускорения от силы тяжести на каждую из осей

Теперь строим чертеж для силы сопротивления воздуха:

И также выражаем ускорение от АС, а затем и ускорение в проекциях

Однако здесь можно сразу заметить один нюанс: мы не все выразили через x, y и z и их производные. Дело в том, что Земля крутится, а вместе с ней и атмосфера. При помощи чертежа определим, как зависит скорость воздуха от координат и перезапишем v-шки через них:

Перезапишем формулы для сопротивления воздуха:

И составим сами уравнения модели:

Казалось бы все, модель готова. Но тут есть нюанс. Работать с трехмерной моделью полета не очень удобно, к тому же это более ресурсозатратно (а еще у меня Wolfram может сильно косячить с графиками в 3D). Поэтому сократим количество измерений до 2
Для этого примем, что орбита находится в одной плоскости (на деле она чуть-чуть смещается, как раз из-за вращения атмосферы, но это смещение довольно мало). Плоскость орбиты должна проходить через место старта и нуль системы координат. Из этого следует, что ее наклон к плоскости Oxy равен широте места старта. Теперь для удобства примем, что ось Ox принадлежит этой плоскости (это соответствует случаю, когда x-координата места старта равна нулю). Теперь на этой плоскости проведем систему координат Ox0y0, причем x0 совпадает с x (поэтому вместо x0 будем писать просто x). Построим чертеж и выразим y и z через y0, а также запишем их производные первого и второго порядка:

Перепишем систему в двух измерениях. y0 выразим из y (выражение через z и y дают разные формулы, которые численно не сильно отличаются. Это как раз из-за того, что на деле орбита не находится в одной плоскости):

Вот теперь модель готова

Поиск решений для задачи

Теперь надо найти такие комбинации начальных скоростей по обеим осям, чтобы аппарат вышел на орбиту (или убедиться, что их нет). Так как данная модель не имеет аналитического решения, то придется просто перебирать решения (сразу добавлю, что для всех параметров сразу все же можно найти решение, для этого нужно решить систему R(t0) = (6371000 + 180000) м) и R'(t0) = 0 (здесь вводится полярная система координат), однако я не нашел способа сделать это в Wolfram-е, а также для такого решения банально не хватает мощностей моего компьютера). Это не даст стопроцентный ответ на поставленный в начале вопрос, но по самим траекториям можно будет предположить, каков ответ
Как будем перебирать? Я решил выбрать более менее подходящий вариант между точностью и затратами на расчет, поэтому выбрал ограничения для начальных горизонтальной и вертикальной скоростей в 3000 м/с и 8000 м/с соответственно снизу и 30000 м/с сверху (да, стоило в начале посчитать коэффициент вплоть до 30000*Sqrt(2) м/с, но коэффициент ведь считаем постоянным, а поэтому можно использовать и тот, что есть). Шаг для обеих скоростей выберу в 500 м/с. В итоге получим 2475 траекторий, которые надо отсмотреть и проанализировать
Также в решении надо будет ввести ограничение по времени внутри системы (то есть от какого до какого момента моделировать полет). Для этого нижнее (оно же начальное) значение времени будет равно 0, а верхнее я решил принять равным орбитальному периоду для спутника на эллиптической орбите с апогеем ровно на границе сферы тяготения и перигеем в 180 км (число взято не совсем из головы, изначально я предполагал вводить уплощенную модель, которая имеет аналитическое решение, чтобы определить, среди каких скоростей искать решение, и вот там как раз спутник должен был выйти на орбиту с перигеем в 180 км. Но решение этой модели давало вообще неправильные цифры (для примера — чтоб хотя бы просто не упасть на Землю, нужна была горизонтальная скорость в

150 км/с, что в полной модели давало достижение второй космической), поэтому я от него отказался)
Итак, пишем код, запускаем его и идем пить чай, че еще делать то)

Через несколько минут приходим назад и мотаем вниз в поиске кучи надписей Null в фигурных скобочках. Если они есть и новых графиков не появляется, значит расчет окончен. Можем приступать к анализу
Но перед этим сразу определим, какие графики мы можем теоретически получить. Их 4 типа:

Прямая с малой кривизной. На координатных осях значения до примерно 1*10^11. Это случай, когда аппарат набрал вторую космическую скорость и покинул сферу тяготения Земли

Прямая с малой кривизной. На координатных осях очень большие значения, больше чем в первом типе. Это случай когда спутник упал на Землю. Из-за экспоненциальности плотности воздуха и учета вращения атмосферы спутник, оказавшись под поверхностью планеты, начинает испытывать очень сильное действие силы сопротивления воздуха, которое не останавливает его, а заставляет двигаться. В купе с этим из-за перехода к 2 измерениям спутник не движется по «орбите» под землей, а очень сильно ускоряется крутящейся атмосферой, из-за чего набирает гигантскую скорость и улетает от Земли на миллионы световых лет

Разомкнутый эллипс. Это тот случай, когда апогей оказался не сильно выше границы сферы тяготения. Так как есть ограничение по времени, заданное максимально высокой орбитой, то при апогее ниже границы, эллипс должен быть замкнутым (или почти замкнутым, но там расстояние между началом и концом кривых должно быть маленьким)

Замкнутый эллипс. Это как раз стабильная орбита. Эллипс может быть чуть-чуть разомкнутым, об этом написал выше

И теперь скроллим все две с половиной тысяч графиков и смотрим на них. Пока прикреплю пару примеров:

Первый тип траектории

Второй тип траектории. Видны очень большие значения координат на осях

Эллипс, который «не шмог» ) Неизвестно, какой у него перигей, но вот апогей оказался выше границы сферы тяготения, поэтому на такую траекторию в реальности все же не выйти. Ах да, это третий тип

Еще один довольно причудливый график. Здесь спутник вышел из атмосферы, сделал виток и упал на Землю (об этом говорит последний кусок траектории), после чего полетел далеко-далеко от Земли. Ну и это второй тип траектории

Как вы могли заметить, я не привел пример 4 типа графиков. А все потому что таковых не было. Хоть выборка и довольно грубая (шаг аж в 500 м/с), она дает понять, что скорее всего выйти на орбиту без включения двигателей не получится (на самом деле то довольно много есть итераций, в которых спутник покинул атмосферу, но потом упал на Землю). Что ж, удручающе, хотелось найти какое-нибудь решение. Хоть и такой результат неудивителен

Как все же можно выйти на орбиту?

Но представим, что нам ну очень хочется на орбиту. Мы уже и пушку купили, и спутник. Логичным становится то, что к спутнику нужно приделать ступень. Представили, что приделали, теперь надо узнать, как из пушки нужно выстрелить и сколько надо дельты
Пусть мы хотим выйти на круговую орбиту радиусом R + R0. Если в описанной прежде системе закрепить угол наклона к горизонту и менять только скорость, то можно заметить, что при росте скорости растет апогей (ну то есть высота апогея от скорости — функция монотонная). А значит, для данного угла существует только одно значение скорости, которому соответствует требуемое значение апогея. Тогда общее множество решений для случая, когда апогей равен R, является некоторой кривой (при решении R(t) = R + R0 это будет поверхность t(v0, a), и это будут все траектории, проходящие через R + R0. Так как при увеличении скорости растет апогей, то нам для каждого угла a нужна одна скорость, которая будет минимальна для этого угла a в t(v0, a). А это как раз и получается кривая)
Теперь из этого множества решений нужно взять одно подходящее. И оно соответствует той комбинации угла наклона и начальной скорости, при которой последняя будет минимальна. Это следует из того, что с ростом скорости максимальное значение силы сопротивления воздуха растет квадратично, а скорость в апогее — приблизительно линейно. В данном случае увеличение скорости незначительно понизит нужную дельту (линейно уменьшится), зато сильно повысит массу конструкции спутника и ступени (будет также увеличиваться квадратично). Учитывая сильный рост массы конструкции, чтоб дельты было достаточно, нужно будет также увеличить начальную массу по сравнению со случаем для минимальной скорости (это следует из того, что нужная дельта убывает медленнее, чем растет масса конструкции). В итоге получим большие затраты по топливу, материалам для ступени, большие ограничения на спутник из-за перегрузок и большие энергозатраты на запуск из пушки. А это нам не особо надо. Конечно, могут быть случаи, когда подходящая начальная скорость не равна минимальной. Но тут уже нужно конкретно рассматривать конкретную ступень и спутник.
Если сократить, то получим, что для выхода на орбиту нужно решить один из вариантов модели полета из поста (в идеале — трехмерную, используя плотность и коэффициент сопротивления воздуха как функции, полученные интерполяцией, а также учитывая все все все силы, испарение аблятора, моменты и т.д.) в параметрическом виде, причем в полярных координатах (перейти к ним не сложно: выражаем декартовы координаты через произведения радиуса и синусов/косинусов угла/углов -, так что это не проблема), далее найти функцию t(v0, a), удовлетворяющую условию R(v0, a)(t) = R + R0, затем найти кривую, в которой каждому a соответствует минимальная v0 и среди v0, принадлежащих этой кривой, найти либо минимальную v0 (то есть минимальную v0 для t(v0, a)), либо найти такую v0, которая даст минимум массы спутника со ступенью (в большинстве случаев она совпадает с минимальной). Затем по v0 найти a, решить модель с заданными параметрами и уже по ней определить все остальные требования к спутнику (дельта, прочностные характеристики и т.п.). Замечу, что процесс итерационный, так как коэффициент сопротивления воздуха берется из модели аппарата, а модель из характеристик, которые берутся из решения модели полета, для которой нужен коэффициент сопротивления воздуха.

Ну а на этом пост заканчивается, ведь ответы на все вопросы из его начала получены. Надеюсь, читать было интересно, а содержание было понятным. Если есть какие-либо вопросы или что-то оказалось непонятным — пишите в комментариях, постараюсь более подробно разобрать. Буду рад критике, советам и дополнениям к содержанию поста.

Всем добра и с прошедшим Новым годом)

Шарнирные механизмы | Лекции по математике – математик Николай Андреев | Научпоп⁠ ⁠

Задумывались ли вы, как работают стеклоочистители автомобиля? Что такое шарнирные механизмы и где они применяются? Как перевести движение по окружности в движение по прямой? Какие удивительные механизмы разрабатывал великий русский математик и механик П. Л. Чебышев и для каких задач они применялись?
Рассказывает Николай Андреев, кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Продолжение поста «Задача из олимпиады Гонконга»⁠ ⁠

Многомерные арбузы – пустая трата денег⁠ ⁠

Жарким летним вечером вы идёте домой, мечтая украсить ужин чем-нибудь освежающим. Вдруг словно со всех сторон разносится завлекающий голос со среднеазиатским акцентом – «Бери девятимерные арбузы, сладкие, как первая любовь!». Что ещё за девятимерные арбузы, задумываетесь вы на секунду. Но в такой жаркий день думать не хочется. Трёхмерные фильмы позволяют испытать больше ощущений, чем двумерные может и с арбузами также?

Вы небрежно протягиваете деньги в сторону непонятной формы ларька с фруктами. Они словно растворяются в пространстве, а взамен из ниоткуда появляется нечто, похожее на арбуз, хотя его размеры постоянно изменяются

Многомерные арбузы – пустая трата денег Математика, Наука, Арбуз, Факты, Многомерность, Шар, Геометрия, Человек наук, Гифка, Длиннопост

Четырёхмерные шары ведут себя странно

На удивление, девятимерный арбуз даже немного легче, чем привычный трёхмерный. В предвкушении необычного ужина, вы спешите домой. К сожалению, там вас ждёт разочарование: почти 77% арбуза составляет корка!

И это ещё хорошо, что арбуз был не 15-мерным. В таком мякоти меньше 9%. А в 30-мерном – меньше одного процента. Любопытное свойство многомерных шаров – их объём концентрируется у границы. В случае арбуза – у корки

Это кажется удивительным, но после несложных размышлений становится очевидным. Прежде чем их проделать, давайте вспомним, что такое шар. Возьмём какую-нибудь точку в пространстве – центр и число – радиус. Шар – это множество точек, лежащих на расстоянии не большем радиуса от центра. Теперь давайте представим, что арбуз – это идеальный шар. Как выглядит одномерный арбуз?

Если ходить разрешено только в одном измерении, то шар – это просто бесконечно тонкая линия длиной в 2 радиуса! Предположим, что корка занимает 15% её длины. Тогда арбуз будет выглядеть так:

Для наглядности я нарисовал линию пожирнее, но помните – одномерный арбуз не имеет толщины, только длину. Таким не наешься, но зато корка занимает всего 15%!

Как же будет выглядеть двумерный арбуз? Здесь тоже всё просто: шар с двумя измерениями – это знакомый всем круг

Из двумерных арбузов очень просто убирать косточки!

Вглядитесь в картинку: вместо двух небольших отрезков корка теперь выглядит как толстая окружность. Из-за размазанности по краям фигуры можно и не заметить, что она занимает почти 28% арбуза!

Трёхмерный арбуз, думаю, видели все. Корка огибает его со всех сторон, забирая ещё большую долю объёма. Если верно предположение, что она занимает 15% толщины, то почти 39% объёма уйдёт на корку. Больше трети стоимости арбуза составляет его несъедобная часть

Дальше иллюстрации становятся сложнее, зато логика продолжает работать. Чем больше размерность арбуза, тем большая доля его объёма концентрируется у корки. При помощи математических формул, мы можем точно рассчитать процент:

В 30-мерном арбузе мякоти почти не остаётся: её там всего 0.76%. Девятимерный кажется уже не таким плохим, не так ли? Также любопытно, что, начиная с шестого измерения, объём арбуза уменьшается при фиксированном радиусе

Теперь когда вам в следующий раз будут предлагать купить многомерный арбуз, знайте – это невыгодно! Кушайте еду подходящей размерности

Площадь государств в Genshin Impact⁠ ⁠

Во-первых, спасибо пользователю @Lemonkingsman за идею для данного поста

Во-вторых, в посте будут рассчитаны только площади государств на основной карте, то есть здесь не будет Энканомии (так как у меня нет возможности перевести пиксели с карты в метры), Разлома (так как в принципе глупо считать площадь шахты, которая находится под землями государства-владельца) и Архипелага Золотого Яблока (возможно выпущу пост конкретно о нем чуть попозже, на данный момент я не закончил ивент с этой локацией и толком не разобрался с заменой островов)

В-третьих, приятного прочтения 🙂

Для самых нетерпеливых или тех, кто не хочет погружаться в математику, результаты всех расчетов в конце поста

Итак, перед тем как начинать расчеты, нужно определиться, что будет считаться территорией государства. В моем случае это (помимо суши) будут различные заливы, проливы и бухты, а также острова и в некоторых случаях прибрежные к островам воды. Это сделает расчеты несколько проще (вернее сделает их менее долгими и нудными для меня), ну и помимо этого, подобные объекты в реальности также считаются территорией страны. Также я не буду учитывать территориальные воды, так как будет довольно проблематично отмерять от берегов по 12 миль (страны на карте в GI довольно маленькие)

С понятием площади разобрались. Теперь, перед тем как перейти к работе с картой, определим площадь одного пикселя карты в квадратных метрах. Это нам понадобится позже, чтобы площадь из пикселей перевести в метры. Для этого я воспользуюсь уже имеющейся у себя меткой на карте, до которой мне известно расстояние из конкретной точки:

Площадь государств в Genshin Impact Genshin Impact, Компьютерные игры, Математика, Занимательная математика, Геометрия, Математический анализ, Программирование, Длиннопост

Черный отрезок — отрезок между меткой и указанной выше точкой

Сразу понятно, что площадь пикселя будет равна квадрату длины пикселя. Длину же пикселя можно вычислить как отношение длин данного отрезка в метрах и в пикселях (уж простите за такое количество слов пиксели). Через Paint находим координаты обеих точек (если быть точнее, то находим длину отрезка по оси Ox и по оси Oy, Paint это показывает сам) (сразу добавлю, что все операции с картой делались при максимальном удалении/масштабировании (то есть так, чтобы как можно больше территорий было видно)). И затем через теорему Пифагора находим искомую длину отрезка в пикселях, затем находим длину самого пикселя, а затем и его площадь:

Теперь можем полноценно перейти к карте

И в первую очередь нам нужно ту территорию, которую мы видим на карте превратить из просто изображения в какой-то контур, то есть аппроксимировать. Я это буду делать с помощью отрезков: так гораздо проще, да и погрешность будет незначительной. Попутно с рисованием отрезков записываем координаты каждой точки, в которой заканчиваются отрезки (так как контур замкнутый, то точка, в которой заканчивается один отрезок, будет началом другого отрезка)

Вот так получилось упростить карту у меня. Также можно заметить, что некоторые очень малые острова я обозначил окружностями. С ними будет и результат точнее, и расчеты проще. А еще как же я теперь ненавижу Инадзуму, на которую ушло больше всего времени, бумаги, и получилась она хуже всех

Итак, теперь у нас есть более-менее простые контуры, как определить их площадь? В первую очередь скорее всего приходит идея разбить контур на прямоугольники и прямоугольные треугольники и считать площадь так. Да, так можно сделать, но лично я не готов тратить часов 10 на разбиение всех этих контуров, да и решение получится каким-то слишком топорным. Поэтому я использую 2 козыря у себя в рукаве, первый из которых — это интеграл:

«Занимательная математика. Производные и интегралы. Манга» с.92

Второй же козырь — программирование

В совокупности можно получить довольно простую программу, которая по точкам посчитает площадь контура

Начнем с математических основ программы, то есть выведем в общем виде и линейную функцию, описывающую данный отрезок, и интеграл этой функции в пределах существования отрезка (функции)

Начнем естественно с самой линейной функции. Нам известны 2 точки, которые принадлежат отрезку, а значит можно составить систему уравнений, из которой можно найти коэффициенты k и b для уравнения функции y = k*x + b

Коэффициент b можно было бы выразить и через координаты точек, а не через k, но в случае с программой будет проще правильней последний вариант

Теперь перейдем к интегралу. Но перед этим тем, кто с интегрированием не знаком, советую ознакомиться с формулами и свойствами, которые будут использованы:

В качестве пределов интегрирования берем точки x1 и x2, а затем находим определенный интеграл:

Теперь определимся как будем считать площадь контура (хотя по нормальному это нужно было бы описать перед переходом к интегралам, но да ладно). Мы будем суммировать полученные интегралы, в результате чего получим число равное площади этого контура. В данном случае получится так, что интегралы «нижней» части контура будет больше искомой площади на некоторое число S, а интегралы «верхней» части контура как раз таки вычтут это S и мы получим то, что ищем. Правда есть небольшой нюанс, в зависимости он направления обхода контура (с правилами Кирхгофа это никак не связано 🙂 ) Площадь получится либо положительной, либо отрицательной, однако для обоих случаев модули будут равны и друг другу, и искомой площади

Приступим к программированию

Подробное описание работы кода в конце поста

Программа работает довольно просто. Сначала вводим количество точек в контуре, затем вводим x-овые и y-овые координаты этих точек через Enter. Вот например площадь треугольника (как наиболее простой вариант), заодно показан нюанс с положительной и отрицательной площадью

Вершины треугольника имеют координаты (1; 3); (-3; -2); (3; -3)

Затем считаем количество точек в каждом контуре и вводим эти точки в программу (каждый контур отдельно). По итогу получим площади контуров в пикселях, что можем легко перевести в квадратные метры (так как контуров много, то суммируем площади контуров, относящихся к одному региону плюс прибавляем площади островов, обозначенных окружностями). А также в качестве дополнения (чтобы результаты расчетов не были таким скудными) я решил посчитать площади государств с учетом масштабирования игровой карты, о чем писал в своем прошлом посте (для получения масштабированной площади, нужно обычную умножить на квадрат масштаба: поскольку и длина, и ширина пикселя увеличатся в M раз, то площадь одного пикселя увеличится в M^2 раз, а так как от перемены мест сомножителей произведение не меняется, то и умножать можно площадь в кв. метрах, а не в пикселях)

В верхней таблице площади в пикселях, в квадратных метрах, а также площади при усредненном значении масштаба для каждого варианта расчета, в нижней таблице площади при каждом из значений масштаба (в кв. км).

Что делать с этой информацией — не знаю) Можно сравнивать страны по площади, можно считать сколько квадратных километров вы уже закрыли на 100% или на сколько процентов закрыт вообще весь мир)

Описание работы кода

В первую очередь мы видим классы Point и line, это классы для точек и отрезков соответственно. Сам по себе класс — по сути шаблон для какой-либо переменной (объекта).

В нашем случае у точек будут встроены поля (это как переменная, только встроенная в шаблон объекта), в которых содержится информация об их координатах. Также у точек будет метод, которым мы задаем значения этим точкам (public void ex(. )<. >)

У отрезков будут также 2 поля: коэффициенты k и b, а также 2 метода: первый через координаты точек, лежащих на отрезке, определяет значения полей (public void ex(. )<. >), а второй находит интеграл отрезка (public double integrate(. )<. >). Также в первый метод встроена защита от случаев, когда отрезок вертикален, то есть k = , когда такое происходит, метод зануляет оба поля (все отрезки считаются обособленно друг от друга, поэтому ошибки не возникает) (интегралы вертикального отрезка и отрезка, лежащего на оси Ox (то есть с нулевыми полями) равны 0)

Надеюсь более-менее понятно для тех кто не разбирается в программировании) Впрочем ладно, дальше будет проще

Третий класс Program содержит в себе саму программу (это такая особенность языка C#). Начиная с 31 строки: создаем переменную, которая отвечает за количество точек и вводим ее значение; создаем массив точек и переменные для ввода координат; пишем цикл, при помощи которого вводим все значения координат точек; создаем массив отрезков и переменную, обозначающую площадь контура; пишем цикл, в котором при помощи методов класса line находим значения полей и значение интеграла, последнее прибавляем к прежде созданной переменной; производим операции из цикла над последним отрезком (его нет в цикле, так как для него нужно обращаться к первой вершине контура и к последней вершине контура, что проще сделать вне цикла); выводим в консоль значение площади. Console.ReadKey() нужно чтобы после выполнения программы она сразу же не закрылась

На этом все. Надеюсь пост был познавательным, интересным и привлек внимание читателей к математике и программированию. Спасибо за внимание, и побольше всем закрытых на 100% квадратных километров карты 🙂

«Кошечка» Первая компьютерная графика в СССР. 1968⁠ ⁠

«Кошечка» — советский мультфильм, выполненный в 1968 году с помощью машины БЭСМ-4. Один из самых ранних примеров компьютерной анимации.

Группа под руководством Николая Николаевича Константинова создает математическую модель движения животного (кошки). Машина БЭСМ-4, выполняя написанную программу решения обыкновенных (в математическом смысле слова) дифференциальных уравнений, рисует мультфильм «Кошечка», содержащий даже по современным меркам удивительную анимацию движений кошки, созданную компьютером.

Масштаб игровой карты | Genshin Impact⁠ ⁠

Пожалуй, не для кого не секрет, что игровая карта в Genshin Impact масштабирована. И сразу объясню, что понимается под масштабированием: игровая карта уменьшена относительно Лорной (то есть игровой Тейват меньше, скажем так, реалистичного Тейвата, я его называю Лорным). И если в игре ГГ бежит от Монштадта до Ли Юэ какие-нибудь 3 км, то по сюжету он(-а) проходит, скажем километров 50. И в принципе понятно почему карта так уменьшена: никто бы не хотел просто бежать несколько часов от одного города к другому. А что уж говорить про исследование мира на 100%

И сразу в начале скажу, что все расчеты и измерения — просто интересное применение математики. И, возможно, кому-то будет интересен результат расчетов, как небольшой фактик об игровом мире. Естественно авторами игры не задумывалось, какой будет масштаб у карт (игровой и лорной)

И так, с чего начнем? С положений конечно же:

1. Мир масштабирован неоднородно

2. Масштабируется карта в разных местах по разному

1. На неоднородность намекает в первую очередь то, что на карте очень много антропогенных (созданных человеком) строений на квадратный метр. Действительно, немалую часть карты занимают различные деревни, города или заброшенные постройки. Природные объекты уменьшены сильнее, чем антропогенные.

2. Разные объекты масштабируются разными способами: какие-то просто уменьшаются в n раз (например, различные плоскогорья, равнины и пики), а какие-то уменьшаются путем превращения нескольких объектов в один (например, из горного массива мы получаем просто одну гору). Причина этого станет понятна, если обратить внимание на разного рода возвышенности (горы): при умножении их размеров в, допустим, 15 раз они окажутся слишком высокими (а Драконий хребет окажется вообще непригодным для нахождения на его вершине, где ГГ вообще-то не просто прогуливался(-алась), а еще и со всякими монстрами бился(-лась) (если считать его высоту в игре в 1 км, цифры определены очень приближенно, на глаз))

Что нам это дает? Ну второе положение — просто интересное дополнение к посту, а вот первое говорит о том, что вычислять масштаб природных и рукотворных объектов нужно отдельно друг от друга

Что ж, а теперь нужно найти какие-то зацепки

Можно попытаться посчитать масштаб исходя из реальных аналогов стан в игре (Германия, Китай, Япония), но тут возникает две серьезные проблемы: в разные времена размеры стран сильно менялись, за какое из них зацепиться мы не знаем (все таки средневековье — достаточно продолжительный период истории), а также слишком маленькие различия между странами в игре (Япония вообще нифига не такая же по площади как Китай или Германия, хотя в игре Инадзума несильно меньше остальных стран). Также не получится посчитать масштаб городов, например, через соотношение реального населения Берлина к населению Мондштадта, так как посчитать последнее будет сложно, не зная сколько человек может поместиться в одном доме (увы, такой инфы я не нашел)

Значит нужны какие-то другие локации, через которые можно уже что-то посчитать. И такие локации к счастью есть — подземелья (данжи). Но и тут все довольно плачевно, ибо из них не виден сам Тейват, а также на игровой карте нет ничего, что мы видим в данжах. Что же это получается, посчитать не получится? А вот и нет. Есть один данж, который поможет с зацепками — подземелье с Двалином (тут будет пониматься и локация с еженедельным боссом, и битва с Ужасом бури в воздухе, по идее это тоже считается за данж). Причем поможет он с масштабом и природных объектов и антропогенных.

Начнем с масштаба природных объектов. Для этого нам понадобится битва с Двалином в воздухе, а, соответственно и новый аккаунт. А еще несколько вагонов терпения. Запускаем битву и после этого начинаем искать все крупные объекты, которые мы можем увидеть на игровой карте. Разглядеть где там какие границы у Мондштадта (имеется ввиду города) я не смог, ибо его в принципе плохо видно, зато нашел пару других мест и точек