Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра которые

282. Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани (см. рис. 82).

Но так как в пирамиде MABCD боковые ребра равны, то основание высоты падает в центр описанной вокруг основания ABCD окружности. А раз вокруг ромба можно описать окружность. то этот ромб — квадрат. Таким образом, ∠BAD=90 (рис. 179).

Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №282
к главе «Глава III Многогранники. § 3. Правильные многогранники ».

Колледж телекоммуникаций DTO_Zanyatie_64

Понятие правильного многогранника (тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр).

Элементы симметрии правильных многогранников.

Понятие правильного многогранника (тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр).

Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.

Все рёбра правильного многогранника равны друг другу;

Все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром, равны.

Существует только пять типов правильных многогранников:

Правильный тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

Куб (гексаэдр) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников.

Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Тогда сумма плоских углов при каждой вершине равна .

Теорема Эйлера.

Теорема Эйлера. Для числа граней Г, числа вершин В и числа рёбер Р любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2.

Пусто n – число рёбер каждой грани, а m – число рёбер сходящихся в каждой вершине. Так как каждое ребро принадлежит двум граням, то nГ=2Р. Каждое ребро содержит по две вершины, значит mВ=2Р. Из последних двух равенств и теоремы Эйлера составим систему

.

Решая эту систему, получим , и .

Найдём число вершин, рёбер и граней правильных многогранников:

Правильный тетраэдр (n=3, m=3)

Правильный октаэдр (n=3, m=4)

Правильный икосаэдр(n=3, m=5)

Куб(n=4, m=3)

Правильный додекаэдр(n=5, m=3)

Элементы симметрии правильных многогранников.

Рассмотрим элементы симметрий правильных многогранников.

Правильный тетраэдр

Правильный тетраэдр (рис.1) не имеет центра симметрии.

Оси симметрий тетраэдра (рис.2) проходят через середины двух противоположных рёбер, таких осей симметрий три.

Рассмотрим плоскости симметрий тетраэдра (рис. 3). Плоскость α, проходящая через ребро AB перпендикулярно ребру CD, будет являться плоскостью симметрии правильного тетраэдра ABCD. Таких плоскостей симметрий шесть.

Симметрия куба

1. Центр симметрии — центр куба (точка пересечения диагоналей куба) (рис. 4).

2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер; шесть плоскостей симметрии, проходящие через противолежащие ребра (рис. 5).

3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через центры противолежащих граней; четыре оси симметрии, проходящие через противолежащие вершины; шесть осей симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер (рис. 6).

Симметрия прямоугольного параллелепипеда

1. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда (рис. 7).

2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер (рис. 8).

3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих граней (рис. 9).

Симметрия параллелепипеда

Центр симметрии — точка пересечения диагоналей параллелепипеда (рис. 10).

Симметрия прямой призмы

Плоскость симметрии, проходящая через середины боковых ребер (рис. 11).

Симметрия правильной призмы

1. Центр симметрии при четном числе сторон основания — точка пересечения диагоналей правильной призмы (рис. 12)

2. Плоскости симметрии: плоскость, проходящая через середины боковых ребер; при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие ребра (рис. 13).

3. Оси симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через центры оснований, и оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих боковых граней (рис. 14).

Симметрия правильной пирамиды

1. Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие боковые ребра; и плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней (рис. 15).

2. Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через вершину правильной пирамиды и центр основания (рис. 16).

Решение задач.

Найти угол между рёбрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани.

Пусть данный правильный октаэдр, а — угол между рёбрами данного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани.

Рассмотрим четырёхугольник : , т.к. — правильный октаэдр. Тогда рассматриваемый четырёхугольник является ромбом.

Рассмотрим два треугольника и , эти два треугольника равны по двум сторонам и углу между ними. Значит .

Получили, что является ромбом и его диагонали равны, значит, он является и квадратом. Из чего следует, что =.

Контрольные вопросы и задания:

Ребро правильного октаэдра равно a. Найдите расстояние между двумя его противоположными вершинами.

Ребро правильного октаэдра равно a. Найдите расстояние между центрами двух смежных граней.

Ребро правильного октаэдра равно a. Найдите расстояние между противоположными гранями.

Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке 17. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.

Рис. 18

Правильные многогранники

Предлагаю разработку урока и презентацию к нему по теме "Правильные многоранники", геометрия, 10 класс.

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока»

ГБОУ ШКОЛА №15.

Урок стереометрии в 10 классе.

Тема: «Правильные многогранники».

Учитель Лабзин Дмитрий Вадимович.

Цель урока: познакомить учащихся с правильными многогранниками: понятие, исторические сведения; показать применение знаний учащихся к решению задач по данной теме.

Возможно проведение данного урока силами учащихся.

Учитель. Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней (слайд №2).

С некоторыми правильными многогранниками мы уже встречались. Это, например, правильная пирамида, куб. Сегодня мы рассмотрим и другие правильные многогранники.

I ученик. Тетраэдр (слайд №3). Название многогранника имеет древнегреческое происхождение. В них зашифровано число граней. «Эдра» — грань, «тетра» — четыре. Таким образом, тетраэдр в переводе с греческого означает четырехгранник.

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер, 4 вершины. Грани представляют собой треугольники. В одной вершине сходится 3 ребра.

Далее учащимся предлагается решить задачу: Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.

Решение. Рассмотрим тетраэдр SDE (рис.1). Проведем апофемы SA , SB , SC . Рассмотрим прямоугольный треугольник SDA . Пусть ребро тетраэдра равно a . Тогда SD = a , DA = .

По теореме Пифагора:

.

А

налогично находим SB , SC .

Апофемы тетраэдра равны. АО = ОВ = ОС (проекции апофем на плоскость основания). Следовательно, О – центр вписанной окружности.

.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SAO.

II ученик. Куб (слайд №4). Другое название куба – гексаэдр. «Гекса» — шесть. У куба все грани квадраты, в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

Далее учащимся предлагается решить задачу: Дан куб ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ ребро которого равно 1. Найдите расстояние между диагональю куба BD ₁ и скрещивающейся с ней диагональю АС нижнего основания.

Решение. и , следовательно

, то есть любая прямая, проведенная

в плоскости BDD ₁ через точку О, перпендикуляр-

Проведем . Рассмотрим треугольник BDD ₁.

DD ₁=1, BD – диагональ квадрата ABCD со стороной 1, следовательно

BD = .

По теореме Пифагора

и подобны, так как

угол В – общий, =90º.

Следовательно,

III ученик. Октаэдр (слайд №5). Гранями данного многогранника являются правильные треугольники. В каждой вершине сходятся четыре грани. Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников, поэтому его называют октаэдром. «Окта» — восемь.

Далее учащимся предлагается решить задачу: Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани.

Решение. Найдем угол между ребрами SA и SC.

Пусть ребро октаэдра равно а.

Рассмотрим прямоугольный По теореме

Рассмотрим (ребра октаэдра).

По теореме косинусов:

IV ученик. Додекаэдр (слайд №6). «Додека» — двенадцать. Имеет двенадцать пятиугольных граней, тридцать ребер и двадцать вершин (в каждой из них сходится 3 ребра).

По мнению древних, форму додекаэдра имела Вселенная, то есть они считали, что мы живем внутри небесного свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра.

Далее демонстрируем репродукцию картины Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» (слайд №7), на которой Господь наш Иисус Христос и Его ученики изображены сидящими внутри прозрачного додекаэдра.

V ученик. Икосаэдр (слайд №8). «Икоса» — двадцать. Итак, двадцать граней, тридцать ребер и двенадцать вершин.

Еще в III веке до Р.Х. древнегреческий математик Евклид (слайд №9) установил, что существует только пять типов правильных многогранников.

Соразмерность и красота правильных многогранников поражали пифагорейцев, и они называли их космическими телами. По-гречески слово «космос» означает «украшение», «порядок». Называют их так же платоновыми телами, потому что Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы. В его учении атомы земли имели форму куба, атомы огня – форму тетраэдра, воздуха – октаэдра, воды – икосаэдра. «В запасе оставалось еще пятое многогранное построение (додекаэдр), — пишет Платон, — его Бог оставил для Вселенной и прибегнул к нему, когда разрисовывал ее и украшал».

IV ученик. Платоновы тела интересовали многих ученых (слайд №9). Евклид посвятил им 13-ю книгу своих «Начал». К ним обращались в своих трудах Рене Декарт, Иоганн Кеплер, Леонард Эйлер и другие математики. Этот интерес объясняется не только эстетическими соображениями, но и многими замечательными свойствами этих многогранников. Например, каждый из них можно вписать в сферу и около каждого из них можно описать сферу. Все они имеют жесткую форму – не обладают никакой подвижностью: с этим свойством сталкивался всякий, кто склеивал модель правильного многогранника. Знали об этом свойстве и античные математики, но доказал его для любого выпуклого многогранника только Огюст Коши.

I ученик. Рене Декарт, изучая правильные многогранники, обнаружил удивительную закономерность: если из числа вершин вычесть число ребер и к разности прибавить число граней, то в результате для каждого из тел Платона получится 2 (слайд №10).

Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра которые

Правильный ответ на задачу

300. В правильной треугольной пирамиде DABC точки Е, F и Р — середины сторон ВС, АВ и AD. Определите вид сечения, проходящего через эти точки, и найдите его площадь, если сторона основания пирамиды равна с, боковое ребро равно b.

Правильный ответ на задачу

301. Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды DABC равен 120°. Расстояние от вершины B до бокового ребра DA равно 16 см. Найдите апофему пирамиды.

Правильный ответ на задачу

302. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 3 см к 7 см и одной из диагоналей 6 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4 см. Найдите боковые ребра пирамиды.

Правильный ответ на задачу

303. Основанием пирамиды является ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют двугранный угол в 120°, а две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 30°. Найдите площадь поверхности пирамиды, если ее вы

Правильный ответ на задачу

304. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60°. Докажите, что двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды вдвое меньше двугранного угла при боковом ребре.

Правильный ответ на задачу

305. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна h, плоский угол при вершине равен α. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Правильный ответ на задачу

306. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h и составляет угол φ с плоскостью боковой грани. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Правильный ответ на задачу

307. В правильной пирамиде MABCD AM = b, AD = a. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через диагональ BD основания параллельно ребру MA, и найдите площадь сечения. б) Докажите, что точки М и С равноудалены от плоскости α.

Правильный ответ на задачу

308. Основанием пирамиды является ромб со стороной 5 см и меньшей диагональю 6 см. Высота пирамиды, равная 3,2 см,проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Найдите высоты граней пирамиды.

Правильный ответ на задачу

309. Основанием пирамиды с равными боковыми ребрами является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Высота пирамиды равна 6 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через меньшую сторону и середину высоты.