Докажите что формула задает бинарную операцию на множестве

Раздел 1. Алгебраические структуры Тема 1.1. Бинарные операции и их свойства

Часто в математике нам приходится комбинировать элементы некоторого множества. Так в арифметике комбинируются числа, в векторной алгебре – векторы.

Существенной особенностью каждого из этих примеров является правило, по которому устанавливается соответствие для элементов определённых множеств. Целью данного раздела является рассмотрение ситуации, когда любым двум элементам множества ставится в соответствие элемент того же множествапо определённому правилу. Такое соответствие назовём «бинарной операцией».

Определение:Бинарная операцияна непустом множестве– это правило, которое ставит в соответствие любой упорядоченной пареединственный элемент.

Пример 1.1: Арифметическое сложение на множестве целых положительных чисел является бинарной операцией, а разность – не является, т.к. для любыхиразность – не всегда положительное число.

Для некоторых бинарных операций порядок следования операндов несущественен, для других – важен.

Пример 1.2: в произведении порядок элементов роли не играет т.к., а для частного – играет.

Следовательно, бинарная операция должна рассматриваться как действие над упорядоченной парой элементов.

Замечание:Если прочесть определение повнимательнее, то можно увидеть, что бинарная операция вполне может рассматриваться как функция, которая задаёт элементдля каждой упорядоченной пары элементов.

Определение:Условиеявляется свойством замкнутости бинарной операции. Когда такое условие выполняется будем говорить, чтозамкнутоотносительно операции.

Пример 1.3:Операции сложения, умножения, вычитания являются бинарными операциями на множестве целых чисел. Деление не является бинарной операцией на, т.к. при делении одного целого числа на другое не всегда получается целое число. Т.е.– не является замкнутым множеством относительно операции деления.

Пример 1.4:Операции сложения, умножения, вычитания являются бинарными операциями на множестве рациональных чисел. Деление не является бинарной операцией на, т.кне определено для всех.

Пример 1.5:Если– множество всех подмножеств некоторого множества, то операции пересечения, объединения являются бинарными операциями.

Бинарная операция на конечном множестве может быть определена с помощью таблицы Кейли.

Пример 1.6:Еслито бинарную операциюможно определить следующим образом:

Таблица интерпретируется так:

Дадим определения, которые позволят нам говорить о некоторых свойствах операций.

Определение:Бинарная операция, заданная на непустом множественазываетсякоммутативной, если

Пример 1.7:Операции сложения, умножения на множестве рациональных чиселявляются коммутативными. Вычитание не является коммутативной операцией.

Пример 1.8:Операции конъюнкции, дизъюнкции на множестве высказываний являются коммутативным, Импликация не является коммутативной.

Определение:Операция, заданная на непустом множественазываетсяассоциативной, если.

Пример 1.9:Операции сложения, умножения на множестве рациональных чиселявляются ассоциативными.

Определение:Пусть– бинарная операция, заданная на непустом множестве. Элемент, такой чтоназываетсяэлементом идентичностидля операциина множестве.

Замечание:Обратите внимание, что для того чтобы элементявлялся элементом идентичности свойство должно выполняться длявсехэлементов множества.

Пример 1.10:Элементом идентичности для операции сложения на множестве рациональных чиселявляется элемент 0. Но при этом 0 не является элементом идентичности для операции вычитания, т.к– верно, но.

Определение:Пусть– бинарная операция, заданная на непустом множестве. И существует– элемент идентичности для операции. Элементназываетсяобратнымдляесли.

Обратный элемент обычно обозначают . При этом если– обратный элемент для, то– обратный элемент для.

Пример 1.11:Обратным элементом для операции сложения на множестве рациональных чиселдляявляется число.

Теорема: Пусть – бинарная операция, заданная на непустом множестве . Если элемент идентичности существует, то он единственный.

Доказательство:

Пусть ,– элементы идентичности на множестведля операции. Т.к.— элемент идентичности, то следовательно и для:

аналогичны рассуждения и для элемента идентичности . Следовательно. Что и требовалось показать.

Теорема:Пусть – ассоциативная бинарная операция с элементом идентичности, заданная на непустом множестве . Для любого элемента, который имеет обратный элемент, обратный элемент единственный.

Доказательство:Пусть элементимеет два различных обратных элемента. Тогда:

и – по определению обратного элемента.

Поэтому .

алгебра — Доказать формулу

Докажите, что m ◦ n = 2mn − 2m − 2n + 3 задаёт бинарную операцию R \ <1>и что (R \ <1>, ◦) является группой.

задан 2 Апр ’18 21:18

1 ответ

Один из способов решения состоит в проверке аксиом группы. Возможно, что полезно было бы решить задачу и таким длинным способом. Для начала надо проверить ассоциативность. Берём числа x, y, z. Находим xoy по формуле. Потом подставляем в ту же формулу найденное выражение в качестве m, и z в качестве n. Получается какое-то громоздкое выражение от трёх переменных. Это (xoy)oz. Потом таким же способом находим xo(yoz). Сравниваем два выражения, и проверяем, что они совпадают.

Потом доказываем существование нейтрального элемента. Здесь это будет число e=3/2. Можно взять любое m, полагая n=3/2, и далее проверить, что mon=m. Операция здесь коммутативна, и такой проверки достаточно. Само значение нейтрального элемента можно или угадать, или найти из уравнения 2mn-2m-2n+3=m, которое должно выполняться при любом m. В частности, при m=0, что сразу даёт n=3/2. А потом уже подставляем и проверяем.

Наконец, надо проверить наличие обратных элементов. Пусть m не равно 1. Мы хотим найти такое n (также не равное 1), чтобы выполнялось равенство 2mn-2m-2n+3=3/2. Решая уравнение относительно n, имеем n=(4m-3)/(4m-4). Такое число определено при любом m кроме 1, и не равно 1.

Но есть более короткий способ доказательства, основанный вот на каком факте. Пусть имеется какая-то известная нам группа G, операция в которой обозначается в виде умножения. Рассмотрим произвольную биекцию f множества G на произвольное множество X. Зададим операцию o на X, полагая f(a)of(b)=f(ab). Здесь мы используем то, что всякий элемент из X единственным образом представим в виде f(g), где g принадлежит G. Это так, поскольку мы имеем биекцию. В итоге мы имеем «точную копию» группы G в виде системы (X,o). Последняя, как алгебраическая система, изоморфна группе, а потому сама является группой.

Теперь осталось заметить, что 2(mon)-2=(2m-2)(2n-2) в силу тождества из условия. Это значит, что если мы в качестве G возьмём группу действительных чисел без нуля относительно умножения, и положим x=f(y)=1+y/2 (это обратная функция для y=2x-2), что даёт биекцию. При ней получится 1+0/2=1, то есть 1 удаляем, а 1+1/2=3/2 оказывается нейтральным элементом. Далее, для элемента y не равного нулю, в группе обратным будет 1/y, и для него f(1/y)=1+1/(2y)=(2y+1)/(2y)=(4x-3)/(4x-4), что даёт формулу для обратного элемента.

Докажите что формула задает бинарную операцию на множестве

Говорят, что на задана бинарная алгебраическая операция, если любой упорядоченной паре элементов ставится в соответствие однозначно определённый элемент этого же множества .

Иногда вместо пишут , а ещё чаще бинарную операцию на обозначают каким-нибудь специальным символом: *, º, ∙, +, так будем поступать и мы, называя (или просто , без знака между и ) произведением элементов . Таким образом, равенство

(1)

упорядоченной паре из ставится в соответствие элемент . Иногда (там, где это будет удобнее) вместо «произведение» будем говорить «сумма», обозначая это так:

(1´)

Замечание 1. Можно рассматривать бинарную операцию в «широком смысле»: некоторым упорядоченным парам элементов из ставится в соответствие элемент из один или много. Такой, более общий подход «имеет право на существование», он приводит к интересным результатам, однако мы, исходя из наших целей, будем придерживаться понятия алгебраической операции приведённого выше.

На множестве можно задать много различных операций. Если хотят выделить одну из них, то пишут и говорят, что операция * определяет на алгебраическую структуру или, что — алгебраическая структура (другое название: алгебраическая система).

1. На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения. Таким образом, заданы алгебраические структуры и .

2. На можно задать и другие операции: ; , получим структуры и и т.д.

3. На множестве невырожденных матриц порядка n (): а) матричное умножение – алгебраическая операция, б) матричное сложение – нет.

а) Пусть и — две невырожденные матрицы n-го порядка: , . Матрица — снова матрица n-го порядка, осталось доказать лишь её невырожденность. Поскольку, как известно, определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е. , то . Итак, матрица является элементом того же множества, что и матрицы и .

Пусть , . Тогда , , .

4. . Сложение не является бинарной алгебраической операцией (объясните, почему).

Конструировать разные бинарные операции на множестве можно неограниченно, но задача изучения произвольных алгебраических структур слишком обща. Поэтому рассматривают структуры при некоторых естественных ограничениях.

Бинарная операция * на множестве называется ассоциативной, если для всех .

Операция * называется коммутативной, если для всех .

Свойства ассоциативности и коммутативности независимы. Действительно, например операция на : является коммутативной (очевидно), но не ассоциативной, что легко показать: , а . Операция же умножения квадратных матриц порядка — ассоциативна, но не коммутативна.

1. Операции сложения и умножения на множестве действительных чисел коммутативны и ассоциативны.

2. Операция * на множестве натуральных чисел, задаваемая формулой — некоммутативна (например , ).

3. Операция на множестве , заданная формулой — коммутативна, но не ассоциативна.

Пусть — любые действительные числа. В силу коммутативности сложения на получим: , и коммутативность операции * доказана.

Далее, , и , и при равенство не верно.

Пусть на множестве задана бинарная операция. Если существует такой элемент , что для любого элемента выполняются равенства:

и ,

Определение. Операция ◦ на множестве М называется ассоциативной, если для любых а, b, c M справедливо равенство

Определение. Пусть на М задана операция ◦. Элемент е называется нейтральным относительно операции ◦, если для любого а М справедливо равенство

По сложению, аʹ обозначают –а и называют противоположным. По умножению, аʹ обозначают и называют обратным.

Определение. Пусть на М задана операция ◦. Операция ◦ называется обратимой, если для любых а, b M уравнения а ◦ x = b, y ◦ a = b имеют решение, причем единственное.

Определение. Операция ◦ называется дистрибутивной относительно операции *, если для любых a, b, c M выполняются равенства

Пример 1 Докажем, что на множестве R бинарная операция, заданная формулой a ◦ b = коммутативна, но не ассоциативна.

a ◦ b = b ◦ a,

(a ◦ b) ◦ c = (1)

a ◦ (b ◦ c) = (2)

2 Докажите, что на множестве бинарная операция а ◦ b = нахождения среднего геометрического коммутативна, но не ассоциативна.

3 Обладает ли множество чисел вида а + b , где a и b – любые целые числа, нейтральным элементом относительно обычного умножения? Проверьте, имеются ли в данной алгебраической системе обратные элементы для элементов 2 + и 5 — 2 . Обратима ли на данном множестве операция умножения?

а) a ◦ b = ;

5 Покажите, что действие выполняемое по правилу a ◦ b = , является коммутативной, но не ассоциативной бинарной операцией на множестве R.

6 Докажите, что относительно обычного умножения множество А= x=3k, k Z> не содержит нейтрального элемента. Обратима ли операция умножения на множестве А?

8 Докажите, что на множестве Q действие, выполняемое по правилу a◦b = = является бинарной, коммутативной, ассоциативной, но необратимой операцией. Обладает ли алгебраическая система < Z; ◦ > нейтральным элементом, и если обладает, то каким именно?

1) ◦ ( b ◦ c ) = ( ◦ b ) ◦ c,

2) ◦ e = e ◦ = ;

3) ◦ ʹ = ʹ ◦ = e.

1)

2)

3)

4)

5)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

◦

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

в) Если a – нечетное число, b – четное, а с – любое число из Z, то нечетно и потому

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

г) Если a, b – нечетные числа, а с – любое число из Z, то четно и потому

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

3 Т.к. 0 – четное число, то 0 ◦ Кроме того, если , то ◦ 0 = если же нечетно, то ◦ 0 = . Итак, 0 ◦ ◦ 0, т.е. 0 является в Z нейтральным элементом относительно заданной операции.

4 Для любого элемента в Z существует обратный элемент: для четного обратным будет противоположное число , т.к. ◦ = ; для нечетного обратным будет само число , т.к. ◦ = .

3 Почему множество R не является полугруппой относительно действия, выполняемого по правилу ◦ b = для любых , b

г) множество относительно умножения;

и) множество чисел вида а + b относительно сложения, если а и b – любые рациональные числа;

5 На множестве Q определено действие ◦ b = . Докажите, что относительно указанного действия данное множество является группой.

6 Является ли кольцом множество L чисел вида относительно обычных операций сложения и умножения?

8 Докажите, что множество А чисел вида 2а + 2b где a, b – любые целые числа, является числовым кольцом.

Выясните, обладает ли это множество нулем и единицей и является ли система <M, > полем относительно заданных бинарных операций.

Докажите что формула задает бинарную операцию на множестве

Определение 2.1:
Бинарной операцией на множестве $M$ называется отображение $f:M\times\to$.
При этом если $a,b\in$, то обозначают $afb:=f(a,b)$.
Например для операции сложения действительных чисел $+:\mathbb\times\mathbb\to\mathbb$ обычно пишут $a+b$, что формально означает $+(a,b)$.
В данном курсе изучаются только бинарные операции, поэтому везде далее вместо «бинарная операция» может употреблятся просто «операция».

Определение 2.2:
Алгебраической структурой или алгеброй называется не пустое множество с заданными на нем бинарными операциями.
Если соответствующее множество и операции обозначены $M$ и $*,\circ,\cdot,\diamond,\ldots$, то алгебра обозначается $(M;*,\circ,\cdot,\diamond,\ldots)$
Алгебра с одной операцией $(M;*)$ называется группоидом.

1. $(\mathbb;+)$, $(\mathbb_0;+)$, $(\mathbb;+)$, $(\mathbb;-)$, $(\mathbb;\cdot)$.
2. Если $M:=\overline<1,n>$, $*:M\times\to$, для любых $a,b\in\overline<1,n>$ $a*b=\max$, то $(M;*)$ — группоид.
3. Если $\tilde:=\\subset\>$ — множество всех подмножеств некоторого множества $M$, то $\tilde$ замкнуто относительно операций $\cup,\cap,\backslash$ (в отличии, например, от операции декартова произведения $\times$), следовательно можно определить группоиды $(\tilde;\cup)$, $(\tilde;\cap)$, $(\tilde;\backslash)$.
4. Множество всех функций $\Pi(M):=\:M\to\>$ определенных на произвольном множестве $M$ образует с операцией композиции функций $\circ$ группоид $(\Pi(M);\circ)$.

1. ассоциативной, если $$\forall,b,c\in(a*(b*c)=(a*b)*c).$$
2. коммутативной, если $$\forall,b\in(a*b=b*a).$$

1. Операция композиции функций $\circ$ на множестве $\Pi(M)$ ассоциативна для любого множества $M$, но коммутативна тогда и только тогда, когда $|M|=1$.
   Действительно, если $|M|=1$, то $|\Pi(M)|=1$ и операция $\circ$ коммутативна.
   Если $|M|>1$, то $$\exists,b\in:a\neq\Rightarrow\exists,g\in\Pi(M):\forall\in(f(x)=a\wedge(x)=b)\Rightarrow \forall\in((f\circ)(x)=f(g(x))=a\neq(g\circ)(x)=g(f(x))=b)$$
2. Определим на множестве $\mathbb$ операцию $*$ такую, что для любых $a,b\in\mathbb$ $a*b:=\frac<2>$.
   Операция $*$, очевидно, коммутативна, но не ассоциативна. Например, при $a=4$, $b=c=8$ $a*(b*c)=\frac12\left(a+\frac12(b+c)\right)=\frac<2>+\frac<4>+\frac<4>=6$, а $(a*b)*c=\frac12\left(\frac12(a+b)+c\right)=\frac<4>+\frac<4>+\frac<2>=7$.
   Вообще, не сложно видеть, что равенство $a*(b*c)=(a*b)*c$ выполняется только при $a=c$, действительно $$a*(b*c)=(a*b)*c\Rightarrow\frac12\left(a+\frac12(b+c)\right)=\frac12\left(\frac12(a+b)+c\right)\Rightarrow +\frac<2>+\frac<2>=\frac<2>+\frac<2>+c\Rightarrow\frac<2>=\frac<2>\Rightarrow=c.$$