Понятие четной и нечетной функции
Главное условие при исследовании функции на четность/нечетность — это симметричность области определения относительно 0. Если она не симметрична, то функция не является ни четной, ни нечетной, и дальнейшее исследование производить не нужно. Например, \(D(y)\in(-\infty;+\infty)\) симметрична относительно 0, а \(D(y):x\in(-5;9)\) — нет.
Четная функция
Функцию \(f(x)\) называют четной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=f(x).\)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
График четной функции симметричен относительно оси Ох.
Возьмем произвольную точку \(M(x,\;f(x))\) из области определения \(f(x)\) , тогда точка \(M_1(-x,\;f(x))\) так же будет принадлежать графику, что следует из определения. Значит график данной функции будет симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция
Функцию \(f(x)\) называют нечетной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=-f(x).\)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0;0)).
Возьмем произвольную точку \(M(x,\;f(x))\) из области определения \(f(x)\) , тогда точка \(M_1(-x,\;-f(x))\) также будет принадлежать графику, что следует из определения. Значит график данной функции будет симметричен относительно начала координат.
Произведение четной и нечетной функции
Произведение четной и нечетной функций есть нечетная функция.
Значит, \((f\cdot g)(-x)=-(f\cdot g)(x)\) , т.е. функция нечетная.
Исследование функций в примерах
Доказать, что функция \(y=x^2\) четная.
1. Найдем область определения: \(D(y):x\in(-\infty;+\infty)\) — симметрична относительно 0.
\(f(x)=f(-x)\) , значит функция четная.
Исследовать на четность и нечетность функцию \(f(x)=8x^3-7x.\)
1. Найдем область определения: \(D(f):x\in(-\infty;+\infty)\) — симметрична относительно 0.
\(f(x)\neq f(-x)\) , значит функция не является четной.
\(-f(x)=f(-x)\) , значит функция нечетна.
Исследовать на четность и нечетность функции \(f_1(x)=\frac
Рассмотрим первую функцию:
1. Найдем область определения: x — любое число, кроме 1. Она не симметрична относительно 0, значит \( f_1(x)\) относится к функциям общего вида, то есть не является ни четной ни нечетной.
Рассмотрим вторую функцию:
1. Найдем область определения: х — любое число кроме -1 и 1. Она симметрична относительно 0.
Как определить симметричность функции относительно 0
Постройте график функции
\[y=3\left| x \right|-2\]
Функция чётная. Пусть $x\ge 0$. Тогда функция примет вид
\[y=3x-2\]
Это линейная функция. Её график — прямая. С учётом отражения относительно оси $OY$ получим:
Постройте график функции
\[y=^>-2\left| x \right|-1\]
Функция чётная. При $x\ge 0$ видим привычную квадратичную функцию
\[y=^>-2x-1\]
Её график — парабола с вершиной $_>=/\;=/\;=1$. После отражения получим
Постройте график функции
\[y=\frac\]
Функция чётная. При $x\ge 0$ получим привычную рациональную дробь. Выделим целую часть:
\[y=\frac +2\]
Это обычная гипербола, сдвинутая на 1 влево и на 2 вверх. Итого получим:
График функции. Симметричное (зеркальное) отображение.
Этот тип преобразований необходимо проводить в случаем, когда присутствует «минус» перед коэффициентами k1, (симметрично отображаем график относительно оси ox ) и k2 (симметрично отображаем график относительно оси oy). Когда знак «минус» отсутствует, то этот этап пропускается.
Говоря другими словами:
Когда функция принимает вид y = f (-x) выполняем симметричное отражение графика относительно оси ординат (0у).
Когда функция принимает вид y = — f (x) выполняем симметричное отражение графика относительно оси абсцисс (0х).
Четные и нечетные функции
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Например, — четные функции.
Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например, — нечетные функции.
Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида.
Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задания:
1. Проверьте, является ли функция четной (нечетной).
Область определения функции
Проверим, является ли чётной или нечётной. Если функция четна. Если функция нечетна.
— значит, функция нечётная, её график симметричен относительно нуля.
2. Проверьте, является ли функция четной (нечетной).
Область определения: все действительные числа.
— чётная, как сумма двух чётных функций.
Её график симметричен относительно оси y.
3. Проверьте, является ли функция четной (нечетной).
Область определения функции симметрична относительно нуля.
— чётная, её график симметричен относительно оси y.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Четные и нечетные функции» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
