Как создать нулевую матрицу python

6

NumPy: матрицы и операции над ними

В этом ноутбуке из сторонних библиотек нам понадобится только NumPy. Для удобства импортируем ее под более коротким именем:

1. Создание матриц

Приведем несколько способов создания матриц в NumPy.

Самый простой способ — с помощью функции numpy.array(list, dtype=None, . ).

В качестве первого аргумента ей надо передать итерируемый объект, элементами которого являются другие итерируемые объекты одинаковой длины и содержащие данные одинакового типа.

Второй аргумент является опциональным и определяет тип данных матрицы. Его можно не задавать, тогда тип данных будет определен из типа элементов первого аргумента. При задании этого параметра будет произведена попытка приведения типов.

Например, матрицу из списка списков целых чисел можно создать следующим образом:

Второй способ создания — с помощью встроенных функций numpy.eye(N, M=None, . ), numpy.zeros(shape, . ), numpy.ones(shape, . ).

Первая функция создает единичную матрицу размера N×M ; если M не задан, то M = N .

Вторая и третья функции создают матрицы, состоящие целиком из нулей или единиц соответственно. В качестве первого аргумента необходимо задать размерность массива — кортеж целых чисел. В двумерном случае это набор из двух чисел: количество строк и столбцов матрицы.

Примеры:

Обратите внимание: размерность массива задается не двумя аргументами функции, а одним — кортежем!

Вот так — np.ones(7, 5) — создать массив не получится, так как функции в качестве параметра shape передается 7, а не кортеж (7, 5).

И, наконец, третий способ — с помощью функции numpy.arange([start, ]stop, [step, ], . ), которая создает одномерный массив последовательных чисел из промежутка [start, stop) с заданным шагом step, и метода array.reshape(shape).

Параметр shape, как и в предыдущем примере, задает размерность матрицы (кортеж чисел). Логика работы метода ясна из следующего примера:

Более подробно о том, как создавать массивы в NumPy, см. документацию.

2. Индексирование

Для получения элементов матрицы можно использовать несколько способов. Рассмотрим самые простые из них.

Для удобства напомним, как выглядит матрица d:

Элемент на пересечении строки i и столбца j можно получить с помощью выражения array[i, j].

Обратите внимание: строки и столбцы нумеруются с нуля!

Из матрицы можно получать целые строки или столбцы с помощью выражений array[i, :] или array[:, j] соответственно:

Еще один способ получения элементов — с помощью выражения array[list1, list2], где list1, list2 — некоторые списки целых чисел. При такой адресации одновременно просматриваются оба списка и возвращаются элементы матрицы с соответствующими координатами. Следующий пример более понятно объясняет механизм работы такого индексирования:

Примеры использования слайсинга:

Более подробно о различных способах индексирования в массивах см. документацию.

3. Векторы, вектор-строки и вектор-столбцы

Следующие два способа задания массива кажутся одинаковыми:

Однако, на самом деле, это задание одномерного массива (то есть вектора) и двумерного массива:

Обратите внимание: вектор (одномерный массив) и вектор-столбец или вектор-строка (двумерные массивы) являются различными объектами в NumPy, хотя математически задают один и тот же объект. В случае одномерного массива кортеж shape состоит из одного числа и имеет вид (n,), где n — длина вектора. В случае двумерных векторов в shape присутствует еще одна размерность, равная единице.

В большинстве случаев неважно, какое представление использовать, потому что часто срабатывает приведение типов. Но некоторые операции не работают для одномерных массивов. Например, транспонирование (о нем пойдет речь ниже):

4. Datatypes

Все элементы в массиве numpy принадлежат одному типу. В этом плане массивы ближе к C, чем к привычным вам листам питона. Numpy имеет множество встренных типов, подходящих для решения большинства задач.

5. Математические операции

К массивам (матрицам) можно применять известные вам математические операции. Следут понимать, что при этом у элементов должны быть схожие размерности. Поведение в случае не совпадения размерностей хорошо описанно в документации numpy.

6. Умножение матриц и столбцов

Напоминание теории. Операция умножения определена для двух матриц, таких что число столбцов первой равно числу строк второй.

Пусть матрицы A и B таковы, что A ∈ ℝ n×k и B ∈ ℝ k×m . Произведением матриц A и B называется матрица C , такая что c_ij = ∑ k _{r = 1} a_irb_rj , где c_ij — элемент матрицы C , стоящий на пересечении строки с номером i и столбца с номером j .

В NumPy произведение матриц вычисляется с помощью функции numpy.dot(a, b, . ) или с помощью метода array1.dot(array2), где array1 и array2 — перемножаемые матрицы.

Матрицы в NumPy можно умножать и на векторы:

Обратите внимание: операция * производит над матрицами покоординатное умножение, а не матричное!

Более подробно о матричном умножении в NumPy см. документацию.

7. Объединение массивов

Массивы можно Объединенять. Есть горизонтальное и вертикальное объединение.

Массивы можно переформировать при помощи метода, который задает новый многомерный массив. Следуя следующему примеру, мы переформатируем одномерный массив из десяти элементов во двумерный массив, состоящий из пяти строк и двух столбцов:

Задания: (Блок 1)

Задание 1:

Решите без использования циклов средставми NumPy (каждый пункт решается в 1-2 строчки)

1. Создайте вектор с элементами от 12 до 42
2. Создайте вектор из нулей длины 12, но его пятый елемент должен быть равен 1
3. Создайте матрицу (3, 3), заполненую от 0 до 8
4. Найдите все положительные числа в np.array([1,2,0,0,4,0])
5. Умножьте матрицу размерности (5, 3) на (3, 2)
6. Создайте матрицу (10, 10) так, чтобы на границе были 0, а внтури 1
7. Создайте рандомный вектор и отсортируйте его
8. Каков эквивалент функции enumerate для numpy массивов?
9. *Создайте рандомный вектор и выполните нормализацию столбцов (из каждого столбца вычесть среднее этого столбца, из каждого столбца вычесть sd этого столбца)
10. *Для заданного числа найдите ближайший к нему элемент в векторе
11. *Найдите N наибольших значений в векторе

Задание 2:

8. Транспонирование матриц

Напоминание теории. Транспонированной матрицей A T называется матрица, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы. Формально: элементы матрицы A T определяются как a T _ij = a_ji , где a T _ij — элемент матрицы A T , стоящий на пересечении строки с номером i и столбца с номером j .

В NumPy транспонированная матрица вычисляется с помощью функции numpy.transpose() или с помощью метода array.T, где array — нужный двумерный массив.

В следующих разделах активно используется модуль numpy.linalg, реализующий некоторые приложения линейной алгебры. Более подробно о функциях, описанных ниже, и различных других функциях этого модуля можно посмотреть в его документации.

9. Определитель матрицы

Напоминание теории. Для квадратных матриц существует понятие определителя.

Пусть A — квадратная матрица. Определителем (или детерминантом) матрицы A ∈ ℝ n×n назовем число

где α₁, α₂, …, α_n — перестановка чисел от 1 до n , N(α₁, α₂, …, α_n) — число инверсий в перестановке, суммирование ведется по всем возможным перестановкам длины n .

Не стоит расстраиваться, если это определение понятно не до конца — в дальнейшем в таком виде оно не понадобится.

Например, для матрицы размера 2×2 получается:

Вычисление определителя матрицы по определению требует порядка n! операций, поэтому разработаны методы, которые позволяют вычислять его быстро и эффективно.

В NumPy определитель матрицы вычисляется с помощью функции numpy.linalg.det(a), где a — исходная матрица.

Рассмотрим одно интересное свойство определителя. Пусть у нас есть параллелограмм с углами в точках (0, 0), (c, d), (a + c, b + d), (a, b) (углы даны в порядке обхода по часовой стрелке). Тогда площадь этого параллелограмма можно вычислить как модуль определителя матрицы ⎛ ⎜ ⎝ a c b d ⎞ ⎟ ⎠ . Похожим образом можно выразить и объем параллелепипеда через определитель матрицы размера 3×3 .

10. Ранг матрицы

Напоминание теории. Рангом матрицы A называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы.

В NumPy ранг матрицы вычисляется с помощью функции numpy.linalg.matrix_rank(M, tol=None), где M — матрица, tol — параметр, отвечающий за некоторую точность вычисления. В простом случае можно его не задавать, и функция сама определит подходящее значение этого параметра.

С помощью вычисления ранга матрицы можно проверять линейную независимость системы векторов.

Допустим, у нас есть несколько векторов. Составим из них матрицу, где наши векторы будут являться строками. Понятно, что векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда ранг полученной матрицы совпадает с числом векторов. Приведем пример:

11. Системы линейных уравнений

Напоминание теории. Системой линейных алгебраических уравнений называется система вида Ax = b , где A ∈ ℝ n×m , x ∈ ℝ m×1 , b ∈ ℝ n×1 . В случае квадратной невырожденной матрицы A решение системы единственно.

В NumPy решение такой системы можно найти с помощью функции numpy.linalg.solve(a, b), где первый аргумент — матрица A , второй — столбец b .

Убедимся, что вектор x действительно является решением системы:

Бывают случаи, когда решение системы не существует. Но хотелось бы все равно “решить” такую систему. Логичным кажется искать такой вектор x , который минимизирует выражение ‖ Ax − b ‖ 2 — так мы приблизим выражение Ax к b .

В NumPy такое псевдорешение можно искать с помощью функции numpy.linalg.lstsq(a, b, . ), где первые два аргумента такие же, как и для функции numpy.linalg.solve(). Помимо решения функция возвращает еще три значения, которые нам сейчас не понадобятся.

12. Обращение матриц

Напоминание теории. Для квадратных невырожденных матриц определено понятие обратной матрицы.

Пусть A — квадратная невырожденная матрица. Матрица A − 1 называется обратной матрицей к A , если

где I — единичная матрица.

В NumPy обратные матрицы вычисляются с помощью функции numpy.linalg.inv(a), где a — исходная матрица.

13. Собственные числа и собственные вектора матрицы

Напоминание теории. Для квадратных матриц определены понятия собственного вектора и собственного числа.

Пусть A — квадратная матрица и A ∈ ℝ n×n . Собственным вектором матрицы A называется такой ненулевой вектор x ∈ ℝ n , что для некоторого λ ∈ ℝ выполняется равенство Ax = λx . При этом λ называется собственным числом матрицы A . Собственные числа и собственные векторы матрицы играют важную роль в теории линейной алгебры и ее практических приложениях.

В NumPy собственные числа и собственные векторы матрицы вычисляются с помощью функции numpy.linalg.eig(a), где a — исходная матрица. В качестве результата эта функция выдает одномерный массив w собственных чисел и двумерный массив v, в котором по столбцам записаны собственные вектора, так что вектор v[:, i] соотвествует собственному числу w[i].

Обратите внимание: у вещественной матрицы собственные значения или собственные векторы могут быть комплексными.

14. Расстояния между векторами

Вспомним некоторые нормы, которые можно ввести в пространстве ℝ n , и рассмотрим, с помощью каких библиотек и функций их можно вычислять в NumPy.

p-норма

p-норма (норма Гёльдера) для вектора x = (x₁, …, x_n) ∈ ℝ n вычисляется по формуле:

В частных случаях при: * p = 1 получаем ℓ₁ норму * p = 2 получаем ℓ₂ норму

Далее нам понабится модуль numpy.linalg, реализующий некоторые приложения линейной алгебры. Для вычисления различных норм мы используем функцию numpy.linalg.norm(x, ord=None, . ), где x — исходный вектор, ord — параметр, определяющий норму (мы рассмотрим два варианта его значений — 1 и 2). Импортируем эту функцию:

ℓ₁ норма

ℓ₁ норма (также известная как манхэттенское расстояние) для вектора x = (x₁, …, x_n) ∈ ℝ n вычисляется по формуле:

Ей в функции numpy.linalg.norm(x, ord=None, . ) соответствует параметр ord=1.

ℓ₂ норма

ℓ₂ норма (также известная как евклидова норма) для вектора x = (x₁, …, x_n) ∈ ℝ n вычисляется по формуле:

Ей в функции numpy.linalg.norm(x, ord=None, . ) соответствует параметр ord=2.

Более подробно о том, какие еще нормы (в том числе матричные) можно вычислить, см. документацию.

15. Расстояния между векторами

Для двух векторов x = (x₁, …, x_n) ∈ ℝ n и y = (y₁, …, y_n) ∈ ℝ n ℓ₁ и ℓ₂ раccтояния вычисляются по следующим формулам соответственно:

16. Скалярное произведение и угол между векторами

Скалярное произведение в пространстве ℝ n для двух векторов x = (x₁, …, x_n) и y = (y₁, …, y_n) определяется как:

Длиной вектора x = (x₁, …, x_n) ∈ ℝ n называется квадратный корень из скалярного произведения, то есть длина равна евклидовой норме вектора:

Теперь, когда мы знаем расстояние между двумя ненулевыми векторами и их длины, мы можем вычислить угол между ними через скалярное произведение:

где α ∈ [0, π] — угол между векторами x и y .

17. Комплексные числа в питоне

Напоминание теории. Комплексными числами называются числа вида x + iy , где x и y — вещественные числа, а i — мнимая единица (величина, для которой выполняется равенство i 2 = − 1 ). Множество всех комплексных чисел обозначается буквой ℂ (подробнее про комплексные числа см. википедию).

В питоне комплескные числа можно задать следующим образом (j обозначает мнимую единицу):

С комплексными числами в питоне можно производить базовые арифметические операции так же, как и с вещественными числами:

Задания: (Блок 2)

Задание 3:

Рассмотрим сложную математическую функцию на отрезке [1, 15]:

f(x) = sin(x / 5) * exp(x / 10) + 5 * exp(-x / 2)

Она может описывать, например, зависимость оценок, которые выставляют определенному сорту вина эксперты, в зависимости от возраста этого вина. Мы хотим приблизить сложную зависимость с помощью функции из определенного семейства. В этом задании мы будем приближать указанную функцию с помощью многочленов.

Как известно, многочлен степени n (то есть w₀ + w₁x + w₂x 2 + … + w_nx n ) однозначно определяется любыми n + 1 различными точками, через которые он проходит. Это значит, что его коэффициенты w₀ , … w_n можно определить из следующей системы линейных уравнений:

где через x₁, . x_n, x_{n + 1} обозначены точки, через которые проходит многочлен, а через f(x₁), . f(x_n), f(x_{n + 1}) — значения, которые он должен принимать в этих точках.

Воспользуемся описанным свойством, и будем находить приближение функции многочленом, решая систему линейных уравнений.

Как работать с матрицами в Python

Матрица — это двумерный массив, состоящий из M строк и N столбцов. Матрицы часто используются в математических вычислениях. Программисты работают с матрицами в основном в научной области, однако их можно использовать и для других вещей, например, для быстрой генерации уровней в видео-игре.

Матрицы и библиотека NumPy

Программист может самостоятельно реализовать все функции для работы с матрицами: умножение, сложение, транспонирование и т. д. На Python это сделать гораздо проще, чем на более низкоуровневых языках, таких как C.

Но каждый раз писать одни и те же алгоритмы не имеет смысла, поэтому была разработана библиотека NumPy. Она используется для сложных научных вычислений и предоставляет программисту функции для работы с двумерными массивами.

Вместо того чтобы писать десятки строк кода для выполнения простых операций над матрицами, программист может использовать одну функцию из NumPy. Библиотека написана на Python, C и Фортране, поэтому функции работают даже быстрее, чем на чистом Python.

Подключение библиотеки NumPy

NumPy не встроена в интерпретатор Python, поэтому перед импортом её необходимо установить. Для этого в можно воспользоваться утилитой pip. Введите в консоле команду:

Теперь, когда библиотека установлена, её можно подключить с помощью команды import . Для удобства переименуем numpy при импорте в np следующим образом:

Создание

Для создании матрицы используется функция array(). В функцию передаётся список. Вот пример создания, мы подаём в качестве аргумента функции двумерный список:

Вторым параметром можно задать тип элементов матрицы:

Тогда в консоль выведется:

Обратите внимание, что если изменить int на str, то тип элементов изменился на строковый. Кроме того, при выводе в консоль NumPy автоматически отформатировал вывод, чтобы он выглядел как матрица, а элементы располагались друг под другом.

В качестве типов элементов можно использовать int, float, bool, complex, bytes, str, buffers. Также можно использовать и другие типы NumPy: логические, целочисленные, беззнаковые целочисленные, вещественные, комплексные. Вот несколько примеров:

• np.bool8 — логическая переменная, которая занимает 1 байт памяти.
• np.int64 — целое число, занимающее 8 байт.
• np.uint16 — беззнаковое целое число, занимающее 2 байта в памяти.
• np.float32 — вещественное число, занимающее 4 байта в памяти.
• np.complex64 — комплексное число, состоящее из 4 байтового вещественного числа действительной части и 4 байтов мнимой.

Вы также можете узнать размер матрицы, для этого используйте атрибут shape:

Первое число (2) — количество строк, второе число (3) — количество столбцов.

Нулевая матрица

Если необходимо создать матрицу, состоящую только из нулей, используйте функцию zeros():

Результат этого кода будет следующий:

Получение строки, столбца и элемента

Чтобы получить строку двухмерной матрицы, нужно просто обратиться к ней по индексу следующим образом:

Получить столбец уже не так просто. Используем срезы, в качестве первого элемента среза мы ничего не указываем, а второй элемент — это номер искомого столбца. Пример:

Чтобы получить элемент, нужно указать номер столбца и строки, в которых он находится. Например, элемент во 2 строке и 3 столбце — это 5, проверяем (помним, что нумерация начинается с 0):

Умножение и сложение

Чтобы сложить матрицы, нужно сложить все их соответствующие элементы. В Python для их сложения используется обычный оператор «+».

Пример сложения:

Результирующая матрица будет равна:

Важно помнить, что складывать можно только матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов, иначе программа на Python завершится с исключением ValueError.

Умножение матриц сильно отличается от сложения. Не получится просто перемножить соответствующие элементы двух матриц. Во-первых, матрицы должны быть согласованными, то есть количество столбцов одной должно быть равно количеству строк другой и наоборот, иначе программа вызовет ошибку.

Умножение в NumPy выполняется с помощью метода dot().

Пример умножения:

Результат выполнения этого кода будет следующий:

Транспонированная и обратная

Транспонированная матрица — это матрица, у которой строки и столбцы поменялись местами. В библиотеки NumPy для транспонирования двумерных матриц используется метод transpose(). Пример:

В результате получится матрица:

Чтобы получить обратную матрицу, необходимо использовать модуль linalg (линейная алгебра). Используем функцию inv():

Результирующая матрица будет равна:

Получение максимального и минимального элемента

Чтобы получить максимальный или минимальный элемент, можно пройтись по всем элементам матрицы с помощью двух циклов for . Это стандартный алгоритм перебора, который известен почти каждому программисту:

NumPy позволяет найти максимальный и минимальный элемент с помощью функций amax() и amin(). В качестве аргумента в функции нужно передать саму матрицу. Пример:

Как видим, результаты реализации на чистом Python и реализации с использованием библиотеки NumPy совпадают.

Заключение

На Python можно реализовать все необходимые функции для работы с матрицами. Чтобы упростить работу программистов, была создана библиотека NumPy. Она позволяет производить сложные математические вычисления легко и без ошибок, избавляя программиста от необходимости каждый раз писать один и тот же код.

Массив Numpy

Первое знакомство с библиотекой NumPy (Numerical Python) состоялось на двенадцатом занятии вводного курса. Затем мы несколько раз использовали эту библиотеку при построении моделей. Пришло время посвятить ее функционалу отдельный раздел.

Библиотека Numpy является основой для многих других библиотек в Питоне, например, Pandas, Matplotlib, scikit-learn или scikit-image. Главный объект библиотеки — массив Numpy (Numpy array). О нем мы поговорим сегодня.

На следующем занятии мы изучим математические операции над массивами, а через одно — рассмотрим работу со случайными числами.

Понятие массива Numpy

Массив Numpy — это многомерный массив (ndarray, n-dimensional array) данных, над которыми можно быстро и эффективно выполнять множество математических, статистических, логических и других операций.

Приведу пример массива с нулевым измерением, а также одно-, двух- и трехмерного массивов.

Теперь посмотрим как работать с этими массивами на практике.

Вначале нужно импортировать библиотеку Numpy.

Как создать массив Numpy

Рассмотрим два варианта создания одномерного массива.

Функция np.array()

Во-первых, массив можно создать с помощью функции np.array(), которой мы передаем, например, список или кортеж элементов.

Функция np.arange()

Кроме того, можно воспользоваться функцией np.arange(). Эта функция, как и функция range(), с которой мы уже знакомы, создает последовательность элементов. Обязательным параметром является верхняя граница, которая не входит в последовательность.

Нижняя граница и шаг обязательными не являются.

Отличие range() от функции np.arange() заключается в том, что первая не допускает использования типа float.

При этом в массиве Numpy тип float вполне может использоваться.

Тип данных элементов массива

Как вы уже вероятно обратили внимание, в массивах тип данных определяется автоматически. При этом при создании массива мы можем задать этот параметр принудительно.

Обратите внимание, в отличие, например, от списков, чаще всего в массивах содержатся элементы только одного типа (в частности, int или float).

Свойства (атрибуты) массива

Возьмем массив, который мы создали выше.

Важным свойством (или как правильнее говорить атрибутом) массива является количество его измерений, ndim. В данном случае это одномерный массив или вектор.

Теперь, с помощью атрибута shape, посмотрим на количество элементов в каждом измерении.

Обратите внимание, даже когда массив одномерный, результат атрибута shape выводится в виде кортежа (на это указывают круглые скобки и запятая после цифры четыре).

Атрибут size показывает общее количество элементов во всех измерениях.

Как уже было сказано выше, атрибут dtype показывает тип данных отдельного элемента.

Атрибут itemsize позволяет узнать размер в байтах (один байт состоит из 8 бит) одного элемента. В нашем случае, элемент (число) состоит из 64 бит, что составляет восемь байтов.

Общий размер массива в байтах (nbytes) позволяет понять, в частности, поместится ли массив в оперативную память компьютера.

Тот же результат можно получить, умножив общее количество элементов на размер одного элемента в байтах.

Измерения массива

Как уже было сказано, ndarray (массив Numpy) — это многомерный массив. Давайте еще раз взглянем на массивы с различными измерениями, добавив только что изученные атрибуты этих массивов.

Теперь подробнее поговорим про размерность. Измерения (dimensions) создаются за счёт вложения одного массива в другой с помощью квадратных скобок []. Начнем с массива с нулевой размерностью.

Массив с нулевой размерностью

Массив с нулевой размерностью — это число (скаляр) и квадратных скобок не имеет.

Посмотрим на свойства этого массива.

Атрибут shape показывает отсутствие размерности, а size указывает на один элемент в массиве.

Одномерный массив (вектор)

Вложив несколько массивов с нулевой размерностью в квадратные скобки, мы получим одномерный массив или вектор.

Снова воспользуемся атрибутами массива.

Двумерный массив (матрица)

Поместив во вторые квадратные скобки, например, два одномерных массива, мы получим двумерный массив или матрицу.

Посмотрим на свойства.

Атрибут size двумерного массива более интуитивно понятен. В данном случае два элемента одного измерения умножены на три элемента второго.

Добавлю, что с точки зрения Numpy матрица с одной строкой или одним столбцом — это разные объекты. Начнем с матрицы, которая имеет три вектора по одному элементу.

Теперь наоборот, создадим матрицу с одной строкой, в которой три элемента.

Трехмерный массив

Теперь создадим трехмерный массив, внутри которого будут два двумерных массива 2 х 3. Общее количество элементов будет равно двенадцати (2 х 2 х 3). Визуально это можно представить как стэк (наложение) двух матриц.

При этом, вместо того чтобы вручную прописывать все 12 значений, мы последовательно воспользуемся функцией np.arange() и методом np.reshape().

Функция np.arange(), как мы уже видели выше, создаст одномерный массив из 12 элементов, а метод np.reshape() распределит их по измерениям. Выведем атрибуты.

Обратите внимание, атрибут shape сначала выводит размерность внешнего измерения, в нем две матрицы. Далее в каждую матрицу вложены два одномерных вектора. В каждом векторе по три элемента.

Аналогичным образом создаются четырехмерные массивы, а также массивы с большим количеством измерений.

Понятие тензора

Добавлю, что в математике n-мерный массив называется тензором, а числа (скаляры), векторы и матрицы являются его частными случаями для нуля, одного и двух измерений соответственно.

Другие способы создания массива

Массив из нулей

Иногда бывает полезно создать массив, все элементы которого равны нулю. Для этого используется функция np.zeros().

Массив из единиц

В тех случаях когда нужно создать массив, заполненный единицами, можно воспользоваться функцией np.ones().

Массив, заполненный заданным значением

Функция np.full() создает массив, заполненный заданным значением.

Пустой массив Numpy

В отличие от предыдущих инструментов, функция np.empty() возвращает массив заданной размерности, но без инициализации его значений. Другими словами, пустой массив.

Кроме того, любой массив Numpy можно преобразовать в описанные выше массивы с помощью функций np.zeros_like(), np.ones_like(), np.full_like() и np.empty_like(). Приведу пример для np.zeros_like().

Примеры работы с тремя оставшимися функциями можно посмотреть в ноутбуке⧉.

Функция np.linspace()

Функция np.linspace() позволяет указать диапазон начального и конечного значений, а также количество равноудаленных точек внутри этого диапазона (включая начальное и конечное значения).

Обратите внимание, функция np.linspace() сама определяет, где расставить точки. Нам нужно лишь указать их количество. Этим она отличается от функции np.arange(), в которой мы указываем шаг в пределах заданного диапазона.

Функцию np.linspace() удобно использовать для построения графиков функций.

В качестве примера выведем первые 10 точек, созданные функцией np.linspace().

Функции np.random.rand() и np.random.randint()

Массивы можно также создавать с помощью функций, генерирующих псевдослучайные числа. В частности, функция np.random.rand() создает массив заданной размерности, заполненный числами от 0 до 1 (единица в диапазон не входит).

Функция np.random.randint() формирует массив целых чисел в заданном диапазоне (верхняя граница не входит в диапазон) и с заданной размерностью.

Более подробно с этими и другими похожими функциями мы познакомимся на одиннадцатом занятии.

Создание массива из функции

Помимо вышеупомянутых способов массив можно создавать с помощью собственных функций. Для того чтобы понять, как это работает, вначале давайте вспомним координаты массива Numpy.

Функция np.fromfunction() берет координаты (i, j) каждой ячейки и передает их в собственную функцию. Посмотрим, как это работает на практике.

Теперь применим эту функцию к каждой ячейке (координатам) массива с размерностью (3, 3).

В np.fromfunction() можно передать и lambda-функцию.

Матрица csr и метод .toarray()

Кроме этого в случае если данные хранятся в формате csr (сжатое хранения строкой, compressed sparse row), то мы можем преобразовать их обратно в массив Numpy с помощью метода .toarray().

Долю нулевых значений несложно посчитать через функцию np.count_nonzero() и атрибут size.

Преобразуем матрицу в формат csr.

Вернем матрицу csr обратно в формат массива Numpy.

Напомню, что с форматом csr мы впервые познакомились, когда изучали рекомендательные системы. Метод .toarray() мы активно применяли на занятии по обработке естественного языка.

Индексы и срезы

Индекс элемента массива

Подобно спискам, к элементам массива можно получить доступ по их индексу. Главное отличие — необходимо учитывать наличие измерений. Вначале рассмотрим индексы массива на схеме.

Если мы хотим получить доступ к элементу массива, то необходимо вначале указать индекс внешнего измерения (оно будет первым по счету в выводе атрибута shape), а затем индекс внутреннего.

Другими словами, мы двигаемся как бы снаружи вовнутрь, перемещаясь из одного измерения в другое.

Посмотрим, как это реализовать на Питоне. Создадим двумерный массив.

Посмотрим на измерения и количество элементов в каждом из них.

Выведем первый элемент первого (внешнего) измерения.

Второй индекс позволяет обратиться, например, к первому элементу первого вектора.

Теперь выведем значение шесть.

Срез массива

В массиве Numpy доступны и срезы (slice). Срез одномерного массива очень похож на срез списка.

Возьмем каждый второй элемент в интервале с 1-го по 6-й индекс.

Посмотрим на схему.

Когда измерений больше одного, внутри квадратных скобок измерения отделяются запятой. Создадим двумерный массив.

Сделаем срез из первой строки (внешнее измерение) и первых двух столбцов (внутреннее измерение).

Если нужно взять все элементы одного из измерений, достаточно поставить двоеточие без указания индекса.

С помощью среза можно вывести конкретный элемент массива.

Другими словами, c [ 0 , 0 ] == c [ 0 ] [ 0 ] .

Кроме того, обратите внимание, что индекс в формате array[i, j] и координаты элементов массива, которые мы рассмотрели ранее, это одно и то же.

Допускаются срезы с отрицательным индексом.

Рассмотрим более сложный пример. Возьмем всю вторую строку [ 1 ] и каждый второй столбец [ :: 2 ] .

Теперь создадим массив с тремя измерениями.

Можно сказать, что наш 3D массив состоит из четырех матриц 2 x 2.

Вначале выведем значение десять. Если идти снаружи вовнутрь, получается, что это третья матрица [2], второй вектор [1] и первый элемент [0].

Для срезов понадобится две запятых.

Если указать только один срез, мы будем работать только во внешнем измерении (с четырьмя матрицами).

Прежде чем завершить разговор про срезы, выведем первые строки каждой матрицы.

Оси массива

С концепцией измерения массива тесно связано понятие оси (axis, множественное число — axes). У массива столько же осей, сколько и измерений. Мы уже столкнулись с осями двух и трехмерного массивов, когда работали с изображениями.

Рассмотрим этот вопрос ещё раз.

Массив 2D

В двумерном массиве два измерения и соответственно две оси.

В документации Numpy существует такое понятие как первая и последняя ось. Применительно к двумерному массиву, ось 0 — это первая ось, а ось 1 — последняя.

Многие, в частности, математические и статистические методы в Numpy предполагают указание параметра оси. Продолжим работу с приведенным выше двумерным массивом.

Сложение вдоль первой оси (axis = 0)

Найдем сумму по столбцам (вдоль оси 0).

Сложение вдоль второй оси (axis = 1)

Теперь найдем сумму по строкам (вдоль оси 1).

Обратите внимание, хотя axis = 0 принято ассоциировать со строками двумерного массива, сложение происходит вдоль вертикальной оси или по столбцам. Параметр axis = 1, отвечающий за столбцы, наоборот предполагает сложение вдоль горизонтальной оси по строкам.

При таких операциях говорят, что мы агрегируем (aggregate) данные и сворачиваем (collapse) или сокращаем (reduce) измерения вдоль определенной оси. И действительно, в каждой из описанных выше операций двумерный массив превратился в одномерный.

Сложение вдоль обеих осей (axis = (0, 1))

Если в параметр axis передать кортеж с указанием обеих осей (0, 1), сумма будет рассчитана сначала вдоль оси 0, затем вдоль оси 1.

numpy.zeros#

Return a new array of given shape and type, filled with zeros.

Parameters : shape int or tuple of ints

Shape of the new array, e.g., (2, 3) or 2 .

dtype data-type, optional

The desired data-type for the array, e.g., numpy.int8 . Default is numpy.float64 .

order <‘C’, ‘F’>, optional, default: ‘C’

Whether to store multi-dimensional data in row-major (C-style) or column-major (Fortran-style) order in memory.

like array_like, optional

Reference object to allow the creation of arrays which are not NumPy arrays. If an array-like passed in as like supports the __array_function__ protocol, the result will be defined by it. In this case, it ensures the creation of an array object compatible with that passed in via this argument.