Найдите сумму где последнее слагаемое содержит единиц

Нахождение суммы числового ряда. Первая часть.

В теме про основные понятия числовых рядов было указано определение суммы ряда. Вот оно:

Если понятие «частичная сумма» вызывает вопросы, то советую посмотреть раздел про частичную сумму ряда, обратив внимание на пример №4. В этом примере подробно раскрывается суть частичной суммы и остатка.

В данной теме нас будет интересовать вопрос нахождения сумм числовых рядов по определению. Определение суммы ряда опирается на значение $\lim_S_n$, поэтому для нахождения суммы нам нужно выполнить два шага:

Составить n-ю частичную сумму $S_n$;
Найти $\lim_S_n$ (если он существует).

Если конечный $\lim_S_n$ существует, то его значение и будет суммой рассматриваемого ряда, а сам ряд будет именоваться сходящимся. Если же $\lim_S_n=\infty$ или $\lim_S_n$ не существует, то ряд будет расходиться. Есть несколько стандартных приёмов, которые применяются для нахождения суммы числовых рядов. Например, для нахождения суммы ряда, общий член которого имеет вид рациональной дроби $u_n=\frac$, вполне подходит такой алгоритм:

Разложить дробь $\frac$ на элементарные дроби (процедура разложения описана тут).
Записать выражение для частичной суммы $S_n$, используя результаты предыдущего пункта.
Перегруппировать слагаемые в выражении для $S_n$, приведя их к удобному для сокращения виду.
Используя результат предыдущего пункта, найти $\lim_S_n$.

Для нахождения суммы ряда нередко удобно использовать и такое свойство:

Запишем частичную сумму ряда $\sum\limits_^<\infty>u_n$. Так как $u_n=b_-b_n$, то будем иметь:

Как видите, выражения под знаком сумм одинаковы. Сделаем одинаковыми и пределы суммирования. Прибавляя и вычитая $b_1$, для первой суммы получим:

Аналогично, прибавляя и вычитая $b_$ для второй суммы получим:

Вернёмся к сумме $S_n$:

Так как $\lim_b_n=b$, то и $\lim_b_=b$. Тогда $\lim_S_n$ будет таким:

Во всех изложенных ниже примерах члены рядов будем обозначать буквами $u_1$ (первый член ряда), $u_2$ (второй член ряда) и так далее. Запись $u_n$ будет обозначать общий член ряда.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=(-1)^$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов числового ряда:

Вопрос в следующем: чему равна эта сумма? Если в частичных суммах мы станем брать чётное количество слагаемых, они попарно сократятся:

Итак, частичная сумма, содержащая чётное количество слагаемых, равна 0. Т.е. если $n$ – чётное число, то $S_n=0$. Фразу «n – чётное число» можно записать так: $n=2k$, $k\in N$. В самом деле, подставляя вместо $k$ значения 1, 2, 3, 4 будем получать $n=2\cdot 1=2$, $n=2\cdot 2=4$, $n=2\cdot 3=6$, $n=2\cdot 4=8$ и так далее. Итак, $S_<2k>=0$.

Если мы станем брать нечётное количество слагаемых (1, 3, 5 и т.д.), то сумма станет равна 1:

Таким образом, если $n$ – нечётное число, то $S_n=1$. Фразу «n – нечётное число» можно записать так: $n=2k-1$, $k\in N$. В самом деле, подставляя вместо $k$ значения 1, 2, 3, 4 будем получать $n=2\cdot 1-1=1$, $n=2\cdot 2-1=3$, $n=2\cdot 3-1=5$, $n=2\cdot 4-1=7$ и так далее. Итак, $S_<2k-1>=1$.

Формально равенство $S_<2k-1>=1$ можно доказать с помощью формулы $S_<2k>=S_<2k-1>+u_<2k>$. Так как $S_<2k>=0$, то $S_<2k-1>+u_<2k>=0$, т.е. $S_<2k-1>=-u_<2k>$. Так как $u_<2k>=(-1)^<2k+1>=\left((-1)^2\right)^k\cdot (-1)^1=-1$, то $S_<2k-1>=-(-1)=1$.

Возникает вопрос: как быть с пределом $\lim_S_n$? Ведь если $n$ – чётное число, т.е. $n=2k$, то:

С другой стороны, если $n$ – нечётное число, то:

Что мы получили? А получили мы следующее: последовательность частичных сумм $\$ имеет две подпоследовательности: $\\>$ и $\\>$, пределы которых различны. Следовательно, последовательность $\$ не имеет предела. Вывод: ряд не имеет суммы, т.е. расходится.

Здесь стоит обратить внимание вот на что: следует различать случаи, когда предел равен бесконечности (см. следующий пример №2), и когда предела попросту не существует. Хотя и в том и в другом случаях ряд будет расходиться.

Ответ: ряд расходится.

Найти сумму ряда $\sum\limits_^<\infty>(3n+1)$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=3n+1$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:

Эту сумму можно записать в более коротком виде. Дело в том, что последовательность 4, 7, 10, 13 и т.д. есть арифметическая прогрессия, первый член которой равен 4, а разность равна 3. Сумма первых n членов этой прогрессии такова:

Так как $\lim_S_n=+\infty$, то ряд расходится.

Если немного выйти за рамки данной темы, то стоит отметить, что расходимость этого ряда легко доказывается с помощью необходимого признака сходимости.

Ответ: ряд расходится.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac<2><(2n+1)(2n+3)>$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:

Почему я пишу именно $\frac<2><3\cdot 5>$, а не $\frac<2><15>$, будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам ведь нужно найти $\lim_S_n$, но если мы просто запишем:

то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.

Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении дроби $\frac<2><(2n+1)(2n+3)>$, которая представляет общий член ряда, на элементарные дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на элементарные посвящена отдельная тема (см., например, пример №3 на этой странице). Раскладывая дробь $\frac<2><(2n+1)(2n+3)>$ на элементарные дроби, будем иметь:

Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:

Чтобы найти значения $A$ и $B$ есть два пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо $n$ некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этом примере пойдём первым путём, а следующем – будем подставлять частные значения $n$. Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:

В левой части равенства перед $n$ стоит ноль. Если угодно, левую часть равенства для наглядности можно представить как $0\cdot n+ 2$. Так как в левой части равенства перед $n$ стоит ноль, а в правой части равества перед $n$ стоит $2A+2B$, то имеем первое уравнение: $2A+2B=0$. Сразу разделим обе части этого уравнения на 2, получив после этого $A+B=0$.

Так как в левой части равенства свободный член равен 2, а в правой части равенства свободный член равен $3A+B$, то $3A+B=2$. Итак, имеем систему:

Можно решать эту систему методом Крамера, методом Гаусса или с помощью обратной матрицы. Однако проще всего банально выразить из первого уравнения $A=-B$ и подставить во второе:

Так как $B=-1$, то $A=-B=1$. Подставляя найденные значения $A=1$ и $B=-1$ в формулу $\frac<2><(2n+1)(2n+3)>=\frac<2n+1>+\frac<2n+3>$, будем иметь:

Итак, $u_n=\frac<1><2n+1>-\frac<1><2n+3>$. Используем полученное разложение для того, чтобы упростить формулу частичной суммы ряда. Покажу сначала решение стандартным путём, принятым в большинстве решебников и методичек.

Первый способ упрощения формулы для частичной суммы.

Мы получили разложение общего члена ряда на две дроби: $u_n=\frac<1><2n+1>-\frac<1><2n+3>$. Чтобы этот результат был более наглядным, я распишу несколько первых членов ряда по этой формуле:

Давайте распишем частичную сумму, учитывая полученное разложение каждого элемента:

Как видите, все слагаемые этой суммы сокращаются, – кроме первого и последнего:

Итак, $S_n=\frac<1><3>-\frac<1><2n+3>$. Этот способ упрощения формулы для частичной суммы имеет простую суть: разложить общий член ряда на элементарные дроби, а потом сократить слагаемые.

Однако можно ли считать вышеуказанные рассуждения строгим доказательством? Полагаю, что в общем случае нет, и поясню почему. Дело в том, что мы должны «увидеть» (как любят писать некоторые авторы – «легко увидеть»), что слагаемые сокращаются. А если мы «увидим» не все слагаемые, которые останутся после сокращения? Где гарантии, что мы сократим именно то, что нужно? Нет гарантий. Понятно, что в случае рассматриваемой конкретной задачи всё тривиально и очевидно, но далеко не все частичные суммы рядов имеют такую простую структуру.

Формулу $S_n=\frac<1><3>-\frac<1><2n+3>$ можно принять в качестве гипотезы, которую ещё нужно доказать. Доказательство удобнее всего проводить методом математической индукции. Так как доказательством заинтересуются не все читатели, то я его скрыл под примечание.

Доказательство будем проводить методом математической индукции. На первом шаге нужно проверить, выполнено ли доказываемое равенство $S_n=\frac<1><3>-\frac<1><2n+3>$ при $n=1$. Мы знаем, что $S_1=u_1=\frac<2><15>$, но даст ли выражение $\frac<1><3>-\frac<1><2n+3>$ значение $\frac<2><15>$, если подставить в него $n=1$? Проверим:

Итак, при $n=1$ равенство $S_n=\frac<1><3>-\frac<1><2n+3>$ выполнено. На этом первый шаг метода математической индукции закончен.

Предположим, что при $n=k$ равенство выполнено, т.е. $S_k=\frac<1><3>-\frac<1><2k+3>$. Докажем, что это же равенство будет выполнено при $n=k+1$. Для этого рассмотрим $S_$:

Так как $u_n=\frac<1><2n+1>-\frac<1><2n+3>$, то $u_=\frac<1><2(k+1)+1>-\frac<1><2(k+1)+3>=\frac<1><2k+3>-\frac<1><2(k+1)+3>$. Согласно сделанному выше предположению $S_k=\frac<1><3>-\frac<1><2k+3>$, поэтому формула $S_=S_k+u_$ примет вид:

Вывод: формула $S_n=\frac<1><3>-\frac<1><2n+3>$ верна при $n=k+1$. Следовательно, согласно методу математической индукции, формула $S_n=\frac<1><3>-\frac<1><2n+3>$ верна при любом $n\in N$. Равенство доказано.

В стандартном курсе высшей математики обычно довольствуются «вычёркиванием» сокращающихся слагаемых, не требуя никаких доказательств. Итак, мы получили выражение для n-й частичной суммы: $S_n=\frac<1><3>-\frac<1><2n+3>$. Найдём значение $\lim_S_n$:

Вывод: заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac<1><3>$.

Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.

Этот способ основан на свойстве, записанном в начале страницы. По сути, он схож с предыдущим, – разница лишь в применении уже готовой теоремы, доказанной нами ранее. Вернёмся к записи общего члена ряда:

Обозначим $b_n=\frac<-1><2n+1>$, тогда $b_=\frac<-1><2(n+1)+1>=\frac<-1><2n+3>$. Таким образом, $u_=b_-b_$. При этом $\lim_b_n=0$. Согласно упомянутому свойству, ряд $\sum\limits_^<\infty>u_n$ сходится. При этом его сумма равна $S=0-b_1=\frac<1><3>$. Если есть необходимость, можно записать и частичную сумму ряда:

Третий способ упрощения формулы для частичной суммы.

Честно говоря, я сам предпочитаю большей частью именно этот способ 🙂 Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:

Мы получили ранее, что $u_k=\frac<1><2k+1>-\frac<1><2k+3>$, поэтому:

Сумма $S_n$ содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Я хочу сначала сложить все слагаемые вида $\frac<1><2k+1>$, а уж затем переходить к слагаемым вида $\frac<1><2k+3>$. Это означает, что частичную сумму мы представим в таком виде:

Конечно, развёрнутая запись крайне неудобна, поэтому представленное выше равенство оформим более компактно:

Теперь преобразуем выражения $\frac<1><2k+1>$ и $\frac<1><2k+3>$ к одному виду. Приведём, например, дробь $\frac<1><2k+3>$ к виду $\frac<1><2k+1>$. Выражение в знаменателе дроби $\frac<1><2k+3>$ я представлю в таком виде:

И сумму $\sum\limits_^\frac<1><2k+3>$ теперь можно записать так:

Если равенство $\sum\limits_^\frac<1><2k+3>=\sum\limits_^\frac<1><2k+1>$ не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.

Как мы получили преобразованную сумму? показать\скрыть

У нас был ряд $\sum\limits_^\frac<1><2k+3>=\sum\limits_^\frac<1><2(k+1)+1>$. Давайте вместо $k+1$ введём новую переменную, – например, $t$. Итак, $t=k+1$.

Как изменялась старая переменная $k$? А изменялась она от 1 до $n$. Давайте выясним, как же будет изменяться новая переменная $t$. Если $k=1$, то $t=1+1=2$. Если же $k=n$, то $t=n+1$. Итак, выражение $\sum\limits_^\frac<1><2(k+1)+1>$ теперь стало таким: $\sum\limits_^\frac<1><2t+1>$.

У нас есть сумма $\sum\limits_^\frac<1><2t+1>$. Вопрос: а не всё ли равно, какую букву использовать в этой сумме? 🙂 Банально записывая букву $k$ вместо $t$, получим следующее:

Вот так и получается равенство $\sum\limits_^\frac<1><2(k+1)+1>=\sum\limits_^\frac<1><2k+1>$.

Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:

Заметьте, что суммы $\sum\limits_^\frac<1><2k+1>$ и $\sum\limits_^\frac<1><2k+1>$ отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми. Начнём с первой суммы.

Сделаем так, чтобы верхний предел суммирования стал равен $n+1$. Если $k=n+1$, то $\frac<1><2k+1>=\frac<1><2n+3>$. Прибавляя и вычитая из первой суммы $\frac<1><2n+3>$, получим:

Для второй суммы $\sum\limits_^\frac<1><2k+1>$ сделаем так, чтобы нижний предел суммирования был равен 1. Если $k=1$, то $\frac<1><2k+1>=\frac<1><3>$. Прибавляя и вычитая $\frac<1><3>$, получим:

С учётом полученных результатов, выражение для $S_n$ примет такой вид:

Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:

Напомню, что мы приводили дробь $\frac<1><2k+3>$ к виду $\frac<1><2k+1>$. Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь $\frac<1><2k+1>$ в виде $\frac<1><2k+3>$. Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.

Как найти $S_n$, если приводить к виду иной дроби? показать\скрыть

Заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac<1><3>$.

Продолжение темы нахождения суммы ряда будет рассмотрено во второй и третьей частях.

Что такое вычислить сумму чисел

Сумма чисел — это простое (базовое) математическое решение, выражающееся в увеличении исходного числа на заданное.

Визуально операцию суммирования можно представить следующим образом — положите на стол одно яблоко, а затем положите ещё два яблока. Итого получится три яблока. Это и есть сумма чисел яблок.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Быстро выполнить эту простейшую математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлено определение суммы чисел и самый простой онлайн калькулятор расчета расчета суммы чисел.

Вычислить сумму чисел до данного

Напишите функцию sumTo(n) , которая вычисляет сумму чисел 1 + 2 + . + n .

Сделайте три варианта решения:

С использованием цикла.

Через рекурсию, т.к. sumTo(n) = n + sumTo(n-1) for n > 1 .

С использованием формулы арифметической прогрессии.

Пример работы вашей функции:

P.S. Какой вариант решения самый быстрый? Самый медленный? Почему?

P.P.S. Можно ли при помощи рекурсии посчитать sumTo(100000) ?

Решение с помощью цикла:

Решение через рекурсию:

Решение по формуле: sumTo(n) = n*(n+1)/2 :

P.S. Надо ли говорить, что решение по формуле работает быстрее всех? Это очевидно. Оно использует всего три операции для любого n, а цикл и рекурсия требуют как минимум n операций сложения.

Вариант с циклом – второй по скорости. Он быстрее рекурсии, так как операций сложения столько же, но нет дополнительных вычислительных затрат на организацию вложенных вызовов. Поэтому рекурсия в данном случае работает медленнее всех.

Определение суммы чисел

Суммой $s$ (лат. summa — итог, общее количество) чисел $a_<1>, a_<2>, dots, a_ $ называется результат суммирования этих чисел: $s=a_<1>+a_<2>+ldots+a_ $ . В частности, если складывается два числа $a$ и $b$, то

Задание. Найти сумму чисел:

1) $12$ и $15$ 2) $1,1 ; 2,2 ; 3,3$ и $4,4$

Ответ.

Свойства суммы чисел

Коммутативность: $n+m=m+n$

На основании этих свойств можем заключить, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется.

Дистрибутивность по отношению к умножению

$$(n+m) cdot k=n cdot k+m cdot k$$

Задание. Найти сумму чисел удобным способом:

1) $15+17+13$ ; 2) $34+22+16+18$

Решение. По свойствам сложения имеем

Ответ. 1) $15+17+13=45$

При сложении больших чисел или десятичных дробей используется сложение в столбик.

Задание. Найти сумму чисел удобным способом:

1) $1562+13827$ ; 2) $34,71+356,161$

Решение. Складываем эти числа в столбик, для этого запишем их друг под другом, разряд под разрядом. В случае десятичных дробей ориентируемся на то, чтобы запятая первого числа стояла под запятой второго. Далее складываем числа стоящие друг под другом, двигаясь справа на лево и записывая результата под чертой дроби. Если сумма чисел в одном столбце превышает десять, то количество десятков прибавляем к числам стоящим в следующем столбце слева от этого столбца:

Ответ. 1) $1562+13827=15389$

Сложение рациональных дробей производится по правилу

Задание. Найти сумму чисел:

Решение. Вычислим первую сумму используя правило сложения рациональных чисел

Числитель и знаменатель полученной дроби можно сократить на 2, тогда в ответе получим

Для вычисления второй суммы, преобразуем сначала второе слагаемое в неправильную дробь, для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим полученное число к числителю. Далее применим правило сложение рациональных дробей

Выделим в полученной дроби целую часть, для этого разделим числитель на знаменатель с остатком. Полученное частное запишем в целую часть, а остаток от деления в числитель.

Арифметическая прогрессия. Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Первую часть статьи об арифметической прогрессии смотрим здесь.

Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100.

Юный Гаусс (10 лет) мгновенно получил результат:

А как бы считали вы? + показать

Первое и последнее слагаемые суммы дают , также как и второе и предпоследнее слагаемые и т.д. Всего таких пар будет Вот и все!

Вот по такому же принципу мы и будем считать сумму n-первых членов арифметической прогрессии.

Пример. Найдем сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии

Мы пока не знакомы с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии, давайте будем следовать тому же принципу, что и при вычислении суммы натуральных чисел от 1 до 100.

где – разность арифметической прогрессии.

Сумма чисел из ряда состоит из 10 одинаковых слагаемых, равных

Значит, сумма указанных чисел окажется равной

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам

где — первый член прогрессии, — член с номером , — количество суммируемых членов.

(Вторая формула – результат подстановки формулы в первую формулу)

Пример 1. Арифметическая прогрессия задана формулой

Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.

Для того, чтобы воспользоваться формулой

нам надо найти и :

Пример 2. Найдите сумму натуральных четных чисел, не превосходящих 40.

Перед нами арифметическая прогрессия: 2; 4; 6; … 38; 40.

Пример 3. Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 153?

Обращаемся к формуле

Поскольку мы работаем с натуральными , то

Пример 4. Арифметическая прогрессия задана формулой

Найдите сумму членов данной прогрессии с -го по включительно.

Найдем первые два члена прогрессии и разность прогрессии:

Последовательность чисел арифметической прогрессии, начиная с -го (по ), – также арифметическая прогрессия.

Поэтому обозначим и т.д., будем считать сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии <> по формуле

Пример 5. Найдите сумму двузначных натуральных чисел, не кратных

Если вычеркнуть в ряду числа, кратные ,

то оставшиеся числа не будут собою образовывать арифметическую прогрессию, а значит, их сумму мы не сможем посчитать по указанным выше формулам.

Мы поступим так:

1) вычислим сумму всех двузначных чисел;

2) вычислим сумму всех двузначных чисел , кратных , то есть

3) из суммы вычтем сумму ;

Как узнать количество двузначных чисел, кратных ?

Обозначим порядковый номер числа в ряду за . Сам ряд, конечно же, образует арифметическую прогрессию ().

Арифметическая прогрессия

Например:
1. Последовательность 2, 5, 8, 11, 14, . является арифметической прогрессией с разностью d = 3.

2. Последовательность 12, 9, 6, 3, 0, –3, –6, . является арифметической прогрессией с разностью d = –3.

п.2. Формула n-го члена арифметической прогрессии

По определению арифметической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: a_n = a_n-1 + d. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

Например:
Найдём a₇, если известно, что a₁ = 5, d = 3.
По формуле n-го члена получаем: a₇ = a₁ + 6d = 5 + 6 · 3 = 23

п.3. Свойства арифметической прогрессии

Свойство 1. Линейность

Арифметическая прогрессия является линейной функцией f(n) = kn + b:

с угловым коэффициентом k = d и свободным членом b = a₁ – d.

Следствие: любую арифметическую прогрессию можно задать формулой: $$ \mathrm< a_n=dn+b,\ \ n\in\mathbb,\ \ b\in\mathbb,\ \ d\in\mathbb> $$ где d, b – некоторые числа.

Свойство 2. Признак арифметической прогрессии

Для того чтобы числовая последовательность была арифметической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним арифметическим предыдущего и последующего членов: $$ \mathrm < \left\— \text<арифметическая прогрессия>\ \Leftrightarrow\ a_n=\frac+a_><2>,\ \ n\in\mathbb,\ \ n \geq 2 > $$ Следствие: каждый член прогрессии является средним арифметическим двух равноудалённых от него членов: $$ \mathrm< a_n=\frac+a_><2>,\ \ n\in\mathbb,\ \ n\in\mathbb,\ \ n \geq k+1 > $$

Например:
Найдём a₉, если известно, что a₇ = 10, a₁₁ = 15
По следствию из признака арифметической прогрессии: $\mathrm><2>=\frac<10+15><2>=12,5>$

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Если n> – арифметическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство сумм членов: $$ \mathrm < m+k=p+q \Rightarrow a_m+a_k=a_p+a_q >$$ Следствие: сумма членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $$ \mathrm< a_1 + a_n=a_2+a_=a_3+a_=. > $$

п.4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Например:
Найдём сумму первых 100 натуральных чисел: 1 + 2 +. + 100
В этом случае a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100
$\mathrm< S_<100>=\frac<1+100><2>\cdot 100=5050>$

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если:
а) a₇ = 10, a₁₅ = 42
Найдем разность данных членов: a₁₅ – a₇ = (a₁ + 14d) – (a₁ + 6d) = 8d
Получаем разность прогрессии: 42 – 10 = 8d ⇒ d = 32 : 8 = 4
7-й член: a₇ = a₁ + 6d = a₁ + 6 · 4 = 10 ⇒ a₁ = 10 – 24 = –14
Ответ: a₁ = –14, d = 4

б) a₁₀ = 95, S₁₀ = 500
Сумма прогрессии: $\mathrm=\frac><2>\cdot 10\Rightarrow 500=(a_1+95)\cdot 5\Rightarrow a_1+95=100\Rightarrow a_1=5>$
10-й член: $\mathrm=a_1+9d\Rightarrow95=5+9d\Rightarrow 9d=90\Rightarrow d=10>$
Ответ: a₁ = 5, d = 10

Пример 2. Найдите сумму первых 100 нечётных натуральных чисел.
Чему равно последнее слагаемое этой суммы?
Ищем сумму $\mathrm<\underbrace<1+3+5+. >_<100\ \text<слагаемых>>>$
По условию a₁ = 1, d = 2, n = 100. Получаем:
$\mathrm=\frac<2a_1+d(n-1)><2>n=\frac<2\cdot 1+2\cdot 99><2>\cdot 100=10000>$
Формула n-го члена данной прогрессии: $\mathrm$
100-й член $\mathrm=2\cdot 100-1=199>$
Ответ: S₁₀₀ = 10000, a₁₀₀ = 199

Пример 3*. Сколько членов арифметической прогрессии 10, 16, 22, . находится между числами 110 и 345?
По условию a₁ = 10, d = 16 – 10 = 6
Формула n-го члена данной прогрессии a_n = a₁ + d(n – 1) = dn + (a₁ – d) = 6n + 4
Заданные числа могут быть членами данной прогрессии или находиться по «соседству» с ними. Подставим их в формулу для n-го члена: \begin \mathrm< 6k+4=110\Rightarrow 6k=106\Rightarrow k=17\frac23\Rightarrow 17\lt k\lt 18 >\\ \mathrm < 6m+4=345\Rightarrow 6m=341\Rightarrow m=56\frac56\Rightarrow 56\lt m\lt 57 >\end Ближайший сосед справа к 100 – это a₁₈ = 6 · 18 + 4 = 112, k = 18
Ближайший сосед слева к 345 – это a₅₆ = 6 · 56 + 4 = 340, m = 56

Количество членов прогрессии в заданном интервале:

n = m – k + 1 = 56 – 18 + 1 = 39

Пример 4. Одиннадцатый член арифметической прогрессии равен 7.
Найдите сумму её первых 21 членов.
По свойству суммы индексов: a₁₁ + a₁₁ = a₁ + a₂₁
Откуда a₁ + a₂₁ = 2a₁₁ = 14
Искомая сумма: $\mathrm=\frac><2>\cdot 21=\frac<14><2>\cdot 21=147>$
Ответ: 147

Пример 5. Величины углов выпуклого пятиугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите третий член этой прогрессии.
Сумма углов выпуклого пятиугольника S₅ = 180° · (5 – 2) = 540°
Если углы образуют арифметическую прогрессию, то: $$ \mathrm< S_5=\frac<2>\cdot 5=540^\circ\Rightarrow a_1+a_5=216^\circ > $$ По свойству суммы индексов: a₃ + a₃ = a₁ + a₅
Откуда: $\mathrm<2>=108^\circ>$
Ответ: 108°

Пример 6. При каких значениях x числа x 2 – 11, 2x 2 + 29, x 4 – 139 в заданной последовательности являются членами арифметической прогрессии?
Для последовательных членов получаем уравнение:

Пример 7. Сумма первых трёх членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а сумма их квадратов равна 99. Найдите седьмой член прогрессии.
По условию d < 0 и: $$ \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Используем свойство прогрессии: $\mathrm<2>>$. Получаем из первого уравнения:

Тогда a₁ = a₂ – d = 3 – d, a₃ = a₂ + d = 3 + d. Подставляем во второе уравнение:

(3 – d) 2 + 3 2 + (3 + d) 2 = 99
9 – 6d + d 2 + 9 + 9 + 6d + d 2 = 99
2d 2 = 72 ⇒ d 2 = 36 ⇒ d = ±6

Выбираем отрицательное значение d = –6
1-й член прогрессии: a₁ = a₂ – d = 3 + 6 = 9
7-й член прогрессии: a₇ = a₁ + 6d = 9 + 6(–6) = –27
Ответ: x = –27

Похожие публикации:

Windows coem что это

Как в windows xp зайти под администратором

Какие программы не работают на windows 11

Скопировать файл без его свойств что это