Алгебра – 10 класс. Числовая окружность на координатной плоскости
Урок и презентация на тему: «Числовая окружность на координатной плоскости»
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Что будем изучать:
1. Определение.
2. Важные координаты числовой окружности.
3. Как искать координату числовой окружности?
4. Таблица основных координат числовой окружности.
5. Примеры решения задач.
Определение числовой окружности на координатной плоскости
Расположим числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок. Начальная точка числовой окружности A совмещена с точкой (1;0).
Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты х и у, причем:
1) при $x > 0$, $у > 0$ – в первой четверти;
2) при $х 0$ – во второй четверти;
3) при $х 0$, $у
Единичная числовая окружность на координатной плоскости
Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.
Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.
Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.
п.2. Числовая окружность
Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.
 |
Числовая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0). Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0. Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным . |
| Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90°, –120°, –180°. |  |
п.3. Градусная и радианная мера угла
Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).
В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.
 |
Найдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°. Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr. Длина дуги AB: \(l_ Тогда радианная мера угла: $$ \angle AOB=\frac |
| 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 270° | 360° |
| \(\frac<\pi><6>\) | \(\frac<\pi><4>\) | \(\frac<\pi><3>\) | \(\frac<\pi><2>\) | \(\frac<2\pi><3>\) | \(\frac<3\pi><4>\) | \(\frac<5\pi><6>\) | \(\pi\) | \(\frac<3\pi><2>\) | \(2\pi\) |
п.4. Свойства точки на числовой окружности
Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)
 |
Каждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t). При t=0, M(0)=A. При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу ⌒ AM=t. Точка M — искомая. При t<0 двигаемся по окружности по часовой стрелке, описывая дугу ⌒ AM=t. Точка M — искомая. |
| Отметим на числовой окружности точки, соответствующие \(\frac<\pi><6>,\ \frac<\pi><4>,\ \frac<\pi><2>,\ \frac<2\pi><3>,\ \pi\), а также \(-\frac<\pi><6>,\ -\frac<\pi><4>,\ -\frac<\pi><2>,\ -\frac<2\pi><3>,\ -\pi\) Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности. |
 |
| Отметим на числовой окружности точки, соответствующие \(\frac<\pi><6>,\ \frac<13\pi><6>,\ \frac<25\pi><6>\), и \(-\frac<11\pi><6>\). Все четыре точки совпадают, т.к. \begin  |
п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности
Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.
| Числовой промежуток | Соответствующая дуга числовой окружности |
| Отрезок | |
$$ -\frac<\pi> <6>\lt t \lt \frac<\pi> <3>$$  а также, с учетом периода $$ -\frac<\pi><6>+2\pi k\lt t\lt\frac<\pi><3>+2\pi k $$ |
 |
| Интервал | |
$$ -\frac<\pi> <6>\leq t \leq \frac<\pi> <3>$$  а также, с учетом периода $$ -\frac<\pi><6>+2\pi k\leq t\leq\frac<\pi><3>+2\pi k $$ |
 |
| Полуинтервал | |
$$ -\frac<\pi> <6>\leq t \lt\frac<\pi> <3>$$  а также, с учетом периода $$ -\frac<\pi><6>+2\pi k\leq t\lt\frac<\pi><3>+2\pi k $$ |
 |
п.6. Примеры
Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?
Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: \begin
Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: \(-\frac<\pi><2>;\ \frac<3\pi><4>;\ \frac<7\pi><6>;\ \frac<7\pi><4>\).
Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. \begin  |
Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: \(-\frac<11\pi><2>;\ 5\pi;\ \frac<17\pi><6>;\ \frac<27\pi><4>\).
| Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk — четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π. Далее – действуем, как в примере 2. \begin  |
Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.
 |
Сравниваем каждое число с границами четвертей: \begin |
\(\frac\pi2\lt 2\lt \pi \Rightarrow \) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
\(\pi\lt 4\lt \frac<3\pi> <2>\Rightarrow \) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
\(\frac<3\pi><2>\lt 5\lt 2\pi \Rightarrow \) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
\(7\gt 2\pi\), отнимаем полный оборот: \(0\lt 7-2\pi\lt \frac\pi2\Rightarrow\) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.
Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек \((k\in\mathbb
| $$ \frac<\pi k> <2>$$ | $$ -\frac<\pi><4>+2\pi k $$ |
 Четыре базовых точки, через каждые 90° |
 Две базовых точки, через каждые 180° |
| $$ \frac<\pi><3>+\frac<2\pi k> <3>$$ | $$ -\frac<\pi k> <5>$$ |
 Три базовых точки, через каждые 120° |
 Пять базовых точек, через каждые 72° |
Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.
Числовая окружность в координатной плоскости
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Числовая окружность в координатной плоскости»
· познакомиться с понятием координатная четверть окружности;
· познакомиться с понятием координаты точки числовой окружности;
· изучить свойства координат точек числовой окружности каждой координатной четверти.
Разместим единичную окружность в координатной плоскости XOY и совместим начало координат с центром окружности.
Найдём координаты точки M, соответствующей точке π/4.
Применив свойство симметрии, мы можем записать координаты всех точек первого макета.
Найдём координаты точки M, соответствующей точке π/6.
Используя свойство симметрии, найдём координаты точек, кратных π/6.
Найдём координаты точки M, соответствующей точке π/3.
Используя свойство симметрии, найдём координаты точек, кратных π/3.
Запишем координаты основных точек второго макета и заполним соответствующую таблицу.
Какое условие задает круг на координатной плоскости
Окружность радиуса R с центром в точке C(a;b) представляется уравнением:
Расстояние от центра окружности С(a;b) до точки M(x;y) называется радиусом окружности R (на рисунке красная линия ).
Это уравнение можно записать в виде: 
Если уравнение помножить на любое число A, то получим
Необходимые условия для этого:
1. Отсутствие в уравнение второй степени члена с произведением xy;
2. Коэффициенты при x 2 и y 2 были равны в уравнение вида:
3. Если выполняется неравенство 
Решая, получаем что центр есть (1;-2), а радиус R=3
3429
Определение: Кривой второго порядка называется линия, описываемая уравнением 
Замечание: Если коэффициенты 
Определение: Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки 
называемой центром окружности, на расстояние R, которое называется радиусом окружности.
Из рисунка видно, что по теореме Пифагора 
которое определяет уравнение окружности (Рис. 28): 
Рис. 28. Окружность. 
Если 
то уравнение принимает вид 
который называется каноническим уравнением окружности.
Составить уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой М (2; 1), прямая линия 
является касательной к окружности.
В уравнении окружности 
таким образом оно имеет вид: 
Составить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых 
причем одной из них в т. А (1; 2).
Прежде всего определим, на какой из прямых 
или 
лежит точка A(1; 2). Для этого подставим ее координаты в уравнения прямых 
следовательно, точка A(1; 2) принадлежит линии 
(в сокращенной форме это предложение пишут так: 
где значок 
означает “принадлежит”. Таким образом, диаметр окружности D равен расстоянию от точки A(1; 2) до прямой 
а радиус окружности 
Найдём координаты центра окружности точки 
которая делит отрезок АВ пополам. Вначале составим уравнение прямой (АВ) и вычислим координаты точки 
перейдем от общего уравнения прямой 
к уравнению прямой с угловым коэффициентом 
Так как прямая
то её угловой коэффициент 
Прямая (АВ) проходит через известную точку A(1;2), следовательно, 
Отсюда находим 
Таким образом,уравнение прямой (АВ):
Найдем координаты точки B, которая является пересечением прямых 
и (АВ), т.е. решим систему линейных алгебраических уравнений, составленную из уравнений прямых 
и (АВ): (В): 
Подставим выражение для переменной у из второго у равнения в первое, получим 
Подставив это значение во второе уравнение системы, найдем 
т.е. 
Для вычисления координат точки О применим формулы деления отрезка пополам (О): 
в этой формуле 
(координаты точки О), 
(координаты точки А), 
(координаты точки В), следовательно, 
т.е. координаты точки О 
Таким образом, уравнение искомой окружности имеет вид: 
Окружность в высшей математике
которое получается из уравнения (I), если положить 
, 
.
Если в формулу, выражающую расстояние между двумя точками, подставить 
, 
, то получим 
Из уравнения (1) находим, что 
, т. е. 
. Это значит, что все точки 
, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), находятся на расстоянии 
от начала координат. Следовательно, геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), есть окружность радиуса 
с центром в начале координат. Аналогично получаем, что уравнение 
определяет окружность радиуса с центром в точке 
.
Найдем уравнение окружности с центром в точке 
и радиусом, равным 10.
Полагая
, 
получим 
.
Разрешим это уравнение относительно 
, будем иметь
Центральный угол. Градусная мера дуги
Дуга окружности. Если отметить на окружности точки 
и 
, то окружность разделится на две дуги: большую дугу (мажорная дуга) и меньшую дугу (минорная дуга). Если точка 
является какой-либо точкой дуги 
, то 
. Если точки и являются концами диаметра, го каждая дуга является полуокружностью.
Центральный угол. Угол, вершина которого находится в центре окружности, называется центральным углом. Дугу окружности можно измерять в градусах. Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла: 
Сумма всех центральных углов окружности, не имеющих общую внутреннюю точку, равна 
Дуги окружности и их величины
Пример: 
минорная дуга: 
мажорная дуга: 
Конгруэнтные дуги
Если 
Если 
Длина дуги
Длина дуги в 
равна 
части длины окружности.
Длина дуги, соответствующей центральному углу с градусной мерой 
, составляет 
части длины окружности: 
Пример №1
Длина окружности равна 72 см. Найдите длину дуги, соответствующей центральному углу 
.
Так как центральный угол 
составляет 
часть полного угла, то длина искомой дуги: 
Пример №2
Найдите длину дуги, соответствующей центральному углу 
в окружности радиусом 15 см.
Решение: подставляя значения 
в формулу длины дуги находим: 
Окружность и хорда
1)Если 
, то 
2)Если 
Теорема о серединном перпендикуляре хорд
Если 
Дано: 
— центральный угол, 
Докажите: 
Начертите радиусы 
и 
окружности.
Пример: Найдите расстояние от центра до хорды длиной 30 единиц в окружности радиусом 17 единиц. Если 
, то 
. Из 
по теореме Пифагора имеем: 
Теорема о хордах, находящихся на одинаковом расстоянии от центра окружности
Если 
, то 
Дано: Окружность с центром 
Докажите: 
Доказательство (текстовое): Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, делит хорду и стягивающую ее дугу пополам. 
и 
— серединные перпендикуляры конгруэнтных хорд 
и 
. 
, так как они являются половиной конгруэнтных хорд. Начертим радиусы окружности 
и 
: 
. Прямоугольные треугольники, 
и 
конгруэнтны (по катету и гипотенузе). Так как и являются соответствующими сторонами данных треугольников, то они конгруэнтны: 
. Теорема доказана.
Задача. Хорды 
и 
находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. 
. Если радиус окружности равен 41 единице, то найдите 
.
Решение: Так как хорды и находятся на одинаковом расстоянии от центра, то они конгруэнтны: 
Соединим точки 
и 
с точкой 
В прямоугольном треугольнике 
; 
; 
; 
Так как 
Угол, вписанный в окружность
является углом вписанным в окружность с центром 
, а 
дуга, на которую опирается этот угол. Ниже показаны три разных угла, вписанных в окружность.
Теорема 1. Градусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. 
Доказательство (текстовое): 
и 
радиусы окружности и 
равнобедренный треугольник. Значит, 
Так как 
является внешним углом 
, 
Если примем, что 
, то 
Так как градусные меры центрального угла и опирающейся на него дуги равны, то 
Следовательно, 
.
Конгруэнтные углы, вписанные в окружность
Следствие 3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, конгруэнтны. 
, 
.
Следствие 4. Вписанные углы, опирающиеся на конгруэнтные дуги, конгруэнтны. Если 
, то 
.
Касательная к окружности
Прямая 
является касательной к окружности. Значит, 
Обратная теорема (признак касательной): Прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, является касательной окружности.
Доказательство теоремы 1. Если прямая 
— касательная к окружности, значит, она имеет единственную общую точку с окружностью. Допустим, что прямая 
не перпендикулярна радиусу 
Проведем 
и на прямой выделим отрезок 
Тогда 
так как 
Значит, точка 
также находится на окружности. То есть прямая имеет с окружностью две общие точки, что противоречит условию. Значит, 
Свойства касательных, проведенных к окружности из одной точки
и 
касательные, проведенные из точки 
к окружности с центром 
Углы, образованные секущими и касательными
Теорема. Если вершина угла, образованного двумя секущими, находится внутри окружности, то градусная мера угла равна полусумме величин дуг на которые опирается этот угол и угол вертикальный данному. 
Углы между касательной и секущей
Углы, образованные касательной и секущей
Отрезки секущих и касательных
Теорема 2. Если из точки 
провести две прямые, пересекающие окружность соответственно в точках 
и 
, 
и 
то верно равенство 
Теорема 3. Если из точки 
проведены прямая, которая пересекает окружность в точках и и касательная к окружности в точке 
то верно равенство: 
Уравнение окружности
Используя формулу расстояния между двумя точками, можно написать уравнение окружности с радиусом 
и с центром в начале координат. Расстояние между центром окружности 
и ее любой точкой 
равно радиусу окружности.
Расстояние между двумя точками
Упрощение
Возведение обеих частей в квадрат
Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 
: 
Например, уравнение окружности с центром в начале координат 
и радиусом 2 имеет вид: 
По формуле расстояния между центром окружности 
и точки 
на окружности радиуса 
имеем 
Возведя в квадрат обе части, получаем уравнение окружности с центром в точке 
и радиусом 
Например, уравнение окружности с центром в точке 
и радиусом 4 имеет вид: 
Пример №3
Постройте на координатной плоскости окружность, заданную уравнением 
Решение: Напишем уравнение в виде 
Как видно, 
Отметим 4 точки, находящиеся на расстоянии 5 единиц от начала координат. Например, 
Проведем окружность через эти точки.
Пример №4
Точка 
находится на окружности, центром которой является начало координат. Напишите уравнение этой окружности.
Решение: Записав координаты точки 
в уравнении 
, получим: 
Уравнение этой окружности: 
Пример №5
Найдем центр и радиус окружности, заданной уравнением 
Решение: 
Центр окружности точка 
Радиус 
Пример №6
Мобильные телефоны работают с помощью передачи сигналов посредством спутников из одной передающей станции в другую. Компания мобильного оператора старается расположить передающую станцию так, чтобы обслуживать больше пользователей. Представим, что три больших города находятся в точках 
На координатной плоскости 1 единица равна расстоянию в 100 км. Передающая станция должна быть расположена в точке, находящейся на одинаковом расстоянии от этих городов. Напишите координаты этой точки и уравнение соответствующей окружности.
Решение: Сначала соединим эти точки и найдем точку пересечения серединных перпендикуляров сторон полученного треугольника. Эта точка 
Эта точка, являясь центром окружности, показывает месторасположение станции. Расстояние между центром и любой из заданных точек является радиусом окружности, 
Уравнение окружности: 
Если точка 
при повороте радиуса 
вокруг точки 
против движения часовой стрелки на угол 
преобразуется в точку 
то 
Для координат точки 
соответствующей углу поворота 
на окружности, верны формулы 
В этих формулах — угол, отсчитываемый от положительной оси 
против движения часовой стрелки. Если точка 
не находится на оси ординат, то 
.
Из этих формул при 
почленным делением получаем:
Сектор и сегмент
Например, часть круга, соответствующая центральному углу 
, составляет 
часть всего круга. Так как площадь круга 
, то площадь этого сектора будет 
Сегмент часть круга, ограниченная хордой и соответствующей дугой.
Площадь сектора
Площадь сектора: 
Площадь сегмента: 
Указание: При нахождении площади сегмента, соответствующего большей дуге, к площади соответствующего сектора прибавляется площадь 
