Почему свободные колебания затухают

3. Свободные затухающие колебания

Рассмотрим свободные затухающие колебания – колебания, у которых амплитуды из-за потерь энергии колебательной системой с течением времени убывают. Простейшим механизмом убывания энергии колебаний есть ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также потерь, связанных с выделением теплоты, и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах. Вид закономерностей затухания колебаний задается свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы — идеализированные реальные системы, параметры которых, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса остаются неизменными. Например, линейными системами являются пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когда выполняется закон Гука), колебательный контур, у которого сопротивление, индуктивность и емкость не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различные по своей природе линейные системы описываются аналогичными линейными дифференциальными уравнениями, что дает основания подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также моделировать их, в том числе и на ЭВМ. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы определяется как (1) где s – колеблющаяся величина, которая описывает тот или иной физический процесс, δ = const — коэффициент затухания, ω₀ — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при δ=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы. Решение уравнения (1) запишем в виде (2) где u=u(t). После взятия первой и второй производных (2) и подстановки их в выражение (1) найдем (3) Решение уравнения (3) зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай положителньного коэффициента: (4) (если (ω₀ 2 — σ 2 )>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим выражение , у которого решение будет функция . Значит, решение уравнения (1) в случае малых затуханий (ω₀ 2 >> σ 2 ) (5) где (6) — амплитуда затухающих колебаний, а А₀ — начальная амплитуда. Выражение (5) представлено графики рис. 1 сплошной линией, а (6) — штриховыми линиями. Промежуток времени τ = 1/σ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний становится мешьше в е раз, называется временем релаксации.

Затухание не дает колебаниям быть периодичными и, строго говоря, к ним нельзя применять понятие периода или частоты. Но если затухание мало, то можно условно использовать понятие периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 1). В этом случае период затухающих колебаний с учетом выражения (4) будет равен Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, которые отличаются на период, то отношение называется декрементом затухания, а его логарифм (7) — логарифмическим декрементом затухания; N_e — число колебаний, которые совершаются за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания является постоянной величиной для данной колебательной системы. Для характеристики колебательной системы также применяют понятие добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента будет равна (8) (так как затухание мало (ω₀ 2 >> σ 2 ), то T принято равным Т₀). Из формулы (8) вытекает, что добротность пропорциональна числу колебаний N_e, которые система совершает за время релаксации.

. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маятника массой m, который совершает малые колебания под действием упругой силы F= -kx, сила трения прямо пропорциональна скорости, т. е. где r — коэффициент сопротивления; знак минус говорит о том, что сила трения и скорость противоположно направлены. При этих условиях закон движения маятника (9) Используя формулу и считая, что коэффициент затухания равен (10) получим полностью идентичное уравнению (1) дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника: Из выражений (1) и (5) следует, что колебания маятника удовлетворяют уравнению где частота (см. (4)). Добротность пружинного маятника, используя (8) и (10), .

Затухающие и вынужденные колебания

Свободные затухающие колебания — колебания реальной системы, амплитуда которых из-за потерь энергии с течением времени уменьшается.

Причина затухания заключается в том, что во всякой колебательной системе кроме возвращающей силы действуют силы трения. Часть полной энергии колебательной системы (потенциальной и кинетической) расходуется на работу против сил трения, энергия колебательной системы уменьшается, уменьшается и амплитуда колебаний, т.е. колебания становятся затухающими.

Рассмотрим пружинный маятник, совершающий малые колебания в среде с сопротивлением (масса груза равна т). Колебания пружинного маятника совершаются под действием упругой силы (см. п. 13.3):

где k — жесткость пружины, х — смещение маятника из положения равновесия.

Сила трения пропорциональна скорости:

где г — коэффициент сопротивления, у = х = -^-, знак «ми-

нус» указывает на противоположные направления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения пружинного маятника имеет вид:

Собственная циклическая (круговая) частота затухающих колебаний (о₀ равна собственной частоте свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы:

Тогда, введя коэффициент затухания

получим уравнение затухающих колебаний пружинного маятника:

Можно показать, что решением уравнения (2) в случае малых затуханий является

где А₀ — начальная амплитуда в момент времени t = 0, тогда

есть амплитуда затухающих колебаний. Таким образом, амплитуда затухающих колебаний убывает по экспоненциальному закону (рис. 369). Теперь понятно, почему такие колебания называются затухающими.

Вернемся к выражению (3). В нем е — основание натураль-

ного логарифма, р =-—коэф-

фициент затухания (г — коэффициент трения, т — масса груза), to — циклическая частота затухающих колебаний, связанная с собственной частотой со₀ колебательной системы соотношением

Зависимость (3) представлена на рис. 370 сплошной линией, а зависимость (4) — штриховой линией. Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени, за который система дважды проходит через положение равновесия (или через максимум) в одном направлении (см. рис. 370). Тогда период затухающих колебаний с учетом формулы (5)

Вопрос 4.

Могут ли свободные колебания быть незатухающими? Почему? Что необходимо делать для того, чтобы колебания были незатухающими?

Свободные колебания всегда затухающие, так как весь запас энергии, первоначально сообщённый колебательной системе, в конце концов уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды.

Чтобы колебания были незатухающими, необходимо восполнять потери энергии за каждый период колебаний. Это можно осуществить, воздействуя на колеблющееся тело периодически изменяющейся силой.

Затухающие колебания в контуре и их уравнение

Существуют колебания в системе без источника энергии, называемые затухающими. Рассмотрим реальный контур с сопротивлением не равным нулю. Для примера используют контур с включенным сопротивлением R , с емкостью конденсатора C , с катушкой индуктивности L , изображенный на рисунке 1 . Колебания, происходящие в нем, — затухающие.

Именно наличие сопротивления становится главной причиной их затухания. Данный процесс возможен посредствам потерь энергии на выделение джоулева тепла. Аналог сопротивления в механике – действие сил трения.

Характеристики затухающих колебаний

Затухающие колебания характеризуют коэффициентом затухания β . Применив второй закон Ньютона, получим:

m a = — k x — y v , d 2 x d t 2 + r m d x d t + k m x = 0 , ω 0 2 = k m , β = r 2 m .

Из записи видно, что β действительно является характеристикой контура. Реже вместо β применяют декремент затухания δ ,

Значение a ( t ) является амплитудой заряда, силы тока и так далее, δ равняется количеству колебаний, а N e — период времени уменьшения амплитуды в e раз.

Для R L C контура применима формула с ω частотой.

При небольшой δ ≪ 1 говорят, что β ≪ ω 0 ω 0 = 1 L C — собственная частота, отсюда ω ≈ ω 0 .

При рассмотрении затухающих колебаний последовательного контура колебательный контур характеризуется добротностью Q :

Q = 1 R L C = ω 0 L R , где R , L и C — сопротивление, индуктивность, емкость, а ω 0 — частота резонанса. Выражение L C называют характеристическим или волновым сопротивлением. Для параллельного контура формула примет вид:

Q = R L C = R ω 0 L .

R является входным сопротивлением параллельного контура.

Эквивалентное определение добротности применяется при слабых затуханиях. Его выражают через отношение энергий:

Q = ω 0 W P d = 2 π f 0 W P d , называемое общей формулой.

Уравнения затухающих колебаний

Рассмотрим рисунок 1 . Изменение заряда q на конденсаторе в таком контуре описывается дифференциальным уравнением:

q ( t ) = q 0 e ( — β t ) cos ω t + a ‘ 0 = q 0 e — β t cos ( ω t ) .

Если t = 0 , то заряд конденсатора становится равным q 0 , и ток в цепи отсутствует.

Если R > 2 L C изменения заряда не относят к колебаниям, разряд называют апериодическим.

Значение сопротивления, при котором колебания превращаются в апериодический разряд конденсатора, критическое R k .

Функция изображается аналогично рисунку 2 .

Записать закон убывания энергии, запасенной в контуре W ( t ) при W ( t = 0 ) = W 0 с затухающими колебаниями. Обозначить коэффициент затухания в контуре β , а собственную частоту — ω 0 .

Решение

Отправная точка решения – это применение формулы изменения заряда на конденсаторе в R L C — контуре:

q ( t ) = q 0 e ( — β t ) cos ω t + a ‘ 0 = q 0 e — β t cos ( ω t ) .

Предположим, что при t = 0 , a ‘ 0 = 0 . Тогда применим выражение

Для нахождения I ( t ) :

I ( t ) = — ω 0 q 0 e ( — 2 β t ) sin ( ω t + α ) , где t g α = β ω .

Очевидно, что электрическая энергия W q запишется как:

W q = q 2 2 C = q 0 2 2 C e ( — 2 β t ) cos 2 ( ω t ) = W 0 e ( — 2 β t ) cos 2 ( ω t ) .

Тогда значение магнитной энергии контура W m равняется:

W m = L 2 ω 0 2 q 0 2 e ( — 2 β t ) sin 2 ω t + a = W 0 e — 2 β t sin 2 ω t + a .

Запись полной энергии будет иметь вид:

W = W q + W m = W 0 e ( — 2 β t ) ( cos 2 ( ω t ) + sin 2 ( ω t + a ) ) = = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + α ) .

Где sin α = β ω 0 .

Ответ: W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) .

Применив результат предыдущего примера, записать выражение для энергии, запасенной в контуре W ( t ) , при медленно затухающих колебаниях. Начертить график убывания энергии.

Решение

Если колебания в контуре затухают медленно, то:

Очевидно, выражение энергии, запасенной в контуре, вычислим из

W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) , предварительно преобразовав до W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) .

Такое упрощение возможно по причине выполнения условия β ω 0 ≪ 1 , sin ( 2 ω t + a ) ≤ 1 , что означает β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) ≪ 1 .

Ответ: W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) . Энергия в контуре убывает по экспоненте.