Как вносить под знак дифференциала в интеграле

Интегрирование подведением под знак дифференциала

Подведение под знак дифференциала — что это такое?

Подведение под знак дифференциала решает возникающую при интегрировании проблему, заключающуюся в том, что в подынтегральном выражении находится сложная функция, например, , , и т. п., а под знаком дифференциала d — просто икс. То есть нет возможности сразу применить таблицу интегралов для нахождения такого интеграла.

Цель подведения под знак дифференциала — получить простую функцию, которую можно интегрировать непосредственно, то есть по таблице интегралов. Тогда путём преобразований подынтегрального выражения получим простую функцию переменной и эта переменная будет находится и под знаком дифференциала d.

Решение заключается в том, что аргументом подынтегральной функции становится промежуточный аргумент («внутренняя» функция исходной сложной функции, например, , , и т. п.), который можно обозначить буквой u, и тот же промежуточный аргумент u подводится под знак дифференциала d.

После того, как такой интеграл будет найден, на место буквы u возвращается обозначаемый ею промежуточный аргумент, и таким образом будет окончательно найден интеграл исходной сложной функции.

Формальная общая запись описанных преобразований выглядит так:

где — «внешняя» функция, а — «внутренняя» функция или промежуточный аргумент.

В примерах вместо буквы u будем использовать букву t: так наши решения будут близки к наглядно понятному методу замены переменной. Кстати, в некоторых источниках метод подведения под знак дифференциала считается частным случаем метода замены переменной.

Повторим: наиболее частый случай, когда выгодно применять подведение под знак дифференциала — подынтегральное выражение представляет собой сложную функцию. Но это не единственный случай, когда требуется применять этот метод интегрирования. Другой распространённый случай — когда нет смысла использовать замену переменной, так как это делает вычисления громоздкими. Тогда, чтобы вычисления были короче, можно использовать подведение под знак дифференциала.

Пример 1. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию. Это почти то же самое, что найти её производную. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-тройки перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим 1/3 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 7:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 2. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Сразу же видим, что дифференциал синуса от икса равен косинусу от икса, а это как раз то, что нам нужно. Внесём под знак дифференциала синус от икса. Получаем

Полученное переносим в подынтегральное выражение:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 7:

Пример 3. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-двойки перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим 1/2 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 7:

Применить подведение под знак дифференциала самостоятельно, а затем посмотреть решение

Следующие задачи — общий случай: решаются по определению дифференциала функции:

Пример 4. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Пример 5. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Продолжаем решать задачи вместе

В следующих задачах используются правила дифференцирования и интегрирования констант:

Так как , то , иными словами, константу можно подвести под знак дифференциала.

Пример 6. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Так как , где C — произвольная константа, то .

Пример 7. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Пример 8. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию — минус икс в квадрате. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-минус двух перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим -1/2 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 11:

Пример 9. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию — логарифм икса. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 12:

Пример 10. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию — ту, что в знаменателе. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-минус трёх перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим -1/3 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 10:

Пример 11. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Замечаем, что замена переменной в знаменателе выгодно оборачивается получением табличного интеграла 21 (с арктангенсом). Но в знаменателе у нас икс не в квадрате, а в шестой степени. Представляем икс в шестой степени как , а интеграл преобразуется к . Именно икс в кубе из второго слагаемого в знаменателе представляет собой внутреннюю функцию, которую внесём под знак дифференциала. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение. В нём нет множителя-тройки перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим 1/3 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 21:

Пример 12. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Смотрим в числитель. Там косинус от трёх икс. Смотрим в знаменатель. Там присутствует синус также от трёх икс. Значит, всё выражение в знаменателе можем как внутреннюю функцию внести под знак дифференциала. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение. В нём нет множителя-минус девяти перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим -1/9 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 10:

Подведение под знак дифференциала

При решении некоторых типов интегралов выполняется преобразование, как говорят внесение под знак дифференциала. Это делается, чтобы получить интеграл табличного вида и легко его взять. Для этого применяется формула: $$ f'(x) dx = d( f(x) ) $$

Хочется отметить такой важный нюанс, над которым задумываются студенты. Чем же отличается этот метод от способа замены переменной (подстановки)? Это то же самое, только в записях выглядит по-разному. И то и другое верно.

Формула

Если в подынтегральной функции прослеживается произведение двух функций, одна из которых является дифференциалом другой, тогда внесите под знак дифференциала нужную функцию. Выглядит это следующим образом:

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi'(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x) $$

Подведение основных функций

Для того, чтобы успешно использовать такой способ решения, необходимо знать таблицы производных и интегрирования. Из них вытекают следующие формулы:

$ dx = d(x+c), c=const $	$ -\sin x dx=d(\cos x) $
$ dx=\frac<1> d(ax) $	$ \cos x dx = d(\sin x) $
$ xdx=\frac<1> <2>d(x^2+a) $	$ \frac = d(\ln x) $
$ -\frac= d(\frac<1>) $	$ \frac <\cos^2 x>= d(tg x) $
$$ \int f(kx+b)dx = \frac<1> \int f(kx+b)d(kx+b) = \frac<1> F(kx+b) + C $$

Примеры решений

В данном примере можно занести под знак дифференциала любую из предложенных функций, хоть синус, хоть косинус. Для того, чтобы не путаться со сменой знаков удобнее занести $ \соs x $. Используя формулы имеем:

$$ \int \sin x \cos xdx = \int \sin x d(\sin x) = \frac<1> <2>\sin^2 x + C $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

В данном примере нужно внести под знак дифференциала $ x+5 $. Используя формулы внесения получаем:

В таких случаях числитель подынтегральной функции является дифференциалом знаменателя. Убедиться в этом можно взяв производную знаменателя: $ d(x^2+1) = 2x dx $.

После дифференцирования в правой части появляется наш числитель с множителем два. Из формул внесений следует, что от двойки нужно избавиться путем домножения интеграла на $ \frac<1> <2>$. Пробуем:

Так как котангенс интеграл не табличный, то его попробуем решить методом подведения под знак дифференциала. Но прежде, катангенс нужно выразить через отношения косинуса с синусом. Известно, что $ ctg x = \frac<\cos x> <\sin x>$

Получаем интеграл $ \int ctg x dx = \int \frac<\cos x dx> <\sin x>$. Под знак дифференциала перенесем косинус:

В примерах этого типа внесение нужно для квадрата икса, чтобы остался только косинус под интегралом. Для этого нужно понимать, что: $$ x^2 dx = \frac<1> <3>d(x^3) $$ Подставив эту «замену» в исходный интеграл легко найдем ответ для задачи:

$$ \int x^2 \cos x^3dx = \frac<1><3>\int \cos x^3 d(x^3) = \frac<1> <3>\sin x^3 + C $$

$$ \int x^2 \cos x^3 dx = \frac<1> <3>\sin x^3 + C $$

Итак, в статье разобрали как решаются некоторые виды интегралов методом занесения под знак дифференциала. Вспомнили дифференциалы часто распространенных элементарных функций. Если не получается или не хватает времени решить задачи контрольных работ самостоятельно, то мы окажем Вам свою помощь в кратчайшие сроки. Достаточно заполнить форму заказа и мы свяжемся с Вами.

Метод подведения под знак дифференциала при интегрировании

Метод, описанный в этой статье, основывается на равенстве ∫ f ( g ( x ) ) d ( g ( x ) ) = F ( g ( x ) ) + C . Его цель – свести подынтегральную функцию к виду f ( g ( x ) ) d ( g ( x ) ) . Для его применения важно иметь под рукой таблицу первообразных и таблицу производных основных элементарных функций, записанную в виде дифференциалов.

Таблица первообразных

d ( C ) = 0 d ( x n ) = n x n — 1 d x d ( ln ( x ) ) = d x x d ( log n x ) = d x x l n ( n ) d ( e x ) = e x d x d ( a x ) = a x ln ( a ) d x

d ( sin x ) = cos x d x d ( cos x ) = — sin x d x d ( t g x ) = d x 1 + x 2 d ( c t g ) — d x sin 2 x

d a r c sin x = d x 1 — x 2 d a r c cos x = — d x 1 — x 2 d a r c t g x = d x 1 — x 2 d a r c t g x = — d x 1 — x 2

Таблица производных основных элементарных функций

∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , p ≠ — 1 ∫ 0 · d x = C ∫ a x · d x = a x ln a + C , a ≠ 1 ∫ e x · d x = e x + C ∫ d x x = ln x + C ∫ cos x · d x = sin x + C ∫ sin x · d x = — cos x + C ∫ d x cos 2 x = t g x + C ∫ d x sin 2 x = — c t g x ∫ d x 1 — x 2 = a r c sin x + C ∫ d x 1 + x 2 = a r c t g x + C

∫ d x a 2 + x 2 = 1 a a r c t g x a + C ∫ d x a 2 — x 2 = a r c sin x a + C ∫ d x x 2 — a 2 = 1 2 a ln x — a x + a + C ∫ d x x 2 ± a = ln x + x 2 ± a + C ∫ d x sin x = ln 1 — cos x sin x + C ∫ d x cos x = ln 1 + sin x cos x + C

Найдите неопределенный интеграл ∫ sin ( x 2 ) d ( x 2 ) .

Решение

Мы видим, что в условии подынтегральное выражение уже находится под знаком дифференциала. Согласно таблице первообразных, ∫ sin x d x = — cos x + C , значит, ∫ sin ( x 2 ) d ( x 2 ) = — cos ( x 2 ) + C .

Ответ: ∫ sin ( x 2 ) d ( x 2 ) = — cos ( x 2 ) + C

Найдите множество первообразных функции y = ln 3 x x .

Решение

Для того чтобы найти ответ, нам потребуется вычислить ∫ ln 3 x x d x . Решим задачу с помощью метода подведения под знак дифференциала. Согласно таблице производных, d x x = d ln x , значит, ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d ( ln x ) . Используя ту же таблицу, можем сразу записать ответ: ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d ( ln x ) = ln 4 x 4 + C .

Здесь требуется небольшое пояснение. Мы можем ввести еще одну переменную z = ln x и получить ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d ( ln x ) = ln x = z = ∫ z 3 d z . Тогда, используя таблицу первообразных для степенных функций, можно записать, что ∫ z 3 d z = z 4 4 + C . Теперь вернемся к исходной переменной и получим: z 4 4 + C = z = ln x = ln 4 x 4 + C .

Ответ: ∫ ln 3 x x d x = ln 4 x 4 + C .

С помощью метода подведения под знак дифференциала также можно вычислить первообразные для тангенса и котангенса.

Найдите интеграл тангенса ∫ t g x d x .

Решение

∫ t g x d x = ∫ sin x d x cos x

Поскольку sin x d x = — d ( cos x ) , то можно подвести ∫ sin x d x cos x = — ∫ d ( cos x ) cos x . Берем таблицу первообразных и находим, что — ∫ d ( cos x ) cos x = — ln cos x + C 1 = — ln cos x + C , где C = — C 1 .

Ответ: ∫ t g x d x = — ln cos x + C .

Самым сложным в применении этого метода является определение той части функции, которую нужно подвести под знак дифференциала. Умение быстро делать это приходит с опытом.

Вычислите неопределенный интеграл ∫ x 2 d x 1 + x 6 .

Решение

Согласно таблице производных, d ( x 3 ) = 3 x 2 d x , значит, x 2 d x = 1 3 d ( x 3 ) . Используем таблицу основных интегралов и находим, что ∫ d x 1 + x 2 = a r c r g x + C . Значит, решить задачу методом подведения под знак дифференциала можно так:

∫ x 2 d x 1 + x 6 = ∫ 1 3 d ( x 3 ) 1 + x 3 2 = x 3 = t = = 1 3 ∫ d t 1 + t 2 = 1 3 a r c t g ( t ) + C = x 3 = t = 1 3 a r c t g ( x 3 ) + C

Ответ: ∫ x 2 d x 1 + x 6 = 1 3 a r c t g ( x 3 ) + C

Вычислите неопределенный интеграл ∫ d x x 2 + 2 x + 4 .

Решение

Начнем с преобразования подкоренного выражения.

x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 x + 1 — 1 + 4 = x 2 + 2 x + 1 + 3 = x + 1 2 + 3

После этого можно записать, что ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ∫ d x x + 1 2 + 3 .

Поскольку d ( x + 1 ) = d x , то ∫ d x x + 1 2 + 3 = ∫ d x ( x + 1 ) x + 1 2 + 3 = x + 1 = z = ∫ d z z 2 + 3 .

Посмотрим в таблицу первообразных и найдем ответ:

∫ d z z 2 + 3 = ln z + z 2 + 3 + C = z = x + 1 = ln x + 1 + ( x + 1 ) 2 + 3 + C = = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4 + C

Ответ: ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4 + C

Зачастую предварительные преобразования подынтегрального выражения бывают весьма сложными.

Найдите множество первообразных функции ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 .

Решение

Начнем также с преобразования выражения под интегралом.

∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = ∫ x d x 4 x 2 1 2 x + 1 4 = ∫ x d x 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 = = 1 2 ∫ x d x x 2 + 1 2 x + 1 16 — 1 16 + 1 4 = 1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16

Теперь подведем то, что получилось, под знак дифференциала.

Поскольку d x + 1 4 2 + 3 16 = x + 1 4 2 + 3 16 ‘ d x = 2 · x + 1 4 2 d x = 2 x d x + d x 2 ,то:

2 x d x = d x + 1 4 2 + 3 16 — d x 2 ⇒ x d x = 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 — d x 4

Следовательно, мы можем записать, что:

1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16 = 1 2 ∫ 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 — d x 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 — 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16

Исходя из d x = d x + 1 4 , можно преобразовать выражение так:

1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 — 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 — 1 8 ∫ d x + 1 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = x + 1 4 2 + 3 16 = z x + 1 4 = t = 1 4 ∫ z — 1 2 d z — 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16

В итоге у нас получились два интеграла, значения которых можно взять из таблицы.

1 4 ∫ z — 1 2 d z — 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16 = 1 4 · 1 — 1 2 + 1 z — 1 2 + 1 — 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 z 1 2 — 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 x + 1 4 2 + 3 16 1 2 — 1 8 ln x + 1 4 + x + 1 4 2 + 3 16 + C = = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 — 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

Ответ: ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 — 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

§ 2. Подведение под знак дифференциала

Метод подведения под знак дифференциала редко приводится в литературе, поэтому вначале покажем, почему он выгоден.

Нередко в подынтегральной функции можно увидеть 2 фрагмента, один из которых похож на производную другого. Например,

а) в интеграле числительx похож на производную от :;

б) интеграл можно представить как, где;

в) функция в интеграле– это .

Подобные интегралы часто предлагают находить, заменив новой переменной функцию, производная которой обнаружена. Так, для указанных интегралов

а) если , то, тогдаи, откуда

;

б) поскольку , то, тогдаи, поэтому

Более подробно метод замены изложен в § 4.

Однако вычисление 3-го интеграла при помощи замены уже связано с трудностями. Пусть, заметив, что , мы заменили.

Тогда и. Выразитьчерезt можно так:

(, поэтому). Подставим:

В результате громоздких действий практически всё сократилось и получился простой табличный интеграл. Возникает вопрос, нельзя ли было прийти к нему быстрее, если почти ни одно выражение не понадобилось.

Действительно, есть более короткое решение:

тогда, заменив , сразу получаем интеграл

Таким же образом можно было найти интегралы

а)

;

б) .

Здесь действия показаны очень подробно, и половину из них можно пропустить. Особенно коротким сделает решение следующая

Таблица основных дифференциалов

;

Примеры подведения под знак дифференциала

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

ПД1. Найдите интегралы

1) а) ; б); в); г); д);

е) ; ж); з); и); к);

2) а) ; б); в); г); д);

е) ; ж); з); и); к);

3) а) ; б); в); г); д)

е) ; ж); з); и); к);

4) а) ; б); в); г); д);

е) ; ж); з); и); к);

5) а) ; б); в); г); д);

е) ; ж); з); и); к).

§ 3. Интегралы от функций, содержащих квадратичное выражение

При интегрировании функций, содержащих выражение , поможет формула . Например,

а) ;

б) ;

в) .

Полученную скобку удобно обозначить новой буквой и перейти к интегралу по этой переменной (дифференциалы новой и старой переменных совпадут).

Коэффициент перед квадратом лучше выносить за скобку:

а затем, если возможно, и за знак интеграла. Так,

; .

Цель замены – перейти к интегралу без линейного слагаемого , поскольку интегралы, содержащие только, находятся проще, и часто – по таблице. При этом важно помнить, что,, и т.п.

;

где a – любое число, и число . Кроме того, при

;

где .

Замечание 1. После замены часто появляются интегралы ,или. Их можно найти так:

аналогично во 2-м и в 3-м случае.

Однако интегралы вида достаточно сложны. Воспользуйтесь готовыми формулами

;

(проверьте дифференцированием, что это действительно так).

КИ1. Найдите при помощи равенства и замены:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Пример 1 (для краткости обозначено как.

а) ;

б) .

При поиске иучли, чтоисоответственно, и применили основное правило табличного интегрирования.

КИ2. Найдите интегралы, разложив каждый на сумму интегралов, один из которых – табличный, а другой аналогичен найденным в задании КИ1:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Пример 2. Найдём интеграл , разложив на сумму двух:

Ответ: (модуль не нужен, поскольку всегда).

Пример 3. Возьмём таким же образом интеграл :

Рациональнее всего найти интегралы так:

а) ,

где учли, что ;

б) .

Тогда , где.

Ответ: .

Замечание 2. В дальнейшем часто придётся разбивать интеграл на 2 или 3 интеграла, в каждом из которых появляется константа (, и т.д.). Для краткости будем подразумевать (но не указывать) константы в каждом отдельном вспомогательном интеграле (или указывать, но не сопровождать номером), а записывать будем лишь общую константуC в ответе. При этом всегда C – некая линейная комбинация .

КИ3. Получив в знаменателе полный квадрат и сделав замену, найдите

1) ;

2) ;

3) .

Пример 4. Заметив, что

заменяем , тогдаи.

Подставим в интеграл:

Пример 5.

Поскольку , можно сделать замену, при которойи. Подставим:

Пример 6.

Здесь , заменяем, откудаи. Подставим:

где . Разобьём интеграл на два:

Так же, как в предыдущих примерах,

а 2-й интеграл – табличный: .

Итак, , где. Тем самым

Пример 7.

Теперь , замена, поэтомуи.

Переходим к интегралу от новой переменной:

где .

а) ;

б) ;

в) (табличный интеграл).

Умножим 2-й результат на 7, 3-й на 10, соберём подобные слагаемые и вернёмся к старой переменной:

КИ4. Найдите интегралы от иррациональных функций:

1) ;

2) ;

3) .

Пример 8. Найдём . Похожий интеграл без корня уже найден выше (пример 6), и достаточно на соответствующем шаге добавить корень:

где . Разбиваем

а) ;

б) .

Таким образом, , где.

Ответ: .

Пример 9. Полный квадрат удобно получить так:

где . Тогда

Заменим . При этоми:

Действуем так же, как в примере 8:

а) />;

б) ,

Ответ: .

Замечание 3. Нельзя из-под корня выносить знак «–» или любой отрицательный общий множитель: ;, и т.д. В примере 9 показан единственно возможный правильный способ действий.