Как найти напряженность поля в центре квадрата

Найдите напряженность электростатического поля в центре квадрата (2 февраля 2011)

Взято из «Физика. Готовимся к ЕГЭ». А. Н. Москалев, стр. 154, А8.

Комментарии

В центр квадрата условно помещаем положительный единичный заряд.

Указываем направление напряженности поля каждого заряда.

Затем векторно складываем напряженности и результирующую находим по теореме Пифагора (косинусов).

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Тогда напряженность, создаваемая зарядами q и −q, равна E₁₂ = 2E₁ sin α.

Напряженность, создаваемая зарядами −2q и 2q, равна E₃₄ = 2E₄ sin α,

где sin α = 1√2. Но ведь векторы напряженноcти поля E₁₂ и E₃₄ совпадают по направлению, значит, E = E₁₂ + E₃₄ ?

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Судя по Вашему комментарию, Вы ориентируетесь в задаче, тогда в чем Ваш вопрос?

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

• Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

В итоге суммарный вектор напряжённости электрического поля, порождаемого четырьмя зарядами, в центре квадрата является гипотенузой в прямоугольном равнобедренном треугольнике с катетами, являющимися суммой напряжённостей противоположных зарядов.

Научный форум dxdy

Последний раз редактировалось AV777 05.04.2014, 21:35, всего редактировалось 1 раз.

В вершинах квадрата со стороной находятся точечные заряды (смотрите рисунок 2).
Определите напряжённость и потенциал электрического поля этих зарядов:
а)В центре квадрата (точка О );
б)В точке А (смотрите рисунок 2), находятся на расстоянии от его центра (точки О), если отрезок ОА — перпендикуляр к плоскости квадрата.


Мой вариант решения
Так как отрицательные электрические заряды равны , и равны расстояния от зарядов до центра квадрата равны , то равны и напряжённости электрического поля каждого заряда (по теореме Пифагора

Длину диагонали квадрата \(L\), которую можно найти по теореме Пифагора:

Центр квадрата – это точка пересечения его диагоналей. Пусть \(l\) – расстояние от каждой вершины до центра квадрата, это расстояние равно половине длины диагонали квадрата \(L\), поэтому:

Так как все заряды одинаковые по величине и находятся на одинаковом расстоянии от центра квадрата, то в этой точке каждый из них будет создавать электрическое поле напряженностью \(E_0\), модуль которой найдём следующим образом:

Здесь \(k\) – коэффициент пропорциональности, равный 9·10 9 Н·м 2 /Кл 2 .

Учитывая (1), имеем:

Вектор напряженности результирующего поля \(\overrightarrow E\) равен геометрической сумме всех векторов \(\overrightarrow <>\). Так как два из них лежат на одной прямой и направлены противоположно, то их сумма равна нулевому вектору (смотрите схему). Поэтому:

Ответ: 1800 В/м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Задачи на применение закона Био-Савара-Лапласа с решением

Закон Био-Савара-Лапласа в магнитостатике – примерно то же самое, что и закон Кулона в электростатике. С помощью этого закона определяется индукция магнитного поля, созданного постоянным электрическим током. В сегодняшней статье разберем несколько примеров решения задач по магнитостатике на применение закона Био-Савара-Лапласа.

Присоединяйтесь к нам в телеграме, чтобы вовремя получать полезную рассылку и актуальные новости. А еще, не пропустите приятные скидки и акции на нашем втором канале.

Закон Био-Савара-Лапласа: решение задач

В нашем блоге есть материалы, которые помогут справиться с задачами по разным темам:

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №1

Условие

Прямой провод согнут в виде квадрата со стороной а=8 см. Какой силы ток надо пропустить по проводнику, чтобы напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей была 20 А/м?

Решение

Согласно принципу суперпозиции напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей квадрата будет равна сумме напряженностей, которые создают стороны. Поскольку стороны одинаковые, то:

H = 4 H 1 = 4 B 1 μ 0

Будем использовать формулу для магнитной индукции поля, создаваемого отрезком прямого провода с током (выводится из закона Био-Савара-Лапласа):

B = μ 0 2 π I r 0 cos α B 1 = μ 0 2 π I a 2 cos α = μ 0 2 π I a cos α , α = 45 °

Тогда для напряженности в точке пересечения диагоналей получим:

Н = 4 π I a cos α

Отсюда можем выразить ток:

I = π a H 4 cos α = 3 , 14 × 0 , 08 × 20 4 cos 45 = 1 , 78 А

Ответ: 1,78 А.

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №2

Условие

Используя закон Био-Савара-Лапласа, определите магнитную индукцию в вакууме B поля в центре кругового проводника радиусом 10 см, если сила тока в проводнике равна 5 A.

Решение

Модуль магнитной индукции в центре кругового тока вычисляется по формуле:

B = μ 0 μ I 2 r μ = 1 — м а г н и т н а я п р о н и ц а е м о с т ь д л я в а к у у м а μ 0 = 1 , 25 × 10 — 6 Г н м — м а г н и т н а я п о с т о я н н а я

В = 1 , 25 × 10 — 6 × 1 × 5 2 × 0 , 1 = 3 , 1 × 10 — 5 Т л

Ответ: 0,31 мкТл.

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №3

Условие

Используя закон Био-Савара-Лапласа выведите формулу для индукуии из предыдущей задачи.

Решение

Пусть ток идет по тонкому проводу в форме окружности, имеющей радиус R.

Разобъем провод на бесконечно малые элементы dl. Каждый такой элемент создает в центре окружности индукцию dB, направленную вдоль положительной нормали к контуру. По закону Био-Савара-Лапласа:

B = μ 0 4 π I d l sin α r 2

Угол альфа между векторами r и Idl равен 90 градусам, а r=R. Тогда, можно записать:

Интегрируя это выражение по контуру, получим:

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №4

Условие

По квадратной рамке со стороной a=0,2 м течет ток 4 А. Определить напряженность и индукцию магнитного поля в центре рамки.

Решение

Будем рассматривать каждую из четырех сторон рамки, как отдельный проводник, создающий в ее центре магнитную индукцию. Направление векторно-магнитной индукции определяется по правилу правого винта: все векторы направлены в одну сторону, перпендикулярно рамке.

Найдем индукцию, создаваемую одной стороной рамки:

B 1 = μ μ 0 I 4 π r ( cos α 1 — cos α 2 )

r = a 2 α 1 = 45 ° α 2 = 135 ° В 1 = μ μ 0 I 2 π a ( cos 45 — cos 135 )

По принципу суперпозиции, запишем формулу для общей индукции в центре рамки и вычислим:

B = 4 B 1 = 2 μ μ 0 I π a ( cos 45 — cos 135 ) B = 1 × 1 , 25 × 10 — 6 × 4 2 × 3 , 14 × 0 , 2 ( 0 , 707 + 0 , 707 ) = 22 , 6 × 10 — 6 Т л

Ответ: 22,6 мкТл.

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №5

Условие

Проводник согнут в виде правильного треугольника со стороной а=20 см. Какой ток протекает по периметру треугольника, если в его центре напряженность поля равна Н = 71,64 А/м?

Решение

Условно разбиваем проводник на три проводника, каждый из которых создает магнитное поле. По закону Био – Савара – Лапласа элемент контура dl, по которому течет ток I, создает в некоторой точке А пространства магнитное поле напряженностью:

d H 0 = I sin α 4 π r 2 d l

r – расстояние от точки А до элемента тока dl, α – угол между радиус-вектором и элементом тока dl. Напряженность магнитного поля в точке О будет равна:

Н 0 = ∫ — ∞ + ∞ I sin α 4 π r 2 d l

l = b × c t g α d l = — b d α sin 2 α r = b sin α

Теперь выражение для напряженности можно переписать в следующем виде:

H 0 = — I 4 π b ∫ α 1 α 2 sin α d α = I 4 π b cos α 1 — cos α 2 b = a 2 t g α H 0 = I 2 π × a × t g α cos α 1 — cos α 2

Из рисунка видно, что угол α1 равен 30 градусам, а угол α2 = 150. Очевидно, что результирующая напряженность:

Н = 3 I 2 π × a × t g 30 cos 30 — cos 150

Отсюда найдем ток:

I = 2 π H × a × t g 30 3 ( cos 30 — cos 150 ) = 2 × 3 , 14 × 71 , 64 × 0 , 2 × 0 , 577 3 ( 0 , 866 + 0 , 866 ) = 10 А

Ответ: 10 А.

Вопросы на закон Био-Савара-Лапласа

Вопрос 1. Сформулируйте закон Био-Савара-Лапласа

Ответ. Закон Био-Савара-Лапласа гласит:

Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока.

Элементарный участок dl с током I создает магнитную индукцию:

B = μ 0 4 π I d l sin α r 2

Здесь альфа — угол между радиусом-вектором и направлением тока в проводнике.

Вопрос 2. Что такое магнитная индукция?

Ответ. Магнитная индукция — векторная физическая величина, силовая характеристика магнитного поля. Определяет, с какой силой поле действует на заряд, движущийся в нем.

Вопрос 3. Сформулируйте теорему о циркуляции магнитной индукции.

Ответ. Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру, охватывающему токи, прямо пропорциональна алгебраической сумме токов, пронизывающих этот контур:

∮ В d l = μ 0 ∑ i I i

Вопрос 4. Как определяется направление вектора магнитной индукции?

Ответ. Направление вектора магнитной индукции определяется по правилу буравчика (правого винта):

Направление вращения головки винта дает направление вектора магнитной индукции, поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Вопрос 5. Что такое напряженность магнитного поля?

Ответ. Напряженность — векторная физическая величина, равная разности вектора магнитной индукции B и вектора намагниченности M. Связана с индукцией формулой:

Нужна помощь в решении задач и выполнении других заданий? Профессиональный сервис для учащихся всегда к вашим услугам.