Лабораторная работа 9 Обратные операторы Примеры решения задач
Задача 1 Пусть Доказать, что существует непрерывный обратный оператор , и построить его.
Решение. Очевидно, что А – линейный оператор. Докажем, что А – биекция. Рассмотрим уравнение , которое равносильно системе уравнений
то . Мы получили, что уравнение имеет единственное решение х из . Значит, А – биекция. Более того, из (1) следует, что обратный оператор задается формулой
Ограниченность этого оператора следует из оценки (см (2))
Решение. Очевидно, что А – линейный оператор.
Запишем его в виде
и рассмотрим уравнение , т. е.
Тогда (3) примет вид , откуда . Мы получили общий вид решения уравнения (3) с неопределенным коэффициентом с. Подставив это в (4), без труда находим, что
Итак, уравнение (2) имеет единственное решение из . Значит, оператор А обратим, причем обратный оператор вычисляется по формуле (5). Непрерывность обратного оператора вытекает из теоремы об оценке интеграла. Действительно, по этой теореме
а потому выполняется неравенство ограниченности (другое доказательство непрерывности получается из (5) с помощью теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Римана).
Задача 2 Пусть
Что представляет собой область значений R(A) оператора А?
Существует ли на R(A) левый обратный оператор В?
Является ли оператор ограниченным, если он существует?
Существует ли обратный оператор ?
Решение. 1) Очевидно, что
–множество последовательностей из , первая координата которых равна нулю (проверьте). Заметим, что
2) Так как уравнение имеет только нулевое решение, то . А это, как известно, равносильно тому, что левый обратный оператор В существует. Легко проверить, что
Действительно, при всех х из имеем .
3) Оператор В ограничен, так как
4) Поскольку уравнение не при всех у имеет решение (например, при ), то А не является сюрьекцией. А это значит, что правого обратного оператора не существует. Следовательно, А необратим.
Решение. 1) По теореме о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом (теорема Барроу) функция дифференцируема, причем . Значит, . Кроме того, очевидно, что у(0)=0. Обратно, если и у(0)=0, то по формуле Ньютона-Лейбница . Поэтому
2) Рассмотрим оператор дифференцирования . Поскольку (снова по теореме Барроу) при всех , то В – левый обратный для оператора А.
3) Покажем, что В не является ограниченным оператором. Допустим противное, т.е.
Возьмём . Тогда последнее неравенство примет вид . Противоречие.
4) Поскольку , то А не является сюръекцией. Значит, правого обратного оператора не существует. Следовательно, не существует и .
Задача 3 Пусть , где — числовой параметр, Х — банахово пространство. Выяснить, при каких существует обратный оператор к оператору , построить его. При каких оператор непрерывно обратим?
Решение. Для нахождения обратного оператора рассмотрим в уравнение x=y, т. е. линейное дифференциальное уравнение
Нужно выяснить, при каких у этого уравнения для любого существует единственное решение . Другими словами, для любого краевая задача
для уравнения (6) должна иметь единственное непрерывно дифференцируемое решение. Воспользовавшись формулой для общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка, получим общее решение уравнения (1):
Требуется узнать, при каких для любого найдется такое С, при котором формула (8) дает решение задачи (7). Подставив (8) в (7), получим после упрощений
Возможны два случая.
а) . Тогда уравнение (9) имеет единственное решение
для любого . Следовательно, при этих существует обратный оператор, который мы найдем, подставив это С в равенство (8):
В силу теоремы Банаха об обратном операторе непрерывность этого оператора будет следовать из непрерывности оператора . Последний же факт легко доказать по Гейне. Действительно, если в пространстве , то это значит, что и равномерно на [0;1]. Но тогда и равномерно на [0;1].
б) . В этом случае уравнение (9) имеет вид
Так как правая часть этого уравнения при некоторых непрерывных у (например, при не будет равна 0, то при этих у уравнение (9) не имеет решения (относительно С), а потому оператор не сюръективен.
Итак, обратный оператор к оператору существует тогда и только тогда, когда . Причем при таких оператор непрерывно обратим.
Задания лабораторной работы
Задача 1 Пусть . Доказать, что существует непрерывный обратный оператор
Когда существует обратный оператор
Определение: множество всех векторов x ϵ V таких, что Ax = Θ, называется ядром оператора А. ker A =
Определение: множество всех элементов 
таких, что 
, называется образом оператора А. 
m A = 
Доказательство: A А -1 = А -1 A =
А -1 (x+y) = А -1 ( 
x+ 
y ) = А -1 ((A А -1 )x + (A А -1 )y) = А -1 (A(А -1 x) + A(А -1 y)) = А -1 (A(А -1 x + А -1 y)) = 
(А -1 x + А -1 y) = А -1 x + А -1 y
А -1 (λ x) = А -1 (λ ∙ x) = А -1 (λ (A ∙ А -1 )x) = А -1 (A(λ А -1 x)) = 
(λ А -1 x) = λ А -1 x
Доказательство: Пусть AB = BA =
B = B 
I = B(A А -1 ) = (BA) А -1 = А -1 = А -1
Доказательство: Пусть x ϵ ker A, т.е. Ax = Θ 
x = x = (А -1 A)x = А -1 (Ax) = А -1 (Θ)=Θ
4° Если оператор А обратим, то m A = V
Доказательство: ∀ y ϵ V: y = y = (A А -1 )y = A( 
y) ϵ m A
ker A = 
≠ ⇒ A – необратим
A= 
— оператор дифференцирования
A(p(x)) = 
; A(c) = 
=0 (∀ c ϵ ℝ)
1) Пусть А – обратим, т.е. 
А -1 такой, что A ∙ А -1 = А -1 ∙ A =
Обозначим (А -1 )e – матрица А -1 в базисе [e], En – матрица .
Известно, что A А -1 = А -1 A = ⇔ Ae(А -1 )e = (А -1 )e ∙ Ae = En
матрица Аe – обратима, т.е. det Ae ≠ 0, значит det A = det Ae ≠ 0 и А – невырожден.
Замечание: Матрица (А -1 )e и det А -1 = 
Матрица оператораА -1 , обратного оператору А, есть обратная матрица 
.
Следовательно, у матрицы Ae
. В [e]: A ↔ Ae; A ϵ L(Vn); Ae ϵ Ln×n
В [e] матрице 
соответствует B ϵ L(Vn). Т.к. Ae= A ⇔ AB = BA = ;
B ↔ Be = 
Итак, [e]: A ↔ Ae; и det Ae ≠ 0, то ∃ А -1 ↔ .
Обратный оператор. Обратимость
Пусть А — оператор, действующий из Е в Е1, и DA — область определения, а RA — область значений этого оператора.
Определение: Оператор А называется обратимым, если для любого уравнение
имеет единственное решение.
Если А обратим, то каждому можно поставить в соответствие единственный элемент , являющийся решением уравнения . Оператор, осуществляющий это соответствие, называется оператором обратным к А и обозначается .
Рассмотрим оператор, переводящий конечномерное пространство в конечномерное. Выше было сказано, что он задаётся матрицей коэффициентов. Таким образом, оператор обратим, если обратима матрица коэффициентов, которой он задаётся. А матрица обратима лишь в том случае, если её определитель не равен нулю. То есть матрицы, которые имеют ненулевой определитель, задают обратимый оператор, переводящий конечномерное пространство в конечномерное.
Теорема: Оператор , обратный к линейному оператору А, также линеен.
Теорема Баноха об обратном операторе: Пусть А — линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство Е на банахово пространство Е1. Тогда обратный оператор тоже ограничен.
Теорема: Пусть ограниченный линейный оператор А0, отображающий банахово пространство Е на банахово пространство Е1, обладает ограниченным обратным и пусть — такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в Е1, что . Тогда оператор А= отображает Е на Е1 и обладает ограниченным обратным.
Теорема: Пусть Е — банахово пространство, I — тождественный оператор в Е, а А — такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в себя, что норма . Тогда оператор существует, ограничен и представляется в виде
Резольвента линейного оператора
Определение и примеры резольвенты оператора
Рассмотрим оператор А, действующий в (комплексном) линейном топологическом пространстве Е, и уравнение
Решения этого уравнения зависят от вида оператора . Имеется три возможности:
1. уравнение Ах= имеет ненулевое решение, т.е. есть собственное значение для А; оператор при этом не существует;
2. существует ограниченный оператор , т.е. есть регулярная точка;
3. оператор существует, т.е. уравнение Ах= имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.
Введём следующую терминологию. Оператор называется резольвентой оператора А. Число мы назовём регулярным для оператора А, действующего в линейном топологическом пространстве Е, если оператор определён на всём Е и непрерывен, множество таких будем называть резольвентным множеством и обозначать . Совокупность всех остальных значений называется спектром оператора А, будем обозначать . Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как если х=0 при некотором , то не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, т.е. совокупность тех , для которых существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, каждое значение является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра — существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.
В конечномерном же случае имеется лишь две первые возможности. Причём, называется собственным значением оператора, если данное уравнение имеет ненулевое решение. Совокупность всех собственных значений образуют спектр оператора, а все остальные значения называются — регулярными. Иначе, говоря , есть регулярная точка, если оператор обратим.
Рассмотрим насколько примеров резольвент операторов.
Пример 1: Возьмём оператор, переводящий конечномерное пространство в конечномерное, как было сказано выше, его можно задать матрицей коэффициентов:
С помощью нехитрых преобразований находим обратную матрицу, тем самым резольвенту этого оператора:
здесь хорошо видно, что оператор, заданный этой матрицей не существует при =1, то есть это собственное значение оператора А.
Пример 2: Рассмотрим линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций на отрезке [a,b] на себя. Пусть это будет оператор умножения на функцию g(x). Тогда резольвента этого оператора запишется в следующем виде: , такой оператор непрерывен, если функция g(x) не принимает значение на отрезке [a,b], в противном случае будет являться собственным значением. То есть спектр этого оператора состоит из значений функции g(x) на отрезке [a,b]. Причём этот оператор имеет лишь непрерывный спектр, так как резольвента при существует, но не непрерывна. Точечного спектра оператор не имеет.
Пример 3: Рассмотрим оператор дифференцирования на множестве дифференцируемых функций. А: (для краткости будем писать вместо f(x) просто f). Рассмотрим резольвенту этого оператора: , то есть мы должны найти обратный оператор к оператору: , для чего надо решить дифференциальное уравнение относительно . Решим уравнение методом Бернулли:
тогда . Видно, что резольвента существует и непрерывна, когда существует и непрерывен интеграл.
Операторные уравнения (стр. 1 из 6)
Функциональный анализ – мощное средство для решения математический задач, возникающих в реальных ситуациях, он имеет множество приложений в различных областях математики, его методы проникают в смежные технические дисциплины.
Многие задачи математической физики, теории упругости, гидродинамики сводятся к отысканию решения дифференциального линейного уравнения, что, в свою очередь, приводит к задаче отыскания решения уравнения Аx = y с линейным оператором А. В данной работе рассмотрены два метода решения операторных уравнений.
Цель данной работы: рассмотреть основы теории линейных операторов и методы решения операторных уравнений – метод малого параметра и метод продолжения по параметру, показать применение этих методов к решению задач.
Изучив имеющийся материал по данной теме, я поставила перед собой следующие задачи:
раскрыть некоторые основы теории линейных операторов, необходимые для освоения методов решения операторных уравнений;
проиллюстрировать на конкретных примерах способы решения операторных уравнений и дать пояснения по ходу решения конкретных задач.
Так как выделение из функционального анализа его прикладной части, содержащей конструктивные методы получения решений задач, преследует методическую цель – сделать эти методы доступнее тем, кто занимается приложениями математики. Поэтому данная работа разделена на две главы, в первой содержатся необходимые теоретические обоснования способов решения операторных уравнений и суть обоих методов, а во второй – решения конкретных задач.
Глава 1. Операторные уравнения
§1.Определение линейного оператора
Пусть X и Y – линейные пространства, оба вещественные или оба комплексные.
Оператор А: X → Y с областью определения D(А) называется линейным, если
А(λ1×1 + λ2×2) = λ1А(x1) + λ2А(x2)
для любых x1,x2 Î D и любых скаляров λ1 и λ2.
Пусть X и Y – нормированные пространства и А: X → Y, где А – линейный оператор, всюду заданный в X (т.е. D(А) = X).
Оператор А называется непрерывным в точке x0 Î X, если Аx → Аx0 при x → x0. Но судить о непрерывности линейного оператора в различных точках x0 Î X можно по непрерывности его в нуле пространства X.
Теорема 1. Пусть линейный оператор А всюду задан в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен в точке 0 Î X; тогда А непрерывен в любой точке x0 Î X.
Доказательство. Рассмотрим равенство Аx – Аx0 = А (x – x0). Если x → x0, то z = x – x0 → 0. По непрерывности в нуле Аz → 0, но тогда Аx – Аx0 → 0, что и требовалось доказать.
Линейный оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в точке x = 0.
Пусть S1(0) – замкнутый шар ||x|| ≤ 1 в банаховом пространстве X.
Будем называть линейный оператор А: X → Y ограниченным, если он ограничен на единичным шаре S1(0), т.е. если ограничено множество
Согласно определению, если А ограничен, то существует постоянная с > 0 такая, что для любых x с ||x|| ≤ 1 справедливо неравенство
Теорема 2. А ограничен тогда и только тогда, когда справедлива оценка
для любых x Î X, где с – постоянная.
Теорема 3. Пусть А: X → Y, А – линейный оператор, X, Y – банаховы пространства. Для того чтобы А был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.
§2. Норма линейного оператора
В линейном пространстве непрерывных линейных операторов зададим норму следующим образом:
Поясним, почему существует конечное число ||А||, определяемое для любого ограниченного оператора равенством (1). Так как А – ограничен, то множество
ограничено сверху. По теореме о верхней грани существует
Из свойства sup M следует, что ||Аx|| ≤ ||А|| для всех x Î S1(0). Отсюда
справедливое для всех x Î X, включая x = 0. таким образом, ||А|| является наименьшей из констант в неравенстве ||Аx|| ≤ ||А||, и, значит, оценка (2) является наилучшей.
Пространство нормированных непрерывных линейных операторов, действующих из X в Y, будем обозначать L(X, Y).
Системы линейных алгебраических уравнений, интегральные уравнения, а также различные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с производными часто могут быть записаны в виде линейного уравнения
Если существует обратный оператор
Важное значение приобретает теперь выявление условий, при выполнении которых обратный оператор существует и обладает теми или иными свойствами.
Пусть задан линейный оператор: А: X → Y, где X,Y – линейные пространства, причем его область определения D(A)
Теорема 4. Оператор А переводит D (А) в R (А) взаимно однозначно тогда и только тогда, когда N(A)=
Теорема 5. Оператор А-1 существует и ограничен на R(A) тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной m>0 и любого x Î D(A) выполняется неравенство
Введем теперь следующее важное понятие.
Будем говорить, что линейный оператор А: X → Y непрерывно обратим, если R(A)=Y , оператор обратим и A-1 Î L(Y, X), (т.е. ограничен).
Обращаясь к теореме 5, мы сможем сформулировать следующее утверждение.
Теорема 6. Оператор А непрерывно обратим тогда и только тогда, когда R(A)=Y и для некоторой постоянной m>0 и для всех
В случае определенного и ограниченного на всем множестве оператора A Î L(X,Y) имеется теорема Банаха об обратном операторе.
Теорема 7. Если А – ограниченный линейный оператор, отображающий взаимно однозначно банахово пространство X на банахово пространство Y, то обратный оператор А-1 ограничен.
Иными словами, если А Î L(X,Y), где X и Y банаховы, R(A)=Y и А обратим, то А непрерывно обратим.
Взглянем на понятие непрерывно обратимого оператора с точки зрения разрешимости линейного уравнения
Если А непрерывно обратим, то уравнение это имеет единственное решение x = A-1y для любой правой части у. Если при этом
Пусть А Î L(X,Y). Оператор U Î L(X,Y) будем называть правым обратным к А, если AU = Iy. Оператор V Î L(X,Y) будем называть левым обратным к А, если VA = Ix.
Здесь через Iy (Ix) обозначен тождественный оператор в пространстве Y (X). Ниже для правого обратного к А используем обозначение Аr–1, а для левого – АL–1.
Лемма 1. Если существует правый обратный Аr–1 к А, то уравнение (2) имеет решение
Если существует левый обратный оператор к А, то уравнение (2) может иметь не более одного решения.
А(Аr–1 y) = (А Аr–1)y = y,
т.е. x = Аr–1 y обращает (2) в тождество и, значит, является решением.
Далее, пусть существует АL–1. рассмотрим N(A). Пусть x Î N(A), тогда Аx = 0. применим к этому равенству оператор АL–1, тогда АL–1Аx = 0, откуда x = 0. итак, всякое x Î N(A) оказывается равным 0. Значит, N(A) = <0>и, по теореме 4, А взаимно однозначен, т.е. для уравнения (2) справедлива теорема единственности. Что и требовалось доказать.
Пусть X – банахово пространство. Рассмотрим банахово пространство L(X) – пространство линейных, ограниченных и заданных на всем множестве операторов. Пусть I – тождественный оператор в L(X). Очевидно, что I непрерывно обратим. Ниже доказывается, что вместе с I непрерывно обратимы все операторы
Для краткости положим C = I – A. Ниже мы будем ссылаться на признак Вейерштрасса: пусть X – банахово пространство, тогда всякий абсолютно сходящийся в X ряд сходится.