Лёгкий способ решать задачи о стрелках часов
Однажды много лет назад один немолодой профессор задал мне задачку о перестановке стрелок часов. Точной формулировки за давностию лет я не помню, но поиск в интернете привёл меня к «Занимательной алгебре» Я. И. Перельмана, которая была впервые опубликована в 1933 году:
Что любопытно, эта формулировка восходит к книге Александра Мошковского «Альберт Эйнштейн: беседы с Эйнштейном о теории относительности и общей системе мира», опубликованной в 1921 году на немецком языке, и уже в следующем году (!) переведённой на русский язык (и, судя по каталогу РГБ, с тех пор её и не переиздавали; доступен английский перевод).
Мошковский, навещая Эйнштейна во время болезни, предложил ему эту задачу для развлечения. Тот отметил, что задача интересная и не слишком простая, однако, увы, удовольствие от неё не продлится долго, потому что путь к решению уже ясен. Начертив условия задачи на листе бумаги, Эйнштейн составил диофантово уравнение и спустя небольшое время решил его.
К сожалению, более никаких подробностей в книге Мошковского не упоминается, и как могло бы выглядеть это уравнение, мы можем только предполагать. Решение, приведённое в книге Перельмана, в целом выглядит примерно так же, и довольно громоздко.
Пусть одно из требуемых положений стрелок наблюдалось тогда, когда часовая стрелка отошла от цифры 12 на делений, а минутная — на делений. Так как часовая стрелка проходит 60 делений за 12 часов, т. е. 5 делений в час, то делений она прошла за часов. Иначе говоря, после того как часы показывали 12, прошло часов. Минутная стрелка прошла делений за минут, т. е. за часов. Иначе говоря, цифру 12 минутная стрелка прошла часов тому назад, или через часов после того, как обе стрелки были на двенадцати. Это число является целым (от нуля до 11), так как оно показывает, сколько полных часов прошло после двенадцати. Когда стрелки обменяются местами, мы найдём аналогично, что с двенадцати часов до времени, показываемого стрелками, прошло полных часов. Это число также является целым (от нуля до 11).
Имеем систему уравнений:
где и — целые числа, которые могут меняться от 0 до 11. Из этой системы находим:
Давая им значения от 0 до 11, мы определим все требуемые положения стрелок. Так как каждое из 12 значений можно сопоставлять с каждым из 12 значений , то, казалось бы, число всех решений равно 12 × 12 = 144. Но в действительности оно равно 143, потому что при и при получается одно и то же положение стрелок.
Я решал эту задачу примерно тем же образом и с некоторыми усилиями получил верный ответ, но спустя несколько лет мне пришла в голову следующая картинка:
Мысленно положим часы циферблатом вниз на комплексную плоскость так, чтобы 12 часов были в точке , а 3 часа — в точке .
В этом случае положение стрелок часов легко выражается через комплексную экспоненту. Если время, прошедшее с полуночи в часах, обозначить как , то положение конца минутной стрелки будет равно , поскольку за каждый час минутная стрелка совершает ровно один оборот. Часовая же движется в 12 раз медленнее, и положение её конца (будь она длины 1) .
(Если предыдущий абзац совершенно непонятен, то рекомендую замечательные видео от 3blue1brown из серии Lockdown math)
Важно, однако, даже не это, а соотношение .
Пользуясь этим соотношением, можно решать практически любые задачи о стрелках часов, причём делать это единообразно. Начнём с простого.
Сколько раз за 12 часов совпадают стрелки часов?
Стрелки совпадают, следовательно . Отсюда:
Поскольку — точка на единичной окружности и никогда не равна нулю, то на можно смело делить (как и на ):
Отсюда немедленно следует, что это случается 11 раз за двенадцатичасовой период через равные интервалы, начиная с , т. е. полуночи/полудня. Интервал составляет часа, то есть 1 час и минут.
Сколько раз за 12 часов стрелки часов направлены в противоположные стороны?
Стрелки противонаправлены, следовательно . Отсюда аналогичным способом получаем:
Соответственно, подобные моменты случаются так же 11 раз за 12 часов с такими же равными интервалами, но только начиная не с , а с , что соответствует 6 часам.
Сколько раз за 12 часов стрелки часов расположены под прямым углом друг к другу?
Эта задача немного сложнее, потому что прямой угол может быть как в одну сторону, так и в другую, то есть или .
Поскольку , то уравнение эквивалентно . Далее аналогично подставляем :
И получаем 22 положения за 12 часов с интервалом, соответственно, в минут, начиная с 3 часов () или 9 часов ().
Сколько раз за 12 часов встречаются часовая, минутная и секундная стрелки?
Вспомним, что секундная стрелка движется в 60 раз быстрее минутной, следовательно её положение . А если они все равны, то требуется решить уравнение , которое в силу можно преобразовать в с единственным решением .
Аналогичным образом можно посчитать, что часовая стрелка с секундной встречаются 719 раз за 12 часов, а минутная с секундной — 708 раз за 12 часов (по 59 раз в час).
Когда стрелки стоят симметрично (т.е. на одинаковых расстояниях от 12)?
В общем случае здесь бы понадобилась операция комплексного сопряжения, но поскольку все наши точки лежат на единичной окружности, то достаточно минус первой степени: . Отсюда:
Тринадцать возможных положений, начиная с 12 часов и с интервалом в часа, то есть минут.
В мире антиподов минутная стрелка идёт с нормальной скоростью, но в противоположную сторону. Сколько раз за сутки стрелки антиподных часов а) совпадают; б) противоположны; в) расположены под прямым углом?
Поскольку в мире антиподов минутная стрелка идёт в противоположную сторону, то здесь .
Думаю, читатель к этому моменту уже наловчился решать подобные уравнения в уме, и может легко сообразить, что у уравнений (для совпадающих стрелок) и (для противоположных стрелок) будет по 13 ненулевых решений.
Прямому углу между стрелками соответствует уравнение , то есть : целых 26 решений с интервалом минут.
Ну что же, пора перейти к задачке, с которой всё начиналось.
Когда и как часто стрелки часов занимают такие положения, что замена одной другою даёт новое положение, тоже возможное на правильных часах?
Для любого корректного положения стрелок, как мы помним, верно равенство . Соответственно, чтобы обмен стрелок также давал корректное положение, требуется, чтобы было верно и . Отсюда:
Итого — 143 возможных положения с равными интервалами в минут в течение 12 часов. Весьма лаконично, если сравнивать с другими способами решения, не правда ли?
Через какое время встречаются минутная и часовая стрелки часов
Тип 0 № 4455 
На часах 16:00. Через какое время после этого часовая минутная стрелки часов встретятся во второй раз?
Поскольку минутная стрелка делает полный оборот за 60 минут, а часовая — за 12 часов, угловые скорости минутной и часовой стрелок часов равны
Очевидно, к моменту второй «встречи» часовой и минутной стрелок минутная стрелка повернется на угол, больший угла поворота часовой стрелки на величину первоначального угла между стрелками плюс угол полного оборота
Поэтому уравнение для времени второй встречи стрелок имеет вид
Отсюда с использованием угловых скоростей стрелок, находим
1. Правильная идея решения — использовать законы движения стрелок с известными их угловыми скоростями (причем может быть даже без введения понятия угловой скорости, а через пропорциональные соотношения для полного
2. Правильно понято, что к моменту второй встречи стрелок, часовая повернется на угол, на 480° меньший, чем угол поворота минутной — 0,5 балла.
3. Правильно уравнение для времени — 0,5 балла.
4. Получена правильная окончательная формула и проведены вычисления — 0,5 балла.
Через какое время встречаются минутная и часовая стрелки часов
Сколько раз за сутки стрелки часов совпадают в одном положении? 2, 12, 22, 24? < ответ тут ответ сутки раз час положение стрелка
В сутках 24 часа.
Каждый раз, когда минутная стрелка обгоняет часовую, они совпадают. И происходит это один раз каждый час.
Правда, есть одно исключение:
с 12 до часу стрелки совпадают только один раз!
Когда день начинается, стрелки совпадают — это 00:00. В нулевом часу совпадают.
А в первом часу они не совпадают — минутная стрелка догонит часовую не в первом часу, а только в начале второго.
Такая ситуация повторится и в полдень: стрелки совпадут только после 13.
Таким образом, минутная и часовая стрелки за сутки совпадут только 22 раза!
А вот на часах с тремя стрелками — часовой, минутной и секундной все три стрелки совпадают только один раз — в 12 часов.
Начиная с цифры 12, часовая и минутная стрелки совпадают не более одного раза в час, исключая один час с 11 до 12. Поэтому количество совпадений за полдня будет 11.
А за сутки стрелки совпадут 22 раза.
думаю двенадцать раз, если считать, что каждому часы дня соответствует час вечера) Или один раз, если взять конкретный час))
Если бы одна стрелка была неподвижна, то — 24. Но она тоже движется, но не 24 оборота, а 2. Встречаются 22 раза. (24 — 2 =22)
Ответ. 22 раза. 00:00, 1:05, 2:11, 3:16, 4:22, 5:27, 6:33, 7:38, 8:44, 9:49, 10:55, 12:00, 13:05, 14:11, 15:16, 16:22, 17:27, 18:33,19:38, 20:44, 21:49, 22:55
Стрелки часов совпадают столько раз, сколько часов есть в сутках. То есть 24 раза.
Задача с аналоговыми часами: сколько раз за сутки сойдутся стрелки?
Данная задача в свое время появилась на собеседованиях в компании Microsoft. Интервьюерам необходимо было ответить, сколько раз за сутки встречаются часовая и минутная стрелки. Но задача пошла в массы, и решение стало широко известно. Поэтому появилась разновидность уже с тремя стрелками.
Задача 1 — сколько раз в сутки пересекаются минутная и часовая стрелки
Пересечение происходит каждый час. В полночь или каждые 12 часов происходит обновление круга. Попробуем визуализировать циферблат и посчитать пересечения. Примерное время будет следующим:
- 01:05
- 02:10
- 03:18
- 04:23
- и так далее
С каждым новым часом минуты будут смещаться все дальше. В итоге на десятом круге смещение дойдет до 10:55. Минутная стрелка на этом круге оказывается сильно впереди в эквиваленте с часовой.
На 11 круге все закончится. Стрелки сойдутся в самой вертикальной точке циферблата — на отметке 12.
Ответ: 11 раз за круг или 22 раза в сутки пересекаются минутная и часовая стрелки.
Задача 1 — сколько раз в сутки пересекаются секундная, минутная и часовая стрелки
Если с минутной и часовой все понятно — они двигаются медленно и регулярно пересекаются и продолжительность пересечения занимает чуть менее минуты (минус время на начало совпадение и расход), то с секундной не все так просто.
Наложение возможно, когда положение часовой и минутной стрелки совпадает с эквивалентом секунд (круг разбит на 60 позиций и у каждой стрелки свой эквивалент).
Если минутная стрелка находится на 29 минуте (между числами 5 и 6), а на секундная в этот момент на 28 секунде, то в следующую секунду будет пересечение.
Более того, секундная стрелка не пересечется с двумя другими ни разу в течение дня. Обновление времени происходит на отметке в 12. В этот момент 11 раз в день пересекаются часовая и минутные стрелки. Пока до них доберется секундная, две другие уже разойдутся как минимум на доли миллиметров.
Ответ: два раза в сутки пересекаются все три стрелки на аналоговых часах в абсолютном эквиваленте.
Поправка: в бытовых условиях все три стрелки не пересекаются никогда. Секундная стрелка всегда будет отличаться от реального времени на некое значение. Т.е. ровно в 12:00 стрелки не совпадают.
Это возможно из-за периодической остановки часового механизма (разряд батарейки и т.д.). Позже, когда часы возобновляют работу, люди не беспокоятся насчет секундной стрелки и выставляют лишь минутную и часовую. В итоге секундная стрелка никогда не показывает реальное время, как и часы в целом.