Лекции Линал (не подробно)
Определение 1. Множество L называется линейным (или векторным) пространством, а его элементы a; b; : : : 2 L векторами, если в L определены две операции (называемые линейными):
a) Сложение векторов: a + b 2 L 8a; b 2 L;
b) Умножение вектора на скаляр: a 2 L
и выполнены следующие 8 свойств (аксиом):
(a + b) + c = a + (b + c)
8 a 9( a) такой, что 0 = a + ( a) = ( a) + a;
Сформулируем некоторые следствия из аксиом:
1) Существует единственный вектор 0, удовлетворяющий аксиоме 3).
2) Для всякого вектора a существует единственный противоположный вектор ( a).
3) Åñëè a + a = a, òî a = 0.
4) 0a = 0 = 0 8a 2 L; 2 R
5) Вектор ( 1)a является противоположным вектору a
6) Выражение a 1 + a 2 + : : : + a n не зависит от расстановки скобок и, тем самым, корректно определено.
1) Пусть 0 1 ; 0 2 два нулевых вектора. Тогда в силу аксиомы 3):
0 1 = 0 1 + 0 2 = 0 2 :
Следовательно, 0 1 = 0 2 , что и требовалось.
2) Пусть b 1 ; b 2 два вектора, противоположных вектору a 2 L. Тогда в силу аксиомы 4), а также аксиом 1),2):
b 2 = (b 1 + a) + b 2 = b 1 + (a + b 2 ) = b 1 :
Следовательно, ( a 1 ) = ( a 2 ), что и требовалось.
0 = a a = (a + a) a = a + (a a) = a;
что и требовалось (первое равенство следует из аксиомы 3), второе имеет место по услвоию, третье из аксиомы 1), четвертое вновь из аксиомы 3)).
4) В силу аксиомы 5)
0a + 0a = (0 + 0)a = 0a:
По предыдущему свойству 0a = 0. Аналогично можно проверить, что
5) В силу предыдущего свойства, а также аксиом 6),8):
a + ( 1)a = (1 1)a = 0:
Таким образом, вектор ( 1)a является противоположным к a, что и требовалось.
6) Выводится методом математической индукции из аксиомы 1).
1. Пространство V 3 . Его элементами являются свободные геометри- ческие векторы обычного трехмерного пространства. Операциями являются стандартное сложение векторов и умножение вектора на скаляр. Пространство V 2 свободных геометрических векторов на плоскости вводится аналогично.
2. Пространство R n арифметических векторов. Элементами в нем яв-
; a 1 ; a 2 ; : : : ; a n 2 R:
Сложение столбцов и умножение столбцов на скаляр понимается в смысле обычных операций над матрицами. Легко проверить, что все 8 аксиом линейного пространства выполнены.
3. Пространство M m n матриц из m строк и n столбцов. В каче- стве операций вводятся стандартные сложение матриц и умножение матрицы на число.
4. Пространство C[a; b]. Элементами этого пространства (векторами) являются функции, непрерывные на отрезке [a; b]. В качестве ли-
нейных операций мы вводим сложение функций и умножение функции на число. Из свойств непрерывных функций следует, что C[a; b] является линейным пространством.
Определение 2. Подмножество X L линейного пространства L называется подпространством, если X само является линейным пространством относительно операций, определенных в L.
Упражнение. Доказать, что непустое подмножество X L является
подпространством тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно линейных операций, а именно если
a + b 2 X; a 2 X 8a; b 2 X; 2 R
2. Линейная зависимость.
Определение 3. Система векторов fa 1 ; a 2 ; : : : ; a n g называется линейно независимой, если для всяких чисел 1 ; 2 ; : : : ; n , не равных нулю одновременно,
k a k = 1 a 1 + 2 a 2 + : : : + n a n 6= 0:
Выражение в левой части (1) называется линейной комбинацией век- торов a 1 ; a 2 ; : : : ; a n . Линейная комбинация с нулевыми коэффициентами: 1 = 2 = : : : = n = 0 называется тривиальной.
Таким образом определение 3 можно переформулировать следующим образом. Система называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов равна нулю тогда и только тогда, когда она тривиальная.
Определение 4. Система векторов fa 1 ; a 2 ; : : : ; a n g называется линейно зависимой, если существуют числа 1 ; 2 ; : : : ; n , не равные нулю одновременно, для которых
k a k = 1 a 1 + 2 a 2 + : : : + n a n = 0:
Другими словами, система векторов линейно зависима, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулю.
Теорема 1 (Общий критерий линейной зависимости) . Система векторов fa 1 ; a 2 ; : : : ; a n g линейно зависима тогда и только тогда, когда в ней
существует вектор a k , являющийся линейной комбинацией остальных векторов системы.
Доказательство. ) Пусть система линейно зависима. Тогда, по
определению, k=1 k a k = 0 , причем 9 k 6 = 0. Не ограничивая общности, предположим, что 1 6= 0. Тогда
òî åñòü a 1 является линейной комбинацией остальных векторов системы.
( Пусть a 1 = P n k a k . Тогда
a 1 + ( 2 )a 2 + : : : + ( n )a n = 0:
Таким образом, мы нашли нетривиальную линейную комбинацию векторов, равную нулю.
Следствие 1. Два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Три геометрических векторов линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.
Доказательство. По теореме 1 два вектора a; b линейно зависимы в том и только том случае, когда вектор a является линейной комбинацией вектора b. Это значит, что a = b или, что векторы коллинеарны.
Аналогично доказывается утверждение для трех векторов.
Определение 5. Линейной оболочкой векторов a 1 ; a 2 ; : : : ; a n простран- ства L называется множество, обозначаемое X = Span(a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ), всех линейных комбинаций этих векторов. Также говорят, что линейная оболочка X порождается векторами a 1 ; a 2 ; : : : ; a n .
Упражнение. Доказать, что линейная оболочка X является линейным подпространством в L.
3. Базис. Координаты. Размерность.
Определение 6. Базисом линейного пространства L называется упорядоченный набор векторов
Как найти нетривиальную линейную комбинацию векторов равную ноль вектору
Эти алгебраические понятия принадлежат к важнейшим в математике; мы их изложим со всей тщательностью.
векторов называется нетривиальной, если в ней хотя бы один из коэффициентов , отличен от нуля. Линейная комбинация вида
называется тривиальной; она, очевидно, равна нулевому вектору.
Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. В противном случае, т. е. если только тривиальная линейная комбинация данных векторов равна нулю, векторы называются линейно независимыми.
Докажем несколько простых, но важных предложений о линейной зависимости; они имеют чисто алгебраический характер и постоянно применяются.
1. Если среди векторов их, есть хотя бы один нулевой вектор, то вся система векторов линейно зависима.
В самом деле, если, например, их то, положив , получим нетривиальную линейную комбинацию
2. Если среди векторов их, некоторые образуют линейно зависимую систему, то и вся система их, линейно зависима.
В самом деле, пусть векторы , линейно зависимы. Значит, существует нетривиальная линейная комбинация равная нулевому вектору 0.
Но тогда, полагая , получим также нетривиальную линейную комбинацию
равную нулевому вектору.
Непосредственным логическим следствием предложения 2 является 2. Если система векторов их, линейно независима, то и всякая ее подсистема линейно независима.
3. Если система линейно зависима, то по крайней мере один из векторов равен линейной комбинации остальных.
В самом деле, пусть
где по крайней мерс один коэффициент отличен от нуля. Пусть, например, . Тогда равенство (1) можно переписать в виде
т. e. их есть линейная комбинация векторов .
4. Если среди векторов один какой-нибудь есть линейная комбинация остальных, то система линейно зависима.
В самом деле, если, например, то нетривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.
Следующее часто применяемое предложение усиливает предложение 3:
5. Если система векторов линейно зависима, а система линейно независима, то вектор равен линейной комбинации векторов
В самом деле, так как система их, линейно зависима, то существует нетривиальная линейная комбинация , равная нулевому вектору; в ней , так как в противном случае векторы , были бы линейно зависимы. Следовательно, , что и требовалось доказать.
Линейная зависимость векторов. Линейные комбинации векторов
Линейная зависимость векторов и её связь с линейной комбинацией векторов
Чтобы понять, что такое линейная зависимость векторов, введём понятие линейной комбинации векторов.
Линейная комбинация — это сумма векторов, умноженных на некоторые числа. Эти векторы могут иметь разное направление.
То есть, линейная комбинация — это выражение вида
где — какие угодно вещественные числа.
На рисунке сверху — линейная комбинация, представленная вектором , являющимся суммой векторов и , умноженных соответственно на 2 и 3.
Векторы являются линейно зависимыми, если их линейная комбинация равна нулю и хотя бы один из коэффициентов линейной комбинации отличен от нуля.
Общие условия линейной зависимости векторов
Определение 1. Векторы , , . называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов , , . с указанными числами обращается в нуль, т.е. имеет место равенство
Векторы , , . , не являющиеся линейно зависимыми, будем называть линейно независимыми.
Определение 2. Векторы , , . называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все числа равны нулю.
Теорема 1. Если хотя бы один из векторов , , . является нулевым, то эти векторы являются линейно зависимыми.
Теорема 2. Если среди n векторов какие-либо (n — 1) векторов линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.
Линейные комбинации двух векторов
Теорема 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.
Следствие 1. Если векторы и коллинеарны, то они линейно независимы.
Следствие 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора (иначе бы эти векторы оказались линейно зависимыми).
Линейные комбинации трёх векторов
Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.
Теорема 4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трёх векторов является их компланарность.
Следствие 1. Каковы бы ни были неколлинеарные векторы и , для любого вектора , лежащего в одной плоскости с векторами и , найдутся такие вещественные числа и , что справедливо равенство
Следствие 2. Если векторы , и не компланарны, то они линейно независимы.
Следствие 3. Среди трёх некомпланарных векторов не может быть двух коллинеарных векторов и не может быть ни одного нулевого вектора (иначе эти векторы оказались бы линейно зависимыми).
Линейные комбинации четырёх векторов
Теорема 5. Любые четыре вектора линейно зависимы.
Следствие. Каковы бы ни были некомпланарные векторы , и , для любого вектора найдутся такие вещественные числа , и , что справедливо равенство
Пример 1. Составить линейную комбинацию векторов
с коэффициентами и .
Решение. Вычислим сначала произведения и . Для этого данные в условии задачи координаты вектора нужно умножить на 2 (умножаем каждую координату), а координаты вектора умножить на 3. Получаем:
Теперь находим линейную комбинацию. Для этого первую координату полученного вектора складываем с первой координатой вектора , далее вторую со второй, третью с третьей:
Пример 2. Составить линейную комбинацию векторов
Аналогично предыдущему находим линейную комбинацию:
Пример 3. Выяснить, являются ли векторы
линейно зависимыми.
Решение. В соответствии с определением линейной зависимости нужно найти такие числа
и , чтобы
Для этого подставим в последнее равенство координаты векторов и ; тогда
Выполнив в левой части преобразования по правилам действий над векторами, получим
Таким образом, вектор
является нулевым и, следовательно, каждая его проекция равна нулю, т.е.
Мы получили, что линейная комбинация векторов и может быть нулевой лишь в том случае, если все её коэффициенты равны нулю. Это означает, что данные векторы линейно независимы.
С понятием линейной независимости векторов и линейной комбинацией связана тема Базиса системы векторов, которая изучается в отлельном уроке.
Линейно зависимые и линейно независимые системы уравнений
Система из векторов называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1.1) тривиальная.
1. Один вектор тоже образует систему: при — линейно зависимую, а при — линейно независимую.
2. Любая часть системы векторов называется подсистемой .
Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов
1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима
2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.
3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора , то она линейно зависима.
4. Система из 1″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC8AAAAQCAMAAACx1dbmAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMAiXFYMbEhAcBBoPDQoeAQ0I3cqgAAALZJREFUKM+VktsSwyAIRDWKiFf+/2uLSZvEhkxaXnTGs7KsGvN3UYrwC+ffa3D8zCMlxo+QlyfcNmg7v7A/t7VBux/jzkOe54lJURw8ZrHvop0UdM8P+3axGc89aqQ7XuxbjzybMkEUqPLAIPP6/u0g1OYUHnMpTQs02KLxq/0p0Y1O0al+RvqOCcv51CeZF1UeJBjhacoT6PJehTd9k/R7gdgPul7ei3itcWeYPp/sqv4fRhnzAuOaBpbDogV3AAAAAElFTkSuQmCC» /> векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.
5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.
6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
7. Если система векторов линейно независима, а после присоединения к ней вектора оказывается линейно зависимой, то вектор можно разложить по векторам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.
Докажем, например, последнее свойство. Так как система векторов — линейно зависима, то существуют числа , не все равные 0, что . В этом равенстве . В самом деле, если , то . Значит, нетривиальная линейная комбинация векторов равна нулевому вектору, что противоречит линейной независимости системы . Следовательно, и тогда , т.е. вектор есть линейная комбинация векторов . Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения и , причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, ).
Тогда из равенства получаем .
Следовательно, линейная комбинация векторов равна нулевому вектору. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере ), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости векторов . Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.
Пример 1.3. Параллелограмм построен на векторах и ; точки и — середины сторон и соответственно (рис. 1.11). Требуется:
а) найти линейные комбинации векторов
б) доказать, что векторы , , линейно зависимы.
а) Так как , то по правилу треугольника: .
Рассуждая аналогично, получаем: . Построим вектор . Из равенства треугольников и следует, что . Тогда .
б) Учитывая, что и , получаем: .
Перенося векторы в левую часть, приходим к равенству , т.е. нетривиальная линейная комбинация векторов , , равна нулевому вектору. Следовательно, векторы , , линейно зависимы, что и требовалось доказать.
Линейно зависимые и линейно независимые вектора.
Определение. Линейной комбинацией векторов a 1, . an с коэффициентами x 1, . xn называется вектор
Свойства линейно зависимых векторов:
Примеры задач на линейную зависимость и линейную независимость векторов:
Вектора будут линейно зависимыми, так как размерность векторов меньше количества векторов.
Решение: Найдем значения коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору.
Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений
Решим эту систему используя метод Гаусса
1 1 0 0 1 2 -1 0 1 0 1 0
из второй строки вычтем первую; из третей строки вычтем первую:
1 1 0 0 1 — 1 2 — 1 -1 — 0 0 — 0 1 — 1 0 — 1 1 — 0 0 — 0
1 1 0 0 0 1 -1 0 0 -1 1 0
из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую:
1 — 0 1 — 1 0 — (-1) 0 — 0 0 1 -1 0 0 + 0 -1 + 1 1 + (-1) 0 + 0
1 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 0
Данное решение показывает, что система имеет множество решений, то есть существует не нулевая комбинация значений чисел x 1, x 2, x 3 таких, что линейная комбинация векторов a , b , c равна нулевому вектору, например:
а это значит вектора a , b , c линейно зависимы.
Ответ: вектора a , b , c линейно зависимы.
Решение: Найдем значения коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору.
Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений
Решим эту систему используя метод Гаусса
1 1 0 0 1 2 -1 0 1 0 2 0
из второй строки вычтем первую; из третей строки вычтем первую:
1 1 0 0 1 — 1 2 — 1 -1 — 0 0 — 0 1 — 1 0 — 1 2 — 0 0 — 0
1 1 0 0 0 1 -1 0 0 -1 2 0
из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую:
1 — 0 1 — 1 0 — (-1) 0 — 0 0 1 -1 0 0 + 0 -1 + 1 2 + (-1) 0 + 0
1 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 1 0
из первой строки вычтем третью; к второй строке добавим третью:
1 — 0 0 — 0 1 — 1 0 — 0 0 + 0 1 + 0 -1 + 1 0 + 0 0 0 1 0
1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0
Данное решение показывает, что система имеет единственное решение x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, а это значит вектора a , b , c линейно независимые.
Ответ: вектора a , b , c линейно независимые.
Линейно зависимые и линейно независимые функции. Примеры исследования функций на линейную зависимость по определению.
Функции $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ называются линейно зависимыми на некотором множестве $T$, если существуют такие константы $\alpha_1,\;\alpha_2,\;\alpha_3,\ldots,\alpha_n$, что $\forall x\in T$ выполняется следующее равенство:
$$ \begin \alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\ldots+\alpha_n\cdot y_n=0 \end $$
Примечание к терминологии: показать\скрыть
В определении использован термин «равенство», хотя можно было бы воспользоваться термином «тождество». Фразы «для каждого значения переменной $x\in T$ выполняется равенство $a(x)=b(x)$» и «на множестве $T$ верно тождество $a(x)\equiv b(x)$» равносильны. Например, фраза «равенство $\sin^2x=1-\cos^2x$ выполнено для $\forall x\in R$», равносильна такой: «на множестве $R$ верно тождество $\sin^2x=1-\cos^2x$». Т.е. вместо слов о том, что «$\forall x\in T$ выполняется следующее равенство: $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\ldots+\alpha_n\cdot y_n=0$» можно сказать так: «на множестве $T$ верно тождество $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\ldots+\alpha_n\cdot y_n\equiv 0$». Некоторые авторы предпочитают использовать именно термин «тождество».
Условие (2) можно изложить и в такой формулировке: среди коэффициентов $\alpha_i$ есть хотя бы один, не равный нулю.
Несложно убедиться в равносильности формулировок. Равенство $\alpha_ ^ +\alpha_ ^ +\ldots+\alpha_ ^ =0$ возможно в том и только в том случае, когда $\alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_n=0$. Если же $\sum_ ^ \alpha_^ \neq 0$, то равенство $\alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_n=0$ не выполнено, т.е. хотя бы один из коэффициентов $\alpha_i$ отличен от нуля.
Если же равенство (1) возможно лишь при условии:
то функции $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ именуют линейно независимыми на множестве $T$. По сути, условие (3) равносильно такому: все коэффициенты $\alpha_i$ равны нулю.
Для двух функций несложно вывести простое правило: если $\forall x\in T$ $\frac \neq const$ на некотором интервале $T=(a;b)$, то функции $y_1(x)$ и $y_2 (x)$ линейно независимы на $T$. Если же $\forall x\in T$ $\frac = const$ на $T$, то функции $y_1(x)$ и $y_2 (x)$ линейно зависимы на $T$.
Обоснование этого правила: показать\скрыть
Допустим, что $\frac \neq const$ на $T$, однако функции $y_1(x)$ и $y_2 (x)$ линейно зависимы. Если функции линейно зависимы, то существуют такие константы $\alpha_1$ и $\alpha_2$, не равные нулю одновременно, что выполняется равенство: $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2=0$. Пусть, к примеру, $\alpha_1\neq 0$. Тогда, с учетом $y_2 (x)\neq 0$ на $T$, получим: $\frac =-\frac =const$, что противоречит допущению $\frac \neq const$.
Если же $\frac = const$, то $y_1(x)-C\cdot y_2(x)=0$ на $T$, т.е. $\alpha_1=1;\;\alpha_2=-C$. При этом $\alpha_ ^ +\alpha_ ^ =1+C^2\neq 0$, т.е. функции $y_1(x)$ и $y_2 (x)$ линейно зависимы на $T$.
Все примеры, указанные в этой теме, будут опираться на определения и свойство, приведенные выше. Естественно, что в общем случае применение таких определений несколько затруднительно. Существует несколько критериев, которые позволяют упростить процесс проверки функций на линейную зависимость. На сайте рассмотрены два таких способа: с помощью определителя Вронского и определителя Грама.
Выяснить, являются ли функции $y_1(x)=x^2+2x-4$, $y_2(x)=-4x^2+7x-1$, $y_3(x)=-5x^2+20x-14$ линейно зависимыми или линейно независимыми на множестве $R$.
Рассмотрим линейную комбинацию этих функций: $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3$. Если $\forall x\in R$ равенство $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0$ выполняется только при $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$, то рассматриваемые функции линейно независимы. Если же $\forall x\in R$ равенство $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0$ возможно при условии, что хотя бы один из коэффициентов $\alpha_i$ не равен нулю, то функции линейно зависимы.
Подставим в выражение $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0$ заданные функции:
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
$$ \alpha_1\cdot x^2+2\alpha_1\cdot x-4\alpha_1-4\alpha_2\cdot x^2+7\alpha_2\cdot x-\alpha_2-5\alpha_3\cdot x^2+20\alpha_3\cdot x-14\alpha_3=0; $$ $$(\alpha_1-4\alpha_2-5\alpha_3)\cdot x^2+(2\alpha_1+7\alpha_2+20\alpha_3)\cdot x+(-4\alpha_1-\alpha_2-14\alpha_3)=0.$$
Последнее равенство возможно лишь в том случае, когда коэффициенты при степенях переменной $x$ одновременно равны нулю, т.е.:
Мы получили однородную систему линейных уравнений. Нам нет необходимости в её решении, нужно лишь установить количество решений. Если решение лишь одно – нулевое (или, в иной терминологии, тривиальное), т.е. $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$, то функции линейно независимы. Если же есть иные решения, кроме нулевого, то функции линейно зависимы. Найдем ранг матрицы системы $A= \left( \begin 1 & -4& -5\\ 2 & 7& 20 \\ -4& -1& -14 \end \right)$ и ранг расширенной матрицы системы: $\tilde= \left( \begin 1 & -4& -5& 0\\ 2 & 7& 20 & 0 \\ -4& -1& -14 & 0 \end \right)$, а затем применим теорему Кронекера-Капелли.
Отсюда получаем решение: $\left\ =\frac \neq const$, то данные функции линейно независимы на $T=(-4;+\infty)$.
Исследовать на линейную зависимость функции: $y_1(x)=1$, $y_2(x)=x$, $y_3(x)=x^2$, $y_4(x)=x^3$, $y_5(x)=x^4$.
Область определения этих функций есть вся числовая прямая, т.е. $x \in R$. Рассмотрим равенство:
$$ \begin \alpha_1\cdot 1+\alpha_2\cdot x+\alpha_3\cdot x^2+\alpha_4\cdot x^3+\alpha_5\cdot x^4=0 \end $$
Если равенство (4) для всех $x\in R$ возможно лишь при условии $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\alpha_5=0$, то заданные функции линейно независимы. Если же равенство (4) $\forall x\in R$ выполняется на наборе констант $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$, $\alpha_5$, среди которых хотя бы одна отлична от нуля, то заданные функции линейно зависимы. Итак, нужно исследовать равенство (4).
В левой части равенства (4) расположен многочлен, порядок (или, в иной терминологии, степень) которого не превышает $4$. Например, если $\alpha_1=2; \;\alpha_2=0;\;\alpha_3=0;\;\alpha_4=7;\;\alpha_5=0$, то получим многочлен третьего порядка:
$$\alpha_1\cdot 1+\alpha_2\cdot x+\alpha_3\cdot x^2+\alpha_4\cdot x^3+\alpha_5\cdot x^4=7x^3+2.$$
Т.е. в левой части равенства (4) может быть многочлен четвертого, третьего, второго, первого и нулевого порядков.
Рассмотрим случай, когда в левой части равенства (4) расположен многочлен, порядок которого не равен нулю (среди констант $\alpha_2;\;\alpha_3;\;\alpha_4;\;\alpha_5$ хотя бы одна не равна нулю). Любой многочлен первого порядка может обратиться в ноль только в одной точке (т.е. существует только одно значение $x$, при котором многочлен первого порядка равен нулю). Многочлен второго порядка равен нулю не более, чем в двух точках; многочлен третьего порядка – не более, чем в трёх точках; многочлен четвертого порядка обращается в ноль не более, чем в четырёх точках. Т.е. если среди констант $\alpha_2;\;\alpha_3;\;\alpha_4;\;\alpha_5$ есть хотя бы одна, отличная от нуля, то равенство (4) может быть выполнено не более, чем при четырёх значениях $x$ (а не для всех $x\in R$).
Рассмотрим ситуацию, когда среди констант $\alpha_2;\;\alpha_3;\;\alpha_4;\;\alpha_5$ нет ни одной, отличной от нуля, т.е. $\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\alpha_5=0$. В этом случае в левой части равенства (4) получим многочлен нулевого порядка:
$$\alpha_1\cdot 1+\alpha_2\cdot x+\alpha_3\cdot x^2+\alpha_4\cdot x^3+\alpha_5\cdot x^4=\alpha_1$$
А само равенство (4) станет таким: $\alpha_1=0$. Следовательно, для многочлена нулевого порядка выполнение равенства (4) возможно лишь при $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\alpha_5=0$.
Подведём итоги: если в правой части равенства (4) стоит многочлен ненулевого порядка, то равенство (4) не может быть выполнено при всех $x\in R$. Равенство (4) может быть выполнено для всех $x\in R$ только когда в правой части стоит многочлен нулевого порядка, однако это означает $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\alpha_5=0$. Так как равенство (4) выполняется для всех $x\in R$ только при условии $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\alpha_5=0$, то заданные функции линейно независимы на $R$.
Исследовать на линейную зависимость функции: $y_1(x)=4$, $y_2(x)=\arcsin $, $y_3(x)=\arccos $ на отрезке $[-1;1]$.
Так как $\arcsin x+\arccos x=\frac \; \forall x \in [-1;1]$ то:
$$\arcsin x+\arccos x=\frac \cdot4; \; \arcsin x+\arccos x-\frac \cdot4=0; \; 1\cdot y_1+1\cdot y_2+\left(-\frac \right)\cdot y_3=0$$
Итак, существует такой набор констант $\alpha_1; \; \alpha_2;\; \alpha_3$ (например, $\alpha_1=1;\; \alpha_2=1;\; \alpha_3=-\frac $), среди которых есть хотя бы одна константа, отличная от нуля, что равенство $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0$ будет выполнено для всех $x\in[-1;1]$. Это означает, что функции $y_1(x)=4$, $y_2(x)=\arcsin $, $y_3(x)=\arccos $ линейно зависимы на отрезке $[-1;1]$.
Исследовать на линейную зависимость функции: $y_1(x)=x;\; y_2(x)=|x|$ в их области определения.
Областью определения заданных функций есть все множество действительных чисел, т.е. $x\in R$. Функции будут линейно зависимыми, если существует такой набор констант $\alpha_1$ и $\alpha_2$, что для всех значений $x\in R$ выполнено равенство $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2=0$ (т.е. $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$), причем хотя бы один из коэффициентов ($\alpha_1$ или $\alpha_2$) не равен нулю. Если же выполнение равенства $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2=0$ при $\forall x\in R$ возможно лишь при $\alpha_1=\alpha_2=0$, то заданные функции будут линейно независимыми. Рассмотрим равенство $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$ подробнее.
Если $x≥ 0$, то $|x|=x$, поэтому равенство $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$ станет таким: $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot x=0$, $x\cdot(\alpha_1+\alpha_2)=0$. Равенство $x\cdot(\alpha_1+\alpha_2)=0$ должно быть выполнено при всех $x≥ 0$, поэтому $\alpha_1+\alpha_2=0$.
Итак, чтобы равенство $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$ было верным для всех $x\in R$, требуется выполнение двух условий:
Полученная система имеет лишь тривиальное (нулевое) решение: $\alpha_1=\alpha_2=0$. Итак, выполнение равенства $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$ при $\forall x\in R$ возможно лишь в случае $\alpha_1=\alpha_2=0$, поэтому функции линейно независимы на R.
Исследование на линейную зависимость с помощью определителей Вронского и Грама указаны в дальнейших темах сайта.
Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).